Solution graphique des inégalités quadratiques en ligne. Quelques points sur la manière de résoudre les inégalités

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Par exemple, l'inégalité est l'expression \(x>5\).

Types d'inégalités :

Si \(a\) et \(b\) sont des nombres ou , alors l'inégalité est appelée numérique. Il s'agit en fait simplement de comparer deux nombres. Ces inégalités se répartissent en fidèle Et infidèle.

Par exemple:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) est une inégalité numérique incorrecte, puisque \(17+3=20\) et \(20\) est inférieur à \(115\) (et non supérieur ou égal à) .

Si \(a\) et \(b\) sont des expressions contenant une variable, alors nous avons inégalité avec variable. Ces inégalités sont divisées en types selon le contenu :

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variable uniquement à la première puissance
\(3x^2-x+5>0\)				Il y a une variable à la puissance deuxième (carré), mais il n'y a pas de puissances supérieures (troisième, quatrième, etc.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... et ainsi de suite.

Quelle est la solution à une inégalité ?

Si vous remplacez un nombre par une variable dans une inégalité, celle-ci deviendra numérique.

Si une valeur donnée pour x transforme l’inégalité d’origine en une véritable inégalité numérique, alors on l’appelle solution aux inégalités. Si ce n’est pas le cas, cette valeur n’est pas une solution. Et pour que résoudre les inégalités– il faut trouver toutes ses solutions (ou montrer qu’il n’y en a pas).

Par exemple, si nous substituons le nombre \(7\) dans l'inégalité linéaire \(x+6>10\), nous obtenons l'inégalité numérique correcte : \(13>10\). Et si nous substituons \(2\), il y aura une inégalité numérique incorrecte \(8>10\). Autrement dit, \(7\) est une solution à l’inégalité d’origine, mais \(2\) ne l’est pas.

Cependant, l’inégalité \(x+6>10\) a d’autres solutions. En effet, nous obtiendrons les inégalités numériques correctes en substituant \(5\), et \(12\), et \(138\)... Et comment trouver toutes les solutions possibles ? Pour cela ils utilisent. Pour notre cas nous avons :

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Autrement dit, tout nombre supérieur à quatre nous conviendra. Vous devez maintenant écrire la réponse. Les solutions aux inégalités sont généralement écrites numériquement, en les marquant en outre sur l'axe des nombres avec un ombrage. Pour notre cas nous avons :

Répondre: \(x\in(4;+\infty)\)

Quand le signe d’une inégalité change-t-il ?

Il existe un grand piège dans les inégalités dans lequel les étudiants « aiment » vraiment tomber :

Lorsqu'on multiplie (ou divise) une inégalité par un nombre négatif, elle est inversée (« plus » par « moins », « plus ou égal » par « inférieur ou égal », et ainsi de suite)

Pourquoi cela se produit-il ? Pour comprendre cela, regardons les transformations de l'inégalité numérique \(3>1\). C’est exact, trois est effectivement supérieur à un. Tout d'abord, essayons de le multiplier par n'importe quel nombre positif, par exemple deux :

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Comme nous pouvons le voir, après multiplication, l’inégalité reste vraie. Et quel que soit le nombre positif par lequel nous multiplions, nous obtiendrons toujours la bonne inégalité. Essayons maintenant de multiplier par un nombre négatif, par exemple moins trois :

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Le résultat est une inégalité incorrecte, car moins neuf est inférieur à moins trois ! Autrement dit, pour que l'inégalité devienne vraie (et donc que la transformation de la multiplication par négatif soit « légale »), vous devez inverser le signe de comparaison, comme ceci : \(−9<− 3\).
Avec la division, cela fonctionnera de la même manière, vous pouvez le vérifier vous-même.

La règle écrite ci-dessus s’applique à tous les types d’inégalités, pas seulement aux inégalités numériques.

Exemple: Résoudre l'inégalité \(2(x+1)-1<7+8x\)
Solution:


\(2x+2-1<7+8x\)	Déplaçons \(8x\) vers la gauche, et \(2\) et \(-1\) vers la droite, sans oublier de changer les signes
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(\|:(-6)\)	Divisons les deux côtés de l'inégalité par \(-6\), sans oublier de passer de « moins » à « plus »
	Marquons un intervalle numérique sur l'axe. Inégalité, donc nous « retirons » la valeur \(-1\) elle-même et ne la prenons pas comme réponse
	Écrivons la réponse sous forme d'intervalle

Répondre: \(x\in(-1;\infty)\)

Inégalités et handicap

Les inégalités, tout comme les équations, peuvent avoir des restrictions sur , c'est-à-dire sur les valeurs de x. En conséquence, les valeurs inacceptables selon le DZ devraient être exclues de la gamme de solutions.

Exemple: Résoudre l'inégalité \(\sqrt(x+1)<3\)

Solution: Il est clair que pour que le côté gauche soit inférieur à \(3\), l'expression radicale doit être inférieure à \(9\) (après tout, à partir de \(9\) juste \(3\)). On obtient :

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Tous? Toute valeur de x inférieure à \(8\) nous conviendra ? Non! Car si l’on prend, par exemple, la valeur \(-5\) qui semble répondre à l’exigence, ce ne sera pas une solution à l’inégalité originelle, puisqu’elle nous amènera à calculer la racine d’un nombre négatif.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Par conséquent, nous devons également prendre en compte les restrictions sur la valeur de X - il ne peut pas être tel qu'il y ait un nombre négatif sous la racine. Ainsi, nous avons la deuxième exigence pour x :

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Et pour que x soit la solution finale, il doit satisfaire aux deux exigences à la fois : il doit être inférieur à \(8\) (pour être une solution) et supérieur à \(-1\) (pour être admissible en principe). En le traçant sur la droite numérique, nous avons la réponse finale :

Répondre: \(\gauche[-1;8\droite)\)

Dans l'article, nous considérerons résoudre les inégalités. Nous vous expliquerons clairement comment construire une solution aux inégalités, avec des exemples clairs !

Avant d’envisager de résoudre les inégalités à l’aide d’exemples, comprenons les concepts de base.

Informations générales sur les inégalités

Inégalité est une expression dans laquelle les fonctions sont reliées par des signes de relation >, . Les inégalités peuvent être à la fois numériques et littérales.
Les inégalités avec deux signes du rapport sont appelées doubles, avec trois - triples, etc. Par exemple:
une(x) > b(x),
une(x) une(x) b(x),
une(x)b(x).
a(x) Les inégalités contenant le signe > ou ou - ne sont pas strictes.
Résoudre les inégalités est n'importe quelle valeur de la variable pour laquelle cette inégalité sera vraie.
"Résoudre les inégalités" signifie qu'il faut trouver l'ensemble de toutes ses solutions. Il existe différentes méthodes pour résoudre les inégalités. Pour solutions aux inégalités Ils utilisent la droite numérique, qui est infinie. Par exemple, solution aux inégalités x > 3 est l'intervalle de 3 à +, et le nombre 3 n'est pas inclus dans cet intervalle, donc le point sur la ligne est désigné par un cercle vide, car l'inégalité est stricte.
+
La réponse sera : x (3 ; +).
La valeur x=3 n'est pas incluse dans l'ensemble de solutions, la parenthèse est donc ronde. Le signe infini est toujours mis en évidence par une parenthèse. Le signe signifie « appartenance ».
Voyons comment résoudre les inégalités à l'aide d'un autre exemple avec un signe :
x2
-+
La valeur x=2 est incluse dans l'ensemble des solutions, donc la parenthèse est carrée et le point sur la ligne est indiqué par un cercle plein.
La réponse sera : x)