État de contrainte linéaire. Etat de contrainte plane, déformation plane Cas général de l'état de contrainte plane

Si tous les vecteurs de contrainte sont parallèles au même plan, l'état de contrainte est appelé plan (Fig. 1). Sinon : l'état de contrainte est plat si l'une des trois contraintes principales est nulle.

Image 1.

Un état de contrainte plane est réalisé dans une plaque chargée le long de son contour avec des forces dont les résultantes sont situées dans son plan médian (le plan médian est un plan divisant l'épaisseur de la plaque en deux).

Directions de contrainte sur la Fig. 1 sont considérés comme positifs. L'angle α est positif s'il est tracé de l'axe des x à l'axe des y. Sur un site avec n normal :

La contrainte normale σ n est positive si elle est en traction. La tension positive est indiquée sur la Fig. 1. La règle des signes pour la formule (1) est la même que pour les contraintes selon la formule (1).

La règle de signalisation donnée ici s'applique aux plates-formes inclinées. Dans l'article "État de contrainte volumique" une règle de signe a été formulée pour les composantes de contrainte en un point, c'est-à-dire pour les contraintes sur les zones perpendiculaires aux axes de coordonnées. Cette règle de signe est acceptée dans la théorie de l'élasticité.

Contraintes principales sur les zones perpendiculaires au plan de contrainte :

(Puisque seules deux contraintes principales sont considérées ici, elles sont notées σ 1 et σ 2, bien qu'il puisse s'avérer que σ 2<0, т. е. σ 2 не будет средним из трех главных напряжений). Угол α 1 составляемый нормалью к первой главной площадке с осью х, находится из равенства:

Ces contraintes agissent sur des zones situées sous un angle de 45° par rapport aux première et deuxième zones principales.

Si les contraintes principales σ 1 et σ 2 ont le même signe, alors la contrainte tangentielle la plus grande agit sur une zone située à un angle de 45° par rapport au plan de contrainte (plan xy). Dans ce cas:

Dans le mur d'une poutre (nous entendons ici une poutre ordinaire, pas un mur de poutre), lorsqu'elle est courbée par des forces, un cas particulier d'état de contrainte plane est réalisé. Dans les parois de la poutre, une des contraintes normales σ y est égale à zéro. Dans ce cas, les contraintes seront obtenues selon les formules (1), (2) et (4), si dans ces formules on met σ y =0. La position de la première plate-forme principale est déterminée par la formule (3).

ÉTIREMENT DANS LES DEUX DIRECTIONS(Figure 2).

Fondements de la théorie de l'élasticité

Conférence 4

Problème plan de la théorie de l'élasticité

Diapositive 2

Dans la théorie de l'élasticité, il existe une large classe de problèmes qui sont importants en termes d'applications pratiques et permettent en même temps des simplifications significatives de l'aspect mathématique de la solution. La simplification réside dans le fait que dans ces problèmes, l'un des axes de coordonnées du corps, par exemple l'axe z, peut être ignoré et tous les phénomènes peuvent être considérés comme se produisant dans un plan de coordonnées x0y du corps chargé. Dans ce cas, les contraintes, déformations et déplacements seront fonctions de deux coordonnées - x et y.

Un problème considéré en deux coordonnées s’appelle problème plan de la théorie de l'élasticité.

Sous le terme " problème plan de la théorie de l'élasticité« Combiner deux problèmes physiquement différents, conduisant à des dépendances mathématiques très similaires :

1) le problème d'un état déformé plan (déformation plane) ;

2) le problème d'un état de contrainte plane.

Ces problèmes sont le plus souvent caractérisés par une différence significative entre une taille géométrique et deux autres tailles des corps considérés : grande longueur dans le premier cas et faible épaisseur dans le second cas.

Souche plane

La déformation est dite plate si les mouvements de tous les points du corps ne peuvent se produire que dans deux directions dans un même plan et ne dépendent pas de la coordonnée normale à ce plan, c'est-à-dire

u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4.1)

La déformation plane se produit dans les corps prismatiques ou cylindriques longs avec un axe parallèle à l'axe z, le long duquel une charge agit le long de la surface latérale, perpendiculaire à cet axe et ne variant pas en ampleur le long de celui-ci.

Un exemple de déformation plane est l'état de contrainte-déformation qui se produit dans un long barrage droit et une longue voûte d'un tunnel souterrain (Fig. 4.1).

Figure – 4.1. Une déformation plane se produit dans le corps du barrage et dans la toiture du tunnel souterrain.

Diapositive 3

En substituant les composantes du vecteur déplacement (4.1) dans les formules de Cauchy (2.14), (2.15), on obtient :

(4.2)

L'absence de déformations linéaires dans la direction de l'axe z conduit à l'apparition de contraintes normales σ z. De la formule de la loi de Hooke (3.2) pour la déformation ε z il résulte que

d'où l'on obtient l'expression de la contrainte σ z :

(4.3)

En substituant cette relation dans les deux premières formules de la loi de Hooke, on trouve :

(4.4)

Diapositive 4

De l'analyse des formules (4.2) − (4.4) et (3.2), il s'ensuit également que

Ainsi, les équations de base de la théorie tridimensionnelle de l'élasticité dans le cas d'une déformation plane sont considérablement simplifiées.

Des trois équations différentielles de l'équilibre de Navier (2.2), il ne reste que deux équations :

(4.5)

et le troisième se transforme en identité.

Puisque la direction cosinus est partout sur la surface latérale n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, alors des trois conditions sur la surface (2.4) il ne reste que deux équations :

(4.6)

où l, m sont les cosinus directeurs de la normale externe và la surface du contour ;

X, Oui, X v,Y v– composantes des forces volumiques et intensité des charges superficielles externes sur les axes x et y, respectivement.

Diapositive 5

Les six équations de Cauchy (2.14), (2.15) se réduisent à trois :

(4.7)

Des six équations de continuité pour les déformations de Saint-Venant (2.17), (2.18), il reste une équation :

(4.8)

et le reste se transforme en identités.

Des six formules de la loi de Hooke (3.2), compte tenu de (4.2), (4.4), il reste trois formules :

Dans ces relations, de nouvelles constantes élastiques ont été introduites pour la forme traditionnelle de théorie de l’élasticité :

Diapositive 6

État de contrainte plane

Un état de contrainte plane se produit lorsque la longueur du même corps prismatique est petite par rapport aux deux autres dimensions. Dans ce cas, on parle d’épaisseur. Les contraintes dans le corps n'agissent que dans deux directions dans le plan de coordonnées xOy et ne dépendent pas de la coordonnée z. Un exemple d'un tel corps est une plaque mince d'épaisseur h, chargée le long de la surface latérale (nervure) avec des forces parallèles au plan de la plaque et uniformément réparties dans toute son épaisseur (Fig. 4.2).

Figure 4.2 – Plaque mince et charges qui lui sont appliquées

Dans ce cas, des simplifications similaires à celles du problème de déformation plane sont également possibles. Les composantes du tenseur de contraintes σ z, τ xz, τ yz sur les deux plans de la plaque sont égales à zéro. La plaque étant mince, on peut supposer qu’ils sont égaux à zéro à l’intérieur de la plaque. Ensuite, l'état de contrainte sera déterminé uniquement par les composantes σ x, σ y, τ xy, qui ne dépendent pas de la coordonnée z, c'est-à-dire qu'elles ne changent pas le long de l'épaisseur de la plaque, mais sont des fonctions uniquement de x et y. .

Ainsi, l’état de contrainte suivant apparaît dans une plaque mince :

Diapositive 7

En ce qui concerne les contraintes, l'état de contrainte plane diffère de la déformation plane par la condition

De plus, à partir de la formule de la loi de Hooke (3.2), prenant en compte (4.10), pour la déformation linéaire ε z on obtient qu'elle n'est pas égale à zéro :

Par conséquent, les bases de la plaque seront courbées, car des déplacements apparaîtront le long de l'axe z.

Sous ces hypothèses, les équations de base de la déformation plane : équations d'équilibre différentiel (4.5), conditions de surface (4.6), équations de Cauchy (4.7) et équations de continuité de déformation (4.8) conservent la même forme dans le problème d'un état de contrainte plane .

Les formules de la loi de Hooke prendront la forme suivante :

Les formules (4.11) diffèrent des formules (4.9) de la loi de Hooke pour la déformation plane uniquement par les valeurs des constantes élastiques : E et E 1 , v Et v 1 .

Diapositive 8

Sous sa forme inverse, la loi de Hooke s'écrira comme suit :

(4.12)

Ainsi, lors de la résolution de ces deux problèmes (déformation plane et état de contrainte plane), vous pouvez utiliser les mêmes équations et combiner les problèmes en un seul problème plan de la théorie de l'élasticité.

Il y a huit inconnues dans le problème plan de la théorie de l'élasticité :

– deux composantes du vecteur déplacement u et v ;

– trois composantes du tenseur des contraintes σ x, σ y, τ xy ;

– trois composantes du tenseur de déformation ε x, ε y, γ xy.

Huit équations sont utilisées pour résoudre le problème :

– deux équations d'équilibre différentiel (4.5) ;

– trois équations de Cauchy (4.7) ;

– trois formules de la loi de Hooke (4.9), ou (4.11).

De plus, les déformations résultantes doivent obéir à l'équation de continuité des déformations (4.8), et à la surface du corps les conditions d'équilibre (4.6) entre les contraintes internes et les intensités de charge superficielle externe X doivent être satisfaites v,Y v.

État de contrainte plane (σ z = 0; 0)

Une plaque plate est chargée dans son plan (Fig. 2.13, a). Son épaisseur δ est très faible devant les dimensions a et c. Si vous sélectionnez un élément de dimensions dх, dy et δ en n'importe quel point de la plaque, alors les contraintes σ x, σ y, τ xy et τ yx apparaîtront sur ses faces (Fig. 2.13, b).

Il n'y a pas de contraintes sur les faces latérales de cet élément : σ z = 0 ; τ zx =0 ; τ zy = 0, et nous avons un état de contrainte plan du corps, c'est-à-dire que deux faces parallèles d'un élément infinitésimal isolées en tout point du corps sont sans contrainte. Les contraintes σ x, σ y, τ xy et τ yx sont uniformément réparties dans toute l'épaisseur de la plaque.

Figure 2.13 – Schéma de détermination d'un état de contrainte plane

Dans un état de contrainte plane, l'épaisseur de la plaque change en chaque point. La déformation dans la direction de l'axe Z selon la loi de Hooke est égale à :

L'épaisseur de la plaque en chaque point due à la déformation transversale change du montant δ = z δ = - (σ x + σ y).

Souche plane( z = 0 ; σ z 0)

Nous avons un corps cylindrique très long, chargé uniformément sur toute sa longueur (Fig. 2.14, a). Disséquons mentalement ce corps en couches séparées d'épaisseur δ=1. Si ces couches étaient dans un état de contrainte plane, alors en chaque point de la plaque, l'épaisseur changerait d'une quantité Δδ. Mais en raison de l'opposition des couches voisines, cela est impossible, donc chaque couche est déformée dans des conditions (Fig. 2.14, b), où elle est pour ainsi dire prise en sandwich entre deux surfaces absolument solides, qui assurent de force les conditions d'épaisseur de couche invariable

Δδ = 0. Dans ce cas, le mouvement en tous points du corps se produit uniquement dans des plans XY parallèles (voir Fig. 2.14, b). Puisqu’il n’y a pas de mouvements de W, U, V par rapport à l’axe Z, on a :

Figure 2.14 – Schéma de détermination de la déformation plane

Il s'agit d'une déformation plane. D’après la loi de Hooke on a :

Z = (σ z - μσ x - μσ y) / E = 0.

Aux endroits où la plaque aurait dû s'épaissir, des contraintes de compression σ z apparaîtront, et aux endroits d'amincissement possible - des contraintes de traction σ z (Fig. 2.14, c) Dans les deux cas

ÉTAT DE STRESS DE L'AVION

Conférence 15

Un exemple de structure dont tous les points sont dans un état de contrainte plane est une plaque mince chargée aux extrémités par des forces qui se trouvent dans son plan. Étant donné que les surfaces latérales de la plaque sont exemptes de contraintes, en raison de la faible épaisseur de celle-ci, nous pouvons supposer qu'à l'intérieur de la plaque, dans les zones parallèles à sa surface, les contraintes sont négligeables. Une situation similaire se produit, par exemple, lors du chargement d'arbres et de poutres avec un profil à paroi mince.

Dans le cas général, lorsqu'on parle d'un état de contrainte plane, on ne parle pas de la structure entière, mais seulement du point considéré de son élément. Un signe que l'état de contrainte en un point donné est plat est la présence d'une plate-forme le traversant sur laquelle il n'y a pas de contraintes. Il s'agira notamment de points situés sur la surface extérieure du corps et exempts de charges, qui sont dans la plupart des cas dangereuses. On comprend donc l’attention portée à l’analyse de ce type d’état de stress.

Lors de la représentation d'un parallélépipède élémentaire dans un état de contrainte plate, il suffit de montrer l'une de ses faces non chargées, en l'alignant avec le plan du dessin (Fig. 15.1). Ensuite, les faces chargées de l'élément s'aligneront avec les limites du zone indiquée. Dans ce cas, le système de notation des contraintes et les règles de signes restent les mêmes - les composantes de l'état de contrainte représentées sur la figure sont positives. Prise en compte de la loi d'appariement des contraintes tangentielles

t xy = t yx, l'état de contrainte plane (PSS) est décrit par trois composants indépendants - s X, s oui, t xy. .

CONTRAINTES SUR LES PLATEFORMES INCLINÉES DANS UN ÉTAT DE CONTRAINTE PLAN

Sélectionnons parmi l'élément montré sur la Fig. 15.1, un prisme triangulaire, en le découpant mentalement avec une section inclinée perpendiculaire au plan du dessin xOy. Position de la rampe et axes associés X 1 , oui 1 sera réglé en utilisant l'angle a, qui sera considéré comme positif lorsque les axes tournent dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Comme pour le cas général décrit ci-dessus, représenté sur la Fig. 15.2, les contraintes peuvent être considérées comme agissant en un point, mais sur des zones orientées différemment. Nous trouvons les contraintes sur la plate-forme inclinée à partir de la condition d'équilibre du prisme, en les exprimant en termes de contraintes données s X, s oui, t xy sur des faces coïncidant avec des plans de coordonnées. Notons l'aire de la face inclinée dA, alors les aires des faces de coordonnées se trouvent comme suit :

dA x = dA parce qu'un ,

dA y = dA péché un .

Projetons les forces agissant sur les faces du prisme sur l'axe X 1 Andy 1:

Réduire par un facteur commun dA, et après avoir effectué des transformations élémentaires, on obtient

Si l'on prend en compte cela

les expressions (15.1) peuvent prendre la forme finale suivante :

En figue. 15.3, avec l'original, un élément infinitésimal est représenté, orienté le long des axes X 1 ,oui 1 . Contraintes sur ses faces normales à l'axe X 1 sont déterminés par les formules (15.2). Pour trouver la contrainte normale sur une face perpendiculaire à l'axe oui 1, il est extrêmement important de substituer la valeur a + 90° à la place de l'angle a :

Contraintes tangentielles dans un système de coordonnées pivoté X 1 oui 1 obéir à la loi de l'appariement, c'est-à-dire

La somme des contraintes normales, comme le montre l'analyse de l'état de contrainte volumétrique, est l'un de ses invariants et doit rester constante lors du remplacement d'un système de coordonnées par un autre. Ceci peut être facilement vérifié en additionnant les contraintes normales déterminées à partir des formules (15.2), (15.3) :

PRINCIPALES CONTRAINTES

Auparavant, nous avons établi que les zones dans lesquelles il n'y a pas de contraintes de cisaillement sont appelées zones principales et que les contraintes exercées sur elles sont appelées contraintes principales. Dans un état de contrainte plane, la position de l'un des sites principaux est connue à l'avance - le site sur lequel il n'y a pas de contraintes, ᴛ.ᴇ. combiné avec le plan de dessin (voir Fig. 15.1). Trouvons les principales plates-formes perpendiculaires à celui-ci. Pour ce faire, on fixe la contrainte tangentielle égale à zéro dans (15.1), d'où on obtient

L'angle a 0 indique la direction de la normale au site principal, ou direction principale, en relation avec cela, on l'appelle angle principal. Puisque la tangente du double angle est une fonction périodique de période p/2, alors l'angle

a 0 + p/2 est aussi un angle principal. Cependant, il existe au total trois plates-formes principales, et elles sont toutes perpendiculaires entre elles. La seule exception est le cas où il n'y a pas trois zones principales, mais un nombre infini - par exemple, avec une compression totale, lorsqu'une direction choisie est la direction principale et que les contraintes sont les mêmes sur toutes les zones passant par le point. .

Il vaut la peine de dire que pour trouver les contraintes principales, vous pouvez utiliser la première des formules (15.2), en substituant à l'angle a séquentiellement les valeurs a 0 et

Il est pris en compte ici que

Les fonctions trigonométriques peuvent être éliminées des expressions (15.5) si l'on utilise l'égalité bien connue

Et tenez également compte de la formule (15.4). Ensuite, nous obtenons

Le signe plus dans la formule correspond à l'une des contraintes principales, le signe moins à l'autre. Après les avoir calculés, vous pouvez utiliser la notation acceptée pour les contraintes principales s 1, s 2, s 3, en tenant compte du fait que s 1 est la contrainte algébriquement la plus grande et s 3 est la contrainte algébriquement la plus faible. En d’autres termes, si les deux contraintes principales trouvées dans les expressions (15.6) s’avèrent positives, nous obtenons

Si les deux tensions sont négatives, nous aurons

Enfin, si l'expression (15.6) donne des valeurs de contraintes de signes différents, alors les contraintes principales seront égales

VALEURS LES PLUS ÉLEVÉES DES STRESS NORMAUX ET IMPACTS

Si vous faites pivoter mentalement les axes X 1 oui 1 et l'élément qui leur est associé (voir Fig. 15.3), les contraintes sur ses faces changeront et à une certaine valeur de l'angle a la contrainte normale atteindra un maximum. Puisque la somme des contraintes normales sur les zones mutuellement perpendiculaires reste constante, la contrainte sera la plus petite pour le moment.

Pour retrouver cette position des sites, il faut examiner l'expression de l'extremum, en la considérant en fonction de l'argument a :

En comparant l'expression entre parenthèses avec (15.2), on arrive à la conclusion que les contraintes tangentielles sont égales à zéro aux endroits souhaités. Cependant, les contraintes normales atteignent des valeurs extrêmes précisément au niveau des sites principaux.

Pour trouver la contrainte tangentielle la plus grande, nous prenons les zones principales comme zones initiales, en alignant les axes X Et oui avec des orientations principales. Les formules (15.1), dans lesquelles l'angle a sera désormais mesuré à partir de la direction s 1, prendront la forme :

De la dernière expression, il résulte que les contraintes tangentielles atteignent leurs plus grandes valeurs sur les zones tournées de 45° vers les principales, lorsque

péché 2a = ±1. Leur valeur maximale est égale à

A noter que la formule (15.8) est également valable dans le cas où

REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D'UN ÉTAT DE CONTRAINTE PLAT. CERCLES DE MORA

Les formules (15.7), qui déterminent les contraintes sur une zone tournée d'un certain angle α par rapport au principal, ont une interprétation géométrique claire. En supposant avec certitude que les deux tensions principales sont positives, nous introduisons la notation suivante :

Alors les expressions (15.7) prendront la forme tout à fait reconnaissable d'une équation paramétrique d'un cercle de coordonnées σ et τ :

L'indice « α » dans la notation souligne que les contraintes sont localisées sur le site tourné par rapport à l'original selon un angle donné. Ordre de grandeur UN détermine la position du centre du cercle sur l'axe σ ; le rayon du cercle est R.. Montré sur la Fig. 15.5, le diagramme de contraintes circulaire est traditionnellement appelé cercle de Mohr, du nom du célèbre scientifique allemand Otto Mohr (1835 - 1918 ᴦ.ᴦ.) qui l'a proposé. La direction de l'axe vertical est choisie en tenant compte du signe τ α dans (15.10). Chaque valeur de l'angle α correspond à un point représentatif K (σ α, τ α ) sur un cercle dont les coordonnées sont égales aux contraintes sur la zone pivotée. Les plates-formes mutuellement perpendiculaires, dans lesquelles l'angle de rotation diffère de 90˚, correspondent aux points K Et K» se trouvant aux extrémités opposées du diamètre.

Il est pris en compte ici que

puisque les formules (15.2) et (15.7) lorsque l'angle change de 90 0 donnent le signe de la contrainte de cisaillement dans un système de coordonnées tourné, dans lequel l'un des axes coïncide en direction avec l'axe d'origine et l'autre est opposé en direction (Fig.15.5)

Si les sites principaux servent de sites initiaux, ᴛ.ᴇ. les valeurs de σ 1 et σ 2 sont connues, le cercle de Mohr se construit facilement à l'aide des points 1 et 2. Un rayon tiré du centre du cercle selon un angle de 2a par rapport à l'axe horizontal, à l'intersection avec le cercle , donnera un point représentatif dont les coordonnées sont égales aux contraintes souhaitées sur la zone pivotée. Dans ce cas, il est plus pratique d'utiliser ce qu'on appelle le pôle du cercle, en dirigeant le faisceau selon un angle a. De la relation évidente entre le rayon et le diamètre d'un cercle, le pôle, désigné sur le dessin par la lettre UN, coïncidera dans ce cas avec le point 2. Dans le cas général, le pôle est situé à l'intersection des normales aux sites d'origine. Si les aires initiales ne sont pas les principales, le cercle de Mohr est construit comme suit : les points représentatifs sont tracés sur le plan σ - t K (σ X,t xy) Et K’(σ oui,-t xy), correspondant aux zones initiales verticales et horizontales. En reliant les points d'une ligne droite, nous trouvons le centre du cercle à l'intersection avec l'axe σ, après quoi le diagramme circulaire lui-même est construit. L'intersection du cercle avec l'axe horizontal donnera la valeur des contraintes principales, et le rayon sera égal à la plus grande contrainte de cisaillement. En figue. La figure 15.7 montre le cercle de Mohr construit à partir de sites initiaux qui ne sont pas les principaux. Pôle UN est à l'intersection des normales avec les pastilles d'origine K.A. Et K’UN. Rayon SUIS., tiré du pôle selon un angle a par rapport à l'axe horizontal, à l'intersection avec le cercle donnera un point représentatif M(σ a ,t a), dont les coordonnées représentent les contraintes sur la zone qui nous intéresse. Les rayons tirés du pôle vers les points 1 et 2 montreront les angles principaux a 0 et a 0 +90 0. Cependant, les cercles de Mohr constituent un outil graphique pratique pour analyser un état de contrainte plane.

b) La tension sur le bord de l'élément tourné de 45 0 est trouvée par (15.1)

Contrainte normale sur une zone perpendiculaire

(a = 45 0 +90 0) sera égal à

c) On trouve les plus grandes contraintes tangentielles en utilisant (15.8)

2. Solution graphique.

Construisons le cercle de Mohr en utilisant les points représentatifs K(160,40) et K’ (60, -40)

Pôle circulaire UN nous trouverons à l'intersection des normales aux zones d'origine.

Le cercle coupera l'axe horizontal aux points 1 et 2. Le point 1 correspond à la contrainte principale σ 1 = 174 MPa, le point 2 correspond à la valeur de la contrainte principale σ 2 = 46 MPa. Faisceau conduit depuis le poteau UNà travers les points 1 et 2, montrera la valeur des angles principaux. Les contraintes sur le site, tournées de 45 0 par rapport à celle d'origine, sont égales aux coordonnées du point représentant M, situé à l'intersection du cercle avec le rayon tiré du pôle UN sous un angle de 45 0. Comme nous pouvons le voir, la solution graphique au problème de l'analyse de l'état de contrainte coïncide avec la solution analytique.

Dans un état de contrainte plane dans l'une des zones passant par le point considéré, les contraintes tangentielles et normales sont égales à zéro. Combinons cette zone avec le plan de dessin et sélectionnons dans le corps à proximité de ce point un prisme triangulaire infinitésimal (élémentaire), dont les faces latérales sont perpendiculaires au plan de dessin, et la hauteur (dans la direction perpendiculaire au plan de dessin plan) est égal aux bases du prisme sont des triangles rectangles (Fig. 2.3, a).

Appliquons au prisme sélectionné les mêmes contraintes qui agissaient sur lui avant sa séparation du corps. Du fait que toutes les dimensions du prisme sélectionné sont infiniment petites, les contraintes tangentielles et normales le long de ses faces latérales peuvent être considérées comme uniformément réparties et égales aux contraintes dans les zones parallèles à ses faces.

Choisissons un système de coordonnées en alignant les axes et y (dans le plan de dessin) avec les faces du prisme (Fig. 2.3, a). Notons les contraintes parallèles à l'axe u et à l'axe y.

Nous désignons les contraintes normales le long de la face latérale d'un prisme incliné d'un angle a par rapport à la face le long de laquelle les contraintes agissent

Acceptons la règle de signe suivante. La contrainte normale de traction est positive et la contrainte normale de compression est négative. La contrainte tangentielle le long de la face latérale d'un prisme est positive si le vecteur qui la représente tend à faire tourner le prisme dans le sens des aiguilles d'une montre par rapport à tout point situé sur la normale interne à cette face. L'angle a est positif si la face du prisme (le long de laquelle la contrainte est appliquée) pivote de cet angle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre pour s'aligner avec la face (le long de laquelle la contrainte est appliquée). En figue. 2.3, et toutes les contraintes, ainsi que l'angle a, sont positifs.

En multipliant chacune des contraintes par la surface de la face le long de laquelle elle agit, on obtient un système de forces concentrées Tu et Ta appliquées aux centres de gravité des faces correspondantes (Fig. 2.3, b) :

Ces forces doivent satisfaire toutes les équations d’équilibre, puisque le prisme séparé du corps est en équilibre.

Créons les équations d'équilibre suivantes :

Les forces ne sont pas incluses dans l'équation (4.3), puisque leurs lignes d'action passent par le point (l'origine du système de coordonnées).

En remplaçant les expressions et Т des égalités (1.3) dans l'équation (4.3), nous obtenons

Par conséquent, les contraintes de cisaillement le long de deux zones mutuellement perpendiculaires sont égales en valeur absolue et opposées en signe. Cette relation entre s’appelle la loi de l’appariement des contraintes tangentes.

De la loi d'appariement des contraintes tangentielles, il résulte que dans deux zones mutuellement perpendiculaires, les contraintes tangentielles sont dirigées soit vers la ligne d'intersection de ces zones (Fig. 3.3, a), soit à l'opposé de celle-ci (Fig. 3.3, b).

Remplaçons dans les équations (2.3) et (3.3) les expressions de force à partir des égalités (1.3) :

Réduisons ces équations de , en tenant compte de cela (voir Fig. 2.3, a) :

Remplaçons-le maintenant par [voir. formule (5.3)] :

Les formules (6.3) et (7.3) permettent de déterminer les valeurs des contraintes normales et de cisaillement dans toutes les zones passant par un point donné, si les contraintes dans deux zones quelconques perpendiculaires entre elles le traversant sont connues.

A l'aide de la formule (6.3), on détermine la somme des contraintes normales dans deux zones mutuellement perpendiculaires, pour l'une desquelles l'angle a est égal à a pour l'autre

c'est-à-dire que la somme des valeurs des contraintes normales dans deux zones mutuellement perpendiculaires est une valeur constante. Par conséquent, si dans l’une de ces zones les contraintes normales ont une valeur maximale, alors dans l’autre elles ont une valeur minimale.

Lors de l'étude de l'état de contrainte, les contraintes sont d'abord déterminées le long de trois zones perpendiculaires entre elles passant par le point du corps considéré.

Si l’une de ces zones s’avère sans stress, alors l’état de stress est plat. Un élément infinitésimal en forme de parallélépipède, séparé du corps par les trois zones indiquées et trois autres zones parallèles à celles-ci, est représenté sur la Fig. 4.3, p. Il est généralement représenté sous la forme d'un rectangle (ou d'un carré), qui est une projection de l'élément sur un plan coïncidant avec la zone sans contrainte (Fig. 4.3b). Il suffit d'indiquer les valeurs de contraintes sur deux faces latérales perpendiculaires entre elles du parallélépipède.

S'il est nécessaire de montrer les contraintes apparaissant non pas dans une paire de zones mutuellement perpendiculaires passant par un point donné, mais dans plusieurs, alors les rectangles (ou carrés) correspondants peuvent être représentés, comme le montre par exemple la Fig. 4.3, ch.

À partir des contraintes dans deux zones mutuellement perpendiculaires, on peut calculer [en utilisant les formules (6.3) et (7.3)] les contraintes dans n'importe quelle zone ; par conséquent, la figure (par exemple 4.3, b, c), qui montre ces contraintes, peut être considérée comme une image de l'état de contrainte en un point.

Tout état de contrainte peut être considéré comme la somme de plusieurs états de contrainte (principe de superposition de contraintes). Par exemple, l’état de contrainte illustré sur la Fig. 5.3, a, peut être considéré comme la somme des états de contrainte montrés sur la Fig. 5.3, b, c.