Trouver un ensemble de valeurs. Plage de fonctions (ensemble de valeurs de fonction)

Le concept de fonction et tout ce qui y est lié est traditionnellement complexe et mal compris. Une pierre d'achoppement particulière lors de l'étude d'une fonction et de la préparation à l'examen d'État unifié est le domaine de définition et la plage de valeurs (changements) de la fonction.
Souvent, les élèves ne voient pas la différence entre le domaine d’une fonction et le domaine de ses valeurs.
Et si les étudiants parviennent à maîtriser les tâches de recherche du domaine de définition d'une fonction, alors les tâches de recherche de l'ensemble des valeurs d'une fonction leur posent des difficultés considérables.
Le but de cet article : se familiariser avec les méthodes de recherche de valeurs de fonctions.
À la suite de l'examen de ce sujet, du matériel théorique a été étudié, des méthodes de résolution de problèmes de recherche d'ensembles de valeurs de fonction ont été envisagées, matériel didactique Pour travail indépendantétudiants.
Cet article peut être utilisé par un enseignant dans la préparation des étudiants aux examens finaux et d'entrée, lors de l'étude du thème « Le domaine d'une fonction » dans les cours au choix de mathématiques.

I. Détermination de la plage de valeurs d'une fonction.

Le domaine (ensemble) de valeurs E(y) de la fonction y = f(x) est l'ensemble de ces nombres y 0, pour chacun desquels il existe un nombre x 0 tel que : f(x 0) = oui 0.

Rappelons les plages de valeurs des principaux fonctions élémentaires.

Regardons le tableau.

Fonction Plusieurs significations
y = kx+b E(y) = (-∞;+∞)
y = x2n E(y) =
y = cos x E(y) = [-1;1]
y = bronzage x E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x E(y) = (-∞;+∞)
y = arc sinus x E(y) = [-π/2 ; π/2]
y = arcos x E(y) =
y = arctan x E(y) = (-π/2 ; π/2)
y = arcctg x E(y) = (0; π)

Notez également que la plage de valeurs de tout polynôme de degré pair est l'intervalle, où n est la plus grande valeur de ce polynôme.

II. Propriétés des fonctions utilisées lors de la recherche de la plage d'une fonction

Pour réussir à trouver l'ensemble des valeurs d'une fonction, il faut avoir une bonne connaissance des propriétés des fonctions élémentaires de base, notamment leurs domaines de définition, leurs plages de valeurs et la nature de la monotonie. Présentons les propriétés des fonctions différenciables continues et monotones qui sont le plus souvent utilisées pour trouver l'ensemble des valeurs de fonction.

Les propriétés 2 et 3, en règle générale, sont utilisées conjointement avec la propriété d'une fonction élémentaire d'être continue dans son domaine de définition. Dans ce cas, la solution la plus simple et la plus concise au problème de la recherche de l'ensemble des valeurs d'une fonction est obtenue sur la base de la propriété 1, s'il est possible de déterminer la monotonie de la fonction à l'aide de méthodes simples. La solution au problème est encore plus simple si la fonction, en plus, est paire ou impaire, périodique, etc. Ainsi, lors de la résolution de problèmes de recherche d'ensembles de valeurs d'une fonction, il convient, si nécessaire, de vérifier et d'utiliser les propriétés suivantes de la fonction :

  • continuité;
  • monotone;
  • différenciabilité;
  • pair, impair, périodicité, etc.

Les tâches simples pour trouver l'ensemble des valeurs d'une fonction sont pour la plupart orientées :

a) utiliser les estimations et restrictions les plus simples : (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1, etc.) ;

b) pour isoler un carré complet : x 2 – 4x + 7 = (x – 2) 2 + 3 ;

c) transformer des expressions trigonométriques : 2sin 2 x – 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1 ;

d) en utilisant la monotonie de la fonction x 1/3 + 2 x-1 augmente de R.

III. Considérons les moyens de trouver les plages de fonctions.

a) trouver séquentiellement les valeurs des arguments de fonctions complexes ;
b) méthode d'estimation ;
c) utilisation des propriétés de continuité et de monotonie d'une fonction ;
d) utilisation d'un dérivé ;
e) en utilisant les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction ;
f) méthode graphique ;
g) méthode de saisie des paramètres ;
h) méthode de la fonction inverse.

Dévoilons l'essence de ces méthodes à l'aide d'exemples précis.

Exemple 1 : Trouver la plage E(o) fonctions y = log 0,5 (4 – 2 3 x – 9 x).

Résolvons cet exemple en recherchant séquentiellement les valeurs des arguments de fonctions complexes. En sélectionnant le carré parfait sous le logarithme, on transforme la fonction

y = log 0,5 (5 – (1 + 2 3 x – 3 2x)) = log 0,5 (5 – (3 x + 1) 2)

Et nous retrouverons séquentiellement les ensembles de valeurs de ses arguments complexes :

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Notons t= 5 – (3 x +1) 2, où -∞≤ t≤4. Ainsi, le problème se réduit à trouver l'ensemble des valeurs de la fonction y = log 0,5 t sur le rayon (-∞;4) . Puisque la fonction y = log 0,5 t est définie uniquement pour, son ensemble de valeurs sur le rayon (-∞;4) coïncide avec l'ensemble des valeurs de fonction sur l'intervalle (0;4), qui est l'intersection du rayon (-∞;4) de domaine de définition (0;+∞) de la fonction logarithmique. Sur l'intervalle (0;4) cette fonction est continue et décroissante. À t> 0 il tend vers +∞, et quand t = 4 prend la valeur -2, donc E(y) =(-2, +∞).

Exemple 2 : Trouver la plage d'une fonction

y = cos7x + 5cosx

Résolvons cet exemple en utilisant la méthode d'estimation, dont l'essence est d'estimer une fonction continue par le bas et par le haut et de prouver que la fonction atteint les limites inférieure et supérieure des estimations. Dans ce cas, la coïncidence de l'ensemble des valeurs de fonction avec l'intervalle allant de la limite inférieure de l'estimation à la limite supérieure est déterminée par la continuité de la fonction et l'absence d'autres valeurs pour celle-ci.

A partir des inégalités -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 on obtient l'estimation -6≤y?6. A x = p et x = 0, la fonction prend les valeurs -6 et 6, soit atteint les limites inférieure et supérieure de l’estimation. En tant que combinaison linéaire de fonctions continues cos7x et cosx, la fonction y est continue sur tout l'axe des nombres, donc, par la propriété d'une fonction continue, elle prend toutes les valeurs de -6 à 6 inclus, et seulement elles, puisque du fait des inégalités -6≤y?6 d'autres valeurs lui sont impossibles. Ainsi, E(o)= [-6;6].

Exemple 3 : Trouver la plage E(f) les fonctions f(x)= cos2x + 2cosx.

En utilisant la formule du cosinus du double angle, nous transformons la fonction f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 et désigne t=cosx. Alors f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Puisque E(cosx) =

[-1;1], puis la plage de valeurs de la fonction f(x) coïncide avec l'ensemble des valeurs de la fonction g (t)= 2t 2 + 2t – 1 sur le segment [-1;1], que l'on retrouve graphiquement. Après avoir tracé la fonction y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0.5) 2 – 1.5 sur l'intervalle [-1;1], on trouve E(f) = [-1,5; 3].

Remarque : de nombreux problèmes avec un paramètre se réduisent à trouver l'ensemble des valeurs d'une fonction, principalement liées à la solvabilité et au nombre de solutions aux équations et aux inégalités. Par exemple, l'équation f(x)= a est résoluble si et seulement si

une E(f) De même, l’équation. f(x)= a a au moins une racine située sur un certain intervalle X, ou n'a pas de racine unique sur cet intervalle si et seulement si a appartient ou n'appartient pas à l'ensemble des valeurs de la fonction f(x) sur l'intervalle X. Également étudié à l'aide d'un ensemble de valeurs de fonctions et d'inégalités f(x)≠ UN, f(x)> une, etc En particulier, f(x)≠ et pour tout le monde valeurs acceptables x si un E(f)

Exemple 4. Pour quelles valeurs du paramètre a l'équation (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) a-t-elle une racine unique sur l'intervalle [-4;-1].

Écrivons l'équation sous la forme (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. La dernière équation a au moins une racine sur l'intervalle [-4;-1] si et seulement si a appartient à l'ensemble des valeurs de la fonction f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) sur le segment [-4;-1]. Trouvons cet ensemble en utilisant la propriété de continuité et de monotonie de la fonction.

Sur l'intervalle [-4;-1] la fonction y = xІ + 4 est continue, décroissante et positive, donc la fonction g(x) = 1/(x 2 + 4) est continu et augmente sur ce segment, puisque lorsqu'il est divisé par une fonction positive, la nature de la monotonie de la fonction change à l'opposé. Fonction h(x) =(x + 5) 1/2 est continu et croissant dans son domaine de définition D(h) =[-5;+∞) et notamment sur le segment [-4;-1], où il est en plus positif. Alors la fonction f(x)=g(x) h(x), en tant que produit de deux fonctions continues, croissantes et positives, est également continu et croissant sur le segment [-4;-1], donc son ensemble de valeurs sur [-4;-1] est le segment [ f(-4); f(-1)] = . Par conséquent, l'équation a une solution sur l'intervalle [-4;-1], et une solution unique (par la propriété d'une fonction monotone continue), pour 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Commentaire. Solvabilité de l'équation f(x) = une sur un certain intervalle X équivaut à appartenir aux valeurs du paramètre UN ensemble de valeurs de fonction f(x) sur X. Par conséquent, l'ensemble des valeurs de la fonction f(x) sur l'intervalle X coïncide avec l'ensemble des valeurs des paramètres UN, pour lequel l'équation f(x) = une a au moins une racine sur l'intervalle X. En particulier, la plage de valeurs E(f) les fonctions f(x) correspond à l'ensemble des valeurs des paramètres UN, pour lequel l'équation f(x) = une a au moins une racine.

Exemple 5 : Trouver la plage E(f) les fonctions

Résolvons l'exemple en introduisant un paramètre selon lequel E(f) correspond à l'ensemble des valeurs des paramètres UN, pour lequel l'équation

a au moins une racine.

Lorsque a = 2, l'équation est linéaire - 4x - 5 = 0 avec un coefficient non nul pour x inconnu, elle a donc une solution. Pour a≠2, l’équation est quadratique, donc elle est résoluble si et seulement si son discriminant

Puisque le point a = 2 appartient au segment

puis l'ensemble souhaité de valeurs de paramètres UN, par conséquent, la plage de valeurs E(f) sera le segment entier.

En tant que développement direct de la méthode d'introduction d'un paramètre lors de la recherche d'un ensemble de valeurs de fonction, nous pouvons considérer la méthode de la fonction inverse, pour trouver laquelle il faut résoudre l'équation pour x f(x)=y, considérant y comme un paramètre. Si cette équation a une solution unique x =g(y), alors la plage de valeurs E(f) fonction originale f(x) coïncide avec le domaine de définition D(g) fonction inverse g(y). Si l'équation f(x)=y a plusieurs solutions x = g 1 (y), x = g 2 (y) etc., alors E(f) est égal à l'union des domaines de la fonction g 1 (oui), g 2 (oui) etc.

Exemple 6 : Trouver la plage E(o) fonctions y = 5 2/(1-3x).

De l’équation.

trouvons la fonction inverse x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) et son domaine de définition D(x):

Puisque l’équation de x a une solution unique, alors

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞ ).

Si le domaine de définition d'une fonction est constitué de plusieurs intervalles ou si la fonction sur différents intervalles est donnée par différentes formules, alors pour trouver le domaine de valeurs de la fonction il faut trouver les ensembles de valeurs de la fonction sur chaque intervalle et prendre leur union.

Exemple 7 : Rechercher des plages f(x) Et f(f(x)), Où

f(x) sur le rayon (-∞;1], où il coïncide avec l'expression 4 x + 9 4 -x + 3. Notons t = 4x. Alors f(x) = t + 9/t + 3, où 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) sur le rayon (-∞;1] coïncide avec l'ensemble des valeurs de la fonction g(t) = t + 9/t + 3, sur l'intervalle (0;4], que l'on trouve à l'aide de la dérivée g'(t) = 1 – 9/t 2. Sur l'intervalle (0;4] dérivée g'(t) est défini et y disparaît à t = 3. À 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) diminue, et dans l'intervalle (3;4) il augmente, restant continu tout au long de l'intervalle (0;4), donc g (3)= 9 – la plus petite valeur de cette fonction sur l'intervalle (0;4], alors que sa plus grande valeur n'existe pas, donc quand t → 0 fonction à droite g(t)→+∞. Alors, par la propriété d'une fonction continue, l'ensemble des valeurs de la fonction g(t) sur l'intervalle (0;4], et donc un ensemble de valeurs f(x) sur (-∞;-1], il y aura un rayon .

Maintenant, en combinant les intervalles - les ensembles de valeurs de fonction f(f(x)), dénoter t = f(x). Alors f(f(x)) = f(t), où Pour le spécifié t fonction f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 et il prend à nouveau toutes les valeurs de 5 à 9 inclus, c'est-à-dire gamme E(fІ) = E(f(f(x))) =.

De même, désignant z = f(f(x)), vous pouvez trouver la plage de valeurs E(f3) les fonctions f(f(f(x))) = f(z), où 5 ≤ z ≤ 9, etc. Sois sûr que E(f 3) = .

La méthode la plus universelle pour trouver un ensemble de valeurs de fonction consiste à utiliser les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction sur un intervalle donné.

Exemple 8. À quelles valeurs de paramètres R. inégalité 8 x - ð ≠ 2 x+1 – 2 x est valable pour tout -1 ≤ x< 2.

Ayant désigné t = 2x, on écrit l'inégalité sous la forme р ≠ t 3 – 2t 2 + t. Parce que t = 2x– fonction d'augmentation continue activée R, alors pour -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤t<2 2 ↔

0,5 ≤t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R. différent des valeurs de la fonction f(t) = t 3 – 2t 2 + tà 0,5 ≤ t< 4.

Trouvons d'abord l'ensemble des valeurs de la fonction f(t) sur le segment où il a une dérivée partout f'(t) =3t 2 – 4t + 1. Ainsi, f(t) est différentiable, et donc continue sur l'intervalle. De l’équation. f'(t) = 0 trouver les points critiques de la fonction t = 1/3, t = 1, dont le premier n'appartient pas au segment, et le second lui appartient. Parce que f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, alors, selon la propriété d'une fonction différentiable, 0 est la plus petite et 36 est la plus grande valeur de la fonction f(t) sur le segment. Alors f(t), en tant que fonction continue, elle prend l'intervalle toutes les valeurs de 0 à 36 inclus, et la valeur 36 ne prend que lorsque t=4, donc pour 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка . Trouvons la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur ce segment.

La dérivée est positive pour tout le monde X de l'intervalle (-1; 1) , c'est-à-dire que la fonction arc sinus augmente sur tout le domaine de définition. Par conséquent, il prend la plus petite valeur lorsque x = -1, et le meilleur à x = 1.

Nous avons obtenu la plage de la fonction arc sinus .

Trouver l'ensemble des valeurs de fonction sur le segment .

Solution.

Trouvons la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur un segment donné.

Déterminons les points extremum appartenant au segment :

Souvent, dans le cadre de la résolution de problèmes, nous devons rechercher de nombreuses valeurs d'une fonction sur un domaine de définition ou un segment. Par exemple, cela doit être fait lors de la résolution de divers types d'inégalités, de l'évaluation d'expressions, etc.

Dans ce document, nous vous indiquerons quelle est la plage de valeurs d'une fonction, donnerons les principales méthodes par lesquelles elle peut être calculée et analyserons des problèmes plus ou moins complexes. Pour plus de clarté, les dispositions individuelles sont illustrées par des graphiques. Après avoir lu cet article, vous aurez une compréhension globale de l’étendue d’une fonction.

Commençons par les définitions de base.

Définition 1

L'ensemble des valeurs d'une fonction y = f (x) sur un certain intervalle x est l'ensemble de toutes les valeurs que cette fonction prend lors d'une itération sur toutes les valeurs x ∈ X.

Définition 2

La plage de valeurs d'une fonction y = f (x) est l'ensemble de toutes ses valeurs qu'elle peut prendre lors de la recherche parmi les valeurs de x dans la plage x ∈ (f).

La plage de valeurs d'une certaine fonction est généralement désignée par E (f).

Attention, la notion d'ensemble de valeurs d'une fonction n'est pas toujours identique à sa plage de valeurs. Ces concepts ne seront équivalents que si l'intervalle de valeurs de x lors de la recherche d'un ensemble de valeurs coïncide avec le domaine de définition de la fonction.

Il est également important de faire la distinction entre la plage de valeurs et la plage de valeurs acceptables de la variable x pour l'expression du côté droit y = f (x). La plage de valeurs admissibles x pour l'expression f (x) sera le domaine de définition de cette fonction.

Vous trouverez ci-dessous une illustration montrant quelques exemples. Les lignes bleues sont des graphiques de fonctions, les lignes rouges sont des asymptotes, les points rouges et les lignes sur l'axe des ordonnées sont des plages de fonctions.

Évidemment, la plage de valeurs d'une fonction peut être obtenue en projetant le graphique de la fonction sur l'axe O y. De plus, il peut représenter soit un nombre unique, soit un ensemble de nombres, un segment, un intervalle, un rayon ouvert, une union d'intervalles numériques, etc.

Examinons les principales façons de trouver la plage de valeurs d'une fonction.

Commençons par définir l'ensemble des valeurs de la fonction continue y = f (x) sur un certain segment noté [ a ; b ] . Nous savons qu'une fonction continue sur un certain segment y atteint son minimum et son maximum, c'est-à-dire le plus grand m a x x ∈ a ; b f (x) et la plus petite valeur m i n x ∈ a ; bf (x) . Cela signifie que nous obtenons un segment m i n x ∈ a ; bf(x); m une x x ∈ une ; b f (x) , qui contiendra les ensembles de valeurs de la fonction d'origine. Il ne nous reste plus qu'à trouver les points minimum et maximum indiqués sur ce segment.

Prenons un problème dans lequel nous devons déterminer la plage des valeurs de l'arc sinus.

Exemple 1

Condition: trouver la plage de valeurs y = a r c sin x .

Solution

Dans le cas général, le domaine de définition de l'arc sinus se situe sur le segment [ - 1 ; 1 ] . Nous devons déterminer la valeur la plus grande et la plus petite de la fonction spécifiée.

y " = a r c péché x " = 1 1 - x 2

On sait que la dérivée de la fonction sera positive pour toutes les valeurs de x situées dans l'intervalle [ - 1 ; 1 ], c'est-à-dire que dans tout le domaine de définition, la fonction arc sinus va augmenter. Cela signifie qu'il prendra la plus petite valeur lorsque x est égal à - 1, et la plus grande valeur lorsque x est égal à 1.

m je n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c péché x = a r c péché 1 = π 2

Ainsi, la plage de valeurs de la fonction arc sinus sera égale à E (a r c sin x) = - π 2 ; π2.

Répondre: E (arc sin x) = - π 2 ; π 2

Exemple 2

Condition: calculer la plage de valeurs y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 sur l'intervalle donné [ 1 ; 4 ] .

Solution

Tout ce que nous avons à faire est de calculer la plus grande et la plus petite valeur de la fonction dans un intervalle donné.

Pour déterminer les points extrêmes, les calculs suivants doivent être effectués :

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1 ; 4 et l et 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ; 4 ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 , 59 ∈ 1 ; 4

Trouvons maintenant les valeurs de la fonction donnée aux extrémités du segment et des points x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 = 15 + 33 8 :

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 ans 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 ans (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Cela signifie que l'ensemble des valeurs de fonction sera déterminé par le segment 117 - 165 33 512 ; 32.

Répondre: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Passons à la recherche de l'ensemble des valeurs de la fonction continue y = f (x) dans les intervalles (a ; b), et a ; + ∞ , - ∞ ; b , - ∞ ; + ∞ .

Commençons par déterminer les points les plus grands et les plus petits, ainsi que les intervalles d'augmentation et de diminution sur un intervalle donné. Après cela, nous devrons calculer des limites unilatérales aux extrémités de l’intervalle et/ou des limites à l’infini. En d’autres termes, nous devons déterminer le comportement de la fonction dans des conditions données. Nous disposons de toutes les données nécessaires pour cela.

Exemple 3

Condition: calculer l'étendue de la fonction y = 1 x 2 - 4 sur l'intervalle (- 2 ; 2) .

Solution

Déterminer la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un segment donné

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Nous avons une valeur maximale égale à 0, puisque c'est à ce moment que le signe de la fonction change et que le graphique commence à diminuer. Voir l'illustration :

Autrement dit, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 sera la valeur maximale de la fonction.

Déterminons maintenant le comportement de la fonction pour un x qui tend vers - 2 s côté droit et k + 2 sur le côté gauche. En d’autres termes, nous trouvons des limites unilatérales :

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

Il s'avère que les valeurs de la fonction augmenteront de moins l'infini à - 1 4 lorsque l'argument passe de - 2 à 0. Et lorsque l'argument passe de 0 à 2, les valeurs de la fonction diminuent vers moins l'infini. Par conséquent, l'ensemble des valeurs d'une fonction donnée sur l'intervalle dont nous avons besoin sera (- ∞ ; - 1 4 ] .

Répondre: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Exemple 4

Condition: indique l'ensemble des valeurs y = t g x sur un intervalle donné - π 2 ; π2.

Solution

On sait que dans le cas général la dérivée de la tangente est - π 2 ; π 2 sera positif, c'est-à-dire que la fonction augmentera. Déterminons maintenant comment la fonction se comporte dans les limites données :

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Nous avons obtenu une augmentation des valeurs de la fonction de moins l'infini à plus l'infini lorsque l'argument passe de - π 2 à π 2, et on peut dire que l'ensemble des solutions de cette fonction sera l'ensemble de tous les nombres réels .

Répondre: - ∞ ; + ∞ .

Exemple 5

Condition: déterminer l'étendue de la fonction logarithme népérien y = ln x.

Solution

On sait que cette fonction est définie pour des valeurs positives de l'argument D (y) = 0 ; + ∞ . La dérivée sur un intervalle donné sera positive : y " = ln x " = 1 x . Cela signifie que la fonction augmente. Ensuite, nous devons définir une limite unilatérale pour le cas où l'argument tend vers 0 (du côté droit) et où x tend vers l'infini :

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Nous avons constaté que les valeurs de la fonction augmenteront de moins l'infini à plus l'infini à mesure que les valeurs de x changent de zéro à plus l'infini. Cela signifie que l'ensemble de tous les nombres réels est la plage de valeurs de la fonction logarithme népérien.

Répondre: l'ensemble de tous les nombres réels est la plage de valeurs de la fonction logarithme népérien.

Exemple 6

Condition: déterminer l'étendue de la fonction y = 9 x 2 + 1 .

Solution

Cette fonction est définie à condition que x soit un nombre réel. Calculons les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction, ainsi que les intervalles de son augmentation et de sa diminution :

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

En conséquence, nous avons déterminé que cette fonction diminuerait si x ≥ 0 ; augmenter si x ≤ 0 ; il a un point maximum y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 avec une variable égale à 0.

Voyons comment la fonction se comporte à l'infini :

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

Il ressort clairement du dossier que les valeurs de la fonction dans ce cas se rapprocheront asymptotiquement de 0.

Pour résumer : lorsque l'argument passe de moins l'infini à zéro, les valeurs de la fonction augmentent de 0 à 9. Lorsque les valeurs des arguments passent de 0 à plus l'infini, les valeurs de la fonction correspondante diminuent de 9 à 0. Nous l'avons montré sur la figure :

Il montre que la plage de valeurs de la fonction sera l'intervalle E (y) = (0 ; 9 ]

Répondre: E (y) = (0 ; 9 ]

Si nous devons déterminer l'ensemble des valeurs de la fonction y = f (x) sur les intervalles [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , alors nous devrons réaliser exactement les mêmes études. Nous n'analyserons pas ces cas pour l'instant : nous les rencontrerons plus tard dans problèmes.

Mais que se passe-t-il si le domaine de définition d'une certaine fonction est une union de plusieurs intervalles ? Ensuite, nous devons calculer les ensembles de valeurs sur chacun de ces intervalles et les combiner.

Exemple 7

Condition: déterminer quelle sera la plage de valeurs y = x x - 2 .

Solution

Puisque le dénominateur de la fonction ne doit pas être transformé en 0, alors D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; + ∞ .

Commençons par définir l'ensemble des valeurs de fonction sur le premier segment - ∞ ; 2, qui est une poutre ouverte. Nous savons que la fonction sur celle-ci diminuera, c'est-à-dire que la dérivée de cette fonction sera négative.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Ensuite, dans les cas où l'argument évolue vers moins l'infini, les valeurs de la fonction se rapprocheront asymptotiquement de 1. Si les valeurs de x changent de moins l'infini à 2, alors les valeurs diminueront de 1 à moins l'infini, c'est-à-dire la fonction sur ce segment prendra les valeurs de l'intervalle - ∞ ; 1 . Nous excluons l'unité de nos considérations, puisque les valeurs de la fonction ne l'atteignent pas, mais s'en approchent seulement asymptotiquement.

Pour faisceau ouvert 2 ; + ∞ nous effectuons exactement les mêmes actions. La fonction dessus diminue également :

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Les valeurs de la fonction sur un segment donné sont déterminées par l'ensemble 1 ; + ∞ . Cela signifie que la plage de valeurs dont nous avons besoin pour la fonction spécifiée dans la condition sera l'union des ensembles - ∞ ; 1 et 1 ; + ∞ .

Répondre: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .

Cela peut être vu sur le graphique :

Un cas particulier est celui des fonctions périodiques. Leur plage de valeurs coïncide avec l'ensemble des valeurs sur l'intervalle qui correspond à la période de cette fonction.

Exemple 8

Condition: déterminer la plage de valeurs du sinus y = sin x.

Solution

Le sinus est une fonction périodique et sa période est de 2 pi. Prenez le segment 0 ; 2 π et voyez quel sera l'ensemble de valeurs dessus.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Dans les 0 ; 2 π la fonction aura des points extremum π 2 et x = 3 π 2 . Calculons à quoi seront égales les valeurs de la fonction, ainsi que sur les limites du segment, puis choisissons la valeur la plus grande et la plus petite.

y (0) = péché 0 = 0 y π 2 = péché π 2 = 1 y 3 π 2 = péché 3 π 2 = - 1 y (2 π) = péché (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0 ; 2 π péché x = péché π 2 = 1

Répondre: E (péché x) = - 1 ; 1 .

Si vous avez besoin de connaître les plages de fonctions telles que puissance, exponentielle, logarithmique, trigonométrique, trigonométrique inverse, alors nous vous conseillons de relire l'article sur les fonctions élémentaires de base. La théorie que nous présentons ici permet de vérifier les valeurs qui y sont indiquées. Il est conseillé de les apprendre car ils sont souvent nécessaires pour résoudre des problèmes. Si vous connaissez les plages de fonctions de base, vous pouvez facilement trouver les plages de fonctions obtenues à partir de fonctions élémentaires à l'aide d'une transformation géométrique.

Exemple 9

Condition: déterminer la plage de valeurs y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Solution

Nous savons que le segment de 0 à pi est la plage de l’arc cosinus. En d’autres termes, E (arc cos x) = 0 ; π ou 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Nous pouvons obtenir la fonction a r c cos x 3 + 5 π 7 à partir de l'arc cosinus en le déplaçant et en l'étirant le long de l'axe O x, mais de telles transformations ne nous donneront rien. Cela signifie 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

La fonction 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 peut être obtenue à partir de l'arc cosinus a r c cos x 3 + 5 π 7 en étirant le long de l'axe des ordonnées, c'est-à-dire 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . La transformation finale est un décalage le long de l'axe O y de 4 valeurs. En conséquence, nous obtenons une double inégalité :

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Nous avons constaté que la plage de valeurs dont nous avons besoin sera égale à E (y) = - 4 ; 3 π - 4 .

Répondre: E (y) = - 4 ; 3 π - 4 .

Nous allons écrire un autre exemple sans explication, car il est complètement similaire au précédent.

Exemple 10

Condition: calculez quelle sera l'étendue de la fonction y = 2 2 x - 1 + 3.

Solution

Réécrivons la fonction spécifiée dans la condition comme y = 2 · (2 ​​​​x - 1) - 1 2 + 3. Pour une fonction puissance y = x - 1 2 la plage de valeurs sera définie sur l'intervalle 0 ; + ∞, c'est-à-dire x-1 2 > 0 . Dans ce cas:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Donc E(y) = 3 ; + ∞ .

Répondre: E(y) = 3; + ∞ .

Voyons maintenant comment trouver la plage de valeurs d'une fonction qui n'est pas continue. Pour ce faire, nous devons diviser la zone entière en intervalles et trouver des ensembles de valeurs dans chacun d'eux, puis combiner ce que nous obtenons. Pour mieux comprendre cela, nous vous conseillons de revoir les principaux types de points d’arrêt de fonctions.

Exemple 11

Condition:étant donné la fonction y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Calculez sa plage de valeurs.

Solution

Cette fonction est définie pour toutes les valeurs de x. Analysons-le pour la continuité avec des valeurs de l'argument égales à - 3 et 3 :

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

On a une discontinuité inamovible de première espèce lorsque la valeur de l'argument est - 3. À mesure qu'on s'en approche, les valeurs de la fonction tendent vers - 2 sin 3 2 - 4 , et comme x tend vers - 3 du côté droit, les valeurs tendront vers - 1 .

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Nous avons une discontinuité inamovible du deuxième type au point 3. Lorsqu'une fonction tend vers elle, ses valeurs se rapprochent - 1, lorsqu'elle tend vers le même point à droite - de moins l'infini.

Cela signifie que tout le domaine de définition de cette fonction est divisé en 3 intervalles (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).

Dans le premier d'entre eux, nous avons la fonction y = 2 sin x 2 - 4. Puisque - 1 ≤ sin x ≤ 1, on obtient :

1 ≤ péché x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Cela signifie que sur un intervalle donné (- ∞ ; - 3 ] l'ensemble des valeurs de la fonction est [ - 6 ; 2 ] .

Sur le demi-intervalle (- 3 ; 3 ] le résultat est une fonction constante y = - 1. Par conséquent, l'ensemble de ses valeurs dans dans ce cas sera réduit à un chiffre - 1.

Au deuxième intervalle 3 ; + ∞ on a la fonction y = 1 x - 3 . Il est décroissant car y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Cela signifie que l'ensemble des valeurs de la fonction d'origine pour x > 3 est l'ensemble 0 ; + ∞ . Combinons maintenant les résultats : E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Répondre: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

La solution est présentée dans le graphique :

Exemple 12

Condition : il existe une fonction y = x 2 - 3 e x. Déterminez l’ensemble de ses valeurs.

Solution

Il est défini pour toutes les valeurs d'argument qui sont des nombres réels. Déterminons dans quels intervalles cette fonction augmentera et dans lesquels elle diminuera :

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

On sait que la dérivée deviendra 0 si x = - 1 et x = 3. Plaçons ces deux points sur l'axe et découvrons quels signes la dérivée aura sur les intervalles résultants.

La fonction diminuera de (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) et augmentera de [ - 1 ; 3]. Le point minimum sera de - 1, le maximum - 3.

Trouvons maintenant les valeurs de fonction correspondantes :

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Regardons le comportement de la fonction à l'infini :

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0

La règle de L'Hôpital a été utilisée pour calculer la deuxième limite. Représentons la progression de notre solution sur un graphique.

Il montre que les valeurs de la fonction diminueront de plus l'infini à - 2 e lorsque l'argument passe de moins l'infini à - 1. S'il passe de 3 à plus l'infini, alors les valeurs diminueront de 6 e - 3 à 0, mais 0 ne sera pas atteint.

Ainsi, E(y) = [ - 2 e ; + ∞) .

Répondre: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

De nombreux problèmes nous amènent à rechercher un ensemble de valeurs de fonction sur un certain segment ou dans tout le domaine de définition. Ces tâches comprennent diverses évaluations d'expressions et la résolution d'inégalités.

Dans cet article, nous définirons la plage de valeurs d'une fonction, examinerons les méthodes pour la trouver et analyserons en détail la solution d'exemples du simple au plus complexe. Tout le matériel sera fourni avec des illustrations graphiques pour plus de clarté. Cet article est donc une réponse détaillée à la question de savoir comment trouver l’étendue d’une fonction.


Définition.

L'ensemble des valeurs de la fonction y = f(x) sur l'intervalle X est l'ensemble de toutes les valeurs d'une fonction qu'elle prend lors d'une itération sur tout .

Définition.

Plage de fonctions y = f(x) est l'ensemble de toutes les valeurs d'une fonction qu'elle prend lors d'une itération sur tous les x du domaine de définition.

La plage de la fonction est notée E(f) .

L'étendue d'une fonction et l'ensemble des valeurs d'une fonction ne sont pas la même chose. Nous considérerons ces concepts comme équivalents si l'intervalle X lors de la recherche de l'ensemble des valeurs de la fonction y = f(x) coïncide avec le domaine de définition de la fonction.

Ne confondez pas non plus la plage de la fonction avec la variable x pour l'expression à droite de l'égalité y=f(x) . La plage des valeurs admissibles de la variable x pour l'expression f(x) est le domaine de définition de la fonction y=f(x) .

La figure montre plusieurs exemples.

Les graphiques des fonctions sont représentés par des lignes bleues épaisses, les lignes rouges fines sont des asymptotes, les points rouges et les lignes sur l'axe Oy montrent la plage de valeurs de la fonction correspondante.

Comme vous pouvez le constater, la plage de valeurs d'une fonction est obtenue en projetant le graphique de la fonction sur l'axe des y. Elle pourrait être la bonne singulier(premier cas), un ensemble de nombres (deuxième cas), un segment (troisième cas), un intervalle (quatrième cas), un rayon ouvert (cinquième cas), une union (sixième cas), etc.


Alors que faut-il faire pour trouver la plage de valeurs d'une fonction ?

Commençons par le cas le plus simple : nous allons montrer comment déterminer l'ensemble des valeurs d'une fonction continue y = f(x) sur le segment.

On sait qu'une fonction continue sur un intervalle atteint sur celui-ci ses valeurs maximale et minimale. Ainsi, l'ensemble des valeurs de la fonction d'origine sur le segment sera le segment . Par conséquent, notre tâche consiste à trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction sur le segment.

Par exemple, trouvons la plage de valeurs de la fonction arc sinus.

Exemple.

Spécifiez la plage de la fonction y = arcsinx .

Solution.

L'aire de définition de l'arc sinus est le segment [-1 ; 1] . Trouvons la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur ce segment.

La dérivée est positive pour tout x à partir de l'intervalle (-1 ; 1), c'est-à-dire que la fonction arc sinus augmente sur tout le domaine de définition. Par conséquent, il prend la plus petite valeur à x = -1 et la plus grande à x = 1.

Nous avons obtenu la plage de la fonction arc sinus .

Exemple.

Trouver l'ensemble des valeurs de fonction sur le segment.

Solution.

Trouvons la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur un segment donné.

Déterminons les points extremum appartenant au segment :

Nous calculons les valeurs de la fonction d'origine aux extrémités du segment et aux points :

Par conséquent, l'ensemble des valeurs d'une fonction sur un intervalle est l'intervalle .

Nous allons maintenant montrer comment trouver l'ensemble des valeurs d'une fonction continue y = f(x) dans les intervalles (a; b) , .

Dans un premier temps, on détermine les points extremum, extremum de la fonction, intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction sur un intervalle donné. Ensuite, nous calculons les extrémités de l'intervalle et (ou) les limites à l'infini (c'est-à-dire que nous étudions le comportement de la fonction aux limites de l'intervalle ou à l'infini). Ces informations sont suffisantes pour trouver l'ensemble des valeurs de fonction sur de tels intervalles.

Exemple.

Définir l'ensemble des valeurs de fonction sur l'intervalle (-2; 2) .

Solution.

Trouvons les points extremum de la fonction tombant sur l'intervalle (-2 ; 2) :

Point x = 0 est un point maximum, puisque la dérivée change de signe de plus à moins en le traversant, et le graphique de la fonction passe de croissant à décroissant.

il y a un maximum correspondant de la fonction.

Découvrons le comportement de la fonction lorsque x tend vers -2 à droite et lorsque x tend vers 2 à gauche, c'est-à-dire que nous trouvons des limites unilatérales :

Ce que nous avons obtenu : lorsque l'argument passe de -2 à zéro, les valeurs de la fonction augmentent de moins l'infini à moins un quart (le maximum de la fonction à x = 0), lorsque l'argument passe de zéro à 2, le les valeurs de la fonction diminuent jusqu'à moins l'infini. Ainsi, l'ensemble des valeurs de fonction sur l'intervalle (-2 ; 2) est .

Exemple.

Spécifiez l'ensemble des valeurs de la fonction tangente y = tgx sur l'intervalle.

Solution.

La dérivée de la fonction tangente sur l'intervalle est positive , ce qui indique une augmentation de la fonction. Etudions le comportement de la fonction aux limites de l'intervalle :

Ainsi, lorsque l'argument passe de à, les valeurs de la fonction augmentent de moins l'infini à plus l'infini, c'est-à-dire que l'ensemble des valeurs tangentes sur cet intervalle est l'ensemble de tous les nombres réels.

Exemple.

Trouvez l'étendue de la fonction logarithme népérien y = lnx.

Solution.

La fonction logarithme népérien est définie pour valeurs positives argument . Sur cet intervalle la dérivée est positive , cela indique une augmentation de la fonction dessus. Trouvons la limite unilatérale de la fonction lorsque l'argument tend vers zéro à droite, et la limite lorsque x tend vers plus l'infini :

Nous voyons que lorsque x passe de zéro à plus l'infini, les valeurs de la fonction augmentent de moins l'infini à plus l'infini. Par conséquent, la plage de la fonction logarithme népérien correspond à l’ensemble des nombres réels.

Exemple.

Solution.

Cette fonction est définie pour toutes les valeurs réelles de x. Déterminons les points extremum, ainsi que les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction.

Par conséquent, la fonction diminue en , augmente en , x = 0 est le point maximum, le maximum correspondant de la fonction.

Regardons le comportement de la fonction à l'infini :

Ainsi, à l'infini les valeurs de la fonction se rapprochent asymptotiquement de zéro.

Nous avons découvert que lorsque l'argument passe de moins l'infini à zéro (le point maximum), les valeurs de la fonction augmentent de zéro à neuf (jusqu'au maximum de la fonction), et lorsque x passe de zéro à plus l'infini, la fonction les valeurs diminuent de neuf à zéro.

Regardez le dessin schématique.

Il est maintenant clairement visible que la plage de valeurs de la fonction est .

Trouver l'ensemble des valeurs de la fonction y = f(x) sur des intervalles nécessite des recherches similaires. Nous ne nous attarderons pas maintenant sur ces cas en détail. Nous les retrouverons dans les exemples ci-dessous.

Soit le domaine de définition de la fonction y = f(x) l'union de plusieurs intervalles. Lors de la recherche de la plage de valeurs d'une telle fonction, les ensembles de valeurs sur chaque intervalle sont déterminés et leur union est prise.

Exemple.

Trouvez la plage de la fonction.

Solution.

Le dénominateur de notre fonction ne doit pas aller vers zéro, c'est-à-dire .

Tout d'abord, trouvons l'ensemble des valeurs de fonction sur le rayon ouvert.

Dérivée d'une fonction est négatif sur cet intervalle, c'est-à-dire que la fonction y diminue.

Nous avons constaté que lorsque l'argument tend vers moins l'infini, les valeurs de la fonction se rapprochent asymptotiquement de l'unité. Lorsque x passe de moins l'infini à deux, les valeurs de la fonction diminuent de un à moins l'infini, c'est-à-dire que sur l'intervalle considéré, la fonction prend un ensemble de valeurs. Nous n'incluons pas l'unité, puisque les valeurs de la fonction ne l'atteignent pas, mais tendent seulement asymptotiquement vers elle à moins l'infini.

On procède de la même manière pour la poutre ouverte.

Sur cet intervalle la fonction diminue également.

L'ensemble des valeurs de fonction sur cet intervalle est l'ensemble .

Ainsi, la plage de valeurs souhaitée de la fonction est l'union des ensembles et .

Illustration graphique.

Une attention particulière doit être accordée aux fonctions périodiques. La plage de valeurs des fonctions périodiques coïncide avec l'ensemble des valeurs sur l'intervalle correspondant à la période de cette fonction.

Exemple.

Trouvez l'étendue de la fonction sinusoïdale y = sinx.

Solution.

Cette fonction est périodique avec une période de deux pi. Prenons un segment et définissons l'ensemble des valeurs​​sur celui-ci.

Le segment contient deux points extremum et .

Nous calculons les valeurs de la fonction en ces points et sur les limites du segment, sélectionnons les valeurs les plus petites et les plus grandes :

Ainsi, .

Exemple.

Trouver la plage d'une fonction .

Solution.

Nous savons que la plage de l'arc cosinus est le segment de zéro à pi, c'est-à-dire ou dans un autre post. Fonction peut être obtenu à partir de arccosx en décalant et en étirant le long de l'axe des abscisses. De telles transformations n'affectent pas la plage de valeurs, par conséquent, . Fonction obtenu à partir de s'étendant trois fois le long de l'axe Oy, c'est-à-dire . Et la dernière étape de la transformation est un déplacement de quatre unités vers le bas le long de l'ordonnée. Cela nous amène à une double inégalité

Ainsi, la plage de valeurs requise est .

Donnons la solution à un autre exemple, mais sans explications (elles ne sont pas obligatoires, car elles sont complètement similaires).

Exemple.

Définir la plage de fonctions .

Solution.

Écrivons la fonction originale sous la forme . La plage de valeurs de la fonction puissance est l'intervalle. C'est, . Alors

Ainsi, .

Pour compléter le tableau, il faudrait parler de trouver la plage de valeurs d'une fonction qui n'est pas continue sur le domaine de définition. Dans ce cas, nous divisons le domaine de définition en intervalles par points d'arrêt, et trouvons des ensembles de valeurs sur chacun d'eux. En combinant les ensembles de valeurs résultants, nous obtenons la plage de valeurs de la fonction d'origine. Nous recommandons de retenir 3 à gauche, les valeurs de la fonction tendent vers moins un, et comme x tend vers 3 à droite, les valeurs de la fonction tendent vers plus l'infini.

Ainsi, nous divisons le domaine de définition de la fonction en trois intervalles.

Sur l'intervalle on a la fonction . Depuis lors

Ainsi, l'ensemble des valeurs de la fonction d'origine sur l'intervalle est [-6;2] .

Sur le demi-intervalle on a une fonction constante y = -1. Autrement dit, l'ensemble des valeurs de la fonction d'origine sur l'intervalle est constitué d'un seul élément .

La fonction est définie pour toutes les valeurs d'argument valides. Découvrons les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction.

La dérivée disparaît à x=-1 et x=3. Marquons ces points sur la droite numérique et déterminons les signes de la dérivée sur les intervalles résultants.

La fonction diminue de , augmente de [-1 ; 3] , x=-1 point minimum, x=3 point maximum.

Calculons le minimum et le maximum correspondants de la fonction :

Vérifions le comportement de la fonction à l'infini :

La deuxième limite a été calculée à l'aide de .

Faisons un dessin schématique.

Lorsque l'argument passe de moins l'infini à -1, les valeurs de la fonction diminuent de plus l'infini à -2e, lorsque l'argument passe de -1 à 3, les valeurs de la fonction augmentent de -2e à, lorsque l'argument passe de 3 à plus l'infini, les valeurs de la fonction diminuent de à zéro, mais elles n'atteignent pas zéro.

Aujourd'hui, dans la leçon, nous nous tournerons vers l'un des concepts de base des mathématiques - le concept de fonction ; Examinons de plus près l'une des propriétés d'une fonction : l'ensemble de ses valeurs.

Pendant les cours

Professeur. En résolvant des problèmes, nous remarquons que c'est parfois la recherche de l'ensemble des valeurs d'une fonction qui nous met dans des situations difficiles. Pourquoi? Il semblerait que, ayant étudié une fonction depuis la 7e, nous en sachions pas mal sur celle-ci. Nous avons donc toutes les raisons d’agir de manière proactive. «Jouons» nous-mêmes aujourd'hui avec de nombreuses valeurs de fonction afin de répondre à de nombreuses questions sur ce sujet lors du prochain examen.

Ensembles de valeurs de fonctions élémentaires

Professeur. Tout d'abord, vous devez répéter les graphiques, les équations et les ensembles de valeurs des fonctions élémentaires de base dans tout le domaine de définition.

Des graphiques de fonctions sont projetés sur l'écran : linéaire, quadratique, fractionnaire-rationnel, trigonométrique, exponentielle et logarithmique, pour chacune d'elles un ensemble de valeurs est déterminé oralement. Attirer l'attention des élèves sur le fait que la fonction linéaire E(f) = R. ou un nombre, pour un linéaire fractionnaire

C'est notre alphabet. En y ajoutant nos connaissances en transformations de graphes : translation parallèle, étirement, compression, réflexion, nous pourrons résoudre les problèmes de la première partie. L'examen d'État unifié est encore un peu plus difficile. Regardons ça.

Travail indépendant

U Les termes du problème et les systèmes de coordonnées sont imprimés pour chaque élève.

1. Trouvez l'ensemble des valeurs de fonction sur l'ensemble du domaine de définition :

UN) oui= 3 péchés X ;
b) oui = 7 – 2 X ;
V) oui= –arccos ( X + 5):
G) oui= | arctg X |;
d)

2. Recherchez l'ensemble des valeurs de fonction oui = X 2 entre les deux J., Si:

UN) J. = ;
b) J. = [–1; 5).

3. Définir analytiquement la fonction (par une équation), si l'ensemble de ses valeurs est :

1) E(F(X)) = (–∞ ; 2] et F(X) - fonction

a) quadratique,
b) logarithmique,
c) démonstratif ;

2) E(F(X)) = R. \{7}.

Lorsque l'on discute d'une tâche 2travail indépendant, attirer l'attention des élèves sur le fait qu'en cas de monotonie et de continuité de la fonction y=F(X)à un intervalle donné[un;b],ses nombreuses significations-intervalle,dont les extrémités sont les valeurs de f(un)et f(b).

Options de réponse pour la tâche 3.

1.
UN) oui = –X 2 + 2 , oui = –(X + 18) 2 + 2,
oui= un(X – X c) 2 + 2 à UN < 0.

b) oui= –| journal 8 X | + 2,

V) oui = –| 3 X – 7 | + 2, oui = –5 | X | + 3.

2.
un B)

V) oui = 12 – 5X, Où X ≠ 1 .

Trouver plusieurs valeurs d'une fonction à l'aide de la dérivée

Professeur. En 10e, nous nous sommes familiarisés avec l'algorithme permettant de trouver les extrema d'une fonction continue sur un segment et de trouver son ensemble de valeurs, sans s'appuyer sur le graphique de la fonction. Tu te souviens comment nous avons fait ça ? ( Utiliser un dérivé.) Rappelons cet algorithme .

1. Assurez-vous que la fonction oui = F(X) est défini et continu sur le segment J. = [un; b].

2. Trouvez les valeurs de la fonction aux extrémités du segment : f(a) et f(b).

Commentaire. Si l'on sait que la fonction est continue et monotone sur J., alors vous pouvez immédiatement répondre : E(F) = [F(un); F(b)] ou E(F) = [F(b); F(UN)].

3. Trouver la dérivée puis les points critiques xkJ..

4. Trouver les valeurs de la fonction aux points critiques F(xk).

5. Comparez les valeurs des fonctions F(un), F(b) Et F(xk), choisissez le plus grand et plus petite valeur fonctions et donnez la réponse : E(F)= [F nom; F Naib].

Les problèmes liés à l'utilisation de cet algorithme se trouvent dans Options d'examen d'État unifié. Par exemple, en 2008, une telle tâche a été proposée. Vous devez le résoudre Maisons .

Tâche C1. Trouver la plus grande valeur de la fonction

F(X) = (0,5X + 1) 4 – 50(0,5X + 1) 2

à | X + 1| ≤ 3.

Les conditions des devoirs sont imprimées pour chaque élève .

Trouver l'ensemble des valeurs d'une fonction complexe

Professeur. La partie principale de notre leçon sera constituée de problèmes non standard contenant des fonctions complexes dont les dérivées sont des expressions très complexes. Et les graphiques de ces fonctions nous sont inconnus. Par conséquent, pour résoudre, nous utiliserons la définition d'une fonction complexe, c'est-à-dire la dépendance entre les variables dans l'ordre de leur imbrication dans une fonction donnée, et une estimation de leur plage de valeurs (l'intervalle de changement de leur valeurs). Des problèmes de ce type se retrouvent dans la deuxième partie de l'examen d'État unifié. Regardons quelques exemples.

Exercice 1. Pour les fonctions oui = F(X) Et oui = g(X) écrire une fonction complexe oui = F(g(X)) et trouvez son ensemble de valeurs :

UN) F(X) = –X 2 + 2X + 3, g(X) = péché X;
b) F(X) = –X 2 + 2X + 3, g(X) = journal 7 X;
V) g(X) = X 2 + 1;
G)

Solution. a) La fonction complexe a la forme : oui= –péché 2 X+ 2 péché X + 3.

Introduction d'un argument intermédiaire t, on peut écrire cette fonction comme ceci :

oui= –t 2 + 2t+ 3, où t= péché X.

À la fonction interne t= péché X l'argument prend n'importe quelle valeur, et l'ensemble de ses valeurs est le segment [–1 ; 1].

Ainsi, pour la fonction externe oui = –t 2 +2t+ 3 nous avons découvert l'intervalle de changement des valeurs de son argument t: t[-1; 1]. Regardons le graphique de la fonction oui = –t 2 +2t + 3.

Nous remarquons que fonction quadratiqueà t[-1; 1] prend le plus petit et valeur la plus élevéeà ses extrémités : oui nom = oui(–1) = 0 et oui naib = oui(1) = 4. Et comme cette fonction est continue sur l'intervalle [–1 ; 1], alors il accepte toutes les valeurs entre elles.

Répondre: oui .

b) La composition de ces fonctions nous conduit à une fonction complexe qui, après avoir introduit un argument intermédiaire, peut être représentée comme suit :

oui= –t 2 + 2t+ 3, où t= journal 7 X,

Fonction t= journal 7 X

X (0; +∞ ), t (–∞ ; +∞ ).

Fonction oui = –t 2 + 2t+ 3 (voir graphique) argument t prend toutes les valeurs et la fonction quadratique elle-même prend toutes les valeurs pas plus de 4.

Répondre: oui (–∞ ; 4].

c) La fonction complexe a la forme suivante :


En introduisant un argument intermédiaire, on obtient :

Où t = X 2 + 1.

Puisque pour la fonction interne X R. , UN t .

Répondre: oui (0; 3].

d) La composition de ces deux fonctions nous donne une fonction complexe

qui peut s'écrire comme

remarquerez que

Donc quand

Où k Z , t [–1; 0) (0; 1].

En traçant un graphique de la fonction on voit qu'avec ces valeurs t

oui(–∞ ; –4] c ;

b) dans toute la zone de définition.

Solution. Tout d’abord, nous examinons la monotonie de cette fonction. Fonction t= arcctg X- continu et décroissant de R. et l'ensemble de ses valeurs (0 ; π). Fonction oui= journal 5 t est défini sur l'intervalle (0; π), est continu et augmente sur celui-ci. Cela signifie que cette fonction complexe décroît sur l'ensemble R. . Et cela, en tant que composition de deux fonctions continues, sera continu sur R. .

Résolvons le problème "a".

Puisque la fonction est continue sur toute la droite numérique, elle est continue sur n'importe quelle partie de celle-ci, en particulier sur un segment donné. Et puis sur ce segment il a les valeurs les plus petites et les plus grandes et prend toutes les valeurs entre elles :


F(4) = log 5 arcctg 4.

Laquelle des valeurs résultantes est la plus grande ? Pourquoi? Et quel sera l’ensemble des valeurs ?

Répondre:

Résolvons le problème "b".

Répondre: à(–∞ ; log 5 π) sur toute la zone de définition.

Problème avec un paramètre

Essayons maintenant de créer et de résoudre une équation simple avec un paramètre de la forme F(X) = un, Où F(X) - la même fonction que dans la tâche 4.

Tâche 5. Déterminer le nombre de racines de l'équation log 5 (arcctg X) = UN pour chaque valeur de paramètre UN.

Solution. Comme nous l'avons déjà montré dans la tâche 4, la fonction à= journal 5(arcctg X) - diminue et continue R. et prend des valeurs inférieures à log 5 π. Ces informations suffisent pour donner une réponse.

Répondre: Si UN < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

Si UN≥ log 5 π, alors il n’y a pas de racines.

Professeur. Aujourd'hui, nous avons examiné les problèmes liés à la recherche de l'ensemble des valeurs d'une fonction. Au cours de ce chemin, nous avons découvert une nouvelle méthode de résolution d'équations et d'inégalités - la méthode d'estimation, donc trouver l'ensemble des valeurs de fonction est devenu un moyen de résoudre des problèmes de niveau supérieur. Ce faisant, nous avons vu comment de tels problèmes sont construits et comment les propriétés de monotonie d’une fonction facilitent leur solution.

Et j'aimerais espérer que la logique qui reliait les tâches discutées aujourd'hui vous a étonné ou du moins surpris. Il ne peut en être autrement : gravir un nouveau sommet ne laisse personne indifférent ! Nous remarquons et apprécions les belles peintures, sculptures, etc. Mais les mathématiques ont aussi leur propre beauté, attrayante et envoûtante : la beauté de la logique. Les mathématiciens disent qu’une belle solution est généralement une solution correcte, et ce n’est pas seulement une expression. Vous devez maintenant trouver de telles solutions vous-même, et nous avons indiqué aujourd'hui l'une des voies qui y mènent. Bonne chance à toi! Et rappelez-vous : celui qui marche maîtrisera la route !