Polynômes. Factorisation d'un polynôme : méthodes, exemples

Dans la leçon précédente, nous avons étudié la multiplication d'un polynôme par un monôme. Par exemple, le produit d'un monôme a et d'un polynôme b + c se trouve comme suit :

une(b + c) = ab + avant JC

Cependant, dans certains cas, il est plus pratique d'effectuer l'opération inverse, que l'on peut appeler sortir le facteur commun des parenthèses :

ab + bc = a(b + c)

Par exemple, devons calculer la valeur du polynôme ab + bc pour les valeurs des variables a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8. Si on les substitue directement dans l'expression, on obtient

ab + avant JC = 15,6 * 7,2 + 15,6 * 2,8

ab + bc = a(b + c) = 15,6 * (7,2 + 2,8) = 15,6 * 10 = 156

DANS dans ce cas nous avons représenté le polynôme ab + bc comme le produit de deux facteurs : a et b + c. Cette action s’appelle factoriser un polynôme.

De plus, chacun des facteurs dans lesquels le polynôme est développé peut, à son tour, être un polynôme ou un monôme.

Considérons le polynôme 14ab - 63b 2. Chacun de ses monômes constitutifs peut être représenté comme un produit :

On voit que les deux polynômes ont un facteur commun 7b. Cela signifie qu'il peut être retiré des parenthèses :

14ab - 63b 2 = 7b*2a - 7b*9b = 7b(2a-9b)

Vous pouvez vérifier si le multiplicateur est correctement placé en dehors des parenthèses en utilisant l'opération inverse - en ouvrant les parenthèses :

7b(2a - 9b) = 7b*2a - 7b*9b = 14ab - 63b 2

Il est important de comprendre que souvent un polynôme peut être développé de plusieurs manières, par exemple :

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

Habituellement, ils essaient d'extraire, grosso modo, le monôme « le plus grand ». Autrement dit, ils élargissent le polynôme de sorte que rien de plus ne puisse être retiré du polynôme restant. Ainsi, lors de la décomposition

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

la somme des monômes qui ont un facteur commun c reste entre parenthèses. Si nous le supprimons également, il n'y aura plus de facteurs communs entre parenthèses :

b(5ac + 6cd) = avant JC(5a + 6d)

Examinons plus en détail comment trouver les facteurs communs des monômes. Décomposons la somme

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10

Il se compose de trois termes. Tout d’abord, regardons les probabilités numériques devant eux. Ce sont 8, 12 et 16. Dans la leçon 3 de la 6e année, le sujet du PGCD et de l'algorithme pour le trouver a été abordé. Il s'agit du plus grand diviseur commun. Vous pouvez presque toujours le trouver oralement. Le coefficient numérique du multiplicateur commun sera exactement le PGCD des coefficients numériques des termes du polynôme. Dans ce cas, le nombre est 4.

Ensuite, nous examinons les degrés de ces variables. Dans un facteur commun, les lettres doivent avoir les pouvoirs minimaux qui apparaissent dans les termes. Ainsi, la variable a dans un polynôme a les degrés 3, 2 et 4 (minimum 2), donc le facteur commun sera un 2. La variable b a un degré minimum de 3, donc le facteur commun sera b 3 :

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)

En conséquence, les termes restants 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 n'ont pas une seule lettre variable commune et leurs coefficients 2, 3 et 4 n'ont pas de diviseurs communs.

Non seulement les monômes, mais aussi les polynômes peuvent être retirés des parenthèses. Par exemple:

x(une-5) + 2y(une-5) = (une-5)(x+2y)

Encore un exemple. Il faut élargir l'expression

5t(8a - 3x) + 2s(3x - 8a)

Solution. Rappelons que le signe moins inverse les signes entre parenthèses, donc

-(8a - 3x) = -8a + 3x = 3x - 8a

Cela signifie que nous pouvons remplacer (3x - 8y) par - (8y - 3x) :

5t(8a - 3x) + 2s(3x - 8a) = 5t(8a - 3x) + 2*(-1)s(8a - 3x) = (8a - 3x)(5t - 2s)

Réponse : (8 ans - 3x)(5t - 2s).

N'oubliez pas que le sous-trahend et le minuend peuvent être intervertis en changeant le signe devant les parenthèses :

(une - b) = - (b - une)

L'inverse est également vrai : le signe moins déjà devant les parenthèses peut être supprimé en échangeant simultanément le sous-trahend et le minuend :

Cette technique est souvent utilisée pour résoudre des problèmes.

Méthode de regroupement

Considérons une autre façon de factoriser un polynôme, qui permet de développer le polynôme. Qu'il y ait une expression

ab - 5a + avant JC - 5c

Il est impossible de dériver un facteur commun aux quatre monômes. Cependant, vous pouvez imaginer ce polynôme comme la somme de deux polynômes, et dans chacun d'eux sortir la variable entre parenthèses :

ab - 5a + bc - 5c = (ab - 5a) + (bc - 5c) = a(b - 5) + c(b - 5)

Nous pouvons maintenant dériver l'expression b - 5 :

une(b - 5) + c(b - 5) = (b - 5)(une + c)

Nous avons « regroupé » le premier terme avec le deuxième, et le troisième avec le quatrième. Par conséquent, la méthode décrite est appelée méthode de regroupement.

Exemple. Développons le polynôme 6xy + ab- 2bx- 3ay.

Solution. Le regroupement des 1er et 2ème termes est impossible, puisqu'ils n'ont pas de facteur commun. Par conséquent, échangeons les monômes :

6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x (3y - b) + a(b - 3y)

Les différences 3y - b et b - 3y ne diffèrent que par l'ordre des variables. Dans l'une des parenthèses, il peut être modifié en retirant le signe moins des parenthèses :

(b - 3 ans) = - (3 ans - b)

Utilisons ce remplacement :

2x(3a - b) + une(b - 3a) = 2x(3a - b) - une(3a - b) = (3a - b)(2x - une)

En conséquence, nous avons obtenu l'identité :

6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b)(2x - a)

Réponse : (3 ans - b)(2x - a)

Vous pouvez regrouper non seulement deux termes, mais généralement n'importe quel nombre de termes. Par exemple, dans le polynôme

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z

on peut regrouper les trois premiers et les 3 derniers monômes :

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2(x - 3y + z) = (x + 2)(x - 3y + z)

Examinons maintenant une tâche d'une complexité accrue

Exemple. Développez le trinôme quadratique x 2 - 8x +15.

Solution. Ce polynôme n'est constitué que de 3 monômes, et donc, semble-t-il, le regroupement ne sera pas possible. Cependant, vous pouvez effectuer le remplacement suivant :

Alors le trinôme original peut être représenté comme suit :

x2 - 8x + 15 = x2 - 3x - 5x + 15

Regroupons les termes :

x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x(x - 3) - 5(x - 3) = (x - 5)(x - 3)

Réponse : (x- 5)(x - 3).

Bien sûr, il n'est pas facile de deviner le remplacement - 8x = - 3x - 5x dans l'exemple ci-dessus. Montrons un autre raisonnement. Nous devons développer le polynôme du deuxième degré. Comme nous nous en souvenons, lors de la multiplication de polynômes, leurs puissances s'additionnent. Cela signifie que même si nous pouvons factoriser un trinôme quadratique en deux facteurs, ils se révéleront être deux polynômes du 1er degré. Écrivons le produit de deux polynômes du premier degré, dont les coefficients dominants sont égaux à 1 :

(x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab

Ici, nous désignons a et b comme des nombres arbitraires. Pour que ce produit soit égal au trinôme original x 2 - 8x +15, il est nécessaire de sélectionner des coefficients adaptés pour les variables :

En utilisant la sélection, nous pouvons déterminer que les nombres a = - 3 et b = - 5 satisfont à cette condition.

(x - 3)(x - 5) = x 2 * 8x + 15

ce qui peut être vu en ouvrant les supports.

Pour plus de simplicité, nous n'avons considéré que le cas où les polynômes multipliés du 1er degré ont des coefficients principaux égaux à 1. Cependant, ils pourraient être égaux, par exemple, à 0,5 et 2. Dans ce cas, le développement serait légèrement différent :

x2 * 8x + 15 = (2x - 6)(0,5x - 2,5)

Cependant, en retirant le coefficient 2 de la première tranche et en le multipliant par la seconde, nous obtiendrions l’expansion originale :

(2x - 6)(0,5x - 2,5) = (x - 3) * 2 * (0,5x - 2,5) = (x - 3)(x - 5)

Dans l'exemple considéré, nous avons développé le trinôme quadratique en deux polynômes du premier degré. Nous devrons le faire souvent à l’avenir. Cependant, il convient de noter que certains trinômes quadratiques, par ex.

il est impossible de décomposer ainsi en un produit de polynômes. Cela sera prouvé plus tard.

Application de la factorisation des polynômes

La factorisation d'un polynôme peut faciliter certaines opérations. Qu'il soit nécessaire de calculer la valeur de l'expression

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

Supprimons le chiffre 2, et le degré de chaque terme diminuera de un :

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)

Notons le montant

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

pour x. Alors l’égalité écrite ci-dessus peut être réécrite :

x + 2 9 = 2(1 + x)

Nous avons une équation, résolvons-la (voir leçon d’équation) :

x + 2 9 = 2(1 + x)

x + 2 9 = 2 + 2x

2x - x = 2 9 - 2

x = 512 - 2 = 510

Exprimons maintenant le montant que nous recherchons en fonction de x :

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

Lors de la résolution de ce problème, nous avons élevé le nombre 2 uniquement à la puissance 9, et toutes les autres opérations d'exponentiation ont été éliminées des calculs en factorisant le polynôme. De même, vous pouvez créer une formule de calcul pour d'autres montants similaires.

Calculons maintenant la valeur de l'expression

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890

81 4 - 9 7 + 3 12

est divisible par 73. Notez que les nombres 9 et 81 sont des puissances de trois :

81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4

Sachant cela, effectuons un remplacement dans l'expression originale :

81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12

Retirons 3 12 :

3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73

Le produit 3 12 .73 est divisible par 73 (puisque l'un des facteurs est divisible par lui), donc l'expression 81 4 - 9 7 + 3 12 est divisée par ce nombre.

L'affacturage peut être utilisé pour prouver des identités. Par exemple, prouvons l'égalité

(une 2 + 3a) 2 + 2(une 2 + 3a) = une(une + 1)(une + 2)(une + 3)

Pour résoudre l'identité, on transforme le côté gauche de l'égalité en supprimant le facteur commun :

(une 2 + 3a) 2 + 2(une 2 + 3a) = (une 2 + 3a)(une 2 + 3a) + 2(une 2 + 3a) = (une 2 + 3a)(une 2 + 3a + 2 )

(une 2 + 3a)(une 2 + 3a + 2) = (une 2 + 3a)(une 2 + 2a + une + 2) = (une 2 + 3a)((une 2 + 2a) + (une + 2 ) = (une 2 + 3une)(une(une + 2) + (une + 2)) = (une 2 + 3une)(une + 1)(une + 2) = une(une + 3)(une + z )(une + 2) = une(une + 1)(une + 2)(une + 3)

Encore un exemple. Montrons que pour toutes valeurs des variables x et y l'expression

(x - y)(x + y) - 2x(x - y)

n'est pas un nombre positif.

Solution. Supposons le facteur commun x - y :

(x - y)(x + y) - 2x(x - y) = (x - y)(x + y - 2x) = (x - y)(y - x)

Veuillez noter que nous avons obtenu le produit de deux binômes similaires, ne différant que par l'ordre des lettres x et y. Si nous échangeons les variables entre parenthèses, nous obtiendrons le produit de deux expressions identiques, c’est-à-dire un carré. Mais pour échanger x et y, vous devez mettre un signe moins devant le support :

(x - y) = -(y - x)

On peut alors écrire :

(x - y)(y - x) = -(y - x)(y - x) = -(y - x) 2

Comme vous le savez, le carré de tout nombre est supérieur ou égal à zéro. Cela s'applique également à l'expression (y - x) 2. S'il y a un moins devant l'expression, alors il doit être inférieur ou égal à zéro, c'est-à-dire qu'il ne s'agit pas d'un nombre positif.

Le développement polynomial aide à résoudre certaines équations. L'énoncé suivant est utilisé :

Si une partie de l'équation contient zéro et que l'autre est un produit de facteurs, alors chacun d'eux doit être égal à zéro.

Exemple. Résolvez l'équation (s - 1)(s + 1) = 0.

Solution. Le produit des monômes s - 1 et s + 1 est écrit à gauche et zéro est écrit à droite. Par conséquent, zéro doit être égal soit à s - 1, soit à s + 1 :

(s - 1)(s + 1) = 0

s - 1 = 0 ou s + 1 = 0

s = 1 ou s = -1

Chacune des deux valeurs obtenues de la variable s est une racine de l'équation, c'est-à-dire qu'elle a deux racines.

Réponse 1; 1.

Exemple. Résolvez l'équation 5w 2 - 15w = 0.

Solution. Retirons 5w :

Là encore, l'œuvre est écrite à gauche et un zéro à droite. Continuons avec la solution :

5w = 0 ou (w - 3) = 0

w = 0 ou w = 3

Réponse : 0 ; 3.

Exemple. Trouvez les racines de l'équation k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0.

Solution. Regroupons les termes :

k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0

(k 3 - 8k 2) + (3k- 24) = 0

k 2 (k - 8) + 3 (k - 8) = 0

(k 3 + 3)(k - 8) = 0

k 2 + 3 = 0 ou k - 8 = 0

k 2 = -3 ou k = 8

Notez que l'équation k 2 = - 3 n'a pas de solution, puisque tout nombre au carré n'est pas inférieur à zéro. Par conséquent, la seule racine de l’équation originale est k = 8.

Exemple. Trouver les racines de l'équation

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

Solution : déplacez tous les termes vers la gauche, puis regroupez-les :

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

(2u - 5)(u + 3) - 7u - 21 = 0

(2u - 5)(u + 3) - 7(u + 3) = 0

(2u - 5 - 7)(u + 3) = 0

(2u - 12)(u + 3) = 0

2u - 12 = 0 ou u + 3 = 0

u = 6 ou u = -3

Réponse : - 3 ; 6.

Exemple. Résous l'équation

(t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

(t 2 - 5t) 2 - (30t - 6t 2) = 0

(t 2 - 5t)(t 2 - 5t) + 6(t 2 - 5t) = 0

(t 2 - 5t)(t 2 - 5t + 6) = 0

t 2 - 5t = 0 ou t 2 - 5t + 6 = 0

t = 0 ou t - 5 = 0

t=0 ou t=5

Passons maintenant à la deuxième équation. Nous avons encore une fois un trinôme quadratique. Pour le prendre en compte en facteurs à l'aide de la méthode de regroupement, vous devez le présenter comme une somme de 4 termes. Si vous effectuez le remplacement - 5t = - 2t - 3t, vous pouvez alors regrouper davantage les termes :

t2 - 5t + 6 = 0

t 2 - 2t - 3t + 6 = 0

t(t - 2) - 3(t - 2) = 0

(t-3)(t-2) = 0

T - 3 = 0 ou t - 2 = 0

t=3 ou t=2

En conséquence, nous avons constaté que l’équation originale avait 4 racines.

Pour factoriser les polynômes, nous avons utilisé des formules de parenthèses, de regroupement et de multiplication abrégée. Il est parfois possible de factoriser un polynôme en appliquant successivement plusieurs méthodes. Dans ce cas, la transformation doit commencer, si possible, par retirer le facteur commun des parenthèses.

Exemple 1. Factorisons le polynôme 10a 3 - 40a.

Solution: Les termes de ce polynôme ont un facteur commun de 10a. Sortons ce facteur des parenthèses :

10a 3 - 40a = 10a (a 2 - 4).

La factorisation peut être poursuivie en appliquant la formule de la différence des carrés à l'expression a 2 - 4. En conséquence, nous obtenons comme facteurs des polynômes de degrés inférieurs.

10a(a 2 - 4) = 10a(a + 2)(a - 2).

10a 3 - 40a = 10a(une + 2) (une - 2).

Exemple 2. Factorisons le polynôme

ab 3 - 3b 3 + ab 2 ans - 3b 2 ans.

Solution: Tout d’abord, retirons le facteur commun b2 des parenthèses :

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - 3b 2 y = b 2 (ab - 3b + ay - 3y).

Essayons maintenant de factoriser le polynôme

ab - 3b + ау - 3у.

En regroupant le premier terme avec le deuxième et le troisième avec le quatrième, on a

ab - 3b + ay - 3 = b(a - 3) + y(a - 3) = (a - 3)(b + y).

Finalement on obtient

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - 3b 2 y = b 2 (a - 3)(b + y).

Exemple 3. Factorisons le polynôme a 2 - 4ax - 9 + 4x 2.

Solution: Regroupons les premier, deuxième et quatrième termes du polynôme. On obtient le trinôme a 2 - 4ax + 4x 2, qui peut être représenté comme le carré de la différence. C'est pourquoi

un 2 - 4ax - 9 + 4x 2 = (un 2 - 4ax + 4x 2) - 9 = (un - 2x) 2 - 9.

L'expression résultante peut être factorisée à l'aide de la formule de la différence des carrés :

(une - 2x) 2 - 9 = (une - 2x) 2 - 3 2 = (une - 2x - 3)(une - 2x + 3).

Ainsi,

une 2 - 4ax - 9 + 4x 2 = (une - 2x - 3)(une - 2x + 3).

Notez que lorsque nous factorisons un polynôme, nous entendons le représenter comme un produit de plusieurs polynômes, dans lequel au moins deux facteurs sont des polynômes de degré non nul (c'est-à-dire qu'ils ne sont pas des nombres).

Tous les polynômes ne peuvent pas être factorisés. Par exemple, il est impossible de factoriser les polynômes x 2 + 1, 4x 2 - 2x + 1, etc.

Examinons un exemple d'utilisation de la factorisation pour simplifier les calculs à l'aide d'une calculatrice.

Exemple 4. A l'aide d'une calculatrice, on trouve la valeur du polynôme bx 3 + 2x 2 - 7x + 4 à x = 1,2.

Solution: Si vous effectuez les actions dans l'ordre accepté, vous devrez d'abord trouver les valeurs des expressions x 3 5, x 2 2 et 7x, écrire les résultats sur papier ou les saisir dans la mémoire de la calculatrice, puis procéder à addition et soustraction. Cependant, le résultat souhaité peut être obtenu beaucoup plus facilement si l’on transforme ce polynôme comme suit :

bx 3 + 2x 2 - 7x + 4 = (5x 2 + 2x - 7)x + 4 = ((5x + 2)x - 7)x + 4.

Après avoir effectué les calculs pour x = 1,2, nous constatons que la valeur du polynôme est 7,12.

Des exercices

Questions de test et devoirs

Donnez un exemple d’expression entière et d’expression non entière.
Quelles actions doivent être effectuées et dans quel ordre pour représenter l'expression entière 4x (3 - x) 2 + (x 2 - 4)(x + 4) sous forme de polynôme ?
Quelles méthodes de factorisation des polynômes connaissez-vous ?

Objectif de la leçon :  développer des compétences pour factoriser un polynôme de diverses manières ;  cultiver la précision, la persévérance, le travail acharné et la capacité de travailler en binôme. Équipement : projecteur multimédia, PC, matériel pédagogique. Plan de cours : 1. Organisation du temps; 2. Vérification des devoirs ; 3. Travail oral ; 4. Étudier du nouveau matériel ; 5. Séance d'éducation physique ; 6. Consolidation du matériel étudié ; 7. Travaillez en binôme ; 8. Devoirs ; 9. Résumé. Progression de la leçon : 1. Moment d'organisation. Concentrez les élèves sur la leçon. L'éducation ne consiste pas dans la quantité de connaissances, mais dans la pleine compréhension et l'application habile de tout ce que vous savez. (Georg Hegel) 2. Vérification des devoirs. Analyse des tâches dans lesquelles les étudiants ont eu des difficultés à résoudre. 3. Travail oral.  factoriser : 1) 2) 3) ; 4) .  Faites correspondre les expressions dans les colonnes de gauche et de droite : a. 1. b. 2.c. 3. d. 4. d. 5. .  Résoudre les équations : 1. 2. 3. 4. Étudier du nouveau matériel. Pour factoriser les polynômes, nous avons utilisé des formules de parenthèses, de regroupement et de multiplication abrégée. Il est parfois possible de factoriser un polynôme en appliquant successivement plusieurs méthodes. La transformation devrait commencer, si possible, par retirer le facteur commun des parenthèses. Pour résoudre avec succès de tels exemples, nous essaierons aujourd’hui d’élaborer un plan pour leur application cohérente.

Fonds de dotation de 150 000₽ 11 documents honorifiques Certificat de publication dans les médias

Sections: Mathématiques

Type de cours :

selon le mode de prestation - un cours en atelier ;
à des fins didactiques - une leçon sur l'application des connaissances et des compétences.

Cible: développer la capacité de factoriser un polynôme.

Tâches:

Didactique: systématiser, élargir et approfondir les connaissances, compétences des étudiants, appliquer diverses méthodes de factorisation d'un polynôme. Développer la capacité d'appliquer la factorisation polynomiale par combinaison diverses techniques. Mettre en œuvre les connaissances et les compétences sur le thème : « Factorisation d'un polynôme » pour effectuer des tâches à la fois de niveau de base et des tâches de complexité accrue.
Du développement: développer l'activité mentale en résolvant divers types de problèmes, apprendre à trouver et analyser les méthodes de solution les plus rationnelles, contribuer à la formation de la capacité de généraliser les faits étudiés, exprimer clairement et clairement ses pensées.
Éducatif: développer des compétences de travail indépendant et en équipe, des compétences de maîtrise de soi.

Les méthodes de travail:

verbal;
visuel;
pratique.

Matériel de cours : tableau blanc interactif ou rétroprojecteur, tableaux avec formules de multiplication abrégées, instructions, polycopiés pour travailler en groupe.

Structure de la leçon :

Organisation du temps. 1 minute
Formuler le sujet, le but et les objectifs de la leçon pratique. 2 minutes
Vérification des devoirs. 4 minutes
Actualisation des connaissances et compétences de base des étudiants. 12 minutes
Minute d'éducation physique. 2 minutes
Instructions sur la façon d’accomplir les tâches de l’atelier. 2 minutes
Effectuer des tâches en groupe. 15 minutes
Vérifier et discuter des missions. Analyse de travail. 3 minutes
Fixer des devoirs. 1 minute
Réservez des emplois. 3 minutes

Pendant les cours

1. Moment organisationnel

L'enseignant vérifie l'état de préparation de la classe et des élèves pour le cours.

2. Formulation du sujet, du but et des objectifs de la leçon de l'atelier

Message sur la dernière leçon sur le sujet.
Motivation Activités éducativesétudiants.
Formuler le but et fixer les objectifs de la leçon (en collaboration avec les élèves).

3. Vérifier les devoirs

Au tableau se trouvent des exemples de solutions aux devoirs n°943 (a, c) ; N° 945 (c, d). Les échantillons ont été réalisés par les élèves de la classe. (Ce groupe d'élèves a été identifié lors de la leçon précédente ; ils ont formalisé leur décision pendant la récréation). Les étudiants se préparent à « défendre » des solutions.

Professeur:

Vérifie la présence des devoirs dans les cahiers des élèves.

Invite les élèves de la classe à répondre à la question : « Quelles difficultés la réalisation de la tâche a-t-elle causées ?

Propose de vérifier votre solution avec la solution au tableau.

Invite les élèves au tableau à répondre aux questions que les élèves se posent sur place lors de la vérification à l'aide d'échantillons.

Commente les réponses des élèves, complète les réponses et clarifie (si nécessaire).

Résume la réalisation des devoirs.

Étudiants:

Présent devoirsà l'enseignant.

Ils échangent des cahiers (par deux) et vérifient entre eux.

Répondez aux questions du professeur.

Vérifiez votre solution avec des échantillons.

Ils agissent en opposants, font des ajouts, des corrections, notent une méthode différente si la méthode de résolution du cahier diffère de la méthode au tableau.

Demandez aux élèves et à l’enseignant les explications nécessaires.

Trouver des moyens de vérifier les résultats obtenus.

Participer à l'évaluation de la qualité des tâches effectuées au sein du conseil.

4. Actualisation des connaissances et compétences de base des étudiants

1. Travail oral

Professeur:

Répondez aux questions:

Que signifie factoriser un polynôme ?
Combien de méthodes de décomposition connaissez-vous ?
Quels sont leurs noms?
Quel est le plus courant ?

2. Les polynômes sont écrits au tableau :

1. 14x3 – 14x5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2хy – y 2

4. x 3 - 3x – 2

Professeur invite les élèves à factoriser les polynômes n°1 à 3 :

Option I – en appliquant un facteur commun ;
Option II – utiliser des formules de multiplication abrégées ;
Option III - par méthode de regroupement.

Un élève est invité à factoriser le polynôme n°4 (tâche individuelle de difficulté accrue, la tâche est réalisée au format A 4). Ensuite, un exemple de solution aux tâches n° 1 à 3 (réalisées par l'enseignant), un exemple de solution à la tâche n° 4 (réalisée par l'élève) apparaissent au tableau.

3. Échauffez-vous

L'enseignant donne des instructions pour factoriser et sélectionner la lettre associée à la bonne réponse. En additionnant les lettres, vous obtenez le nom du plus grand mathématicien du XVIIe siècle, qui a grandement contribué au développement de la théorie de la résolution des équations. (Descartes)

5. Leçon d'éducation physique Les déclarations sont lues aux élèves. Si la déclaration est vraie, alors les élèves doivent lever la main, et si elle est fausse, s'asseoir à leur pupitre. (Annexe 2)

6. Instructions sur la manière d'accomplir les tâches de l'atelier.

Sur tableau blanc interactif ou une affiche séparée avec un tableau avec des instructions.

Lors de la factorisation d'un polynôme, l'ordre suivant doit être respecté :

1. mettre le facteur commun entre parenthèses (s'il y en a un) ;

2. appliquer des formules de multiplication abrégées (si possible) ;

3. appliquer la méthode de regroupement ;

4. Vérifiez le résultat obtenu par multiplication.

Professeur:

Présente les instructions aux étudiants (se concentre sur l’étape 4).

Propose la réalisation de travaux d'atelier en groupe.

Distribue des feuilles de travail aux groupes, des feuilles de papier carbone pour la préparation des devoirs dans les cahiers et leur vérification ultérieure.

Fixe le temps de travail en groupe et de travail dans des cahiers.

Étudiants:

Lis les instructions.

Les professeurs écoutent attentivement.

Assis en groupe (4-5 personnes).

Se préparer à faire des travaux pratiques.

7. Effectuer des tâches en groupe

Feuilles de travail avec des tâches pour les groupes. (Annexe 3)

Professeur:

Gère travail indépendant en groupes.

Évalue la capacité des étudiants à travailler de manière indépendante, la capacité à travailler en groupe et la qualité de la conception des feuilles de travail.

Étudiants:

Effectuez les tâches sur des feuilles de papier carbone incluses dans le cahier d'exercices.

Discutez des façons de prendre des décisions rationnelles.

Préparez une feuille de travail du groupe.

Préparez-vous à défendre le travail terminé.

8. Vérifier et discuter de l'achèvement de la tâche

Réponses sur le tableau interactif.

Professeur:

Recueille des copies des décisions.

Gère les rapports des étudiants sur les feuilles de travail.

Propose une auto-évaluation de votre travail, en comparant les réponses des cahiers, des feuilles de travail et des échantillons au tableau.

Cela me rappelle les critères d'attribution des notes du travail et de participation à sa mise en œuvre.

Fournit des éclaircissements sur les questions émergentes liées aux décisions ou à l’auto-évaluation.

Résume les premiers résultats de travaux pratiques et de réflexion.

Résume (avec les élèves) la leçon.

Il est indiqué que les résultats finaux seront résumés après vérification des copies des travaux réalisés par les étudiants.

Étudiants:

Remettez des exemplaires au professeur.

Les feuilles de travail sont jointes au tableau.

Rapport sur l'achèvement des travaux.

Effectuer un auto-examen et une auto-évaluation du rendement au travail.

9. Fixer des devoirs

Les devoirs sont écrits au tableau : n° 1016 (a, b) ; 1017 (c,d); N° 1021 (g,d,f)*

Professeur:

Propose d'écrire la partie obligatoire de la mission pour la maison.

Donne un commentaire sur sa mise en œuvre.

Invite les élèves les plus préparés à écrire le n° 1021 (g, e, f)*.

Vous dit de vous préparer pour la prochaine leçon de révision

Sections: Mathématiques

Type de cours :

selon le mode de prestation - un cours en atelier ;
à des fins didactiques - une leçon sur l'application des connaissances et des compétences.

Cible: développer la capacité de factoriser un polynôme.

Tâches:

Didactique: systématiser, élargir et approfondir les connaissances et compétences des élèves, appliquer diverses méthodes de factorisation d'un polynôme. Développer la capacité d'utiliser la factorisation d'un polynôme en combinant diverses techniques. Mettre en œuvre les connaissances et les compétences sur le thème : « Factorisation d'un polynôme » pour effectuer des tâches à la fois de niveau de base et des tâches de complexité accrue.
Du développement: développer l'activité mentale en résolvant divers types de problèmes, apprendre à trouver et analyser les méthodes de solution les plus rationnelles, contribuer à la formation de la capacité de généraliser les faits étudiés, exprimer clairement et clairement ses pensées.
Éducatif: développer des compétences de travail indépendant et en équipe, des compétences de maîtrise de soi.

Les méthodes de travail:

verbal;
visuel;
pratique.

Matériel de cours : tableau blanc interactif ou rétroprojecteur, tableaux avec formules de multiplication abrégées, instructions, polycopiés pour travailler en groupe.

Structure de la leçon :

Organisation du temps. 1 minute
Formuler le sujet, le but et les objectifs de la leçon pratique. 2 minutes
Vérification des devoirs. 4 minutes
Actualisation des connaissances et compétences de base des étudiants. 12 minutes
Minute d'éducation physique. 2 minutes
Instructions sur la façon d’accomplir les tâches de l’atelier. 2 minutes
Effectuer des tâches en groupe. 15 minutes
Vérifier et discuter des missions. Analyse de travail. 3 minutes
Fixer des devoirs. 1 minute
Réservez des emplois. 3 minutes

Pendant les cours

1. Moment organisationnel

L'enseignant vérifie l'état de préparation de la classe et des élèves pour le cours.

2. Formulation du sujet, du but et des objectifs de la leçon de l'atelier

Message sur la dernière leçon sur le sujet.
Motivation pour les activités d'apprentissage des élèves.
Formuler le but et fixer les objectifs de la leçon (en collaboration avec les élèves).

3. Vérifier les devoirs

Professeur:

Vérifie la présence des devoirs dans les cahiers des élèves.

Invite les élèves de la classe à répondre à la question : « Quelles difficultés la réalisation de la tâche a-t-elle causées ?

Propose de vérifier votre solution avec la solution au tableau.

Invite les élèves au tableau à répondre aux questions que les élèves se posent sur place lors de la vérification à l'aide d'échantillons.

Commente les réponses des élèves, complète les réponses et clarifie (si nécessaire).

Résume la réalisation des devoirs.

Étudiants:

Présenter les devoirs au professeur.

Ils échangent des cahiers (par deux) et vérifient entre eux.

Répondez aux questions du professeur.

Vérifiez votre solution avec des échantillons.

Ils agissent en opposants, font des ajouts, des corrections, notent une méthode différente si la méthode de résolution du cahier diffère de la méthode au tableau.

Demandez aux élèves et à l’enseignant les explications nécessaires.

Trouver des moyens de vérifier les résultats obtenus.

Participer à l'évaluation de la qualité des tâches effectuées au sein du conseil.

4. Actualisation des connaissances et compétences de base des étudiants

1. Travail oral

Professeur:

Répondez aux questions:

Que signifie factoriser un polynôme ?
Combien de méthodes de décomposition connaissez-vous ?
Quels sont leurs noms?
Quel est le plus courant ?

2. Les polynômes sont écrits au tableau :

1. 14x3 – 14x5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2хy – y 2

4. x 3 - 3x – 2

Professeur invite les élèves à factoriser les polynômes n°1 à 3 :

Option I – en appliquant un facteur commun ;
Option II – utiliser des formules de multiplication abrégées ;
Option III - par méthode de regroupement.

3. Échauffez-vous

6. Instructions sur la manière d'accomplir les tâches de l'atelier.

Il y a un tableau avec des instructions sur le tableau blanc interactif ou une affiche séparée.

Lors de la factorisation d'un polynôme, l'ordre suivant doit être respecté :

1. mettre le facteur commun entre parenthèses (s'il y en a un) ;

2. appliquer des formules de multiplication abrégées (si possible) ;

3. appliquer la méthode de regroupement ;

4. Vérifiez le résultat obtenu par multiplication.

Professeur:

Présente les instructions aux étudiants (se concentre sur l’étape 4).

Propose la réalisation de travaux d'atelier en groupe.

Distribue des feuilles de travail aux groupes, des feuilles de papier carbone pour la préparation des devoirs dans les cahiers et leur vérification ultérieure.

Fixe le temps de travail en groupe et de travail dans des cahiers.

Étudiants:

Lis les instructions.

Les professeurs écoutent attentivement.

Assis en groupe (4-5 personnes).

Se préparer à faire des travaux pratiques.

7. Effectuer des tâches en groupe

Feuilles de travail avec des tâches pour les groupes. (Annexe 3)

Professeur:

Gère le travail indépendant en groupe.

Évalue la capacité des étudiants à travailler de manière indépendante, la capacité à travailler en groupe et la qualité de la conception des feuilles de travail.

Étudiants:

Effectuez les tâches sur des feuilles de papier carbone incluses dans le cahier d'exercices.

Discutez des façons de prendre des décisions rationnelles.

Préparez une feuille de travail du groupe.

Préparez-vous à défendre le travail terminé.

8. Vérifier et discuter de l'achèvement de la tâche

Réponses sur le tableau interactif.

Professeur:

Recueille des copies des décisions.

Gère les rapports des étudiants sur les feuilles de travail.

Propose une auto-évaluation de votre travail, en comparant les réponses des cahiers, des feuilles de travail et des échantillons au tableau.

Cela me rappelle les critères d'attribution des notes du travail et de participation à sa mise en œuvre.

Fournit des éclaircissements sur les questions émergentes liées aux décisions ou à l’auto-évaluation.

Résume les premiers résultats de travaux pratiques et de réflexion.

Résume (avec les élèves) la leçon.

Il est indiqué que les résultats finaux seront résumés après vérification des copies des travaux réalisés par les étudiants.

Étudiants:

Remettez des exemplaires au professeur.

Les feuilles de travail sont jointes au tableau.

Rapport sur l'achèvement des travaux.

Effectuer un auto-examen et une auto-évaluation du rendement au travail.

9. Fixer des devoirs

Les devoirs sont écrits au tableau : n° 1016 (a, b) ; 1017 (c,d); N° 1021 (g,d,f)*

Professeur:

Propose d'écrire la partie obligatoire de la mission pour la maison.

Donne un commentaire sur sa mise en œuvre.

Invite les élèves les plus préparés à écrire le n° 1021 (g, e, f)*.

Vous dit de vous préparer pour la prochaine leçon de révision