Εξισώσεις EGE. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά σε βασικό και εξειδικευμένο επίπεδο
Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν είναι απαραίτητο, σύμφωνα με το νόμο, δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων ερευνών ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον κατάλληλο διάδοχο τρίτο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.
Σήμερα θα εκπαιδεύσουμε την ικανότητα επίλυσης της εργασίας 5 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης - βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης. Ας αναζητήσουμε τη ρίζα της εξίσωσης. Ας δούμε παραδείγματα επίλυσης αυτού του τύπου εργασίας. Αλλά πρώτα, ας θυμηθούμε τι σημαίνει να βρούμε τη ρίζα μιας εξίσωσης;
Αυτό σημαίνει να βρούμε έναν αριθμό κρυπτογραφημένο κάτω από το x, τον οποίο θα αντικαταστήσουμε στη θέση του x και η εξίσωσή μας θα είναι μια πραγματική ισότητα.
Για παράδειγμα, το 3x=9 είναι μια εξίσωση και το 3 . Το 3=9 είναι ήδη μια πραγματική ισότητα. Δηλαδή μέσα σε αυτήν την περίπτωση, αντικαταστήσαμε τον αριθμό 3 αντί του x - πήραμε τη σωστή έκφραση ή ισότητα, αυτό σημαίνει ότι λύσαμε την εξίσωση, δηλαδή βρήκαμε τον δεδομένο αριθμό x = 3, που μετατρέπει την εξίσωση σε σωστή ισότητα.
Αυτό θα κάνουμε - θα βρούμε τη ρίζα της εξίσωσης.
Εργασία 1 - βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης 2 1-4x =32
Αυτή είναι μια εκθετική εξίσωση. Λύνεται με τον εξής τρόπο: είναι απαραίτητο τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά του σημείου «ίσος» να υπάρχει μια μοίρα με την ίδια βάση.
Στα αριστερά έχουμε μια βάση βαθμού 2, και στα δεξιά δεν υπάρχει καθόλου βαθμός. Αλλά ξέρουμε ότι το 32 είναι 2 στην πέμπτη δύναμη. Δηλαδή 32=2 5
Έτσι, η εξίσωσή μας θα μοιάζει με αυτό: 2 1-4x = 2 5
Αριστερά και δεξιά, οι εκθέτες μας είναι ίδιοι, που σημαίνει ότι για να έχουμε ισότητα, πρέπει και οι εκθέτες να είναι ίσοι:
Παίρνουμε συνηθισμένη εξίσωση. Λύνουμε με τον συνηθισμένο τρόπο - αφήνουμε όλα τα άγνωστα στα αριστερά και μετακινούμε τα γνωστά προς τα δεξιά, παίρνουμε:
Ας ελέγξουμε: 2 1-4(-1) =32
Βρήκαμε τη ρίζα της εξίσωσης. Απάντηση: x=-1.
Βρείτε μόνοι σας τη ρίζα της εξίσωσης στις παρακάτω εργασίες:
β) 2 1-3x =128
Εργασία 2 - βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης
Λύνουμε την εξίσωση με παρόμοιο τρόπο - μειώνοντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης στην ίδια βάση ισχύος. Στην περίπτωσή μας - στη βάση του βαθμού 2.
Χρησιμοποιούμε την ακόλουθη ιδιότητα πτυχίου:
Χρησιμοποιώντας αυτήν την ιδιότητα, παίρνουμε για τη δεξιά πλευρά της εξίσωσής μας:
Αν οι βάσεις του βαθμού είναι ίσες, τότε οι εκθέτες είναι ίσοι:
Απάντηση: x=9.
Ας κάνουμε έναν έλεγχο - να αντικαταστήσουμε την τιμή του x που βρέθηκε στην αρχική εξίσωση - αν έχουμε τη σωστή ισότητα, τότε έχουμε λύσει σωστά την εξίσωση.
Βρήκαμε σωστά τη ρίζα της εξίσωσης.
Εργασία 3 - βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης
Σημειώστε ότι στα δεξιά έχουμε το 1/8 και το 1/8 είναι
Τότε η εξίσωσή μας θα γραφτεί ως:
Αν οι βάσεις του βαθμού είναι ίσες, τότε οι εκθέτες είναι ίσοι, παίρνουμε μια απλή εξίσωση:
Απάντηση: x=5. Κάντε τον έλεγχο μόνοι σας.
Εργασία 4 - βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης log 3 (15's)=log 3 2
Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί με τον ίδιο τρόπο όπως η εκθετική. Χρειαζόμαστε οι βάσεις των λογαρίθμων στα αριστερά και δεξιά του ίσου να είναι ίδιες. Τώρα είναι τα ίδια, που σημαίνει ότι εξισώνουμε εκείνες τις εκφράσεις που βρίσκονται κάτω από το πρόσημο των λογαρίθμων:
Απάντηση: x=13
Εργασία 5 - βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης log 3 (3-x)=3
Ο αριθμός 3 είναι log 3 27. Για να γίνει σαφές, κάτω από τον δείκτη κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου είναι ο αριθμός που αυξάνεται στην ισχύ, στην περίπτωσή μας 3, κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου είναι ο αριθμός που λήφθηκε όταν αυξήθηκε στην ισχύ - αυτό είναι 27, και ο ίδιος ο λογάριθμος είναι εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί το 3 για να ληφθεί 27.
Κοίτα την εικόνα:
Έτσι, οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να γραφτεί ως λογάριθμος. Σε αυτή την περίπτωση, είναι πολύ βολικό να γράψουμε τον αριθμό 3 ως λογάριθμο με βάση το 3. Παίρνουμε:
log 3 (3-x)=log 3 27
Οι βάσεις των λογαρίθμων είναι ίσες, πράγμα που σημαίνει ότι οι αριθμοί κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου είναι ίσοι:
Ας ελέγξουμε:
ημερολόγιο 3 (3-(-24))=ημερολόγιο 3 27
ημερολόγιο 3 (3+24)= ημερολόγιο 3 27
ημερολόγιο 3 27 = ημερολόγιο 3 27
Απάντηση: x=-24.
Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης. Εργασία 6.
ημερολόγιο 2 (x+3)=ημερολόγιο 2 (3x-15)
Έλεγχος: ημερολόγιο 2 (9+3)=ημερολόγιο 2 (27-15)
ημερολόγιο 2 12 = ημερολόγιο 2 12
Απάντηση: x=9.
Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης. Εργασία 7.
log 2 (14-2x)=2log 2 3
log 2 (14-2x)=log 2 3 2
Έλεγχος: log 2 (14-5)=2log 2 3
log 2 9=2log 2 3
ημερολόγιο 2 3 2 = 2 ημερολόγιο 2 3
2log 2 3=2log 2 3
Απάντηση: x=2,5
Προετοιμαστείτε για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους και τις Εξετάσεις Ενιαίας Πολιτείας - δείτε τα προηγούμενα θέματα και.
Το μάθημα βίντεο «Get an A» περιλαμβάνει όλα τα απαραίτητα θέματα για επιτυχία περνώντας από την Ενιαία Κρατική Εξέτασηστα μαθηματικά για 60-65 μονάδες. Πλήρως όλες οι εργασίες 1-13 του Προφίλ Unified State Exam στα μαθηματικά. Κατάλληλο και για επιτυχία στη Βασική Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Αν θέλετε να περάσετε τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους με 90-100 μόρια, πρέπει να λύσετε το μέρος 1 σε 30 λεπτά και χωρίς λάθη!
Μάθημα προετοιμασίας για την Ενιαία Κρατική Εξέταση για τις τάξεις 10-11, καθώς και για εκπαιδευτικούς. Όλα όσα χρειάζεστε για να λύσετε το Μέρος 1 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά (τα πρώτα 12 προβλήματα) και το πρόβλημα 13 (τριγωνομετρία). Και αυτά είναι περισσότερα από 70 μόρια στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και ούτε ένας μαθητής 100 βαθμών ούτε ένας φοιτητής ανθρωπιστικών επιστημών μπορεί να τα κάνει χωρίς αυτά.
Όλη η απαραίτητη θεωρία. Γρήγορες λύσεις, παγίδες και μυστικά της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Όλες οι τρέχουσες εργασίες του μέρους 1 από την τράπεζα εργασιών FIPI έχουν αναλυθεί. Το μάθημα συμμορφώνεται πλήρως με τις απαιτήσεις της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης 2018.
Το μάθημα περιέχει 5 μεγάλα θέματα, 2,5 ώρες το καθένα. Κάθε θέμα δίνεται από την αρχή, απλά και ξεκάθαρα.
Εκατοντάδες εργασίες Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Προβλήματα λέξεων και θεωρία πιθανοτήτων. Απλοί και εύκολοι στην απομνημόνευση αλγόριθμοι για την επίλυση προβλημάτων. Γεωμετρία. Θεωρία, υλικό αναφοράς, ανάλυση όλων των τύπων εργασιών Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Στερεομετρία. Δύσκολες λύσεις, χρήσιμα cheat sheets, ανάπτυξη χωρικής φαντασίας. Τριγωνομετρία από το μηδέν στο πρόβλημα 13. Κατανόηση αντί να στριμώχνω. Σαφείς εξηγήσεις περίπλοκων εννοιών. Αλγεβρα. Ρίζες, δυνάμεις και λογάριθμοι, συνάρτηση και παράγωγος. Μια βάση για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων του Μέρους 2 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης.
Εξισώσεις, μέρος $C$
Μια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο αριθμό, που υποδεικνύεται με ένα γράμμα, ονομάζεται εξίσωση. Η έκφραση στα αριστερά του πρόσημου ίσου ονομάζεται αριστερή πλευρά της εξίσωσης και η έκφραση στα δεξιά ονομάζεται δεξιά πλευρά της εξίσωσης.
Σχέδιο επίλυσης μιγαδικών εξισώσεων:
- Πριν λύσετε μια εξίσωση, πρέπει να γράψετε την περιοχή για αυτήν αποδεκτές τιμές(ODZ).
- Λύστε την εξίσωση.
- Επιλέξτε από τις προκύπτουσες ρίζες της εξίσωσης αυτές που ικανοποιούν την ODZ.
ODZ διαφόρων εκφράσεων (με έκφραση εννοούμε αλφαριθμητικό συμβολισμό):
1. Η έκφραση στον παρονομαστή δεν πρέπει να είναι ίση με μηδέν.
$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$
2. Η ριζική έκφραση δεν πρέπει να είναι αρνητική.
$√(g(x)); g(x) ≥ 0$.
3. Η ριζική έκφραση στον παρονομαστή πρέπει να είναι θετική.
$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0$
4. Για έναν λογάριθμο: η υπολογαριθμική έκφραση πρέπει να είναι θετική. η βάση πρέπει να είναι θετική. Η βάση δεν μπορεί να ισούται με ένα.
$log_(f(x))g(x)\table\(\g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$
Λογαριθμικές εξισώσεις
Οι λογαριθμικές εξισώσεις είναι εξισώσεις της μορφής $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, όπου το $a$ είναι ένας θετικός αριθμός διαφορετικός από το $1$ και εξισώσεις που μειώνονται σε αυτήν τη μορφή.
Για να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις, πρέπει να γνωρίζετε τις ιδιότητες των λογαρίθμων: θα εξετάσουμε όλες τις ιδιότητες των λογαρίθμων για $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό.
1. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $m$ και $n$ οι ισότητες είναι αληθείς:
$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$
$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$
$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$
$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$
$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$
$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$
2. Ο λογάριθμος του γινομένου είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων στην ίδια βάση κάθε παράγοντα.
$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$
3. Ο λογάριθμος ενός πηλίκου είναι ίσος με τη διαφορά μεταξύ των λογαρίθμων του αριθμητή και του παρονομαστή χρησιμοποιώντας την ίδια βάση
$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$
4. Όταν πολλαπλασιάζετε δύο λογάριθμους, μπορείτε να αλλάξετε τις βάσεις τους
$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$, εάν $a, b, c$ και $d > 0, a≠1, b≠1.$
5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, όπου $a, b, c > 0, a≠1$
6. Φόρμουλα μετακίνησης σε νέα βάση
$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$
7. Ειδικότερα, εάν είναι απαραίτητο να γίνει εναλλαγή βάσης και υπολογαριθμικής έκφρασης
$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$
Υπάρχουν διάφοροι κύριοι τύποι λογαριθμικών εξισώσεων:
Οι απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις: $log_(a)x=b$. Η λύση αυτού του τύπου εξίσωσης προκύπτει από τον ορισμό του λογάριθμου, δηλ. $x=a^b$ και $x > 0$
Ας αναπαραστήσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης ως λογάριθμο με βάση το $2$
$log_(2)x=log_(2)2^3$
Αν οι λογάριθμοι με την ίδια βάση είναι ίσοι, τότε και οι υπολογαριθμικές παραστάσεις είναι ίσες.
Απάντηση: $x = 8$
Εξισώσεις της μορφής: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. Επειδή οι βάσεις είναι ίδιες, τότε εξισώνουμε τις υπολογαριθμικές εκφράσεις και λαμβάνουμε υπόψη το ODZ:
$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, а > 0, а≠1;$
$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$
Επειδή οι βάσεις είναι ίδιες, τότε εξισώνουμε τις υπολογαριθμικές εκφράσεις
Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους
Ας ελέγξουμε τις ρίζες που βρέθηκαν σύμφωνα με τις συνθήκες $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$
Κατά την αντικατάσταση της δεύτερης ανισότητας, η ρίζα $x=4$ δεν ικανοποιεί τη συνθήκη, επομένως, είναι μια ξένη ρίζα
Απάντηση: $x=-3$
- Μεταβλητή μέθοδος αντικατάστασης.
Σε αυτή τη μέθοδο χρειάζεστε:
- Γράψτε τις εξισώσεις ODZ.
- Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων, βεβαιωθείτε ότι οι εξισώσεις παράγουν πανομοιότυπους λογάριθμους.
- Αντικαταστήστε την $log_(a)f(x)$ με οποιαδήποτε μεταβλητή.
- Λύστε την εξίσωση για τη νέα μεταβλητή.
- Επιστρέψτε στο βήμα 3, αντικαταστήστε την τιμή για τη μεταβλητή και λάβετε την απλούστερη εξίσωση της φόρμας: $log_(a)x=b$
- Λύστε την απλούστερη εξίσωση.
- Μετά την εύρεση των ριζών λογαριθμική εξίσωσηείναι απαραίτητο να τα βάλετε στην παράγραφο 1 και να ελέγξετε την κατάσταση του ODZ.
Λύστε την εξίσωση $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$
1. Ας γράψουμε την εξίσωση ODZ:
$\table\(\ x>0,\text"αφού είναι κάτω από το πρόσημο της ρίζας και του λογαρίθμου";\ √x≠1→x≠1;$
2. Ας κάνουμε λογάριθμους στη βάση $2$, για αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα για τη μετάβαση σε μια νέα βάση στον δεύτερο όρο:
$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$
4. Λαμβάνουμε μια κλασματική ορθολογική εξίσωση για τη μεταβλητή t
Ας μειώσουμε όλους τους όρους σε έναν κοινό παρονομαστή $t$.
$(t^2+2-3t)/(t)=0$
Ένα κλάσμα ισούται με μηδέν όταν ο αριθμητής είναι μηδέν και ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν.
$t^2+2-3t=0$, $t≠0$
5. Ας λύσουμε το αποτέλεσμα τετραγωνική εξίσωσησύμφωνα με το θεώρημα του Vieta:
6. Ας επιστρέψουμε στο βήμα 3, κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση και πάρουμε δύο απλές λογαριθμικές εξισώσεις:
$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$
Ας λογαριθμήσουμε τις δεξιές πλευρές των εξισώσεων
$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$
Ας εξισώσουμε τις υπολογαριθμικές εκφράσεις
$√x=2$, $√x=4$
Για να απαλλαγούμε από τη ρίζα, ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης
$х_1=4$, $х_2= 16$
7. Ας αντικαταστήσουμε τις ρίζες της λογαριθμικής εξίσωσης στο βήμα 1 και ας ελέγξουμε τη συνθήκη ODZ.
$\(\πίνακας\ 4 >0; \4≠1;$
Η πρώτη ρίζα ικανοποιεί το ODZ.
$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ Η δεύτερη ρίζα ικανοποιεί επίσης το ODZ.
Απάντηση: $4; $16
- Εξισώσεις της μορφής $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. Τέτοιες εξισώσεις λύνονται με την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής και τη μετάβαση σε μια συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση. Αφού βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης, πρέπει να επιλεγούν λαμβάνοντας υπόψη το ODZ.
Κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις
- Αν ένα κλάσμα είναι μηδέν, τότε ο αριθμητής είναι μηδέν και ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν.
- Εάν τουλάχιστον ένα μέρος μιας ορθολογικής εξίσωσης περιέχει ένα κλάσμα, τότε η εξίσωση ονομάζεται κλασματική-ορθολογική.
Για να λύσετε μια κλασματική ορθολογική εξίσωση, πρέπει:
- Βρείτε τις τιμές της μεταβλητής στην οποία η εξίσωση δεν έχει νόημα (ODZ)
- Να βρείτε τον κοινό παρονομαστή των κλασμάτων που περιλαμβάνονται στην εξίσωση.
- Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον κοινό παρονομαστή.
- Λύστε την εξίσωση που προκύπτει.
- Εξαιρέστε από τις ρίζες του όσα δεν ικανοποιούν την συνθήκη ODZ.
- Εάν μια εξίσωση περιλαμβάνει δύο κλάσματα και οι αριθμητές είναι οι ίσες εκφράσεις τους, τότε οι παρονομαστές μπορούν να εξισωθούν μεταξύ τους και η εξίσωση που προκύπτει μπορεί να λυθεί χωρίς να δοθεί προσοχή στους αριθμητές. ΑΛΛΑ λαμβάνοντας υπόψη το ODZ ολόκληρης της αρχικής εξίσωσης.
Εκθετικές εξισώσεις
Εκθετικές εξισώσεις είναι εκείνες στις οποίες ο άγνωστος περιέχεται στον εκθέτη.
Κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες των δυνάμεων, ας θυμηθούμε μερικές από αυτές:
1. Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις, η βάση παραμένει η ίδια και οι εκθέτες προστίθενται.
$a^n·a^m=a^(n+m)$
2. Κατά τη διαίρεση μοιρών με τις ίδιες βάσεις, η βάση παραμένει η ίδια και οι εκθέτες αφαιρούνται
$a^n:a^m=a^(n-m)$
3. Κατά την αύξηση ενός βαθμού σε μια ισχύ, η βάση παραμένει η ίδια, αλλά οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται
$(a^n)^m=a^(n∙m)$
4. Όταν ανεβάζετε ένα προϊόν σε μια ισχύ, κάθε παράγοντας αυξάνεται σε αυτήν την ισχύ
$(a b)^n=a^n b^n$
5. Κατά την αύξηση ενός κλάσματος σε δύναμη, ο αριθμητής και ο παρονομαστής αυξάνονται σε αυτή τη δύναμη
$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$
6. Όταν οποιαδήποτε βάση αυξάνεται σε μηδενικό εκθέτη, το αποτέλεσμα είναι ίσο με ένα
7. Μια βάση σε οποιονδήποτε αρνητικό εκθέτη μπορεί να αναπαρασταθεί ως βάση στον ίδιο θετικό εκθέτη αλλάζοντας τη θέση της βάσης σε σχέση με τη διαδρομή του κλάσματος
$a^(-n)=(1)/(a^n)$
$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$
8. Μια ρίζα (ρίζα) μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη με κλασματικό εκθέτη
$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$
Τύποι εκθετικών εξισώσεων:
1. Απλές εκθετικές εξισώσεις:
α) Η μορφή $a^(f(x))=a^(g(x))$, όπου $a >0, a≠1, x$ είναι άγνωστη. Για να λύσουμε τέτοιες εξισώσεις, χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των δυνάμεων: οι δυνάμεις με την ίδια βάση ($a >0, a≠1$) είναι ίσες μόνο αν οι εκθέτες τους είναι ίσοι.
β) Εξίσωση της μορφής $a^(f(x))=b, b>0$
Για να λυθούν τέτοιες εξισώσεις, και οι δύο πλευρές πρέπει να ληφθούν λογαριθμικά στη βάση $a$, αποδεικνύεται
$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$
2. Μέθοδος ισοπέδωσης βάσης.
3. Μέθοδος παραγοντοποίησης και αντικατάστασης μεταβλητών.
- Για αυτή τη μέθοδο, σε ολόκληρη την εξίσωση, σύμφωνα με την ιδιότητα των δυνάμεων, είναι απαραίτητο να μετατραπούν οι δυνάμεις σε μία μορφή $a^(f(x))$.
- Κάντε μια αλλαγή της μεταβλητής $a^(f(x))=t, t > 0$.
- Λαμβάνουμε μια ορθολογική εξίσωση που πρέπει να λυθεί με παραγοντοποίηση της παράστασης.
- Κάνουμε αντίστροφες αντικαταστάσεις λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι $t >
Λύστε την εξίσωση $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$
Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των δυνάμεων, μετασχηματίζουμε την έκφραση έτσι ώστε να έχουμε την ισχύ 2^x.
$(2^x)^3-(7·(2^x)^2)/(2)+(7·2^x)/(2-1)=0$
Ας αλλάξουμε τη μεταβλητή $2^x=t; t>0$
Λαμβάνουμε μια κυβική εξίσωση της μορφής
$t^3-(7 t^2)/(2)+(7 t)/(2)-1=0$
Πολλαπλασιάστε ολόκληρη την εξίσωση με $2$ για να απαλλαγείτε από τους παρονομαστές
$2t^3-7 t^2+7 t-2=0$
Ας επεκτείνουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ομαδοποίησης
$(2t^3-2)-(7 t^2-7 t)=0$
Ας αφαιρέσουμε τον κοινό παράγοντα $2$ από την πρώτη αγκύλη και $7t$ από τη δεύτερη
$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$
Επιπλέον, στην πρώτη αγκύλη βλέπουμε τη διαφορά τύπου των κύβων
$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$
Το γινόμενο είναι μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν
1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$
Ας λύσουμε την πρώτη εξίσωση
Ας λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση μέσω της διάκρισης
$D=25-4·2·2=9=3^2$
$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$
$t_3=(5+3)/(4)=2$
$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$
$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$
$x_1=0; x_2=-1; x_3=1$
Απάντηση: $-1; 0; 1$
4. Μέθοδος μετατροπής τετραγωνικών εξισώσεων
- Έχουμε μια εξίσωση της μορφής $A·a^(2f(x))+B·a^(f(x))+C=0$, όπου οι $A, B$ και $C$ είναι συντελεστές.
- Κάνουμε την αντικατάσταση $a^(f(x))=t, t > 0$.
- Το αποτέλεσμα είναι μια τετραγωνική εξίσωση της μορφής $A·t^2+B·t+С=0$. Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει.
- Κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι $t > 0$. Παίρνουμε την απλούστερη εκθετική εξίσωση $a^(f(x))=t$, τη λύνουμε και γράφουμε το αποτέλεσμα ως απάντηση.
Μέθοδοι παραγοντοποίησης:
- Βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων.
Για να παραμετροποιήσετε ένα πολυώνυμο αφαιρώντας τον κοινό παράγοντα από αγκύλες, πρέπει:
- Προσδιορίστε τον κοινό παράγοντα.
- Διαιρέστε το δοσμένο πολυώνυμο με αυτό.
- Γράψτε το γινόμενο του κοινού παράγοντα και του πηλίκου που προκύπτει (περικλείοντας αυτό το πηλίκο σε παρένθεση).
Συντελεστής το πολυώνυμο: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.
Ο κοινός παράγοντας αυτού του πολυωνύμου είναι $2a$, αφού όλοι οι όροι διαιρούνται με $2$ και "a". Στη συνέχεια, βρίσκουμε το πηλίκο της διαίρεσης του αρχικού πολυωνύμου με το "2a", παίρνουμε:
$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$
Αυτό είναι το τελικό αποτέλεσμα της παραγοντοποίησης.
Χρήση συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού
1. Το τετράγωνο του αθροίσματος διασπάται στο τετράγωνο του πρώτου αριθμού συν το διπλάσιο του γινόμενου του πρώτου αριθμού και του δεύτερου αριθμού και συν το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού.
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. Το τετράγωνο της διαφοράς διασπάται στο τετράγωνο του πρώτου αριθμού μείον το διπλάσιο του γινόμενου του πρώτου αριθμού και του δεύτερου και συν το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού.
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
3. Η διαφορά των τετραγώνων διασπάται στο γινόμενο της διαφοράς των αριθμών και του αθροίσματος τους.
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
4. Ο κύβος του αθροίσματος είναι ίσος με τον κύβο του πρώτου αριθμού συν τριπλάσιο το γινόμενο του τετραγώνου του πρώτου με τον δεύτερο αριθμό συν τριπλάσιο το γινόμενο του πρώτου κατά το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού συν τον κύβο του δεύτερου αριθμός.
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
5. Ο κύβος της διαφοράς είναι ίσος με τον κύβο του πρώτου αριθμού μείον το τριπλό γινόμενο του τετραγώνου του πρώτου αριθμού με τον δεύτερο αριθμό συν το τριπλό γινόμενο του πρώτου με το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού και μείον τον κύβο του ο δεύτερος αριθμός.
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
6. Το άθροισμα των κύβων ισούται με το γινόμενο του αθροίσματος των αριθμών και του μερικού τετραγώνου της διαφοράς.
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
7. Η διαφορά των κύβων είναι ίση με το γινόμενο της διαφοράς των αριθμών και του ημιτελούς τετραγώνου του αθροίσματος.
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Μέθοδος ομαδοποίησης
Η μέθοδος ομαδοποίησης είναι βολική στη χρήση όταν είναι απαραίτητο να συντελεστεί ένα πολυώνυμο με ζυγό αριθμό όρων. Σε αυτή τη μέθοδο, είναι απαραίτητο να συγκεντρωθούν οι όροι σε ομάδες και να αφαιρεθεί ο κοινός παράγοντας από κάθε ομάδα. Μετά την τοποθέτησή τους σε αγκύλες, πολλές ομάδες θα πρέπει να λάβουν πανομοιότυπες εκφράσεις, στη συνέχεια παίρνουμε αυτήν την αγκύλα ως κοινό παράγοντα και την πολλαπλασιάζουμε με την αγκύλα του πηλίκου που προκύπτει.
Συντελεστής το πολυώνυμο $2a^3-a^2+4a-2$
Για να αποσυνθέσουμε αυτό το πολυώνυμο, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο ομαδοποίησης όρων για να το κάνουμε αυτό, θα ομαδοποιήσουμε τους δύο πρώτους και τους δύο τελευταίους όρους, και είναι σημαντικό να τοποθετήσουμε σωστά το πρόσημο μπροστά από τη δεύτερη ομαδοποίηση υπογράψτε και άρα γράψτε τους όρους με τα σημάδια τους σε παρένθεση.
$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$
Αφού αφαιρέσαμε τους κοινούς παράγοντες, πήραμε ένα ζευγάρι πανομοιότυπες αγκύλες. Τώρα παίρνουμε αυτήν την παρένθεση ως κοινό παράγοντα.
$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$
Το γινόμενο αυτών των παρενθέσεων είναι το τελικό αποτέλεσμα της παραγοντοποίησης.
Χρησιμοποιώντας τον τετραγωνικό τριωνυμικό τύπο.
Εάν υπάρχει ένα τετράγωνο τριώνυμο της μορφής $ax^2+bx+c$, τότε μπορεί να επεκταθεί σύμφωνα με τον τύπο
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, όπου $x_1$ και $x_2$ είναι οι ρίζες του τετραγωνικού τριωνύμου