Problèmes insolubles : équations de Navier-Stokes, hypothèse de Hodge, hypothèse de Riemann. Les défis du millénaire

Pour les entiers n supérieurs à 2, l'équation x n + y n = z n n'a pas de solutions non nulles en nombres naturels.

Vous vous souvenez probablement de vos années d'école théorème de Pythagore: Le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des jambes. Vous vous souvenez peut-être aussi du triangle rectangle classique avec des côtés dont les longueurs sont dans le rapport 3 : 4 : 5. Pour cela, le théorème de Pythagore ressemble à ceci :

Ceci est un exemple de résolution de l'équation de Pythagore généralisée en nombres entiers non nuls avec n = 2. Grand théorème Fermat (également appelé dernier théorème de Fermat et dernier théorème de Fermat) déclare que pour les valeurs n> 2 équations de la forme xn + o n = z n n'ont pas de solutions non nulles en nombres naturels.

L’histoire du dernier théorème de Fermat est très intéressante et instructive, et pas seulement pour les mathématiciens. Pierre de Fermat a contribué au développement d'une grande variété de domaines mathématiques, mais la plupart de ses patrimoine scientifique n'a été publié qu'à titre posthume. Le fait est que les mathématiques pour Fermat étaient en quelque sorte un passe-temps et non une activité professionnelle. Il correspond avec les plus grands mathématiciens de son temps, mais ne s'efforce pas de publier ses travaux. Travaux scientifiques La ferme se retrouve principalement sous forme de correspondance privée et de notes fragmentaires, souvent écrites en marge de divers livres. C'est en marge (du deuxième volume de l'« Arithmétique » grecque antique de Diophante. - Note traducteur) peu après la mort du mathématicien, les descendants découvrirent la formulation du célèbre théorème et du post-scriptum :

« J'en ai trouvé une preuve vraiment merveilleuse, mais ces domaines sont trop étroits pour cela».

Hélas, apparemment, Fermat n'a jamais pris la peine d'écrire la « preuve miraculeuse » qu'il a trouvée, et ses descendants l'ont recherchée sans succès pendant plus de trois siècles. De tout l'héritage scientifique dispersé de Fermat, qui contient de nombreuses déclarations surprenantes, c'est le Grand Théorème qui a obstinément refusé d'être résolu.

Celui qui a tenté de prouver le dernier théorème de Fermat a échoué ! Un autre grand mathématicien français, René Descartes (1596-1650), a qualifié Fermat de « fanfaron », et le mathématicien anglais John Wallis (1616-1703) l'a qualifié de « foutu Français ». Fermat lui-même, cependant, a laissé derrière lui une preuve de son théorème pour le cas n= 4. Avec preuve pour n= 3 a été résolu par le grand mathématicien suisse-russe du XVIIIe siècle Leonhard Euler (1707-1783), après quoi, incapable de trouver des preuves de cette hypothèse, n> 4, a suggéré en plaisantant que la maison de Fermat soit fouillée pour trouver la clé des preuves perdues. Au XIXe siècle, de nouvelles méthodes en théorie des nombres ont permis de prouver cette affirmation pour de nombreux nombres entiers inférieurs à 200, mais encore une fois, pas pour tous.

En 1908, un prix de 100 000 marks allemands fut créé pour résoudre ce problème. Le fonds du prix a été légué par l'industriel allemand Paul Wolfskehl, qui, selon la légende, allait se suicider, mais a été tellement emporté par le dernier théorème de Fermat qu'il a changé d'avis sur la mort. Avec l'avènement des machines à additionner puis des ordinateurs, la barre de valeur n a commencé à augmenter de plus en plus - jusqu'à 617 au début de la Seconde Guerre mondiale, à 4 001 en 1954, à 125 000 en 1976. À la fin du XXe siècle, les ordinateurs les plus puissants des laboratoires militaires de Los Alamos (Nouveau-Mexique, États-Unis) étaient programmés pour résoudre le problème de Fermat en arrière-plan (semblable au mode économiseur d'écran d'un ordinateur personnel). Ainsi, il a été possible de montrer que le théorème est vrai pour des valeurs incroyablement grandes x, y, z Et n, mais cela ne peut pas servir de preuve stricte, puisque l'une des valeurs suivantes n ou des triplets de nombres naturels pourraient réfuter le théorème dans son ensemble.

Enfin, en 1994, le mathématicien anglais Andrew John Wiles (né en 1953), travaillant à Princeton, a publié une preuve du dernier théorème de Fermat qui, après quelques modifications, a été considérée comme exhaustive. La preuve occupait plus d’une centaine de pages de journal et reposait sur l’utilisation d’appareils modernes de mathématiques supérieures, qui n’étaient pas développés à l’époque de Fermat. Alors que voulait dire Fermat en laissant un message dans les marges du livre disant qu'il avait trouvé la preuve ? La plupart des mathématiciens avec lesquels j'ai discuté de ce sujet ont souligné qu'au fil des siècles, il y avait eu suffisamment de preuves incorrectes du dernier théorème de Fermat et que, très probablement, Fermat lui-même avait trouvé une preuve similaire, mais n'avait pas reconnu l'erreur. dedans. Cependant, il est possible qu’il existe encore une preuve courte et élégante du dernier théorème de Fermat que personne n’a encore trouvée. Une seule chose peut être dite avec certitude : aujourd'hui, nous savons avec certitude que le théorème est vrai. Je pense que la plupart des mathématiciens seraient sans réserve d’accord avec Andrew Wiles, qui a fait remarquer à propos de sa preuve : « Maintenant, mon esprit est enfin en paix. »

Pierre Fermat, lisant l'« Arithmétique » de Diophante d'Alexandrie et réfléchissant à ses problèmes, avait l'habitude de noter le résultat de ses réflexions sous forme de brefs commentaires en marge du livre. Contre le huitième problème de Diophante en marge du livre, Fermat écrit : « Au contraire, il est impossible de décomposer soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, et, en général, une puissance supérieure à un carré en deux puissances de même exposant. J'en ai découvert une preuve vraiment merveilleuse, mais ces domaines sont trop étroits pour cela.» / E.T. Bell "Les créateurs des mathématiques". M., 1979, p.69/. J'attire votre attention sur une preuve élémentaire du théorème de Fermat, que tout lycéen intéressé par les mathématiques peut comprendre.

Comparons le commentaire de Fermat sur le problème de Diophante avec la formulation moderne du dernier théorème de Fermat, qui a la forme d'une équation.
« L'équation

x n + y n = z n(où n est un entier supérieur à deux)

n'a pas de solutions en entiers positifs»

Le commentaire est dans un lien logique avec la tâche, semblable au lien logique du prédicat avec le sujet. Ce qu'affirme le problème de Diophante est au contraire affirmé par le commentaire de Fermat.

Le commentaire de Fermat peut être interprété ainsi : si équation quadratiqueà trois inconnues a un nombre infini de solutions sur l'ensemble de tous les triplets des nombres de Pythagore, alors, à l'inverse, une équation à trois inconnues à une puissance supérieure au carré

Il n’y a même pas la moindre allusion dans l’équation de son lien avec le problème de Diophante. Sa déclaration nécessite une preuve, mais il n'y a aucune condition dont il résulte qu'elle n'a pas de solutions en nombres entiers positifs.

Les options que je connais pour prouver l'équation se résument à l'algorithme suivant.

  1. Comme conclusion, l'équation du théorème de Fermat est prise, dont la validité est vérifiée par la preuve.
  2. Cette même équation est appelée originaléquation à partir de laquelle doit procéder sa preuve.

En conséquence, une tautologie s’est formée : « Si une équation n’a pas de solutions en entiers positifs, alors elle n’a pas de solutions en entiers positifs"La preuve de la tautologie est évidemment incorrecte et dénuée de sens. Mais cela est prouvé par contradiction.

  • On fait une hypothèse qui est à l’opposé de ce qui est énoncé par l’équation qui doit être prouvée. Cela ne devrait pas contredire l’équation originale, mais c’est le cas. Cela n’a aucun sens de prouver ce qui est accepté sans preuve, ni d’accepter sans preuve ce qui doit l’être.
  • Sur la base de l'hypothèse acceptée, des opérations et des actions mathématiques absolument correctes sont effectuées pour prouver qu'elle contredit l'équation originale et qu'elle est fausse.

Ainsi, depuis 370 ans, prouver l’équation du dernier théorème de Fermat reste un rêve irréalisable pour les spécialistes et les passionnés de mathématiques.

J'ai pris l'équation comme conclusion du théorème, et le huitième problème de Diophante et son équation comme condition du théorème.


"Si l'équation x 2 + y 2 = z 2 (1) a un nombre infini de solutions sur l'ensemble de tous les triplets des nombres de Pythagore, alors, inversement, l'équation x n + y n = z n , Où n > 2 (2) n’a pas de solutions sur l’ensemble des entiers positifs.

Preuve.

UN) Tout le monde sait que l’équation (1) possède un nombre infini de solutions sur l’ensemble de tous les triplets des nombres de Pythagore. Montrons qu'aucun triplet de nombres de Pythagore qui est une solution à l'équation (1) n'est une solution à l'équation (2).

Sur la base de la loi de réversibilité de l'égalité, nous intervertissons les côtés de l'équation (1). Nombres pythagoriciens (z, x, y) peut être interprété comme la longueur des côtés d'un triangle rectangle et les carrés (X 2 , oui 2 , z 2) peut être interprété comme l'aire de carrés construits sur son hypoténuse et ses pattes.

Multiplions les aires des carrés de l'équation (1) par une hauteur arbitraire h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

L'équation (3) peut être interprétée comme l'égalité du volume d'un parallélépipède à la somme des volumes de deux parallélépipèdes.

Soit la hauteur de trois parallélépipèdes h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Le volume du cube se décompose en deux volumes de deux parallélépipèdes. Nous laisserons le volume du cube inchangé et réduirons la hauteur du premier parallélépipède à X et réduire la hauteur du deuxième parallélépipède à oui . Le volume d'un cube est supérieur à la somme des volumes de deux cubes :

z 3 > x 3 + y 3 (5)

Sur l'ensemble des triplets des nombres pythagoriciens ( x, y, z ) à n=3 il ne peut y avoir de solution à l’équation (2). Par conséquent, sur l’ensemble de tous les triplets des nombres de Pythagore, il est impossible de décomposer un cube en deux cubes.

Soit dans l'équation (3) la hauteur de trois parallélépipèdes h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Le volume d'un parallélépipède se décompose en la somme des volumes de deux parallélépipèdes.
Nous laissons le côté gauche de l’équation (6) inchangé. Sur son côté droit la hauteur z 2 réduire à X au premier trimestre et avant à 2 heures au deuxième mandat.

L'équation (6) transformée en inégalité :

Le volume du parallélépipède se décompose en deux volumes de deux parallélépipèdes.

Nous laissons le côté gauche de l’équation (8) inchangé.
Sur le côté droit la hauteur zn-2 réduire à xn-2 au premier terme et réduire à y n-2 au deuxième mandat. L'équation (8) devient une inégalité :

z n > x n + y n (9)

Sur l’ensemble des triplets de nombres de Pythagore, il ne peut y avoir une seule solution à l’équation (2).

Par conséquent, sur l’ensemble de tous les triplets de nombres de Pythagore pour tout n > 2 l'équation (2) n'a pas de solutions.

Une « preuve vraiment miraculeuse » a été obtenue, mais seulement pour les triplés Nombres pythagoriciens. C'est manque de preuves et la raison du refus de P. Fermat de sa part.

B) Montrons que l'équation (2) n'a pas de solutions sur l'ensemble des triplets de nombres non pythagoriciens, qui représente une famille d'un triplet arbitraire de nombres pythagoriciens. z = 13, x = 12, y = 5 et une famille d'un triplet arbitraire d'entiers positifs z = 21, x = 19, y = 16

Les deux triplés de nombres sont membres de leur famille :

(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) (10)
(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) (11)

Le nombre de membres de la famille (10) et (11) est égal à la moitié du produit de 13 par 12 et 21 par 20, soit 78 et 210.

Chaque membre de la famille (10) contient z = 13 et variables X Et à 13 > x > 0 , 13 > o > 0 1

Chaque membre de la famille (11) contient z = 21 et variables X Et à , qui prennent des valeurs entières 21 > x >0 , 21 > o > 0 . Les variables diminuent successivement de 1 .

Les triples de nombres de la suite (10) et (11) peuvent être représentés comme une suite d'inégalités du troisième degré :

13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

et sous forme d'inégalités du quatrième degré :

13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

L'exactitude de chaque inégalité est vérifiée en élevant les nombres aux puissances troisième et quatrième.

Un cube d'un nombre plus grand ne peut pas être décomposé en deux cubes de nombres plus petits. Il est soit inférieur, soit supérieur à la somme des cubes des deux nombres plus petits.

Le biquadratique d'un plus grand nombre ne peut pas être décomposé en deux biquadratiques de plus petits nombres. Il est soit inférieur, soit supérieur à la somme des bicarrés des nombres plus petits.

À mesure que l’exposant augmente, toutes les inégalités, à l’exception de l’inégalité extrême gauche, ont la même signification :

Ils ont tous la même signification : la puissance du plus grand nombre est supérieure à la somme des puissances des deux plus petits nombres de même exposant :

13 n > 12 n + 12 n ; 13n > 12n + 11n ;…; 13n > 7n + 4n ;…; 13 n > 1 n + 1 n (12)
21 n > 20 n + 20 n ; 21n > 20n + 19n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n (13)

Le terme extrême gauche des séquences (12) (13) représente l’inégalité la plus faible. Son exactitude détermine l'exactitude de toutes les inégalités ultérieures de la séquence (12) pour n > 8 et la séquence (13) à n > 14 .

Il ne peut y avoir d’égalité entre eux. Un triplet arbitraire d’entiers positifs (21,19,16) n’est pas une solution à l’équation (2) du dernier théorème de Fermat. Si un triplet arbitraire d’entiers positifs n’est pas une solution de l’équation, alors l’équation n’a pas de solutions sur l’ensemble des entiers positifs, ce qui devait être prouvé.

AVEC) Le commentaire de Fermat sur le problème de Diophante déclare qu'il est impossible de décomposer " en général, aucune puissance supérieure à un carré, deux puissances de même exposant».

Baiser un degré supérieur au carré ne peut pas vraiment être décomposé en deux degrés de même exposant. Pas de bisous un degré supérieur au carré peut être décomposé en deux puissances de même exposant.

Tout triple arbitraire d'entiers positifs (z, x, y) peut appartenir à une famille dont chaque membre est constitué d'un nombre constant z et deux nombres plus petits z . Chaque membre de la famille peut être représenté sous la forme d'une inégalité, et toutes les inégalités qui en résultent peuvent être représentées sous la forme d'une séquence d'inégalités :

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n (14)

La séquence d'inégalités (14) commence par les inégalités pour lesquelles côté gauche est inférieur au côté droit, mais aboutit à des inégalités dans lesquelles le côté droit est inférieur au côté gauche. Avec un exposant croissant n > 2 le nombre d'inégalités du côté droit de la séquence (14) augmente. Avec l'exposant n = k toutes les inégalités du côté gauche de la suite changent de sens et prennent le sens des inégalités du côté droit des inégalités de suite (14). En augmentant l'exposant de toutes les inégalités, le côté gauche s'avère plus grand que le côté droit :

z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; zk > 2k + 1k ; z k > 1 k + 1 k (15)

Avec une nouvelle augmentation de l'exposant n>k aucune des inégalités ne change de sens et ne se transforme en égalité. Sur cette base, on peut affirmer que tout triplet d’entiers positifs arbitrairement choisi (z, x, y) à n > 2 , z > x , z > y

Dans un triplet d’entiers positifs arbitrairement choisi z peut être un nombre naturel arbitrairement grand. Pour tous les nombres naturels qui ne sont pas supérieurs à z , le dernier théorème de Fermat est prouvé.

D) Peu importe l'importance du nombre z , dans la série naturelle des nombres, il y a un ensemble grand mais fini d’entiers avant elle, et après elle il y a un ensemble infini d’entiers.

Montrons que l'ensemble infini des nombres naturels de grande taille z , forment des triplets de nombres qui ne sont pas des solutions de l'équation du dernier théorème de Fermat, par exemple un triplet arbitraire d'entiers positifs (z + 1, x, y) , dans lequel z + 1 > x Et z + 1 > oui pour toutes les valeurs de l'exposant n > 2 n'est pas une solution à l'équation du dernier théorème de Fermat.

Un triplet d'entiers positifs sélectionné au hasard (z + 1, x, y) peut appartenir à une famille de triplets de nombres dont chaque membre est constitué d'un nombre constant z+1 et deux chiffres X Et à , prenant des valeurs différentes, plus petites z+1 . Les membres de la famille peuvent être représentés sous forme d'inégalités dans lesquelles le côté gauche constant est inférieur ou supérieur au côté droit. Les inégalités peuvent être ordonnées sous la forme d’une séquence d’inégalités :

Avec une nouvelle augmentation de l'exposant n>k à l'infini, aucune des inégalités de la séquence (17) ne change de sens et ne se transforme en égalité. Dans la séquence (16), l'inégalité formée à partir d'un triplet arbitrairement choisi d'entiers positifs (z + 1, x, y) , peut être situé sur son côté droit sous la forme (z + 1) n > x n + y n ou être sur son côté gauche sous la forme (z+1)n< x n + y n .

Dans tous les cas, un triplet d'entiers positifs (z + 1, x, y) à n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > oui dans la séquence (16) représente une inégalité et ne peut pas représenter une égalité, c’est-à-dire qu’elle ne peut pas représenter une solution à l’équation du dernier théorème de Fermat.

Il est facile et simple de comprendre l'origine de la séquence d'inégalités de pouvoir (16), dans laquelle la dernière inégalité du côté gauche et la première inégalité du côté droit sont des inégalités de sens opposés. Au contraire, il n'est pas facile et difficile pour les écoliers, lycéens et lycéens, de comprendre comment une séquence d'inégalités (16) se forme à partir d'une séquence d'inégalités (17), dans laquelle toutes les inégalités ont le même sens .

Dans la séquence (16), augmenter le degré entier des inégalités de 1 unité transforme la dernière inégalité du côté gauche en la première inégalité du sens opposé du côté droit. Ainsi, le nombre d’inégalités du côté gauche de la séquence diminue et le nombre d’inégalités du côté droit augmente. Entre la dernière et la première inégalités de puissance de sens opposé, il y a nécessairement une égalité de puissance. Son degré ne peut pas être un nombre entier, puisque seuls les nombres non entiers se situent entre deux nombres naturels consécutifs. Une égalité de puissance d'un degré non entier, selon les conditions du théorème, ne peut pas être considérée comme une solution à l'équation (1).

Si dans la séquence (16) nous continuons à augmenter le degré de 1 unité, alors la dernière inégalité de son côté gauche se transformera en la première inégalité de sens opposé du côté droit. En conséquence, il n’y aura plus d’inégalités de gauche et seules subsisteront des inégalités de droite, qui seront une séquence d’inégalités de pouvoir croissantes (17). Une augmentation supplémentaire de leur puissance entière d'une unité ne fait que renforcer ses inégalités de puissance et exclut catégoriquement la possibilité d'une égalité en puissance entière.

Par conséquent, de manière générale, aucune puissance entière d'un nombre naturel (z+1) de la suite d'inégalités de puissance (17) ne peut être décomposée en deux puissances entières de même exposant. Par conséquent, l’équation (1) n’a pas de solutions sur un ensemble infini de nombres naturels, ce qui devait être prouvé.

Par conséquent, le dernier théorème de Fermat est démontré dans son intégralité :

  • dans la section A) pour tous les triplés (z, x, y) Les nombres de Pythagore (la découverte de Fermat en est vraiment une merveilleuse preuve),
  • dans la section B) pour tous les membres de la famille de tout triple (z, x, y) Les nombres pythagoriciens,
  • dans la section C) pour tous les triplets de nombres (z, x, y) , pas de grands nombres z
  • dans la section D) pour tous les triplets de nombres (z, x, y) série naturelle de nombres.

Modifications apportées le 05/09/2010

Quels théorèmes peuvent et ne peuvent pas être prouvés par contradiction ?

Le dictionnaire explicatif des termes mathématiques définit une preuve par contradiction d'un théorème, à l'opposé d'un théorème inverse.

« La preuve par contradiction est une méthode de preuve d'un théorème (proposition), qui consiste à prouver non pas le théorème lui-même, mais son théorème équivalent (équivalent). La preuve par contradiction est utilisée chaque fois que le théorème direct est difficile à prouver, mais que le théorème opposé est plus facile à prouver. Dans une preuve par contradiction, la conclusion du théorème est remplacée par sa négation, et par le raisonnement on arrive à la négation des conditions, c'est-à-dire à une contradiction, au contraire (le contraire de ce qui est donné ; cette réduction à l'absurde prouve le théorème."

La preuve par contradiction est très souvent utilisée en mathématiques. La preuve par contradiction repose sur la loi du tiers exclu, qui consiste dans le fait que de deux énoncés (énoncés) A et A (négation de A), l'un d'eux est vrai et l'autre est faux./Dictionnaire explicatif des termes mathématiques : un manuel pour les enseignants/O. V. Mantourov [etc.] ; édité par V. A. Ditkina.- M. : Éducation, 1965.- 539 p. : ill.-C.112/.

Il ne vaudrait pas mieux déclarer ouvertement que la méthode de preuve par contradiction n'est pas une méthode mathématique, bien qu'elle soit utilisée en mathématiques, qu'elle est une méthode logique et appartient à la logique. Est-il acceptable de dire que la preuve par contradiction est « utilisée chaque fois qu’un théorème direct est difficile à prouver », alors qu’en fait elle est utilisée quand et seulement quand il n’y a pas de substitut ?

La caractérisation de la relation entre les théorèmes direct et inverse mérite également une attention particulière. « Le théorème inverse d'un théorème donné (ou d'un théorème donné) est un théorème dans lequel la condition est la conclusion, et la conclusion est la condition du théorème donné. Ce théorème par rapport au théorème inverse est appelé théorème direct (original). En même temps, le théorème inverse du théorème inverse sera le théorème donné ; par conséquent, les théorèmes directs et inverses sont appelés mutuellement inverses. Si le théorème direct (donné) est vrai, alors le théorème inverse n'est pas toujours vrai. Par exemple, si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires entre elles (théorème direct). Si dans un quadrilatère les diagonales sont perpendiculaires entre elles, alors le quadrilatère est un losange - c'est faux, c'est-à-dire que le théorème inverse est faux./Dictionnaire explicatif des termes mathématiques : un manuel pour les enseignants/O. V. Mantourov [etc.] ; édité par V. A. Ditkina.- M. : Éducation, 1965.- 539 p. : ill.-C.261/.

Cette caractéristique de la relation entre les théorèmes direct et inverse ne prend pas en compte le fait que la condition du théorème direct est acceptée comme donnée, sans preuve, donc son exactitude n'est pas garantie. La condition du théorème inverse n'est pas acceptée comme donnée, puisqu'elle est la conclusion du théorème direct prouvé. Son exactitude est confirmée par la preuve du théorème direct. Cette différence logique essentielle dans les conditions des théorèmes directs et inverses s'avère décisive dans la question de savoir quels théorèmes peuvent et ne peuvent pas être prouvés par la méthode logique par contradiction.

Supposons qu'il existe un théorème direct en tête, qui peut être prouvé en utilisant la méthode mathématique habituelle, mais qui est difficile. Formulons-le en vue générale V forme abrégée Donc: depuis UN devrait E . Symbole UN a le sens de la condition donnée du théorème, acceptée sans preuve. Symbole E ce qui compte, c'est la conclusion du théorème qui doit être prouvée.

Nous allons prouver le théorème direct par contradiction, logique méthode. La méthode logique est utilisée pour prouver un théorème qui a pas mathématiqueétat, et logique condition. Il peut être obtenu si la condition mathématique du théorème depuis UN devrait E , compléter avec la condition exactement opposée depuis UN ne fais pas ça E .

Le résultat fut une condition logiquement contradictoire du nouveau théorème, contenant deux parties : depuis UN devrait E Et depuis UN ne fais pas ça E . La condition résultante du nouveau théorème correspond à la loi logique du tiers exclu et correspond à la preuve du théorème par contradiction.

Selon la loi, une partie d’une condition contradictoire est fausse, une autre partie est vraie et la troisième est exclue. La preuve par contradiction a pour tâche et pour but d’établir exactement quelle partie des deux parties de la condition du théorème est fausse. Une fois que la fausse partie de la condition est déterminée, l’autre partie est déterminée comme étant la vraie partie et la troisième est exclue.

D'après le dictionnaire explicatif des termes mathématiques, « la preuve est un raisonnement au cours duquel la vérité ou la fausseté d'un énoncé (jugement, énoncé, théorème) est établie ». Preuve par contradiction il y a un raisonnement au cours duquel il est établi fausseté(absurdité) de la conclusion découlant de FAUX conditions du théorème à prouver.

Donné: depuis UN devrait E et de UN ne fais pas ça E .

Prouver: depuis UN devrait E .

Preuve: La condition logique du théorème contient une contradiction qui nécessite sa résolution. La contradiction de la condition doit trouver sa résolution dans la preuve et son résultat. Le résultat s’avère faux avec un raisonnement sans faille et sans erreur. La raison d'une conclusion fausse dans un raisonnement logiquement correct ne peut être qu'une condition contradictoire : depuis UN devrait E Et depuis UN ne fais pas ça E .

Il n’y a aucun doute qu’une partie de la condition est fausse et que l’autre dans ce cas est vraie. Les deux parties de la condition ont la même origine, sont acceptées comme données, supposées, également possibles, également admissibles, etc. Au cours du raisonnement logique, aucune caractéristique logique n'a été découverte qui distinguerait une partie de la condition de l'autre. . Par conséquent, dans la même mesure, il peut être depuis UN devrait E et peut-être depuis UN ne fais pas ça E . Déclaration depuis UN devrait E Peut être FAUX, alors la déclaration depuis UN ne fais pas ça E sera vrai. Déclaration depuis UN ne fais pas ça E peut être fausse, alors la déclaration depuis UN devrait E sera vrai.

Il est donc impossible de prouver un théorème direct par contradiction.

Nous allons maintenant démontrer ce même théorème direct en utilisant la méthode mathématique habituelle.

Donné: UN .

Prouver: depuis UN devrait E .

Preuve.

1. Depuis UN devrait B

2. Depuis B devrait DANS (d'après le théorème précédemment prouvé)).

3. Depuis DANS devrait g (d'après le théorème précédemment prouvé).

4. Depuis g devrait D (d'après le théorème précédemment prouvé).

5. Depuis D devrait E (d'après le théorème précédemment prouvé).

Basé sur la loi de transitivité, depuis UN devrait E . Le théorème direct est prouvé par la méthode habituelle.

Soit le théorème direct prouvé avoir un théorème inverse correct : depuis E devrait UN .

Prouvons-le avec l'habituel mathématique méthode. La preuve du théorème inverse peut être exprimée sous forme symbolique comme un algorithme d'opérations mathématiques.

Donné: E

Prouver: depuis E devrait UN .

Preuve.

1. Depuis E devrait D

2. Depuis D devrait g (d'après le théorème inverse précédemment prouvé).

3. Depuis g devrait DANS (d'après le théorème inverse précédemment prouvé).

4. Depuis DANS ne fais pas ça B (le théorème inverse n'est pas vrai). C'est pourquoi depuis B ne fais pas ça UN .

Dans cette situation, cela n’a aucun sens de poursuivre la preuve mathématique du théorème inverse. La raison de cette situation est logique. Un théorème inverse incorrect ne peut être remplacé par rien. Il est donc impossible de prouver ce théorème inverse en utilisant la méthode mathématique habituelle. Tout espoir est de prouver ce théorème inverse par contradiction.

Afin de le prouver par contradiction, il est nécessaire de remplacer sa condition mathématique par une condition logique contradictoire, qui dans sa signification contient deux parties - fausse et vraie.

Théorème inverseÉtats: depuis E ne fais pas ça UN . Son état E , d'où découle la conclusion UN , est le résultat de la démonstration du théorème direct en utilisant la méthode mathématique habituelle. Cette condition doit être conservée et complétée par la mention depuis E devrait UN . Grâce à l'addition, nous obtenons la condition contradictoire du nouveau théorème inverse : depuis E devrait UN Et depuis E ne fais pas ça UN . Basé sur ceci logiquement condition contradictoire, le théorème inverse peut être prouvé au moyen de la bonne logique raisonnement seulement, et seulement, logique méthode par contradiction. Dans une preuve par contradiction, toutes les actions et opérations mathématiques sont subordonnées aux actions logiques et ne comptent donc pas.

Dans la première partie de la déclaration contradictoire depuis E devrait UN condition E a été prouvé par la preuve du théorème direct. Dans la deuxième partie depuis E ne fais pas ça UN condition E a été supposé et accepté sans preuve. L’un d’eux est faux et l’autre est vrai. Vous devez prouver lequel est faux.

Nous le prouvons par la correction logique raisonnement et découvre que son résultat est une conclusion fausse et absurde. La raison d'une fausse conclusion logique est la condition logique contradictoire du théorème, qui contient deux parties - faux et vrai. La partie fausse ne peut être qu'une déclaration depuis E ne fais pas ça UN , dans lequel E a été accepté sans justificatif. C'est ce qui le différencie de E déclarations depuis E devrait UN , ce qui est prouvé par la preuve du théorème direct.

L’affirmation est donc vraie : depuis E devrait UN , c'était ce qui devait être prouvé.

Conclusion: par la méthode logique, seul le théorème inverse est prouvé par contradiction, qui a un théorème direct prouvé par la méthode mathématique et qui ne peut être prouvé par la méthode mathématique.

La conclusion obtenue acquiert une importance exceptionnelle par rapport à la méthode de preuve par contradiction avec le grand théorème de Fermat. L'écrasante majorité des tentatives pour le prouver ne reposent pas sur la méthode mathématique habituelle, mais sur la méthode logique de preuve par contradiction. La preuve de Wiles du dernier théorème de Fermat ne fait pas exception.

Dmitry Abrarov, dans l'article « Le théorème de Fermat : le phénomène des preuves de Wiles », a publié un commentaire sur la preuve de Wiles du dernier théorème de Fermat. Selon Abrarov, Wiles prouve le dernier théorème de Fermat à l'aide d'une découverte remarquable du mathématicien allemand Gerhard Frey (né en 1944), qui a relaté la solution potentielle de l'équation de Fermat x n + y n = z n , Où n > 2 , avec une autre équation complètement différente. Cette nouvelle équation est donnée par une courbe spéciale (appelée courbe elliptique de Frey). La courbe de Frey est donnée par une équation très simple :
.

"C'est Frey qui a comparé chaque décision (une, b, c) L'équation de Fermat, c'est-à-dire les nombres satisfaisant la relation une n + b n = c n, la courbe ci-dessus. Dans ce cas, le dernier théorème de Fermat suivrait.(Citation de : Abrarov D. « Théorème de Fermat : le phénomène des preuves de Wiles »)

En d’autres termes, Gerhard Frey a suggéré que l’équation du dernier théorème de Fermat x n + y n = z n , Où n > 2 , a des solutions en entiers positifs. Ces mêmes solutions sont, selon l’hypothèse de Frey, des solutions à son équation
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , qui est donné par sa courbe elliptique.

Andrew Wiles a accepté cette découverte remarquable de Frey et, avec son aide, mathématique La méthode a prouvé que cette découverte, c'est-à-dire la courbe elliptique de Frey, n'existe pas. Par conséquent, il n'existe pas d'équation et de solutions données par une courbe elliptique inexistante. Par conséquent, Wiles aurait dû accepter la conclusion selon laquelle il n'y a pas d'équation du dernier théorème de Fermat et du théorème de Fermat lui-même. Cependant, il accepte une conclusion plus modeste selon laquelle l'équation du dernier théorème de Fermat n'a pas de solution en nombres entiers positifs.

Un fait irréfutable est peut-être que Wiles a accepté une hypothèse dont le sens est exactement le contraire de celui énoncé dans le grand théorème de Fermat. Cela oblige Wiles à prouver le dernier théorème de Fermat par contradiction. Suivons son exemple et voyons ce qui ressort de cet exemple.

Le dernier théorème de Fermat stipule que l'équation x n + y n = z n , Où n > 2 , n'a pas de solutions en entiers positifs.

Selon la méthode logique de preuve par contradiction, cet énoncé est retenu, accepté comme donné sans preuve, puis complété par un énoncé inverse : équation x n + y n = z n , Où n > 2 , a des solutions en entiers positifs.

La déclaration présumée est également acceptée telle que donnée, sans preuve. Les deux affirmations, considérées du point de vue des lois fondamentales de la logique, sont également valables, également valables et également possibles. Grâce à un raisonnement correct, il est nécessaire de déterminer laquelle est fausse pour ensuite déterminer que l’autre affirmation est vraie.

Un raisonnement correct aboutit à une conclusion fausse et absurde, dont la raison logique ne peut être que la condition contradictoire du théorème à prouver, qui contient deux parties de sens directement opposés. Ils étaient la raison logique de la conclusion absurde, le résultat d’une preuve par contradiction.

Cependant, au cours d'un raisonnement logiquement correct, aucun signe n'a été découvert permettant de déterminer quelle affirmation particulière est fausse. Cela pourrait être une déclaration : équation x n + y n = z n , Où n > 2 , a des solutions en entiers positifs. Sur la même base, cela pourrait être l'énoncé suivant : équation x n + y n = z n , Où n > 2 , n'a pas de solutions en entiers positifs.

À la suite du raisonnement, il ne peut y avoir qu’une seule conclusion : Le dernier théorème de Fermat ne peut pas être prouvé par contradiction.

Ce serait une toute autre affaire si le dernier théorème de Fermat était un théorème inverse, dont le théorème direct est prouvé par la méthode mathématique habituelle. Dans ce cas, cela pourrait être prouvé par contradiction. Et comme il s’agit d’un théorème direct, sa démonstration doit être basée non sur la méthode logique de preuve par contradiction, mais sur la méthode mathématique ordinaire.

Selon D. Abrarov, le plus célèbre des mathématiciens russes modernes, l’académicien V. I. Arnold, a réagi « avec un scepticisme actif » à la preuve de Wiles. L'académicien a déclaré : « ce ne sont pas de vraies mathématiques - les vraies mathématiques sont géométriques et ont des liens étroits avec la physique. » (Citation de : Abrarov D. « Le théorème de Fermat : le phénomène des preuves de Wiles. » La déclaration de l'académicien exprime l'essence même de Preuve non mathématique de Wiles du dernier théorème de Fermat.

Par contradiction, il est impossible de prouver soit que l'équation du dernier théorème de Fermat n'a pas de solutions, soit qu'elle a des solutions. L'erreur de Wiles n'est pas mathématique, mais logique - l'utilisation de la preuve par contradiction là où son utilisation n'a pas de sens et que le grand théorème de Fermat ne prouve pas.

Le dernier théorème de Fermat ne peut pas être prouvé même en utilisant la méthode mathématique habituelle s'il donne : l'équation x n + y n = z n , Où n > 2 , n'a pas de solutions en entiers positifs, et si vous voulez y prouver : l'équation x n + y n = z n , Où n > 2 , n'a pas de solutions en entiers positifs. Sous cette forme, il n’y a pas de théorème, mais une tautologie dénuée de sens.

Note. Ma preuve BTF a été discutée sur l'un des forums. L’un des participants de Trotil, expert en théorie des nombres, a fait la déclaration suivante faisant autorité, intitulée : « Un bref récit de ce que Mirgorodsky a fait ». Je le cite mot pour mot :

« UN. Il a prouvé que si z 2 = x 2 + y , Que z n > x n + y n . C’est un fait bien connu et tout à fait évident.

DANS. Il a pris deux triples - pythagoriciens et non pythagoriciens et a montré par simple recherche que pour une famille spécifique et spécifique de triples (78 et 210 pièces) le BTF est satisfait (et seulement pour elle).

AVEC. Et puis l'auteur a omis le fait que depuis < plus tard, il se peut que ce soit le cas = , pas seulement > . Un contre-exemple simple : la transition n=1 V n=2 dans le triplet pythagoricien.

D. Ce point n’apporte rien de significatif à la preuve BTF. Conclusion : le BTF n’a pas été prouvé.

Je vais examiner sa conclusion point par point.

UN. Cela prouve le BTF pour l’ensemble infini des triplets des nombres de Pythagore. Prouvé par une méthode géométrique qui, comme je le crois, n'a pas été découverte par moi, mais redécouverte. Et cela a été découvert, je crois, par P. Fermat lui-même. Fermat avait peut-être cela à l’esprit lorsqu’il écrivait :

"J'en ai découvert une preuve vraiment merveilleuse, mais ces domaines sont trop étroits pour cela." Cette hypothèse est basée sur le fait que dans le problème diophantien, contre lequel Fermat a écrit en marge du livre, nous parlons de solutions à l'équation diophantienne, qui sont des triplets de nombres pythagoriciens.

Un ensemble infini de triplets de nombres de Pythagore sont des solutions de l’équation de Diophate, et dans le théorème de Fermat, au contraire, aucune des solutions ne peut être une solution de l’équation du théorème de Fermat. Et la preuve vraiment merveilleuse de Fermat est directement liée à ce fait. Fermat pourra plus tard étendre son théorème à l’ensemble de tous les nombres naturels. Sur l’ensemble de tous les nombres naturels, BTF n’appartient pas à « l’ensemble des théorèmes d’une beauté exceptionnelle ». C'est mon hypothèse, qui ne peut être ni prouvée ni infirmée. Il peut être accepté ou rejeté.

DANS.À ce stade, je prouve que la famille d'un triplet de nombres pythagoriciens arbitrairement pris et la famille d'un triplet de nombres non pythagoriciens arbitrairement pris sont satisfaites. C'est un lien intermédiaire nécessaire, mais insuffisant dans ma preuve de BTF. . Les exemples que j'ai pris de la famille du triplet des nombres pythagoriciens et de la famille du triplet des nombres non pythagoriciens ont le sens d'exemples spécifiques qui présupposent et n'excluent pas l'existence d'autres exemples similaires.

La déclaration de Trotil selon laquelle j'ai « montré par simple recherche que pour une famille spécifique et spécifique de triolets (78 et 210 pièces) le BTF est satisfait (et seulement pour lui) est sans fondement. Il ne peut réfuter le fait que je peux tout aussi bien prendre d’autres exemples de triplets pythagoriciens et non pythagoriciens pour obtenir une famille spécifique et définie de l’un et de l’autre triple.

Quelle que soit la paire de triplets que je prends, la vérification de leur adéquation à la résolution du problème ne peut être effectuée, à mon avis, que par la méthode de la « simple énumération ». Je ne connais aucune autre méthode et je n’en ai pas besoin. Si Trotil n'aimait pas ça, il aurait dû proposer une autre méthode, ce qu'il ne fait pas. Sans rien offrir en retour, il est inexact de condamner la « simple exagération », qui dans ce cas est irremplaçable.

AVEC. J'ai omis = entre< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), dans lequel le degré n > 2 — entier nombre positif. De l'égalité entre les inégalités il découle obligatoire considération de l'équation (1) pour une valeur de degré non entière n > 2 . Trotil, compter obligatoire la considération de l’égalité entre les inégalités considère effectivement nécessaire dans la preuve BTF, considération de l’équation (1) avec pas entier valeur du degré n > 2 . Je l'ai fait moi-même et j'ai trouvé cette équation (1) avec pas entier valeur du degré n > 2 a une solution de trois nombres : z, (z-1), (z-1) pour un exposant non entier.

Fermat a développé un intérêt pour les mathématiques de manière inattendue et à un âge assez avancé. En 1629, une traduction latine de l'ouvrage de Pappus, contenant un bref résumé des résultats d'Apollonius sur les propriétés des sections coniques, tomba entre ses mains. Fermat, polyglotte, expert en droit et en philologie antique, entreprend soudain de restaurer complètement le cours du raisonnement du célèbre scientifique. Avec le même succès, un avocat moderne peut essayer de reproduire indépendamment toutes les preuves d'une monographie à partir de problèmes, par exemple de topologie algébrique. Pourtant, l’entreprise impensable est couronnée de succès. De plus, en fouillant dans les constructions géométriques des anciens, il fait une découverte étonnante : pour trouver les maxima et les minima des aires des figures, des dessins ingénieux ne sont pas nécessaires. Il est toujours possible de construire et de résoudre une équation algébrique simple dont les racines déterminent l’extremum. Il a proposé un algorithme qui allait devenir la base du calcul différentiel.

Il est rapidement passé à autre chose. Il a trouvé des conditions suffisantes pour l'existence de maxima, a appris à déterminer les points d'inflexion et a tracé des tangentes à toutes les courbes connues du deuxième et du troisième ordre. Quelques années encore, et il trouve une nouvelle méthode purement algébrique pour trouver des quadratures pour des paraboles et des hyperboles d'ordre arbitraire (c'est-à-dire des intégrales de fonctions de la forme y p = Cx q Et y p x q = C), calcule les aires, les volumes, les moments d'inertie des corps de révolution. Ce fut une véritable avancée. Sentant cela, Fermat commence à chercher à communiquer avec les autorités mathématiques de l'époque. Il est confiant et a soif de reconnaissance.

En 1636, il écrit sa première lettre à Son Révérend Marin Mersenne : « Saint-Père ! Je vous suis extrêmement reconnaissant de l'honneur que vous m'avez fait en me donnant l'espoir que nous pourrons nous entretenir par écrit ; ...Je serai très heureux d'apprendre de vous tous les nouveaux traités et livres de mathématiques parus au cours des cinq ou six dernières années. ...J'ai également trouvé de nombreuses méthodes analytiques pour divers problèmes, tant numériques que géométriques, pour la solution desquels l'analyse de Vieta est insuffisante. Je partagerai tout cela avec vous quand vous le voudrez, et sans aucune arrogance, dont je suis plus libre et plus éloigné que toute autre personne au monde.

Qui est le Père Mersenne ? Il s'agit d'un moine franciscain, scientifique aux talents modestes et organisateur remarquable, qui a dirigé pendant 30 ans le cercle mathématique parisien, devenu le véritable centre de la science française. Par la suite, le cercle de Mersenne, par décret de Louis XIV, sera transformé en Académie des Sciences de Paris. Mersenne entretenait inlassablement une immense correspondance, et sa cellule dans le monastère de l'Ordre des Minimes sur la Place Royale était une sorte de « bureau de poste pour tous les savants d'Europe, de Galilée à Hobbes ». La correspondance remplace alors les revues scientifiques, parues bien plus tard. Les réunions chez Mersenne avaient lieu chaque semaine. Le noyau du cercle était constitué des naturalistes les plus brillants de l'époque : Robertville, Pascal le Père, Desargues, Midorge, Hardy et, bien sûr, le célèbre et universellement reconnu Descartes. René du Perron Descartes (Cartesius), manteau de noble, deux domaines familiaux, fondateur du cartésianisme, « père » de la géométrie analytique, l'un des fondateurs des nouvelles mathématiques, ainsi qu'ami de Mersenne et condisciple au collège des Jésuites. Cet homme merveilleux va devenir un cauchemar pour Fermat.

Mersenne a trouvé les résultats de Fermat suffisamment intéressants pour introduire le provincial dans son club d'élite. La ferme entame immédiatement une correspondance avec de nombreux membres du cercle et est littéralement bombardée de lettres de Mersenne lui-même. De plus, il envoie des manuscrits terminés au jugement des savants : « Introduction aux lieux plats et solides », et un an plus tard - « Méthode de recherche des maxima et minima » et « Réponses aux questions de B. Cavalieri ». Ce que Fermat expliquait était absolument nouveau, mais il n'y avait aucune sensation. Les contemporains n’ont pas frémi. Ils n’ont pas compris grand-chose, mais ils ont trouvé des indications claires selon lesquelles Fermat avait emprunté l’idée de l’algorithme de maximisation au traité de Johannes Kepler au titre amusant « La nouvelle stéréométrie des fûts de vin ». En effet, dans le raisonnement de Kepler, il y a des expressions telles que « Le volume d’un chiffre est plus grand si, des deux côtés de la place de plus grande valeur, la diminution est d’abord insensible ». Mais l’idée d’un petit incrément d’une fonction proche d’un extremum n’était pas du tout dans l’air. Les meilleurs esprits analytiques de l’époque n’étaient pas prêts à manipuler de petites quantités. Le fait est qu'à cette époque, l'algèbre était considérée comme une sorte d'arithmétique, c'est-à-dire des mathématiques de seconde classe, un outil primitif à portée de main, développé pour les besoins de la pratique de base (« seuls les marchands comptent bien »). La tradition prescrivait le respect de méthodes de preuve purement géométriques, remontant aux mathématiques anciennes. Fermat fut le premier à comprendre que des quantités infinitésimales peuvent être ajoutées et réduites, mais il est assez difficile de les représenter sous forme de segments.

Il faudra près d'un siècle à Jean d'Alembert pour admettre dans sa célèbre Encyclopédie : « Fermat fut l'inventeur du nouveau calcul. C’est avec lui que l’on trouve la première application des différentielles pour trouver des tangentes. DANS fin XVIII siècle, Joseph Louis Comte de Lagrange s’exprime encore plus clairement : « Mais les géomètres – contemporains de Fermat – n’ont pas compris ce nouveau genre de calcul. Ils n'ont vu que des cas particuliers. Et cette invention, apparue peu avant la Géométrie de Descartes, resta infructueuse pendant quarante ans. » Lagrange fait référence à 1674, date à laquelle furent publiées les Conférences d'Isaac Barrow, qui traitaient en détail de la méthode de Fermat.

Entre autres choses, il est vite apparu que Fermat était plus enclin à formuler de nouveaux problèmes qu’à résoudre humblement les problèmes proposés par les compteurs. À l'ère des duels, l'échange de tâches entre experts était généralement accepté comme une forme de clarification des problèmes liés à la subordination. Mais Fermat ne connaît visiblement pas les limites. Chacune de ses lettres est un défi contenant des dizaines de problèmes complexes non résolus, et sur les sujets les plus inattendus. Voici un exemple de son style (adressé à Frénicule de Bessy) : « Item, quel est le plus petit carré qui, réduit de 109 et ajouté de un, donnera un carré ? Si tu ne m'envoies pas solution générale, puis envoyez le quotient de ces deux nombres, que j'ai choisi petit pour ne pas trop vous confondre. Après avoir reçu votre réponse, je vous proposerai d'autres choses. Il est clair sans trop de réserves que ma proposition nécessite de trouver des nombres entiers, puisque dans le cas de nombres fractionnaires, le moindre arithmétique pourrait arriver au but. Fermat se répétait souvent, formulant plusieurs fois les mêmes questions, et bluffait ouvertement, affirmant qu'il avait une solution inhabituellement élégante au problème proposé. Il y a eu aussi des erreurs directes. Certains d'entre eux ont été remarqués par les contemporains et certaines déclarations insidieuses ont induit les lecteurs en erreur pendant des siècles.

Le cercle de Mersenne a réagi de manière adéquate. Seul Robertville, le seul membre du cercle à avoir eu des problèmes avec son origine, conserve le ton amical des lettres. Le bon berger Père Mersenne tente de raisonner « l’impudent Toulouse ». Mais Fermat n'entend pas s'excuser : « Révérend Père ! Vous m'écrivez que la pose de mes problèmes impossibles a irrité et refroidi MM. Saint-Martin et Frenicle et que c'est la raison pour laquelle ils ont cessé leurs lettres. Cependant, je veux leur objecter que ce qui semble au premier abord impossible ne l'est pas en réalité et qu'il existe de nombreux problèmes qui, comme le disait Archimède… », etc.

Cependant, Fermat est fallacieux. C'est à Frenicles qu'il confia le problème de trouver un triangle rectangle à côtés entiers dont l'aire est égale au carré de l'entier. Je l'ai envoyé, même si je savais que le problème n'avait évidemment pas de solution.

Descartes prit la position la plus hostile envers Fermat. Dans sa lettre à Mersenne de 1938 on lit : « puisque j'ai appris que c'est le même homme qui avait tenté auparavant de réfuter ma Dioptrie, et puisque vous m'avez informé qu'il avait envoyé ceci après avoir lu ma Géométrie » et surpris que je ne l'aie pas fait. trouve la même chose, c'est-à-dire que (comme j'ai des raisons de l'interpréter) je l'ai envoyé dans le but d'entrer en rivalité et de montrer qu'en cela il en sait plus que moi, et puisque même dans vos lettres, j'ai appris qu'il avait un réputation de géomètre très érudit, alors je me considère obligé de lui répondre. Descartes désignera plus tard solennellement sa réponse comme « le petit procès des Mathématiques contre M. Fermat ».

Il est facile de comprendre ce qui a rendu furieux l’éminent scientifique. Premièrement, dans le raisonnement de Fermat, apparaissent constamment des axes de coordonnées et la représentation des nombres par segments - une technique que Descartes développe de manière exhaustive dans sa « Géométrie » qui vient de paraître. Fermat vient à l'idée de remplacer les dessins par des calculs en toute indépendance ; à certains égards, il est encore plus cohérent que Descartes. Deuxièmement, Fermat démontre avec brio l'efficacité de sa méthode de recherche des minima en prenant l'exemple du problème du trajet le plus court d'un rayon lumineux, clarifiant et complétant Descartes avec sa « Dioptrie ».

Les mérites de Descartes en tant que penseur et innovateur sont énormes, mais ouvrons l'« Encyclopédie mathématique » moderne et regardons la liste des termes associés à son nom : « Coordonnées cartésiennes » (Leibniz, 1692), « Feuille cartésienne », « Cartésienne ovales ». Aucun de ses arguments n’est entré dans l’histoire comme le « théorème de Descartes ». Descartes est avant tout un idéologue : il est le fondateur d'une école philosophique, il forme des concepts, améliore le système des symboles alphabétiques, mais son héritage créatif contient peu de nouvelles techniques spécifiques. En revanche, Pierre Fermat écrit peu, mais pour une raison quelconque, il peut inventer de nombreuses astuces mathématiques ingénieuses (voir aussi « Théorème de Fermat », « Principe de Fermat », « Méthode de descente infinie de Fermat »). Ils étaient probablement à juste titre jaloux l’un de l’autre. Une collision était inévitable. Avec la médiation des Jésuites de Mersenne, éclate une guerre qui dure deux ans. Cependant, Mersenne s'est avérée être là avant l'histoire : la bataille acharnée des deux titans, leurs intenses, pour le moins, polémiques ont contribué à la compréhension des concepts clés de l'analyse mathématique.

Fermat est le premier à se désintéresser de la discussion. Apparemment, il s'est expliqué directement à Descartes et n'a plus jamais offensé son adversaire. Dans l'un de leurs derniers travaux«Synthèse pour la Réfraction», dont il a envoyé le manuscrit à de la Chambre, Fermat rappelle par le mot «le plus savant Descartes» et souligne par tous les moyens sa priorité en matière d'optique. Entre-temps, c'est ce manuscrit qui contenait une description du célèbre « principe de Fermat », qui fournit une explication complète des lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière. Les clins d’œil à Descartes dans des travaux de ce niveau étaient totalement inutiles.

Ce qui s'est passé? Pourquoi Fermat, mettant de côté son orgueil, a-t-il opté pour la réconciliation ? En lisant les lettres de Fermat de ces années (1638 - 1640), on peut supposer la chose la plus simple : durant cette période ses intérêts scientifiques ont radicalement changé. Il abandonne la cycloïde à la mode, cesse de s'intéresser aux tangentes et aux zones et oublie pendant 20 ans sa méthode de recherche du maximum. Ayant d'énormes mérites dans les mathématiques du continu, Fermat s'est complètement immergé dans les mathématiques du discret, laissant à ses adversaires des dessins géométriques dégoûtants. Les chiffres deviennent sa nouvelle passion. En fait, toute la « Théorie des nombres », en tant que discipline mathématique indépendante, doit entièrement sa naissance à la vie et à l’œuvre de Fermat.

<…>Après la mort de Fermat, son fils Samuel publia en 1670 un exemplaire de « l'Arithmétique » appartenant à son père sous le titre « Six livres d'arithmétique de Diophante d'Alexandrie avec commentaires de L. G. Bachet et remarques de P. de Fermat, sénateur de Toulouse ». Le livre comprenait également certaines lettres de Descartes et le texte intégral de l’ouvrage de Jacques de Bigly « Une nouvelle découverte dans l’art de l’analyse », rédigé sur la base des lettres de Fermat. La publication a été un succès incroyable. Un monde lumineux sans précédent s'est ouvert devant les spécialistes émerveillés. Le caractère inattendu, et surtout l’accessibilité, la démocratie des résultats de Fermat en matière de théorie des nombres ont donné lieu à de nombreuses imitations. À cette époque, peu de gens comprenaient comment l'aire d'une parabole est calculée, mais chaque étudiant pouvait comprendre la formulation du dernier théorème de Fermat. Une véritable chasse aux lettres inconnues et perdues du scientifique s'engage. Jusqu'à la fin du XVIIe siècle. Chaque mot de sa découverte a été publié et réédité. Mais l’histoire mouvementée du développement des idées de Fermat ne faisait que commencer.

Ainsi, le dernier théorème de Fermat (souvent appelé dernier théorème de Fermat), formulé en 1637 par le brillant mathématicien français Pierre Fermat, est de nature très simple et compréhensible pour toute personne ayant une éducation secondaire. Il dit que la formule a à la puissance n + b à la puissance n = c à la puissance n n'a pas de solutions naturelles (c'est-à-dire non fractionnaires) pour n > 2. Tout semble simple et clair, mais le Les meilleurs mathématiciens et les amateurs ordinaires ont lutté pour trouver une solution pendant plus de trois siècles et demi.


Pourquoi est-elle si célèbre ? Maintenant, nous allons le découvrir...



Existe-t-il de nombreux théorèmes prouvés, non prouvés et encore non prouvés ? Le point ici est que le dernier théorème de Fermat représente le plus grand contraste entre la simplicité de la formulation et la complexité de la preuve. Le dernier théorème de Fermat est un problème incroyablement difficile, et pourtant sa formulation peut être comprise par toute personne ayant atteint la 5e année du lycée, mais même tous les mathématiciens professionnels ne peuvent pas comprendre la preuve. Ni en physique, ni en chimie, ni en biologie, ni en mathématiques, il n'y a pas un seul problème qui puisse être formulé aussi simplement, mais qui soit resté aussi longtemps sans solution. 2. De quoi s’agit-il ?

Commençons par le pantalon pythagoricien. Le libellé est très simple - à première vue. Comme nous le savons depuis l’enfance, « les pantalons pythagoriciens sont égaux de tous côtés ». Le problème semble si simple car il repose sur un énoncé mathématique que tout le monde connaît - le théorème de Pythagore : dans tout triangle rectangle, le carré construit sur l'hypoténuse est égal à la somme des carrés construits sur les jambes.

Au 5ème siècle avant JC. Pythagore a fondé la confrérie pythagoricienne. Les Pythagoriciens, entre autres, étudiaient les triplets entiers satisfaisant l'égalité x²+y²=z². Ils ont prouvé qu’il existe une infinité de triplets pythagoriciens et ont obtenu formules générales pour les trouver. Ils ont probablement essayé de rechercher des diplômes C et supérieurs. Convaincus que cela ne marchait pas, les Pythagoriciens abandonnèrent leurs tentatives inutiles. Les membres de la confrérie étaient plus des philosophes et des esthètes que des mathématiciens.


Autrement dit, il est facile de sélectionner un ensemble de nombres qui satisfont parfaitement à l'égalité x²+y²=z²

En partant de 3, 4, 5 - en effet, un étudiant junior comprend que 9 + 16 = 25.

Ou 5, 12, 13 : 25 + 144 = 169. Génial.

Et ainsi de suite. Et si nous prenions une équation similaire x³+y³=z³ ? Peut-être qu'il existe aussi de tels chiffres ?




Et ainsi de suite (Fig. 1).

Il s’avère donc qu’ils ne le sont PAS. C'est là que le truc commence. La simplicité apparaît, car il est difficile de prouver non pas la présence de quelque chose, mais au contraire son absence. Lorsque vous devez prouver qu’il existe une solution, vous pouvez et devez simplement présenter cette solution.

Prouver l'absence est plus difficile : par exemple, quelqu'un dit : telle ou telle équation n'a pas de solution. Le mettre dans une flaque d'eau ? facile : bam - et la voici, la solution ! (donner la solution). Et voilà, l’adversaire est vaincu. Comment prouver son absence ?

Dire : « Je n’ai pas trouvé de telles solutions » ? Ou peut-être que vous n'aviez pas l'air bien ? Et s’ils existaient, seulement très grands, très grands, de telle sorte que même un ordinateur super puissant n’ait toujours pas assez de puissance ? C’est ça qui est difficile.

Cela peut être représenté visuellement comme ceci : si vous prenez deux carrés de tailles appropriées et les démontez en carrés unitaires, alors à partir de ce groupe de carrés unitaires, vous obtenez un troisième carré (Fig. 2) :


Mais faisons la même chose avec la troisième dimension (Fig. 3) – ça ne marche pas. Il n'y a pas assez de cubes, ou il en reste des supplémentaires :





Mais le mathématicien français du XVIIe siècle Pierre de Fermat a étudié avec enthousiasme l'équation générale x n + y n = z n . Et enfin, j'ai conclu : pour n>2 il n'y a pas de solutions entières. La preuve de Fermat est irrémédiablement perdue. Les manuscrits brûlent ! Il ne reste que sa remarque dans l’Arithmétique de Diophante : « J’ai trouvé une preuve vraiment étonnante de cette proposition, mais les marges ici sont trop étroites pour la contenir. »

En fait, un théorème sans preuve s’appelle une hypothèse. Mais Fermat a la réputation de ne jamais commettre d’erreur. Même s'il n'a laissé aucune preuve de sa déclaration, celle-ci a été confirmée par la suite. De plus, Fermat a prouvé sa thèse pour n=4. Ainsi, l’hypothèse du mathématicien français est entrée dans l’histoire sous le nom de Dernier théorème de Fermat.

Après Fermat, de grands esprits comme Léonhard Euler travaillèrent à la recherche d'une preuve (en 1770 il proposa une solution pour n = 3),

Adrien Legendre et Johann Dirichlet (ces scientifiques ont trouvé conjointement la preuve de n = 5 en 1825), Gabriel Lamé (qui a trouvé la preuve de n = 7) et bien d'autres. Au milieu des années 80 du siècle dernier, il est devenu clair que le monde scientifique était sur le point de trouver la solution finale du dernier théorème de Fermat, mais ce n'est qu'en 1993 que les mathématiciens ont vu et cru que l'épopée de trois siècles de recherche d'une preuve du dernier théorème de Fermat était pratiquement terminé.

On montre facilement qu’il suffit de prouver le théorème de Fermat uniquement pour n simple : 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Pour n composé, la preuve reste valable. Mais il existe une infinité de nombres premiers...

En 1825, en utilisant la méthode de Sophie Germain, les mathématiciennes Dirichlet et Legendre démontrèrent indépendamment le théorème pour n=5. En 1839, en utilisant la même méthode, le Français Gabriel Lame montra la vérité du théorème pour n=7. Peu à peu, le théorème a été prouvé pour presque tous les n inférieurs à cent.


Enfin, le mathématicien allemand Ernst Kummer, dans une brillante étude, a montré que le théorème en général ne peut être prouvé en utilisant les méthodes mathématiques du XIXe siècle. Le Prix de l'Académie française des sciences, créé en 1847 pour la preuve du théorème de Fermat, n'a pas été décerné.

En 1907, le riche industriel allemand Paul Wolfskehl décide de se suicider à cause d'un amour non partagé. En vrai Allemand, il a fixé la date et l’heure du suicide : exactement à minuit. Le dernier jour, il a rédigé un testament et écrit des lettres à ses amis et à ses proches. Les choses se sont terminées avant minuit. Il faut dire que Paul s'intéressait aux mathématiques. N’ayant rien d’autre à faire, il se rendit à la bibliothèque et commença à lire le célèbre article de Kummer. Soudain, il lui sembla que Kummer s'était trompé dans son raisonnement. Wolfskel a commencé à analyser cette partie de l'article avec un crayon à la main. Minuit est passé, le matin est venu. La lacune dans la preuve a été comblée. Et la raison même du suicide paraissait désormais complètement ridicule. Paul a déchiré lettres d'adieu et réécrit le testament.

Il mourut bientôt de causes naturelles. Les héritiers furent assez surpris : 100 000 marks (plus de 1 000 000 de livres sterling actuelles) furent transférés sur le compte du Royal société scientifique Göttingen, qui a annoncé la même année un concours pour le prix Wolfskehl. 100 000 points ont été attribués à celui qui a prouvé le théorème de Fermat. Pas un pfennig n'a été attribué pour réfuter le théorème...

La plupart des mathématiciens professionnels considéraient la recherche d'une preuve du dernier théorème de Fermat comme une tâche désespérée et refusaient résolument de perdre du temps dans un exercice aussi inutile. Mais les amateurs se sont éclatés. Quelques semaines après l’annonce, une avalanche de « preuves » s’est abattue sur l’université de Göttingen. Le professeur E.M. Landau, dont la responsabilité était d'analyser les preuves envoyées, a distribué des cartes à ses étudiants :


Cher. . . . . . . .

Merci de m'avoir envoyé le manuscrit avec la preuve du dernier théorème de Fermat. La première erreur est à la page... en ligne... . De ce fait, toute la preuve perd sa validité.
Professeur E. M. Landau











En 1963, Paul Cohen, s'appuyant sur les découvertes de Gödel, prouva l'insolvabilité de l'un des vingt-trois problèmes de Hilbert : l'hypothèse du continu. Et si le dernier théorème de Fermat était également indécidable ?! Mais les vrais fanatiques du Grand Théorème n’ont pas été déçus du tout. L’avènement des ordinateurs a soudainement offert aux mathématiciens une nouvelle méthode de preuve. Après la Seconde Guerre mondiale, des équipes de programmeurs et de mathématiciens ont prouvé le dernier théorème de Fermat pour toutes les valeurs de n jusqu'à 500, puis jusqu'à 1 000, et plus tard jusqu'à 10 000.

Dans les années 1980, Samuel Wagstaff a élevé la limite à 25 000, et dans les années 1990, les mathématiciens ont déclaré que le dernier théorème de Fermat était vrai pour toutes les valeurs de n jusqu'à 4 millions. Mais si vous soustrayez ne serait-ce qu’un billion de milliards à l’infini, il ne deviendra pas plus petit. Les mathématiciens ne sont pas convaincus par les statistiques. Démontrer le Grand Théorème signifiait le prouver pour TOUT n allant vers l’infini.




En 1954, deux jeunes amis mathématiciens japonais se lancent dans des recherches sur les formes modulaires. Ces formes génèrent des séries de nombres, chacun avec sa propre série. Par hasard, Taniyama a comparé ces séries avec des séries générées par des équations elliptiques. Ils correspondaient ! Mais les formes modulaires sont des objets géométriques et les équations elliptiques sont algébriques. Entre donc différents objets jamais trouvé de connexion.

Cependant, après des tests minutieux, des amis ont avancé une hypothèse : chaque équation elliptique a une jumelle - une forme modulaire, et vice versa. C'est cette hypothèse qui est devenue le fondement de toute une direction des mathématiques, mais jusqu'à ce que l'hypothèse de Taniyama-Shimura soit prouvée, le bâtiment entier pourrait s'effondrer à tout moment.

En 1984, Gerhard Frey a montré qu'une solution de l'équation de Fermat, si elle existe, peut être incluse dans une équation elliptique. Deux ans plus tard, le professeur Ken Ribet démontrait que cette équation hypothétique ne pouvait avoir d'équivalent dans le monde modulaire. Désormais, le dernier théorème de Fermat était inextricablement lié à la conjecture de Taniyama-Shimura. Après avoir prouvé que toute courbe elliptique est modulaire, nous concluons qu'il n'existe pas d'équation elliptique avec une solution à l'équation de Fermat, et le dernier théorème de Fermat serait immédiatement prouvé. Mais pendant trente ans, il n'a pas été possible de prouver l'hypothèse de Taniyama-Shimura, et il y avait de moins en moins d'espoir de succès.

En 1963, alors qu’il n’a que dix ans, Andrew Wiles est déjà fasciné par les mathématiques. Lorsqu’il a entendu parler du Grand Théorème, il s’est rendu compte qu’il ne pouvait pas y renoncer. En tant qu'écolier, étudiant et étudiant diplômé, il s'est préparé à cette tâche.

Ayant pris connaissance des découvertes de Ken Ribet, Wiles se lança tête baissée dans la preuve de la conjecture de Taniyama-Shimura. Il a décidé de travailler dans l'isolement et le secret complets. "J'ai réalisé que tout ce qui avait à voir avec le dernier théorème de Fermat suscitait trop d'intérêt... Trop de spectateurs interféraient évidemment avec la réalisation de l'objectif." Sept années de travail acharné ont porté leurs fruits : Wiles a finalement achevé la preuve de la conjecture de Taniyama-Shimura.

En 1993, le mathématicien anglais Andrew Wiles a présenté au monde sa preuve du dernier théorème de Fermat (Wiles a lu son article sensationnel lors d'une conférence à l'Institut Sir Isaac Newton de Cambridge.), dont les travaux ont duré plus de sept ans.







Alors que le battage médiatique se poursuivait dans la presse, un travail sérieux a commencé pour vérifier les preuves. Chaque élément de preuve doit être soigneusement examiné avant de pouvoir être considéré comme rigoureux et exact. Wiles a passé un été agité à attendre les commentaires des critiques, espérant qu'il serait en mesure de gagner leur approbation. Fin août, les experts ont jugé le jugement insuffisamment motivé.

Il s'est avéré que cette décision contient une erreur grossière, même si en général elle est correcte. Wiles n'a pas abandonné, a fait appel au célèbre spécialiste de la théorie des nombres Richard Taylor, et déjà en 1994, ils ont publié une preuve corrigée et développée du théorème. Le plus étonnant est que ce travail a occupé jusqu'à 130 (!) pages dans la revue mathématique « Annals of Mathematics ». Mais l'histoire ne s'est pas arrêtée là non plus - le point final n'a été atteint que l'année suivante, 1995, lorsque la version finale et « idéale », d'un point de vue mathématique, de la preuve a été publiée.

«... une demi-minute après le début du dîner de fête à l'occasion de son anniversaire, j'ai présenté à Nadya le manuscrit de la preuve complète» (Andrew Wales). N'ai-je pas encore dit que les mathématiciens sont des gens étranges ?






Cette fois, il n’y avait aucun doute sur les preuves. Deux articles ont fait l'objet d'une analyse minutieuse et ont été publiés en mai 1995 dans les Annals of Mathematics.

Beaucoup de temps s'est écoulé depuis ce moment, mais il existe toujours dans la société une opinion selon laquelle le dernier théorème de Fermat est insoluble. Mais même ceux qui connaissent la preuve trouvée continuent de travailler dans cette direction - peu sont convaincus que le Grand Théorème nécessite une solution de 130 pages !

Par conséquent, maintenant les efforts de nombreux mathématiciens (pour la plupart des amateurs et non des scientifiques professionnels) sont consacrés à la recherche d'une preuve simple et concise, mais ce chemin, très probablement, ne mènera nulle part...

Les problèmes insolubles sont 7 problèmes mathématiques intéressants. Chacun d’eux a été proposé à un moment donné par des scientifiques célèbres, généralement sous forme d’hypothèses. Depuis de nombreuses décennies, les mathématiciens du monde entier se creusent la tête pour les résoudre. Ceux qui réussiront recevront une récompense d'un million de dollars américains, offerte par le Clay Institute.

Institut d'Argile

C'est le nom donné à une organisation privée à but non lucratif dont le siège est à Cambridge, dans le Massachusetts. Elle a été fondée en 1998 par le mathématicien de Harvard A. Jaffee et l'homme d'affaires L. Clay. L'objectif de l'institut est de vulgariser et de développer les connaissances mathématiques. Pour y parvenir, l’organisation décerne des prix aux scientifiques et sponsorise des recherches prometteuses.

Au début du 21e siècle, le Clay Mathematics Institute a offert un prix à ceux qui résolvaient des problèmes connus pour être les plus difficiles à résoudre, appelant sa liste les problèmes du Prix du Millénaire. De la liste Hilbert, seule l'hypothèse de Riemann y était incluse.

Les défis du millénaire

La liste du Clay Institute comprenait à l'origine :

  • Hypothèse du cycle de Hodge ;
  • équations de la théorie quantique de Yang-Mills ;
  • Conjecture de Poincaré ;
  • problème d'égalité des classes P et NP ;
  • hypothèse de Riemann ;
  • sur l'existence et la fluidité de ses solutions ;
  • Problème Birch-Swinnerton-Dyer.

Ces problèmes mathématiques ouverts sont d’un grand intérêt car ils peuvent avoir de nombreuses mises en œuvre pratiques.

Ce que Grigori Perelman a prouvé

En 1900, le célèbre scientifique et philosophe Henri Poincaré a proposé que toute variété tridimensionnelle compacte et simplement connectée sans frontière est homéomorphe à une sphère tridimensionnelle. Sa preuve est dans cas général n'a pas été retrouvé depuis un siècle. Ce n'est qu'en 2002-2003 que le mathématicien de Saint-Pétersbourg G. Perelman a publié un certain nombre d'articles résolvant le problème de Poincaré. Ils produisaient l’effet d’une explosion de bombe. En 2010, l’hypothèse Poincaré a été exclue de la liste des « problèmes non résolus » du Clay Institute, et Perelman lui-même s’est vu proposer de recevoir la récompense considérable qui lui était due, ce que ce dernier a refusé sans expliquer les raisons de sa décision.

L'explication la plus compréhensible de ce que le mathématicien russe a pu prouver peut être donnée en imaginant qu'ils étendent un disque en caoutchouc sur un beignet (tore), puis tentent de tirer les bords de son cercle jusqu'à un point. Cela est évidemment impossible. C'est une autre affaire si vous faites cette expérience avec un ballon. Dans ce cas, il semble qu'une sphère tridimensionnelle résultant d'un disque dont la circonférence a été tirée jusqu'à un point par une corde hypothétique, sera tridimensionnelle au sens personne ordinaire, mais bidimensionnel d'un point de vue mathématique.

Poincaré a suggéré que la sphère tridimensionnelle est le seul « objet » tridimensionnel dont la surface peut être contractée en un point, et Perelman a pu le prouver. Ainsi, la liste des « problèmes insolubles » comprend aujourd’hui 6 problèmes.

Théorie de Yang-Mills

Ce problème mathématique a été proposé par ses auteurs en 1954. La formulation scientifique de la théorie est la suivante : pour tout groupe de jauge compact simple, la théorie spatiale quantique créée par Yang et Mills existe, et en même temps n'a aucun défaut de masse.

S'exprimant dans un langage compréhensible pour le commun des mortels, les interactions entre objets naturels (particules, corps, ondes, etc.) sont divisées en 4 types : électromagnétiques, gravitationnelles, faibles et fortes. Depuis de nombreuses années, les physiciens tentent de créer une théorie générale des champs. Il doit devenir un outil pour expliquer toutes ces interactions. La théorie de Yang-Mills est un langage mathématique avec lequel il est devenu possible de décrire 3 des 4 principales forces de la nature. Cela ne s'applique pas à la gravité. On ne peut donc pas considérer que Young et Mills ont réussi à créer une théorie des champs.

De plus, la non-linéarité des équations proposées les rend extrêmement difficiles à résoudre. Pour les petites constantes de couplage, elles peuvent être résolues approximativement sous la forme d’une série de théories de perturbations. Cependant, la manière dont ces équations peuvent être résolues sous un couplage fort n’est pas encore claire.

Équations de Navier-Stokes

Ces expressions décrivent des processus tels que les courants d'air, l'écoulement des fluides et la turbulence. Pour certains cas particuliers, des solutions analytiques à l'équation de Navier-Stokes ont déjà été trouvées, mais personne n'a encore réussi à le faire pour le cas général. Dans le même temps, la modélisation numérique pour des valeurs spécifiques de vitesse, densité, pression, temps, etc. permet d'obtenir d'excellents résultats. Nous ne pouvons qu'espérer que quelqu'un pourra appliquer les équations de Navier-Stokes dans la direction opposée, c'est-à-dire calculer les paramètres à l'aide de celles-ci, ou prouver qu'il n'existe pas de méthode de solution.

Problème Birch-Swinnerton-Dyer

La catégorie des « Problèmes non résolus » comprend également une hypothèse proposée par des scientifiques anglais de l'Université de Cambridge. Il y a 2 300 ans déjà, le scientifique grec Euclide donnait une description complète des solutions de l’équation x2 + y2 = z2.

Si pour chaque nombre premier on compte le nombre de points sur la courbe modulo, on obtient un ensemble infini d'entiers. Si vous le « collez » spécifiquement dans 1 fonction d'une variable complexe, vous obtenez alors la fonction zêta de Hasse-Weil pour une courbe du troisième ordre, désignée par la lettre L. Elle contient des informations sur le comportement modulo de tous les nombres premiers à la fois. .

Brian Birch et Peter Swinnerton-Dyer ont proposé une conjecture concernant les courbes elliptiques. Selon lui, la structure et la quantité de l'ensemble de ses solutions rationnelles sont liées au comportement de la fonction L dans l'unité. Non prouvé à ce moment la conjecture de Birch-Swinnerton-Dyer dépend de la description des équations algébriques de degré 3 et est la seule relativement simple d'une manière générale calculer le rang des courbes elliptiques.

Pour comprendre l'importance pratique de ce problème, il suffit de dire que dans la cryptographie moderne à courbe elliptique, toute une classe de systèmes asymétriques est basée et que les normes nationales de signature numérique sont basées sur leur utilisation.

Égalité des classes p et np

Si le reste des problèmes du millénaire sont purement mathématiques, alors celui-ci est lié à la théorie actuelle des algorithmes. Le problème concernant l’égalité des classes p et np, également connu sous le nom de problème de Cook-Lewin, peut être formulé en langage clair comme suit. Supposons qu'une réponse positive à une certaine question puisse être vérifiée assez rapidement, c'est-à-dire en temps polynomial (PT). Alors est-il exact de dire que la réponse peut être trouvée assez rapidement ? Cela semble encore plus simple : n’est-il vraiment pas plus difficile de vérifier la solution à un problème que de la trouver ? Si l’égalité des classes p et np est prouvée, alors tous les problèmes de sélection peuvent être résolus par PV. À l’heure actuelle, de nombreux experts doutent de la véracité de cette affirmation, même s’ils ne peuvent prouver le contraire.

Hypothèse de Riemann

Jusqu'en 1859, aucun modèle n'a été identifié pour décrire la manière dont les nombres premiers sont distribués parmi les nombres naturels. Cela était peut-être dû au fait que la science s’occupait d’autres problèmes. Cependant, au milieu du XIXe siècle, la situation a changé et ils sont devenus l'un des domaines les plus pertinents que les mathématiques ont commencé à étudier.

L'hypothèse de Riemann, apparue au cours de cette période, suppose qu'il existe un certain modèle dans la distribution des nombres premiers.

Aujourd’hui, de nombreux scientifiques pensent que si cela est prouvé, de nombreux principes fondamentaux de la cryptographie moderne, qui constituent la base d’une grande partie des mécanismes du commerce électronique, devront être reconsidérés.

Selon l'hypothèse de Riemann, la nature de la distribution des nombres premiers pourrait différer considérablement de ce que l'on suppose actuellement. Le fait est que jusqu'à présent, aucun système n'a été découvert dans la distribution des nombres premiers. Par exemple, il y a le problème des « jumeaux », dont la différence est de 2. Ces nombres sont 11 et 13, 29. D'autres nombres premiers forment des clusters. Ce sont 101, 103, 107, etc. Les scientifiques soupçonnent depuis longtemps que de tels amas existent parmi de très grands nombres premiers. Si elles sont trouvées, la force des cryptoclés modernes sera remise en question.

Conjecture du cycle de Hodge

Ce problème encore non résolu a été formulé en 1941. L'hypothèse de Hodge suggère la possibilité de se rapprocher de la forme de n'importe quel objet en « collant » ensemble des corps simples de dimension supérieure. Cette méthode est connue et utilisée avec succès depuis assez longtemps. Cependant, on ne sait pas dans quelle mesure une simplification peut être réalisée.

Vous savez maintenant quels problèmes insolubles existent actuellement. Ils font l’objet de recherches menées par des milliers de scientifiques à travers le monde. Nous ne pouvons qu'espérer qu'ils seront résolus dans un avenir proche, et leur utilisation pratique aidera l’humanité à entrer dans une nouvelle étape de développement technologique.