Движение по наклонной плоскости тела: скорость, трение, время. Движение тела по наклонной плоскости Ускорение тела по наклонной плоскости

Движение тела по наклонной плоскости - это классический пример движения тела под действием нескольких несонаправленных сил. Стандартный метод решения задач о такого рода движении состоит в разложении векторов всех сил по компонентам, направленным вдоль координатных осей. Такие компоненты являются линейно независимыми. Это позволяет записать второй закон Ньютона для компонент вдоль каждой оси отдельно. Таким образом второй закон Ньютона, представляющий собой векторное уравнение, превращается в систему из двух (трех для трехмерного случая) алгебраических уравнений.

Силы, действующие на брусок,
случай ускоренного движения вниз

Рассмотрим тело, которое соскальзывает вниз по наклонной плоскости. В этом случае на него действуют следующие силы:

• Сила тяжести mg , направленная вертикально вниз;
• Сила реакции опоры N , направленная перпендикулярно плоскости;
• Сила трения скольжения F тр, направлена противоположно скорости (вверх вдоль наклонной плоскости при соскальзывании тела)

При решении задач, в которых фигурирует наклонная плоскость часто удобно ввести наклонную систему координат, ось OX которой направлена вдоль плоскости вниз. Это удобно, потому что в этом случае придется раскладывать на компоненты только один вектор - вектор силы тяжести mg , а вектора силы трения F тр и силы реакции опоры N уже направлены вдоль осей. При таком разложении x-компонента силы тяжести равна mg sin(α ) и соответствует «тянущей силе», ответственной за ускоренное движение вниз, а y-компонента - mg cos(α ) = N уравновешивает силу реакции опоры, поскольку вдоль оси OY движение тела отсутствует.
Сила трения скольжения F тр = µN пропорциональна силе реакции опоры. Это позволяет получить следующее выражение для силы трения: F тр = µmg cos(α ). Эта сила противонаправлена «тянущей» компоненте силы тяжести. Поэтому для тела, соскальзывающего вниз , получаем выражения суммарной равнодействующей силы и ускорения:

F x = mg (sin(α ) – µ cos(α ));
a x = g (sin(α ) – µ cos(α )).

Не трудно видеть, что если µ < tg(α ), то выражение имеет положительный знак и мы имеем дело с равноускоренным движением вниз по наклонной плоскости. Если же µ > tg(α ), то ускорение будет иметь отрицательный знак и движение будет равнозамедленным. Такое движение возможно только в случае, если телу придана начальная скорость по направлению вниз по склону. В этом случае тело будет постепенно останавливаться. Если при условии µ > tg(α ) предмет изначально покоится, то он не будет начинать соскальзывать вниз. Здесь сила трения покоя будет полностью компенсировать «тянущую» компоненту силы тяжести.

Когда коэффициент трения в точности равен тангенсу угла наклона плоскости: µ = tg(α ), мы имеем дела с взаимной компенсацией всех трех сил. В этом случае, согласно первому закону Ньютона тело может либо покоиться, либо двигаться с постоянной скоростью (При этом равномерное движение возможно только вниз).

Силы, действующие на брусок,
скользящий по наклонной плоскости:
случай замедленного движения вверх

Однако, тело может и заезжать вверх по наклонной плоскости. Примером такого движения является движение хоккейной шайбы вверх по ледяной горке. Когда тело движется вверх, то и сила трения и «тянущая» компонента силы тяжести направлены вниз вдоль наклонной плоскости. В этом случае мы всегда имеем дело с равнозамедленным движением, поскольку суммарная сила направлена в противоположную скорости сторону. Выражение для ускорения для этой ситуации получается аналогичным образом и отличается только знаком. Итак для тела, скользящего вверх по наклонной плоскости , имеем.

Динамика является одним из важных разделов физики, который изучает причины движения тел в пространстве. В данной статье рассмотрим с точки зрения теории одну из типичных задач динамики - движение тела по наклонной плоскости, а также приведем примеры решений некоторых практических проблем.

Основная формула динамики

Прежде чем переходить к изучению физики движения тела по плоскости наклонной, приведем необходимые теоретические сведения для решения этой задачи.

В XVII Исаак Ньютон благодаря практическим наблюдениям за движением макроскопических окружающих тел вывел три закона, носящих в настоящее время его фамилию. На этих законах зиждется вся классическая механика. Нас интересует в данной статье лишь второй закон. Его математический вид приведен ниже:

Вам будет интересно:

Формула говорит о том, что действие внешней силы F¯ придаст ускорение a¯ телу массой m. Это простое выражение будем далее использовать для решения задач движения тела по плоскости наклонной.

Отметим, что сила и ускорение - это величины векторные, направленные в одну и ту же сторону. Кроме того, сила - это аддитивная характеристика, то есть в приведенной формуле F¯ можно рассматривать как результирующее воздействие на тело.

Наклонная плоскость и силы, действующие на тело, находящееся на ней

Ключевым моментом, от которого зависит успех решения задач движения тела по плоскости наклонной, является определение действующих на тело сил. Под определением сил понимают знание их модулей и направлений действия.

Ниже дан рисунок, где показано, что тело (автомобиль) находится в покое на наклоненной под углом к горизонту плоскости. Какие силы на него действуют?

Список ниже перечисляет эти силы:

• тяжести;
• реакции опоры;
• трения;
• натяжения нити (если присутствует).

Сила тяжести

В первую очередь это сила тяжести (Fg). Она направлена вертикально вниз. Поскольку тело имеет возможность двигаться только вдоль поверхности плоскости, то при решении задач силу тяжести разлагают на две взаимно перпендикулярные составляющие. Одна из составляющих направлена вдоль плоскости, другая - перпендикулярна ей. Только первая из них приводит к появлению у тела ускорения и, по сути, является единственным движущим фактором для рассматриваемого тела. Вторая составляющая обуславливает возникновение силы реакции опоры.

Пусть небольшое тело находится на наклонной плоскости с углом наклона a (рис. 14.3,а ). Выясним: 1) чему равна сила трения, если тело скользит по наклонной плоскости; 2) чему равна сила трения, если тело лежит неподвижно; 3) при каком минимальном значении угла наклона a тело начинает соскальзывать с наклонной плоскости.

а) б)

Сила трения будет препятство­вать движению, следовательно, она будет направлена вверх по наклонной плоскости (рис. 14.3,б ). Кроме силы трения, на тело действуют еще сила тяжести и сила нормальной реакции . Введем систему координат ХОУ , как по­казано на рисунке, и найдем проекции всех указанных сил на коор­динатные оси:

Х : F трХ = –F тр, N X = 0, mg X = mg sina;

Y : F трY = 0, N Y = N , mg Y = –mg cosa.

Поскольку ускоряться тело может только по наклонной плоскости, то есть вдоль оси X , то очевидно, что проекция вектора ускорения на ось Y всегда будет равна нулю: а Y = 0, а значит, сумма проекций всех сил на ось Y также должна равняться нулю:

F трY + N Y + mg Y = 0 Þ 0 + N – mg cosa = 0 Þ

N = mg cosa. (14.4)

Тогда сила трения скольжения согласно формуле (14.3) равна:

F тр.ск = mN = mmg cosa. (14.5)

Если тело покоится , то сумма проекций всех сил, действующих на тело, на ось Х должна равняться нулю:

F трХ + N Х + mg Х = 0 Þ –F тр + 0 + mg sina = 0 Þ

F тр.п = mg sina. (14.6)

Если мы будем постепенно увеличивать угол наклона, то величина mg sina будет постепенно увеличиваться, а значит, будет уве­личиваться и сила трения покоя, которая всегда «автоматически подстраивается» под внешнее воздействие и компенсирует его.

Но, как мы знаем, «возможности» силы трения покоя не безгранич­ны. При каком-то угле a 0 весь «ресурс» силы трения покоя будет исчерпан: она достигнет своего максимального значения, равного силе трения скольжения. Тогда будет справедливо равенство:

F тр.ск = mg sina 0 .

Подставив в это равенство значение F тр.ск из формулы (14.5), получим: mmg cosa 0 = mg sina 0 .

Разделив обе части последнего равенства на mg cosa 0 , получим:

Þ a 0 = arctgm.

Итак, угол a, при котором начинается скольжение тела по наклонной плоскости, задается формулой:

a 0 = arctgm. (14.7)

Заметим, что если a = a 0 , то тело может или лежать неподвижно (если к нему не прикасаться), или скользить с постоянной скоростью вниз по наклонной плоскости (если его чуть-чуть толкнуть). Если a < a 0 , то тело «стабильно» неподвижно, и легкий толчок не произведет на него никакого «впечатления». А если a > a 0 , то тело будет соскальзывать с наклонной плоскости с ускорением и безо всяких толчков.

Задача 14.1. Человек везет двое связанных между собой саней (рис. 14.4,а ), прикладывая силу F под углом a к горизонту. Массы саней одинаковы и равны т . Коэффициент трения полозьев по снегу m. Найти ускорение саней и силу натяжения Т веревки между санями, а также силу F 1 , с которой должен тянуть веревку человек для того, чтобы сани двигались равномерно.

F a m m	а)	б) Рис. 14.4
а = ? Т = ? F 1 = ?

Решение . Запишем второй закон Ньютона для каждых саней в проекциях на оси х и у (рис. 14.4,б ):

I у : N 1 + F sina – mg = 0, (1)

x : F cosa – T – mN 1 = ma ; (2)

II у : N 2 – mg = 0, (3)

x : T – mN 2 = ma . (4)

Из (1) находим N 1 = mg – F sina, из (3) и (4) находим Т = mmg+ + ma. Подставляя эти значения N 1 и Т в (2), получаем

.

Подставляя а в (4), получаем

T = mN 2 + ma = mmg + та =

Mmg + т .

Чтобы найти F 1 , приравняем выражение для а к нулю:

Ответ : ; ;

.

СТОП! Решите самостоятельно: В1, В6, С3.

Задача 14.2. Два тела массами т и М связаны нитью, как показано на рис. 14.5,а . С каким ускорением движется тело М , если коэффициент трения о поверхность стола m. Каково натяжение нити Т ? Какова сила давления на ось блока?

т М m	Решение. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси х 1 и х 2 (рис. 14.5,б ), учитывая, что : х 1: Т – mMg = Ма , (1) х 2: mg – T = ma . (2) Решая систему уравнений (1) и (2), находим:
а = ? Т = ? R = ?

Если грузы не движутся, то .

Ответ : 1) если т < mМ , то а = 0, Т = mg , ; 2) если т ³ mМ , то , , .

СТОП! Решите самостоятельно: В9–В11, С5.

Задача 15.3. Два тела массами т 1 и т 2 связаны нитью, перекинутой через блок (рис. 14.6). Тело т 1 находится на наклонной плоскости с углом наклона a. Коэффициент трения о плоскость m. Тело массой т 2 висит на нити. Найти ускорение тел, силу натяжения нити и силу давления блока на ось при условии, когда т 2 < т 1 . Считать tga > m.

Рис. 14.7

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси х 1 и х 2 , учитывая, что и :

х 1: т 1 g sina – Т – mm 1 g cosa = m 1 a ,

х 2: T – m 2 g = m 2 a .

, .

Так как а >0, то

Если неравенство (1) не выполняется, то груз т 2 точно не движется вверх! Тогда возможны еще два варианта: 1) система неподвижна; 2) груз т 2 движется вниз (а груз т 1 , соответственно, вверх).

Предположим, что груз т 2 движется вниз (рис. 14.8).

Рис. 14.8

Тогда уравнения второго закона Ньютона на оси х 1 и х 2 будут иметь вид:

х 1: Т – т 1 g sina – mm 1 g cosa = m 1 a ,

х 2: m 2 g – Т = m 2 a .

Решая эту систему уравнений, находим:

, .

Так как а >0, то

Итак, если выполняется неравенство (1), то груз т 2 едет вверх, а если выполняется неравенство (2), то – вниз. Следовательно, если не выполняется ни одно из этих условий, т.е.

,

система неподвижна.

Осталось найти силу давления на ось блока (рис. 14.9). Силу давления на ось блока R в данном случае можно найти как диагональ ромба АВСD . Так как

ÐADC = 180° – 2 ,

где b = 90°– a, то по теореме косинусов

R 2 = .

Отсюда .

Ответ :

1) если , то , ;

2) если , то , ;

3) если , то а = 0; Т = т 2 g .

Во всех случаях .

СТОП! Решите самостоятельно: В13, В15.

Задача 14.4. На тележку массой М действует горизонтальная сила F (рис. 14.10,а ). Коэффициент трения между грузом т и тележкой равен m. Определить ускорение грузов. Какой должна быть минимальная сила F 0 , чтобы груз т начал скользить по тележке?

M , т F m	а)	б) Рис. 14.10
а 1 = ? а 2 = ? F 0 = ?

Решение . Сначала заметим, что сила, приводящая груз т в движение, – это сила трения покоя , с которой тележка действует на груз. Максимально возможное значение этой силы равно mmg .

По третьему закону Ньютона груз действует на тележку с такой же по величине силой – (рис. 14.10,б ). Проскальзывание начинается в тот момент, когда уже достигла своего максимального значения , но система еще движется как одно тело массой т +М с ускорением . Тогда по второму закону Ньютона

Тело массой 2 кг под действием силы F перемещается вверх по наклонной плоскости на расстояние расстояние тела от поверхности Земли при этом увеличивается на

Вектор силы F направлен параллельно наклонной плоскости, модуль силы F равен 30 Н. Какую работу при этом перемещении совершила сила тяжести? (Ответ дайте в джоулях.) Ускорение свободного падения примите равным коэффициент трения

Решение.

Работа силы определяется как скалярное произведение вектора силы и вектора перемещения тела. Следовательно, сила тяжести при подъеме тела вверх по наклонной плоскости совершила работу ( - угол при основании наклонной плоскости)

Ответ: −60.

Альтернативный способ решения.

Сила тяжести относится к типу сил, называемых потенциальными. Эти силы обладают таким свойством, что их работа по любому замкнутому пути всегда равна нулю (это можно считать определением). В качестве других примеров потенциальных сил можно упомянуть силу упругости, подчиняющуюся закону Гука кулоновскую силу взаимодействия зарядов силу всемирного тяготения (как обобщение простой силы тяжести) Примером непотенциальной силы, то есть не обладающей вышеописанным свойством, может служить, например, сила трения.

Как легко заметить, для всех сил, которые здесь названы потенциальными определена величина потенциальной энергии: - для силы тяжести, - для силы упругости, - для сил кулоновского взаимодействия, и, наконец, - для силы всемирного тяготения. Оказывается, что именно замечательное свойство потенциальных сил, легшее в основу их определения, и позволяется ввести для них понятия соответствующих потенциальных энергий. В общем случае это делается следующим образом. Пусть при переносе тела из точки 1 в точку 2 потенциальная сила совершила работу Тогда, по определению, говорят, что разность значений соответствующей потенциальной энергии в точках 2 и 1 равна Поскольку это определение содержит всегда только разность потенциальных энергий в двух точках, потенциальная энергия всегда оказывается определенной с точностью до константы. Это должен быть хорошо известный вам факт. Применим теперь это к данной задаче.

Нам требуется найти работу силы тяжести, для силы тяжести мы знаем, что такое потенциальная энергия. По выписанной ранее формуле получаем. Что искомая работа равна изменению потенциальной энергии тела, взятой со знаком минус. Высота тела над поверхностностью Земли увеличилась на следовательно, его энергия увеличилась на

А значит, работа силы тяжести равна

В качестве закрепления материала, предлагаю рассмотреть следующую задачу. С поверхности Земли стартует ракета массой Определите, какую работу совершит сила притяжения со стороны Земли к тому моменту, когда ракета будет находиться на расстоянии двух земных радиусов от центра Земли.

Решение.

Использовать в лоб формулу «» не удастся, поскольку сила притяжения уменьшается по мере удаления от Земли, единственный шанс применить эту формулу - начать интегрировать. Мы это оставим и попробуем ещё раз применить наши знания. Сила притяжения к Земле является потенциальной. Для неё мы знаем величину потенциальной энергии. Определим на сколько изменится потенциальная энергия ракеты.

Следовательно, сила притяжения совершила работу

Как и ожидалось, эта работа отрицательна.

Пример для самостоятельного разбора:

Пружина жесткостью 10 Н/м растянута на 5 см, какую работу совершит сила упругости при её растяжении ещё на 5 см?

На поверхности Земли сила тяжести (гравитация ) постоянна и равна произведению массы падающего тела на ускорение свободного падения: F g = mg

Следует заметить, что ускорение свободного падения величина постоянная: g=9,8 м/с 2 , и направлена к центру Земли. Исходя из этого можно сказать, что тела с разной массой будут падать на Землю одинаково быстро. Как же так? Если бросить с одинаковой высоты кусочек ваты и кирпич, то последний проделает свой путь до земли быстрее. Не забывайте о сопротивлении воздуха! Для ваты оно будет существенным, поскольку ее плотность очень мала. В безвоздушном пространстве кирпич и вата упадут одновременно.

Шар движется по наклонной плоскости длиной 10 метров, угол наклона плоскости 30°. Какова будет скорость шара в конце плоскости?

На шар действует только сила тяжести F g , направленная вниз перпендикулярно к основанию плоскости. Под действием этой силы (составляющей, направленной вдоль поверхности плоскости) шар будет двигаться. Чему будет равна составляющая силы тяжести, действующей вдоль наклонной плоскости?

Для определения составляющей необходимо знать угол между вектором силы F g и наклонной плоскостью.

Определить угол довольно просто:

• сумма углов любого треугольника равна 180°;
• угол между вектором силы F g и основанием наклонной плоскости равен 90°;
• угол между наклонной плоскостью и ее основанием равен α

Исходя из вышесказанного, искомый угол будет равен: 180° - 90° - α = 90° - α

Из тригонометрии:

F g накл = F g ·cos(90°-α)

Sinα = cos(90°-α)

F g накл = F g ·sinα

Это действительно так:

• при α=90° (вертикальная плоскость) F g накл = F g
• при α=0° (горизонтальная плоскость) F g накл = 0

Определим ускорение шара из известной формулы:

F g ·sinα = m·a

A = F g ·sinα/m

A = m·g·sinα/m = g·sinα

Ускорение шара вдоль наклонной плоскости не зависит от массы шара, а только от угла наклона плоскости.

Определяем скорость шара в конце плоскости:

V 1 2 - V 0 2 = 2·a·s

(V 0 =0) - шар начинает движение с места

V 1 2 = √2·a·s

V = 2·g·sinα·S = √2·9,8·0,5·10 = √98 = 10 м/с

Обратите внимание на формулу! Скорость тела в конце наклонной плоскости будет зависеть только от угла наклона плоскости и ее длины.

В нашем случае скорость 10 м/с в конце плоскости будет иметь и бильярдный шар, и легковой автомобиль, и самосвал, и школьник на санках. Конечно же, трение мы не учитываем.