Formules pour les équations logarithmiques. Équations logarithmiques : solutions d'un expert

1. La solution est standard : utilisons règle de multiplication par 1:

Maintenant, nous supprimons les logarithmes :

Multiplions en croix :

Examen

Convient!

Examen

Et ça rentre ici ! Peut-être que je me suis trompé, et les racines conviennent toujours ? Regardons l'exemple suivant !

Exemple n°2

Représentons le triple en utilisant notre méthode préférée sous la forme

A gauche et à droite, nous utiliserons la formule de la somme des logarithmes.

Exemple n°3

La solution est similaire à l'exemple évoqué précédemment : transformons l'unité de droite en (je vous le rappelle - un logarithme décimal, ou un logarithme à la base), et effectuons des opérations entre les logarithmes de gauche et de droite :

Supprimons maintenant les logarithmes de gauche et de droite :

\gauche((x) -2 \droite)\gauche((x) -3 \droite)=2

Examen:

Encore une fois, les deux logarithmes de gauche ne sont pas définis, car ils proviennent de nombres négatifs. Alors ce n'est pas une racine.

depuis lors

Répondre:

J'espère que les exemples qui viennent d'être donnés vous empêcheront à jamais de sauter des vérifications lors de la résolution d'équations logarithmiques. Il est nécessaire!

Équation logarithmique à base variable

J'aimerais maintenant examiner avec vous un autre type (légèrement plus complexe) d'équations logarithmiques. Ce seront équations à base variable.

Avant cela, nous n'avions considéré que les cas où les bases étaient constantes : etc. Mais rien n'empêche qu'elles soient des fonctions de, par exemple, etc.

Mais n'ayez pas peur ! Si, lors de la résolution d'inégalités logarithmiques, une base variable cause beaucoup d'inconvénients, alors Cela n’a pratiquement aucun effet sur la complexité de résolution de l’équation ! Jugez par vous-même :

Exemple n°1

On procède comme précédemment : appliquez la méthode du « multiplier par un » au nombre :

Ensuite, l'équation d'origine est transformée sous la forme :

Je vais postuler formule de différence carrée :

Examen:

Quelle conclusion tirons-nous ? Faux! Le nombre n’est pas la racine de l’équation car la base du logarithme ne peut pas être un nombre négatif ou égal à un !

Répondre: .

Comme vous pouvez le constater, dans le cas des équations, il n’y a pas de différence fondamentale selon que nos bases soient variables ou non. À cet égard, nous pouvons dire que décider équation logarithmique généralement beaucoup plus facile que de résoudre une inégalité logarithmique !

Essayons maintenant de résoudre un autre exemple « étrange ».

Exemple n°2

Nous agirons comme toujours - nous transformerons le côté droit en un logarithme, comme celui-ci, délicat :

Ensuite, l'équation logarithmique originale sera équivalente à cette équation (bien que logarithmique à nouveau)

Je vais résoudre à nouveau cette équation en utilisant la différence des carrés :

Résolvons d'abord le premier, le second sera résolu à peu près de la même manière :

Je l'utiliserai à nouveau "multiplier par 1":

De même pour la deuxième équation :

Vient maintenant la partie amusante : la vérification. Commençons par la première racine

La base du « grand » logarithme est égale à

Ce n’est donc pas une racine.

Vérifions le deuxième nombre :

ce nombre est la racine de l’équation originale.

Répondre:

J'ai délibérément donné un exemple assez complexe pour vous montrer qu'il ne faut pas avoir peur des logarithmes volumineux et effrayants.

Il suffit de connaître quelques formules (que je vous ai déjà données plus haut) et vous pouvez trouver une issue à n'importe quelle (presque) situation !

Eh bien, je vous ai donné les méthodes de base pour résoudre des équations logarithmiques (méthodes « sans fioritures »), qui vous permettront de gérer la plupart des exemples (principalement lors de l'examen d'État unifié).

Il est maintenant temps de montrer ce que vous avez appris. Essayez de résoudre vous-même les problèmes suivants équations logarithmiques, puis nous comparerons les résultats avec vous.

Sept exemples de travail indépendant

Bien entendu, les techniques abordées dans ce travail n’épuisent pas toutes les manières possibles de résoudre des équations logarithmiques.

Dans certains cas, nous devons faire preuve de beaucoup de créativité pour trouver un moyen de trouver les racines d’une équation délicate.

Cependant, quelle que soit la complexité de l’équation initiale, elle sera finalement réduite à une équation du type de celle que vous et moi venons d’apprendre à résoudre !

Réponses aux exemples de travail indépendant

1. Une tâche assez simple : utilisons la propriété :

en soustraire :

On obtient alors :

Allons vérifier:

(Je vous ai déjà expliqué cette transition plus haut)

Répondre: 9

2. Rien de surnaturel non plus : je ne veux pas diviser, donc je vais déplacer le terme avec le « moins » vers la droite : maintenant j'ai des logarithmes décimaux à gauche et à droite, et je m'en débarrasse :

Je vérifie:

l'expression sous le signe du logarithme ne peut pas être négative, le nombre n'est donc pas la racine de l'équation.

Examen

Répondre:

Ici, il faut faire un peu de travail : il est clair que j'utiliserai à nouveau la formule (n'est-ce pas très utile ?) :

Que dois-je faire avant d’appliquer la formule d’addition du logarithme ? Oui, je dois me débarrasser du multiplicateur. Il existe deux manières : la première est de le saisir directement dans un logarithme à l'aide de la formule :

En principe, cette méthode a le droit d’exister, mais qu’est-ce qu’elle a de mal ? C’est mauvais de traiter une expression de la forme (un « degré non entier » est toujours désagréable. Alors que pouvons-nous faire d’autre ? Comment pouvons-nous nous débarrasser d’un tel « degré non entier » ? Multiplions par notre équation :

Eh bien, mettons maintenant les deux facteurs sous forme de logarithmes :

alors je remplacerai le zéro par

Et finalement j'obtiens :

Vous souvenez-vous du nom de cette formule scolaire « mal-aimée » ? Ce différence de cube ! Peut-être que c'est plus clair ?

Je vous rappelle que la différence des cubes se factorise ainsi :

et en voici un autre au cas où :

Par rapport à notre situation, cela donnera :

La première équation a une racine, mais la seconde n’en a pas (voyez par vous-même !).

Je vous laisse vérifier par vous-même et vous assurer que le nombre est bien la racine de notre équation.

Comme dans l'exemple précédent, on réécrit

Encore une fois, je ne veux aucune soustraction (ni division ultérieure) et je vais donc déplacer l’expression résultante vers la droite :

Maintenant, je supprime les logarithmes à gauche et à droite :

Nous avons une équation irrationnelle que j’espère que vous savez déjà comment résoudre. Permettez-moi juste de vous rappeler que nous mettons les deux côtés au carré :

Votre tâche consiste maintenant à vous assurer qu'il ne s'agit pas d'une racine, mais bien d'une racine.

Répondre:

Tout est transparent : on applique la formule de la somme des logarithmes à gauche :

puis on supprime les logarithmes des deux côtés :

Examen:

Répondre: ;

Tout est on ne peut plus simple : l’équation a déjà été réduite à sa forme la plus simple. Tout ce que nous avons à faire c'est d'égaliser

Allons vérifier:

Mais lorsque la base des logarithmes est égale à :

Et ce n'est pas une racine.

Répondre:

J'ai laissé cet exemple pour le dessert. Même si cela n’a rien de très compliqué non plus.

Imaginons zéro comme

Alors toi et moi aurons ça équation logarithmique:

Et nous supprimons la première « peau » - les logarithmes externes.

Représentons l'unité comme

Notre équation prendra alors la forme :

Maintenant, nous supprimons la « seconde peau » et arrivons au cœur :

Allons vérifier:

Répondre: .

3 MÉTHODES DE RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS LOGARITHMIQUES. NIVEAU AVANCÉ

Maintenant, après avoir lu le premier article sur les équations logarithmiques, vous maîtrisez le minimum de connaissances nécessaire pour résoudre les exemples les plus simples.

Maintenant, je peux passer à l'analyse supplémentaire trois méthodes résoudre des équations logarithmiques :

• méthode d'introduction d'une nouvelle variable (ou de remplacement)
• méthode du logarithme
• méthode de transition vers une nouvelle fondation.

Première méthode- l'un des plus fréquemment utilisés dans la pratique. Il résout les problèmes les plus « difficiles » liés à la résolution d’équations logarithmiques (et pas seulement).

Deuxième méthode sert à résoudre des équations mixtes exponentielles-logarithmiques, réduisant finalement le problème au choix d'une bonne variable de remplacement (c'est-à-dire à la première méthode).

Troisième méthode convient pour résoudre certaines équations dans lesquelles apparaissent des logarithmes avec des bases différentes.

Je vais commencer par examiner la première méthode.

Méthode d'introduction d'une nouvelle variable (4 exemples)

Comme son nom l'indique, l'essence de cette méthode est d'introduire un tel changement de variable que votre équation logarithmique se transformera miraculeusement en une équation que vous pourrez facilement résoudre.

Il ne vous reste plus qu’à résoudre cette « équation très simplifiée » à faire "remplacement inversé": c'est-à-dire revenir du remplacé au remplacé.

Illustrons ce que nous venons de dire avec un exemple très simple :

Dans cet exemple, le remplacement s'impose ! Après tout, il est clair que si nous remplaçons par, alors notre équation logarithmique deviendra rationnelle :

Vous pouvez facilement le résoudre en le réduisant à un carré :

(pour que le dénominateur ne se remette pas accidentellement à zéro !)

En simplifiant l’expression résultante, on obtient finalement :

Maintenant, nous effectuons la substitution inverse : , alors il en résulte, et nous obtenons

Maintenant, comme avant, il est temps de vérifier :

Que ce soit au début, car ensuite c’est vrai !

Maintenant, tout est correct !

Ainsi, les nombres sont les racines de notre équation originale.

Répondre: .

Voici un autre exemple avec un remplacement évident :

En fait, remplaçons-le tout de suite

alors notre équation logarithmique originale se transformera en une équation quadratique :

Remplacement inversé :

Vérifiez vous-même, assurez-vous que dans ce cas, les deux nombres que nous avons trouvés sont des racines.

Je pense que vous avez compris l'idée principale. Ce n’est pas nouveau et ne s’applique pas seulement aux équations logarithmiques.

Une autre chose est qu'il est parfois assez difficile de « voir » immédiatement le remplaçant. Cela nécessite une certaine expérience, qui vous viendra après quelques efforts de votre part.

En attendant, entraînez-vous à résoudre les exemples suivants :

Prêt? Vérifions ce que vous avez :

Résolvons d'abord le deuxième exemple.

Il vous démontre simplement qu'il n'est pas toujours possible de procéder à un remplacement, comme on dit, « de front ».

Tout d'abord, il faut transformer un peu notre équation : appliquer la formule de la différence des logarithmes au numérateur de la première fraction, et prendre la puissance au numérateur de la seconde.

En faisant cela, vous recevrez :

Maintenant, le remplacement est devenu une évidence, n'est-ce pas ? Faisons-le: .

Maintenant, ramenons les fractions à un dénominateur commun et simplifions.

On obtient alors :

Après avoir résolu la dernière équation, vous trouverez ses racines : où.

Faites la vérification vous-même et assurez-vous que ce sont bien les racines de notre équation originale.

Essayons maintenant de résoudre la troisième équation.

Eh bien, tout d'abord, il est clair que cela ne nous fera pas de mal de multiplier les deux côtés de l'équation par. Il n’y a aucun mal, mais les avantages sont évidents.

Faisons maintenant un remplacement. Vous avez deviné ce que nous allons remplacer, n'est-ce pas ? C'est vrai, disons. Notre équation prendra alors la forme suivante :

(les deux racines nous vont bien !)

Maintenant le remplacement inverse : , from, from. Notre équation originale a jusqu’à quatre racines ! Assurez-vous de cela, substituons les valeurs obtenues dans l'équation. Nous écrivons la réponse :

Répondre: .

Je pense que maintenant l'idée de remplacer une variable est tout à fait claire pour vous ? Bon, alors ne nous arrêtons pas là et passons à une autre méthode de résolution d'équations logarithmiques : méthode de transition vers une nouvelle fondation.

Méthode de transition vers une nouvelle base

Considérons l'équation suivante :

Que voit-on ? Les deux logarithmes sont censés être « opposés » l’un à l’autre. Qu'avons nous à faire? Tout est simple : il suffit de recourir à l'une des deux formules suivantes :

En principe, rien ne m'empêche d'utiliser l'une ou l'autre de ces deux formules, mais du fait de la structure de l'équation, il me sera plus pratique d'utiliser la première : je me débarrasserai de la base variable du logarithme au deuxième terme en le remplaçant par. Il est désormais facile de constater que la tâche s’est réduite à la précédente : choisir un remplaçant. En remplaçant, j'obtiens l'équation suivante :

D'ici. Tout ce que vous avez à faire est de remplacer les nombres trouvés dans l’équation d’origine et de vous assurer qu’ils sont bien des racines.

Voici un autre exemple où il est logique de passer à une nouvelle fondation :

Cependant, comme vous pouvez facilement le constater, si vous et moi passons immédiatement à une nouvelle fondation, cela ne donnera pas l'effet souhaité. Que devons-nous faire dans ce cas ? Simplifions tout au maximum, et puis quoi qu'il arrive.
Donc ce que je veux faire, c'est imaginer comment, comment supprimer ces puissances devant les logarithmes, et également supprimer le carré de X dans le premier logarithme. Nous verrons plus tard.

N'oubliez pas qu'il peut être bien plus difficile de se lier d'amitié avec la base qu'avec l'expression sous le signe du logarithme !

En suivant cette règle, je remplacerai par et par. J'obtiendrai alors :

Eh bien, les prochaines étapes vous sont déjà familières. Remplacez et cherchez les racines !

En conséquence, vous trouverez deux racines de l’équation originale :

Il est temps de vous montrer ce que vous avez appris !

Essayez d’abord de résoudre vous-même les exemples suivants (pas les plus simples) :

1. Tout ici est assez standard : je vais essayer de réduire mon équation d'origine à un point tel que le remplacement soit pratique. De quoi ai-je besoin pour cela ? Tout d’abord, transformez la première expression de gauche (supprimez la quatrième puissance de deux avant le logarithme) et supprimez la puissance de deux de la base du deuxième logarithme. J'obtiendrai alors :

Il ne reste plus qu’à « retourner » le premier logarithme !

\frac(12)(\log_(2)(x))=3((\log )_(2))x

(pour plus de commodité, j'ai déplacé le deuxième logarithme de gauche à droite de l'équation)

Le problème est presque résolu : vous pouvez effectuer un remplacement. Après réduction à un dénominateur commun, j'obtiens l'équation suivante :

Après avoir effectué la substitution inverse, il ne vous sera pas difficile de calculer que :

Assurez-vous que les valeurs obtenues sont les racines de notre équation.

2. Ici, je vais également essayer d'« adapter » mon équation à un remplacement acceptable. Lequel? Peut-être que ça me conviendra.

Alors ne perdons pas de temps et commençons à nous transformer !

((\log )_(x))5((x)^(2))\cdot \log \frac(2)(5)x=1

Eh bien, vous pouvez maintenant le remplacer en toute sécurité ! Alors, par rapport à la nouvelle variable, on obtient l’équation suivante :

Où. Encore une fois, il vous appartient de vous assurer que ces deux nombres sont bien des racines.

3. Ici, ce que nous allons remplacer n’est même pas immédiatement évident. Il y a une règle d'or : Si vous ne savez pas quoi faire, faites ce que vous pouvez ! C'est ce que je vais utiliser !

Maintenant, je vais « retourner » tous les logarithmes et appliquer la formule du logarithme de différence au premier, et la formule du logarithme de somme aux deux derniers :

Ici, j'ai également utilisé le fait que (at) et la propriété de retirer une puissance d'un logarithme. Eh bien, nous pouvons maintenant appliquer un remplacement approprié : . Je suis sûr que vous savez déjà comment résoudre des équations rationnelles, même de ce type monstrueux. Je me permettrai donc d'écrire immédiatement le résultat :

Il reste à résoudre deux équations : . Vous vous êtes déjà familiarisé avec les méthodes de résolution de ces équations « presque les plus simples » dans la section précédente. Je vais donc écrire tout de suite les solutions finales :

Assurez-vous que seulement deux de ces nombres sont les racines de mon équation ! A savoir, c'est le cas et, pour l'instant, ce n'est pas une racine !

Cet exemple est un peu plus délicat, cependant, je vais essayer de le résoudre sans recourir du tout au remplacement de variables ! Recommençons, faisons ce que nous pouvons : d'abord, nous pouvons développer le logarithme de gauche selon la formule du logarithme d'un rapport, et aussi mettre les deux devant le logarithme entre parenthèses. Au final j'obtiendrai :

Eh bien, maintenant la même formule que nous avons déjà utilisée ! Alors, raccourcissons le côté droit ! Maintenant, il n’y en a que deux ! Déplaçons-en un depuis la gauche, et nous obtenons finalement :

Vous savez déjà comment résoudre de telles équations. La racine se trouve sans difficulté, et elle est égale. Je vous rappelle de vérifier !

Eh bien, maintenant, comme je l'espère, vous avez appris à résoudre des problèmes assez complexes que vous ne pouvez pas surmonter « de front » ! Mais les équations logarithmiques peuvent être encore plus insidieuses ! Voici quelques exemples:

Ici, hélas, la solution précédente ne donnera pas de résultats tangibles. Comment pensez-vous pourquoi ? Oui, il n’y a plus ici de « réciprocité » des logarithmes. Bien entendu, ce cas le plus général peut également être résolu, mais nous utilisons déjà la formule suivante :

Cette formule ne se soucie pas de savoir si vous avez le « contraire » ou non. Vous vous demandez peut-être pourquoi choisir une base ? Ma réponse est que cela n'a pas d'importance. La réponse ne dépendra finalement pas de cela. Traditionnellement, le logarithme naturel ou décimal est utilisé. Bien que ce ne soit pas important. Par exemple, j'utiliserai le nombre décimal :

Laisser une réponse sous ce formulaire est une honte totale ! Permettez-moi d'abord d'écrire par définition que

Il est maintenant temps d'utiliser : à l'intérieur des parenthèses - l'identité logarithmique principale, et à l'extérieur (au degré) - transformez le rapport en un logarithme : alors nous obtenons enfin cet "étrange" répondre: .

Hélas, nous ne disposons plus de simplifications supplémentaires.

Vérifions ensemble :

Droite! D'ailleurs, rappelons encore une fois de quoi découle l'avant-dernière égalité dans la chaîne !

En principe, la solution à cet exemple peut aussi se réduire au passage à un logarithme basé sur une nouvelle base, mais il faut déjà avoir peur de ce qui va se passer au final. Essayons de faire quelque chose de plus raisonnable : transformer le côté gauche du mieux possible.

Au fait, comment pensez-vous que j'ai obtenu la dernière décomposition ? C'est vrai, j'ai appliqué le théorème sur la factorisation d'un trinôme quadratique, à savoir :

Si, sont les racines de l'équation, alors :

Eh bien, je vais maintenant réécrire mon équation originale sous cette forme :

Mais nous sommes tout à fait capables de résoudre un tel problème !

Alors, introduisons un remplacement.

Alors mon équation initiale prendra cette forme simple :

Ses racines sont égales à : , alors

D'où vient cette équation ? n'a pas de racines.

Il ne vous reste plus qu'à vérifier !

Essayez de résoudre vous-même l’équation suivante. Prenez votre temps et soyez prudent, alors la chance sera de votre côté !

Prêt? Voyons ce que nous avons.

En fait, l'exemple est résolu en deux étapes :

1. Transformer

2. maintenant à droite j'ai une expression qui est égale à

Ainsi, l’équation originale a été réduite à la plus simple :

Le test montre que ce nombre est bien la racine de l’équation.

Méthode du logarithme

Et enfin, je discuterai très brièvement des méthodes permettant de résoudre certaines équations mixtes. Bien entendu, je ne m'engage pas à couvrir toutes les équations mixtes, mais je montrerai les méthodes pour résoudre les plus simples.

Par exemple,

Une telle équation peut être résolue en utilisant la méthode du logarithme. Tout ce que vous avez à faire est de prendre le logarithme des deux côtés.

Il est clair que puisque nous avons déjà un logarithme à la base, je vais prendre le logarithme à la même base :

Je vais maintenant supprimer le pouvoir de l'expression de gauche :

et factorisez l'expression en utilisant la formule de la différence des carrés :

Vérifier, comme toujours, est sur votre conscience.

Essayez de résoudre vous-même le dernier exemple de cet article !

Vérifions : prenons le logarithme à la base des deux côtés de l’équation :

Je retire le degré à gauche et le divise en utilisant la formule de somme à droite :

On devine une des racines : c'est une racine.

Dans l'article sur la résolution d'équations exponentielles, j'ai expliqué comment diviser un polynôme par un « coin » par un autre.

Ici, nous devons diviser par.

En conséquence nous obtenons :

Si possible, effectuez le contrôle vous-même (même si dans ce cas, surtout avec les deux dernières racines, ce ne sera pas facile).

ÉQUATIONS LOGARITHMIQUES. SUPER NIVEAU

En plus du matériel déjà présenté, je suggère que vous et moi envisagions une autre façon de résoudre des équations mixtes contenant des logarithmes, mais ici je considérerai des équations qui ne peut pas être résolu par la méthode discutée précédemment consistant à prendre les logarithmes des deux côtés. Cette méthode est appelée mini-max.

Méthode mini-maxi

Cette méthode est applicable non seulement à la résolution d'équations mixtes, mais s'avère également utile lors de la résolution de certaines inégalités.

Nous introduisons donc d’abord les définitions de base suivantes qui sont nécessaires pour appliquer la méthode mini-max.

Des images simples illustrent ces définitions :

La fonction dans la figure de gauche est croissante de manière monotone et celle de droite est décroissante de manière monotone. Passons maintenant à la fonction logarithmique, on sait que ce qui suit est vrai :

La figure montre des exemples de fonctions logarithmiques croissantes et décroissantes de manière monotone.

Décrivons-le directement méthode mini-maxi. Je pense que vous comprenez de quels mots vient ce nom ?

C'est vrai, d'après les mots minimum et maximum. En bref, la méthode peut être représentée comme suit :

Notre objectif le plus important est de trouver cette constante afin de réduire davantage l’équation à deux équations plus simples.

A cet effet, les propriétés de monotonie de la fonction logarithmique formulées ci-dessus peuvent être utiles.

Regardons maintenant des exemples spécifiques :

1. Regardons d'abord le côté gauche.

Il existe un logarithme avec une base en moins. D’après le théorème formulé ci-dessus, quelle est la fonction ? Cela diminue. En même temps, ce qui veut dire. En revanche, par définition d'une racine : . Ainsi, la constante est trouvée et égale. Alors l’équation originale est équivalente au système :

La première équation a des racines, et la seconde : . Ainsi, la racine commune est égale, et cette racine sera la racine de l’équation originale. Au cas où, faites une vérification pour vous en assurer.

Répondre:

Pensons immédiatement à ce qui est écrit ici ?

Je veux dire la structure générale. Il est dit ici que la somme de deux carrés est nulle.

Quand est-ce possible ?

Seulement lorsque ces deux nombres sont individuellement égaux à zéro. Passons ensuite au système suivant :

Les première et deuxième équations n’ont pas de racines communes, donc l’équation d’origine n’a pas de racines.

Répondre: aucune solution.

Regardons d'abord le côté droit - c'est plus simple. Par définition du sinus :

D'où, et puis donc

Revenons maintenant au côté gauche : considérons l'expression sous le signe du logarithme :

Essayer de trouver les racines d’une équation ne mènera pas à un résultat positif. Mais néanmoins, je dois en quelque sorte évaluer cette expression. Vous connaissez bien sûr une méthode comme sélectionner un carré complet. Je vais l'utiliser ici.

Puisque c'est une fonction croissante, il s'ensuit. Ainsi,

Alors notre équation originale est équivalente au système suivant :

Je ne sais pas si vous êtes familier ou non avec la résolution d'équations trigonométriques, alors je vais faire ceci : je vais résoudre la première équation (elle a un maximum de deux racines), puis je substituerai le résultat dans la deuxième:

(vous pouvez vérifier et vous assurer que ce nombre est la racine de la première équation du système)

Maintenant, je vais le substituer dans la deuxième équation :

Répondre:

Eh bien, maintenant la technique d'utilisation de la méthode mini-max est devenue claire pour vous ? Essayez ensuite de résoudre vous-même l’exemple suivant.

Prêt? Allons vérifier:

Le côté gauche est la somme de deux quantités non négatives (unité et module) et donc le côté gauche n'est pas inférieur à un, et il est égal à un seulement lorsque

En même temps, le côté droit est le module (c'est-à-dire supérieur à zéro) du produit de deux cosinus (c'est-à-dire pas plus d'un), alors :

Alors l’équation originale est équivalente au système :

Je propose à nouveau de résoudre la première équation et de substituer le résultat dans la seconde :

Cette équation n'a pas de racines.

Alors l’équation originale n’a pas non plus de racines.

Réponse : il n’y a pas de solutions.

EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES. 6 MÉTHODES DE RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS LOGARITHMIQUES

Équation logarithmique- une équation dans laquelle les variables inconnues sont à l'intérieur de logarithmes.

L'équation logarithmique la plus simple est une équation de la forme.

Le processus de résolution de toute équation logarithmique revient à réduire l'équation logarithmique à la forme , et à passer d'une équation avec logarithmes à une équation sans eux : .

ODZ pour une équation logarithmique :

Méthodes de base pour résoudre des équations logarithmiques :

1 méthode. En utilisant la définition du logarithme :

Méthode 2. En utilisant les propriétés du logarithme :

Méthode 3. Introduction d'une nouvelle variable (remplacement) :

• la substitution nous permet de réduire l'équation logarithmique à une équation algébrique plus simple pour t.

Méthode 4 Transition vers une nouvelle base :

5 méthode. Logarithme:

• prenons le logarithme des côtés droit et gauche de l’équation.

6 méthode. Mini-maximum :

Maintenant, nous voulons avoir de vos nouvelles...

Nous avons essayé d'écrire aussi simplement et de manière approfondie que possible sur les équations logarithmiques.

Maintenant c'est ton tour!

Écrivez comment vous évaluez notre article ? L'avez-vous aimée ?

Peut-être savez-vous déjà comment résoudre des équations logarithmiques ?

Peut-être avez-vous des questions. Ou des suggestions.

Écrivez-en dans les commentaires.

Et bonne chance pour tes examens !

Avec cette vidéo, je commence une longue série de leçons sur les équations logarithmiques. Vous avez maintenant devant vous trois exemples, sur la base desquels nous apprendrons à résoudre les problèmes les plus simples, appelés - protozoaires.

log 0,5 (3x − 1) = −3

journal (x + 3) = 3 + 2 journal 5

Permettez-moi de vous rappeler que l'équation logarithmique la plus simple est la suivante :

log une f (x) = b

Dans ce cas, il est important que la variable x soit présente uniquement à l'intérieur de l'argument, c'est-à-dire uniquement dans la fonction f (x). Et les nombres a et b ne sont que des nombres, et en aucun cas des fonctions contenant la variable x.

Méthodes de résolution de base

Il existe de nombreuses façons de résoudre de telles structures. Par exemple, la plupart des enseignants de l'école proposent cette méthode : Exprimer immédiatement la fonction f (x) à l'aide de la formule F ( x) = un B . Autrement dit, lorsque vous rencontrez la construction la plus simple, vous pouvez immédiatement passer à la solution sans actions ni constructions supplémentaires.

Oui, bien sûr, la décision sera la bonne. Cependant, le problème de cette formule est que la plupart des étudiants ne comprennent pas, d'où il vient et pourquoi on élève la lettre a à la lettre b.

En conséquence, je constate souvent des erreurs très gênantes lorsque, par exemple, ces lettres sont échangées. Cette formule doit être soit comprise, soit bourrée, et la seconde méthode conduit à des erreurs aux moments les plus inopportuns et les plus cruciaux : lors des examens, des tests, etc.

C'est pourquoi je suggère à tous mes élèves d'abandonner la formule scolaire standard et d'utiliser la deuxième approche pour résoudre des équations logarithmiques, qui, comme vous l'avez probablement deviné d'après son nom, s'appelle Forme canonique.

L'idée de la forme canonique est simple. Regardons à nouveau notre problème : à gauche nous avons log a, et par la lettre a nous entendons un nombre, et en aucun cas une fonction contenant la variable x. Par conséquent, cette lettre est soumise à toutes les restrictions imposées sur la base du logarithme. à savoir:

1 ≠ une > 0

D'autre part, à partir de la même équation, nous voyons que le logarithme doit être égal au nombre b, et aucune restriction n'est imposée à cette lettre, car elle peut prendre n'importe quelle valeur - positive ou négative. Tout dépend des valeurs que prend la fonction f(x).

Et ici, nous nous souvenons de notre merveilleuse règle selon laquelle tout nombre b peut être représenté comme un logarithme à la base a de a à la puissance b :

b = journal a a b

Comment retenir cette formule ? Oui, très simple. Écrivons la construction suivante :

b = b 1 = b journal a a

Bien entendu, dans ce cas, toutes les restrictions que nous avons notées au début surviennent. Utilisons maintenant la propriété de base du logarithme et introduisons le multiplicateur b comme puissance de a. On a:

b = b 1 = b journal a a = journal a a b

En conséquence, l’équation originale sera réécrite comme suit :

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

C'est tout. La nouvelle fonction ne contient plus de logarithme et peut être résolue à l'aide de techniques algébriques standards.

Bien sûr, quelqu'un objectera maintenant : pourquoi était-il nécessaire de proposer une sorte de formule canonique, pourquoi effectuer deux étapes supplémentaires inutiles s'il était possible de passer immédiatement de la conception originale à la formule finale ? Oui, ne serait-ce que parce que la plupart des étudiants ne comprennent pas d’où vient cette formule et, de ce fait, commettent régulièrement des erreurs en l’appliquant.

Mais cette séquence d'actions, composée de trois étapes, permet de résoudre l'équation logarithmique originale, même si vous ne comprenez pas d'où vient la formule finale. D'ailleurs, cette entrée s'appelle la formule canonique :

log a f (x) = log a a b

La commodité de la forme canonique réside également dans le fait qu'elle peut être utilisée pour résoudre une très large classe d'équations logarithmiques, et pas seulement les plus simples que nous considérons aujourd'hui.

Exemples de solutions

Regardons maintenant des exemples réels. Alors décidons :

log 0,5 (3x − 1) = −3

Réécrivons-le comme ceci :

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

De nombreux étudiants sont pressés et tentent d'élever immédiatement le nombre 0,5 à la puissance qui nous est venue du problème initial. En effet, lorsque vous êtes déjà bien formé à la résolution de tels problèmes, vous pouvez immédiatement effectuer cette étape.

Cependant, si vous commencez tout juste à étudier ce sujet, il est préférable de ne vous précipiter nulle part afin d'éviter de commettre des erreurs offensantes. Nous avons donc la forme canonique. Nous avons:

3x − 1 = 0,5 −3

Il ne s'agit plus d'une équation logarithmique, mais linéaire par rapport à la variable x. Pour le résoudre, regardons d’abord le nombre 0,5 à la puissance −3. Notez que 0,5 est 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Convertissez toutes les fractions décimales en fractions communes lors de la résolution d'une équation logarithmique.

On réécrit et on obtient :

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Ça y est, nous avons la réponse. Le premier problème a été résolu.

Deuxième tâche

Passons à la deuxième tâche :

Comme on le voit, cette équation n’est plus la plus simple. Ne serait-ce que parce qu'il y a une différence à gauche, et pas un seul logarithme par base.

Par conséquent, nous devons d’une manière ou d’une autre éliminer cette différence. Dans ce cas, tout est très simple. Regardons de plus près les bases : à gauche se trouve le nombre sous la racine :

Recommandation générale : dans toutes les équations logarithmiques, essayez de vous débarrasser des radicaux, c'est-à-dire des entrées avec racines et passez aux fonctions puissance, tout simplement parce que les exposants de ces puissances sont facilement retirés du signe du logarithme et, finalement, de telles une entrée simplifie et accélère considérablement les calculs. Écrivons-le ainsi :

Rappelons maintenant la propriété remarquable du logarithme : les puissances peuvent être dérivées de l'argument, aussi bien que de la base. En cas de motif, il se passe ce qui suit :

log a k b = 1/k loga b

En d’autres termes, le nombre qui était dans la puissance de base est à la fois avancé et inversé, c’est-à-dire qu’il devient un nombre réciproque. Dans notre cas, le diplôme de base était de 1/2. Par conséquent, nous pouvons le retirer à 2/1. On a:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Attention : vous ne devez en aucun cas vous débarrasser des logarithmes à cette étape. N'oubliez pas les mathématiques de 4e à 5e années et l'ordre des opérations : la multiplication est effectuée en premier, et ensuite seulement l'addition et la soustraction. Dans ce cas, on soustrait un des mêmes éléments de 10 éléments :

9 journal 5 x = 18
journal 5 x = 2

Notre équation se présente maintenant comme elle le devrait. C'est la construction la plus simple, et nous la résolvons en utilisant la forme canonique :

journal 5 x = journal 5 5 2
x = 5 2
x = 25

C'est tout. Le deuxième problème a été résolu.

Troisième exemple

Passons à la troisième tâche :

journal (x + 3) = 3 + 2 journal 5

Je vous rappelle la formule suivante :

journal b = journal 10 b

Si, pour une raison quelconque, vous êtes confus par la notation log b , alors lorsque vous effectuez tous les calculs, vous pouvez simplement écrire log 10 b . Vous pouvez travailler avec des logarithmes décimaux de la même manière qu'avec les autres : prendre des puissances, additionner et représenter n'importe quel nombre sous la forme lg 10.

Ce sont ces propriétés que nous allons maintenant utiliser pour résoudre le problème, puisque ce n'est pas le plus simple que nous ayons noté au tout début de notre leçon.

Tout d'abord, notons que le facteur 2 devant lg 5 peut être ajouté et devient une puissance de base 5. De plus, le terme libre 3 peut également être représenté sous forme de logarithme - ceci est très facile à observer à partir de notre notation.

Jugez par vous-même : n'importe quel nombre peut être représenté sous forme de log en base 10 :

3 = journal 10 10 3 = journal 10 3

Réécrivons le problème d'origine en tenant compte des changements obtenus :

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
journal (x − 3) = journal 25 000

Nous avons à nouveau la forme canonique devant nous, et nous l'avons obtenue sans passer par l'étape de transformation, c'est-à-dire l'équation logarithmique la plus simple n'est apparue nulle part.

C'est exactement ce dont j'ai parlé au tout début de la leçon. La forme canonique vous permet de résoudre une classe de problèmes plus large que la formule scolaire standard proposée par la plupart des enseignants.

Bon, ça y est, on se débarrasse du signe du logarithme décimal, et on obtient une construction linéaire simple :

x + 3 = 25 000
x = 24 997

Tous! Le problème est résolu.

Une note sur la portée

Je voudrais ici faire une remarque importante concernant la portée de la définition. Il y aura sûrement maintenant des étudiants et des enseignants qui diront : « Lorsque nous résolvons des expressions avec des logarithmes, nous devons nous rappeler que l'argument f (x) doit être supérieur à zéro ! À cet égard, une question logique se pose : pourquoi n’avons-nous pas exigé que cette inégalité soit satisfaite dans aucun des problèmes considérés ?

Ne t'inquiète pas. Dans ces cas, aucune racine supplémentaire n’apparaîtra. Et c'est une autre astuce intéressante qui vous permet d'accélérer la solution. Sachez simplement que si dans le problème la variable x n'apparaît qu'à un seul endroit (ou plutôt dans un seul argument d'un seul logarithme), et nulle part ailleurs dans notre cas la variable x n'apparaît, alors notez le domaine de définition pas besoin, car il sera exécuté automatiquement.

Jugez par vous-même : dans la première équation, nous avons obtenu que 3x − 1, c'est-à-dire que l'argument doit être égal à 8. Cela signifie automatiquement que 3x − 1 sera supérieur à zéro.

Avec le même succès, nous pouvons écrire que dans le deuxième cas, x doit être égal à 5 ​​2, c'est-à-dire qu'il est certainement supérieur à zéro. Et dans le troisième cas, où x + 3 = 25 000, c'est-à-dire encore une fois évidemment supérieur à zéro. En d’autres termes, la portée est automatiquement satisfaite, mais seulement si x n’apparaît que dans l’argument d’un seul logarithme.

C'est tout ce que vous devez savoir pour résoudre les problèmes les plus simples. Cette règle à elle seule, ainsi que les règles de transformation, vous permettront de résoudre une très large classe de problèmes.

Mais soyons honnêtes : pour enfin comprendre cette technique, pour apprendre à appliquer la forme canonique de l'équation logarithmique, il ne suffit pas de regarder une seule leçon vidéo. Par conséquent, téléchargez dès maintenant les options de solutions indépendantes jointes à cette leçon vidéo et commencez à résoudre au moins un de ces deux travaux indépendants.

Cela vous prendra littéralement quelques minutes. Mais l'effet d'une telle formation sera bien plus important que si vous regardiez simplement cette leçon vidéo.

J'espère que cette leçon vous aidera à comprendre les équations logarithmiques. Utilisez la forme canonique, simplifiez les expressions en utilisant les règles de travail avec les logarithmes - et vous n'aurez peur d'aucun problème. C'est tout ce que j'ai pour aujourd'hui.

Prise en compte du domaine de définition

Parlons maintenant du domaine de définition de la fonction logarithmique et de la manière dont cela affecte la solution des équations logarithmiques. Considérons une construction de la forme

log une f (x) = b

Une telle expression est appelée la plus simple - elle ne contient qu'une seule fonction, et les nombres a et b ne sont que des nombres, et en aucun cas une fonction qui dépend de la variable x. Cela peut être résolu très simplement. Il vous suffit d'utiliser la formule :

b = journal a a b

Cette formule est l'une des propriétés clés du logarithme, et en la remplaçant par notre expression originale, nous obtenons ce qui suit :

log a f (x) = log a a b

f (x) = un b

Il s’agit d’une formule familière des manuels scolaires. De nombreux étudiants se poseront probablement une question : puisque dans l'expression originale la fonction f (x) est sous le signe log, les restrictions suivantes lui sont imposées :

f(x) > 0

Cette limitation s'applique car le logarithme des nombres négatifs n'existe pas. Alors, peut-être qu’en raison de cette limitation, un contrôle des réponses devrait être introduit ? Peut-être faut-il les insérer dans la source ?

Non, dans les équations logarithmiques les plus simples, une vérification supplémentaire n'est pas nécessaire. Et c'est pourquoi. Jetez un œil à notre formule finale:

f (x) = un b

Le fait est que le nombre a est de toute façon supérieur à 0 - cette exigence est également imposée par le logarithme. Le nombre a est la base. Dans ce cas, aucune restriction n'est imposée sur le nombre b. Mais cela n’a pas d’importance, car quelle que soit la puissance à laquelle nous élevons un nombre positif, nous obtiendrons toujours un nombre positif en sortie. Ainsi, l'exigence f (x) > 0 est automatiquement satisfaite.

Ce qui vaut vraiment la peine d'être vérifié, c'est le domaine de la fonction sous le signe du journal. Il peut y avoir des structures assez complexes et vous devez absolument les surveiller pendant le processus de résolution. Jetons un coup d'oeil.

Première tâche :

Première étape : convertir la fraction de droite. On a:

On se débarrasse du signe du logarithme et on obtient l'équation irrationnelle habituelle :

Parmi les racines obtenues, seule la première nous convient, puisque la seconde racine est inférieure à zéro. La seule réponse sera le chiffre 9. Ça y est, le problème est résolu. Aucun contrôle supplémentaire n'est requis pour s'assurer que l'expression sous le signe du logarithme est supérieure à 0, car elle n'est pas seulement supérieure à 0, mais selon la condition de l'équation elle est égale à 2. Par conséquent, l'exigence « supérieur à zéro » » est satisfait automatiquement.

Passons à la deuxième tâche :

Tout est pareil ici. On réécrit la construction en remplaçant le triple :

On se débarrasse des signes du logarithme et on obtient une équation irrationnelle :

Nous mettons au carré les deux côtés en tenant compte des restrictions et obtenons :

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x2 = x2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​​​6x + x 2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

On résout l'équation résultante par le discriminant :

ré = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x2 = −6

Mais x = −6 ne nous convient pas, car si l'on substitue ce nombre dans notre inégalité, on obtient :

−6 + 4 = −2 < 0

Dans notre cas, il faut qu'il soit supérieur à 0 ou, dans les cas extrêmes, égal. Mais x = −1 nous convient :

−1 + 4 = 3 > 0

La seule réponse dans notre cas sera x = −1. C'est la solution. Revenons au tout début de nos calculs.

Le principal point à retenir de cette leçon est que vous n'avez pas besoin de vérifier les contraintes sur une fonction dans des équations logarithmiques simples. Parce que pendant le processus de résolution, toutes les contraintes sont automatiquement satisfaites.

Cependant, cela ne signifie en aucun cas que vous pouvez oublier complètement la vérification. En travaillant sur une équation logarithmique, celle-ci pourrait très bien devenir irrationnelle, qui aura ses propres restrictions et exigences pour le côté droit, comme nous l'avons vu aujourd'hui dans deux exemples différents.

N'hésitez pas à résoudre de tels problèmes et soyez particulièrement prudent s'il y a une racine dans le différend.

Équations logarithmiques avec différentes bases

Nous continuons à étudier les équations logarithmiques et examinons deux autres techniques très intéressantes avec lesquelles il est à la mode de résoudre des constructions plus complexes. Mais rappelons d’abord comment les problèmes les plus simples sont résolus :

log une f (x) = b

Dans cette entrée, a et b sont des nombres, et dans la fonction f (x) la variable x doit être présente, et seulement là, c'est-à-dire que x ne doit être que dans l'argument. Nous transformerons ces équations logarithmiques en utilisant la forme canonique. Pour ce faire, notez que

b = journal a a b

De plus, a b est précisément un argument. Réécrivons cette expression comme suit :

log a f (x) = log a a b

C’est exactement ce que nous essayons de réaliser, afin qu’il y ait un logarithme pour baser a à la fois à gauche et à droite. Dans ce cas, on peut, au sens figuré, rayer les signes du journal, et d'un point de vue mathématique on peut dire que l'on égalise simplement les arguments :

f (x) = un b

En conséquence, nous obtiendrons une nouvelle expression qui sera beaucoup plus facile à résoudre. Appliquons cette règle à nos problèmes d'aujourd'hui.

Donc, la première conception :

Tout d’abord, je remarque qu’à droite se trouve une fraction dont le dénominateur est log. Lorsque vous voyez une expression comme celle-ci, c’est une bonne idée de vous rappeler une merveilleuse propriété des logarithmes :

Traduit en russe, cela signifie que tout logarithme peut être représenté comme le quotient de deux logarithmes de n'importe quelle base c. Bien sûr 0< с ≠ 1.

Donc : cette formule a un merveilleux cas particulier, lorsque la variable c est égale à la variable b. Dans ce cas on obtient une construction comme :

C’est exactement la construction que nous voyons grâce au signe de droite dans notre équation. Remplaçons cette construction par log a b , nous obtenons :

En d’autres termes, par rapport à la tâche initiale, nous avons interverti l’argument et la base du logarithme. Au lieu de cela, nous avons dû inverser la fraction.

Rappelons que tout diplôme peut être dérivé de la base selon la règle suivante :

Autrement dit, le coefficient k, qui est la puissance de la base, est exprimé sous forme de fraction inversée. Rendons-le sous forme de fraction inversée :

Le facteur fractionnaire ne peut pas être laissé devant, car dans ce cas nous ne pourrons pas représenter cette notation comme une forme canonique (après tout, sous la forme canonique il n'y a pas de facteur supplémentaire avant le deuxième logarithme). Par conséquent, ajoutons la fraction 1/4 à l'argument sous forme de puissance :

Maintenant, nous assimilons les arguments dont les bases sont les mêmes (et nos bases sont réellement les mêmes), et écrivons :

x + 5 = 1

x = −4

C'est tout. Nous avons obtenu la réponse à la première équation logarithmique. Attention : dans le problème d'origine, la variable x n'apparaît que dans un seul journal, et elle apparaît dans son argument. Par conséquent, il n’est pas nécessaire de vérifier le domaine, et notre nombre x = −4 est bien la réponse.

Passons maintenant à la deuxième expression :

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Ici, en plus des logarithmes habituels, nous devrons travailler avec log f (x). Comment résoudre une telle équation ? Pour un étudiant non préparé, cela peut sembler une tâche difficile, mais en fait, tout peut être résolu de manière élémentaire.

Examinez attentivement le terme lg 2 log 2 7. Que pouvons-nous en dire ? Les bases et arguments de log et lg sont les mêmes, et cela devrait donner quelques idées. Rappelons encore une fois comment les puissances sont extraites sous le signe du logarithme :

log a b n = nlog a b

En d’autres termes, ce qui était une puissance de b dans l’argumentation devient un facteur devant log lui-même. Appliquons cette formule à l'expression lg 2 log 2 7. N'ayez pas peur de lg 2 - c'est l'expression la plus courante. Vous pouvez le réécrire comme suit :

Toutes les règles qui s'appliquent à tout autre logarithme lui sont valables. En particulier, le facteur précédent peut être ajouté au degré de l'argumentation. Écrivons-le :

Très souvent, les étudiants ne voient pas directement cette action, car il n'est pas bon d'inscrire un journal sous le signe d'un autre. En fait, cela n’a rien de criminel. De plus, nous obtenons une formule facile à calculer si l'on se souvient d'une règle importante :

Cette formule peut être considérée à la fois comme une définition et comme l'une de ses propriétés. Dans tous les cas, si vous convertissez une équation logarithmique, vous devez connaître cette formule tout comme vous connaîtriez la représentation logarithmique de n'importe quel nombre.

Revenons à notre tâche. On le réécrit en tenant compte du fait que le premier terme à droite du signe égal sera simplement égal à lg 7. On a :

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Déplaçons LG 7 vers la gauche, nous obtenons :

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

On soustrait les expressions de gauche car elles ont la même base :

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Examinons maintenant de plus près l'équation que nous avons obtenue. C'est pratiquement la forme canonique, mais il y a un facteur −3 à droite. Ajoutons-le à l'argument lg de droite :

journal 8 = journal (x + 4) −3

Devant nous se trouve la forme canonique de l'équation logarithmique, nous biffons donc les signes lg et assimilons les arguments :

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

C'est tout! Nous avons résolu la deuxième équation logarithmique. Dans ce cas, aucune vérification supplémentaire n’est requise, car dans le problème initial, x n’était présent que dans un seul argument.

Permettez-moi d'énumérer à nouveau les points clés de cette leçon.

La formule principale enseignée dans toutes les leçons de cette page dédiées à la résolution d'équations logarithmiques est la forme canonique. Et ne soyez pas effrayé par le fait que la plupart des manuels scolaires vous apprennent à résoudre ces problèmes différemment. Cet outil fonctionne très efficacement et vous permet de résoudre une classe de problèmes beaucoup plus large que les plus simples que nous avons étudiés au tout début de notre leçon.

De plus, pour résoudre des équations logarithmiques, il sera utile d’en connaître les propriétés de base. À savoir:

1. La formule pour passer à une base et le cas particulier où l'on inverse le log (cela nous a été très utile dans le premier problème) ;
2. Formule pour ajouter et soustraire des puissances au signe du logarithme. Ici, de nombreux étudiants restent bloqués et ne voient pas que le diplôme retiré et introduit peut lui-même contenir log f (x). Aucun problème avec cela. On peut introduire un log selon le signe de l'autre et en même temps simplifier considérablement la solution du problème, ce que l'on observe dans le second cas.

En conclusion, je voudrais ajouter qu'il n'est pas nécessaire de vérifier le domaine de définition dans chacun de ces cas, car partout la variable x est présente dans un seul signe de log, et en même temps dans son argument. En conséquence, toutes les exigences du champ d’application sont automatiquement remplies.

Problèmes avec la base variable

Aujourd'hui, nous examinerons les équations logarithmiques qui, pour de nombreux étudiants, semblent non standard, voire totalement insolubles. Nous parlons d'expressions basées non pas sur des nombres, mais sur des variables et même des fonctions. Nous résoudrons de telles constructions en utilisant notre technique standard, à savoir via la forme canonique.

Tout d'abord, rappelons comment les problèmes les plus simples sont résolus, sur la base de nombres ordinaires. La construction la plus simple s’appelle donc

log une f (x) = b

Pour résoudre de tels problèmes, nous pouvons utiliser la formule suivante :

b = journal a a b

Nous réécrivons notre expression originale et obtenons :

log a f (x) = log a a b

Ensuite, nous égalisons les arguments, c'est-à-dire que nous écrivons :

f (x) = un b

Ainsi, nous nous débarrassons du panneau de journal et résolvons le problème habituel. Dans ce cas, les racines obtenues à partir de la solution seront les racines de l’équation logarithmique originale. De plus, un enregistrement où la gauche et la droite sont dans le même logarithme avec la même base est précisément appelé forme canonique. C'est à un tel record que nous tenterons de réduire les conceptions d'aujourd'hui. Alors allons-y.

Première tâche :

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Remplacez 1 par log x − 2 (x − 2) 1 . Le degré que nous observons dans l’argumentation est en fait le nombre b qui se trouve à droite du signe égal. Réécrivons donc notre expression. On a:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Que voit-on ? Nous avons devant nous la forme canonique de l'équation logarithmique, nous pouvons donc assimiler les arguments en toute sécurité. On a:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Mais la solution ne s’arrête pas là, car cette équation n’est pas équivalente à l’équation originale. Après tout, la construction résultante est constituée de fonctions définies sur toute la droite numérique, et nos logarithmes originaux ne sont pas définis partout ni toujours.

Par conséquent, nous devons écrire le domaine de définition séparément. Ne coupons pas les cheveux en quatre et notons d'abord toutes les exigences :

Premièrement, l'argument de chacun des logarithmes doit être supérieur à 0 :

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Deuxièmement, la base doit non seulement être supérieure à 0, mais également différente de 1 :

X − 2 ≠ 1

En conséquence, nous obtenons le système :

Mais ne vous inquiétez pas : lors du traitement d’équations logarithmiques, un tel système peut être considérablement simplifié.

Jugez par vous-même : d'une part, on exige que la fonction quadratique soit supérieure à zéro, et d'autre part, cette fonction quadratique est assimilée à une certaine expression linéaire, qui doit également être supérieure à zéro.

Dans ce cas, si nous exigeons que x − 2 > 0, alors l'exigence 2x 2 − 13x + 18 > 0 sera automatiquement satisfaite. Par conséquent, nous pouvons rayer en toute sécurité l'inégalité contenant la fonction quadratique. Ainsi, le nombre d'expressions contenues dans notre système sera réduit à trois.

Bien sûr, avec le même succès, nous pourrions rayer l’inégalité linéaire, c’est-à-dire rayer x − 2 > 0 et exiger que 2x 2 − 13x + 18 > 0. Mais vous conviendrez que résoudre l’inégalité linéaire la plus simple est beaucoup plus rapide et plus simple que quadratique, même à condition qu'en résolvant tout ce système, nous obtenions les mêmes racines.

En général, essayez d’optimiser les calculs autant que possible. Et dans le cas des équations logarithmiques, rayez les inégalités les plus difficiles.

Réécrivons notre système :

Voici un système de trois expressions, dont deux d'ailleurs nous avons déjà traité. Écrivons l'équation quadratique séparément et résolvons-la :

2x 2 − 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Nous avons devant nous un trinôme quadratique réduit et, par conséquent, nous pouvons utiliser les formules de Vieta. On a:

(x − 5)(x − 2) = 0

x1 = 5

x2 = 2

Revenons maintenant à notre système et constatons que x = 2 ne nous convient pas, car on nous impose que x soit strictement supérieur à 2.

Mais x = 5 nous convient parfaitement : le nombre 5 est supérieur à 2, et en même temps 5 n'est pas égal à 3. Par conséquent, la seule solution à ce système sera x = 5.

Ça y est, le problème est résolu, y compris en tenant compte de l'ODZ. Passons à la deuxième équation. Des calculs plus intéressants et informatifs nous attendent ici :

Première étape : comme la dernière fois, nous mettons toute cette affaire sous forme canonique. Pour ce faire, on peut écrire le nombre 9 ainsi :

Il n’est pas nécessaire de toucher la base avec la racine, mais il vaut mieux transformer l’argument. Passons de la racine à la puissance avec un exposant rationnel. Écrivons :

Permettez-moi de ne pas réécrire toute notre grande équation logarithmique, mais simplement d'assimiler immédiatement les arguments :

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x2 + 4x + 3 = 0

Nous avons devant nous un trinôme quadratique nouvellement réduit, utilisons les formules de Vieta et écrivons :

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x2 = −1

Nous avons donc obtenu les racines, mais personne ne nous a garanti qu'elles correspondraient à l'équation logarithmique originale. Après tout, les panneaux de journal imposent des restrictions supplémentaires (ici, nous aurions dû écrire le système, mais en raison de la lourdeur de l'ensemble de la structure, j'ai décidé de calculer le domaine de définition séparément).

Tout d'abord, rappelez-vous que les arguments doivent être supérieurs à 0, à savoir :

Ce sont les exigences imposées par le champ d’application de la définition.

Notons immédiatement que puisque l'on assimile les deux premières expressions du système, on peut rayer n'importe laquelle d'entre elles. Rayons le premier car il semble plus menaçant que le second.

De plus, notons que la solution des deuxième et troisième inégalités sera les mêmes ensembles (le cube d'un certain nombre est supérieur à zéro, si ce nombre lui-même est supérieur à zéro ; de même, avec une racine du troisième degré - ces inégalités sont tout à fait analogues, nous pouvons donc le rayer).

Mais avec la troisième inégalité, cela ne fonctionnera pas. Débarrassons-nous du signe radical de gauche en élevant les deux parties en cube. On a:

Nous obtenons donc les exigences suivantes :

−2 ≠x > −3

Laquelle de nos racines : x 1 = −3 ou x 2 = −1 répond à ces exigences ? Évidemment, seul x = −1, car x = −3 ne satisfait pas la première inégalité (puisque notre inégalité est stricte). Donc, en revenant à notre problème, nous obtenons une racine : x = −1. Voilà, problème résolu.

Encore une fois, les points clés de cette tâche :

1. N'hésitez pas à appliquer et à résoudre des équations logarithmiques en utilisant la forme canonique. Les étudiants qui font une telle notation, plutôt que de passer directement du problème initial à une construction comme log a f (x) = b, commettent beaucoup moins d'erreurs que ceux qui se précipitent quelque part, sautant les étapes intermédiaires des calculs ;
2. Dès qu'une base variable apparaît dans un logarithme, le problème cesse d'être le plus simple. Par conséquent, lors de sa résolution, il est nécessaire de prendre en compte le domaine de définition : les arguments doivent être supérieurs à zéro, et les bases doivent non seulement être supérieures à 0, mais elles ne doivent pas non plus être égales à 1.

Les exigences finales peuvent être appliquées aux réponses finales de différentes manières. Par exemple, vous pouvez résoudre un système entier contenant toutes les exigences du domaine de définition. D'un autre côté, vous pouvez d'abord résoudre le problème lui-même, puis mémoriser le domaine de définition, le travailler séparément sous la forme d'un système et l'appliquer aux racines obtenues.

La méthode à choisir pour résoudre une équation logarithmique particulière dépend de vous. Dans tous les cas, la réponse sera la même.

Équations logarithmiques. Du simple au complexe.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Qu'est-ce qu'une équation logarithmique ?

Il s'agit d'une équation avec des logarithmes. Je suis surpris, non ?) Ensuite, je vais clarifier. Il s'agit d'une équation dans laquelle se trouvent les inconnues (x) et les expressions qui les accompagnent. à l'intérieur des logarithmes. Et seulement là ! C'est important.

Voici quelques exemples équations logarithmiques:

journal 3 x = journal 3 9

journal 3 (x 2 -3) = journal 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Eh bien, vous comprenez... )

Note! Les expressions les plus diverses avec X se trouvent exclusivement dans les logarithmes. Si tout d’un coup un X apparaît quelque part dans l’équation dehors, Par exemple:

journal 2x = 3+x,

ce sera déjà une équation de type mixte. De telles équations n’ont pas de règles claires pour les résoudre. Nous ne les considérerons pas pour l'instant. À propos, il existe des équations où, à l'intérieur des logarithmes Seulement les chiffres. Par exemple:

Que puis-je dire ? Vous avez de la chance si vous tombez sur ça ! Le logarithme avec des nombres est un certain nombre. C'est tout. Il suffit de connaître les propriétés des logarithmes pour résoudre une telle équation. Connaissance de règles spéciales, de techniques adaptées spécifiquement à la résolution équations logarithmiques, pas requis ici.

Donc, qu'est-ce qu'une équation logarithmique- nous l'avons compris.

Comment résoudre des équations logarithmiques ?

Solution équations logarithmiques- la chose n'est en réalité pas très simple. Notre section est donc un quatre... Une quantité décente de connaissances sur toutes sortes de sujets connexes est requise. De plus, ces équations présentent une particularité. Et cette fonctionnalité est si importante qu'elle peut être qualifiée de problème principal dans la résolution d'équations logarithmiques. Nous traiterons ce problème en détail dans la prochaine leçon.

Pour l'instant, ne vous inquiétez pas. Nous irons dans le bon sens du simple au complexe. En utilisant des exemples précis. L'essentiel est de se plonger dans des choses simples et de ne pas être paresseux pour suivre les liens, je les mets là pour une raison... Et tout s'arrangera pour vous. Nécessairement.

Commençons par les équations les plus élémentaires et les plus simples. Pour les résoudre, il convient d'avoir une idée du logarithme, mais sans plus. Aucune idée logarithme, prendre une décision logarithmiqueéquations - en quelque sorte même gênantes... Très audacieux, je dirais).

Les équations logarithmiques les plus simples.

Ce sont des équations de la forme :

1. journal 3 x = journal 3 9

2. journal 7 (2x-3) = journal 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Processus de résolution n'importe quelle équation logarithmique consiste en le passage d'une équation avec logarithmes à une équation sans eux. Dans les équations les plus simples, cette transition s’effectue en une seule étape. C'est pourquoi ils sont les plus simples.)

Et de telles équations logarithmiques sont étonnamment faciles à résoudre. Voir par vous-même.

Résolvons le premier exemple :

journal 3 x = journal 3 9

Pour résoudre cet exemple, vous n’avez pas besoin de savoir presque quoi que ce soit, oui... Purement de l’intuition !) De quoi avons-nous besoin en particulier vous n'aimez pas cet exemple ? Quoi-quoi... Je n'aime pas les logarithmes ! Droite. Alors débarrassons-nous-en. On regarde bien l'exemple, et une envie naturelle naît en nous... Carrément irrésistible ! Prenez et jetez complètement les logarithmes. Et ce qui est bien c'est que Peut faire! Les mathématiques le permettent. Les logarithmes disparaissent la réponse est:

Super, non ? Cela peut (et devrait) toujours être fait. L'élimination des logarithmes de cette manière est l'un des principaux moyens de résoudre les équations et les inégalités logarithmiques. En mathématiques, cette opération s'appelle potentialisation. Bien entendu, il existe des règles pour une telle liquidation, mais elles sont peu nombreuses. Souviens-toi:

Vous pouvez éliminer les logarithmes sans aucune crainte s'ils ont :

a) les mêmes bases numériques

c) les logarithmes gauche-droite sont purs (sans aucun coefficient) et sont dans un splendide isolement.

Permettez-moi de clarifier le dernier point. Dans l'équation, disons

journal 3 x = 2log 3 (3x-1)

Les logarithmes ne peuvent pas être supprimés. Les deux à droite ne le permettent pas. Le coefficient, vous savez... Dans l'exemple

journal 3 x+log 3 (x+1) = journal 3 (3+x)

Il est également impossible de potentialiser l'équation. Il n’y a pas de logarithme solitaire du côté gauche. Il y a deux d'entre eux.

En bref, vous pouvez supprimer les logarithmes si l'équation ressemble à ceci et uniquement à ceci :

log a (.....) = log a (.....)

Entre parenthèses, là où il y a des points de suspension, il peut y avoir toutes les expressions. Simple, super complexe, de toutes sortes. Peu importe. L'important est qu'après avoir éliminé les logarithmes, il nous reste équation plus simple. On suppose, bien entendu, que vous savez déjà comment résoudre des équations linéaires, quadratiques, fractionnaires, exponentielles et autres sans logarithmes.)

Vous pouvez maintenant facilement résoudre le deuxième exemple :

journal 7 (2x-3) = journal 7 x

En fait, cela se décide dans la tête. On potentialise, on obtient :

Eh bien, est-ce très difficile ?) Comme vous pouvez le voir, logarithmique une partie de la solution de l’équation est seulement en éliminant les logarithmes... Et puis vient la solution de l’équation restante sans eux. Une affaire triviale.

Résolvons le troisième exemple :

journal 7 (50x-1) = 2

On voit qu'il y a un logarithme à gauche :

Rappelons que ce logarithme est un nombre auquel il faut élever la base (soit sept) pour obtenir une expression sublogarithmique, soit (50x-1).

Mais ce nombre est deux ! D'après l'équation. C'est-à-dire:

C'est essentiellement tout. Logarithme disparu, Ce qui reste est une équation inoffensive :

Nous avons résolu cette équation logarithmique en nous basant uniquement sur la signification du logarithme. Est-il encore plus facile d'éliminer les logarithmes ?) Je suis d'accord. À propos, si vous faites un logarithme à partir de deux, vous pouvez résoudre cet exemple par élimination. N'importe quel nombre peut être transformé en logarithme. De plus, comme nous en avons besoin. Une technique très utile pour résoudre des équations logarithmiques et (surtout !) des inégalités.

Vous ne savez pas comment faire un logarithme à partir d'un nombre !? C'est bon. L'article 555 décrit cette technique en détail. Vous pouvez le maîtriser et l'utiliser au maximum ! Cela réduit considérablement le nombre d’erreurs.

La quatrième équation est résolue de manière tout à fait similaire (par définition) :

C'est ça.

Résumons cette leçon. Nous avons examiné la solution des équations logarithmiques les plus simples à l'aide d'exemples. Il est très important. Et pas seulement parce que de telles équations apparaissent dans les tests et examens. Le fait est que même les équations les plus diaboliques et les plus compliquées se réduisent nécessairement à la plus simple !

En fait, les équations les plus simples constituent la dernière partie de la solution. n'importe lequeléquations. Et cette dernière partie doit être comprise strictement ! Et plus loin. Assurez-vous de lire cette page jusqu'à la fin. Il y a une surprise là...)

Maintenant, nous décidons nous-mêmes. Allons mieux, pour ainsi dire...)

Trouvez la racine (ou la somme des racines, s'il y en a plusieurs) des équations :

ln(7x+2) = ln(5x+20)

journal 2 (x 2 +32) = journal 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

journal 2 (14x) = journal 2 7 + 2

Réponses (dans le désarroi, bien sûr) : 42 ; 12 ; 9 ; 25 ; 7; 1,5 ; 2 ; 16.

Quoi, tout ne marche pas ? Arrive. Ne t'inquiète pas! La section 555 explique la solution à tous ces exemples de manière claire et détaillée. Vous le comprendrez certainement là-bas. Vous apprendrez également des techniques pratiques utiles.

Tout s'est bien passé !? Tous les exemples de « il reste » ?) Félicitations !

Il est temps de vous révéler l’amère vérité. La résolution réussie de ces exemples ne garantit pas la réussite de la résolution de toutes les autres équations logarithmiques. Même les plus simples comme ceux-ci. Hélas.

Le fait est que la solution de toute équation logarithmique (même la plus élémentaire !) consiste à deux parts égales. Résoudre l'équation et travailler avec ODZ. Nous avons maîtrisé une partie : résoudre l'équation elle-même. Ce n'est pas si dur droite?

Pour cette leçon, j'ai spécialement sélectionné des exemples dans lesquels DL n'affecte en rien la réponse. Mais tout le monde n'est pas aussi gentil que moi, n'est-ce pas ?...)

Il est donc impératif de maîtriser l’autre partie. ODZ. C'est le principal problème de la résolution d'équations logarithmiques. Et ce n’est pas parce que c’est difficile : cette partie est encore plus facile que la première. Mais parce que les gens oublient tout simplement ODZ. Ou alors ils ne le savent pas. Ou les deux). Et ils tombent à l'improviste...

Dans la prochaine leçon, nous traiterons de ce problème. Vous pourrez alors décider en toute confiance n'importe lequel des équations logarithmiques simples et aborder des tâches assez solides.

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La préparation au test final de mathématiques comprend une section importante - « Logarithmes ». Les tâches de ce sujet sont nécessairement contenues dans l'examen d'État unifié. L'expérience des années passées montre que les équations logarithmiques ont posé des difficultés à de nombreux écoliers. Par conséquent, les étudiants de différents niveaux de formation doivent comprendre comment trouver la bonne réponse et y faire face rapidement.

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Lors de la préparation à l'examen d'État unifié, les diplômés du secondaire ont besoin d'une source fiable qui fournit les informations les plus complètes et les plus précises pour résoudre avec succès les problèmes du test. Cependant, un manuel n'est pas toujours à portée de main et la recherche des règles et formules nécessaires sur Internet prend souvent du temps.

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Comme vous le savez, lors de la multiplication d'expressions avec des puissances, leurs exposants s'additionnent toujours (ab *a c = a b+c). Cette loi mathématique a été dérivée par Archimède et plus tard, au VIIIe siècle, le mathématicien Virasen a créé un tableau d'exposants entiers. Ce sont eux qui ont servi à la découverte ultérieure des logarithmes. Des exemples d'utilisation de cette fonction peuvent être trouvés presque partout où vous devez simplifier une multiplication fastidieuse par une simple addition. Si vous passez 10 minutes à lire cet article, nous vous expliquerons ce que sont les logarithmes et comment les utiliser. Dans un langage simple et accessible.

Définition en mathématiques

Un logarithme est une expression de la forme suivante : log a b=c, c'est-à-dire le logarithme de tout nombre non négatif (c'est-à-dire tout positif) « b » à sa base « a » est considéré comme la puissance « c » à laquelle la base « a » doit être élevée pour obtenir finalement la valeur « b ». Analysons le logarithme à l'aide d'exemples, disons qu'il existe une expression log 2 8. Comment trouver la réponse ? C’est très simple, il faut trouver une puissance telle que de 2 à la puissance recherchée on obtienne 8. Après avoir fait quelques calculs dans sa tête, on obtient le chiffre 3 ! Et c’est vrai, car 2 à la puissance 3 donne la réponse 8.

Types de logarithmes

Pour de nombreux élèves et étudiants, ce sujet semble compliqué et incompréhensible, mais en fait les logarithmes ne sont pas si effrayants, l'essentiel est de comprendre leur signification générale et de mémoriser leurs propriétés et certaines règles. Il existe trois types distincts d'expressions logarithmiques :

1. Logarithme népérien ln a, où la base est le nombre d'Euler (e = 2,7).
2. Décimal a, où la base est 10.
3. Logarithme de n'importe quel nombre b en base a>1.

Chacun d'eux est résolu de manière standard, y compris la simplification, la réduction et la réduction ultérieure à un seul logarithme à l'aide de théorèmes logarithmiques. Pour obtenir les valeurs correctes des logarithmes, vous devez vous rappeler leurs propriétés et la séquence d'actions lors de leur résolution.

Règles et quelques restrictions

En mathématiques, il existe plusieurs règles-contraintes qui sont acceptées comme un axiome, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas sujettes à discussion et sont la vérité. Par exemple, il est impossible de diviser des nombres par zéro, et il est également impossible d’extraire la racine paire de nombres négatifs. Les logarithmes ont également leurs propres règles, à la suite desquelles vous pouvez facilement apprendre à travailler même avec des expressions logarithmiques longues et volumineuses :

• La base « a » doit toujours être supérieure à zéro et non égale à 1, sinon l'expression perdra son sens, car « 1 » et « 0 » à quelque degré que ce soit sont toujours égaux à leurs valeurs ;
• si a > 0, alors a b >0, il s'avère que « c » doit également être supérieur à zéro.

Comment résoudre des logarithmes ?

Par exemple, la tâche est de trouver la réponse à l'équation 10 x = 100. C'est très simple, vous devez choisir une puissance en élevant le nombre dix auquel on obtient 100. Ceci, bien sûr, est 10 2 = 100.

Représentons maintenant cette expression sous forme logarithmique. On obtient log 10 100 = 2. Lors de la résolution de logarithmes, toutes les actions convergent pratiquement pour trouver la puissance à laquelle il faut entrer dans la base du logarithme pour obtenir un nombre donné.

Pour déterminer avec précision la valeur d'un diplôme inconnu, vous devez apprendre à travailler avec un tableau des diplômes. Cela ressemble à ceci :

Comme vous pouvez le constater, certains exposants peuvent être devinés intuitivement si vous avez un esprit technique et une connaissance de la table de multiplication. Cependant, pour des valeurs plus importantes, vous aurez besoin d’une table de puissance. Il peut être utilisé même par ceux qui ne connaissent rien aux sujets mathématiques complexes. La colonne de gauche contient des nombres (base a), la rangée supérieure de nombres est la valeur de la puissance c à laquelle le nombre a est élevé. A l'intersection, les cellules contiennent les valeurs numériques qui sont la réponse (a c =b). Prenons par exemple la toute première cellule avec le chiffre 10 et mettons-la au carré, nous obtenons la valeur 100, qui est indiquée à l'intersection de nos deux cellules. Tout est si simple et facile que même le plus véritable humaniste comprendra !

Équations et inégalités

Il s'avère que sous certaines conditions, l'exposant est le logarithme. Par conséquent, toute expression numérique mathématique peut être écrite sous la forme d’une égalité logarithmique. Par exemple, 3 4 = 81 peut être écrit comme le logarithme en base 3 de 81 égal à quatre (log 3 81 = 4). Pour les puissances négatives les règles sont les mêmes : 2 -5 = 1/32 on l'écrit sous forme de logarithme, on obtient log 2 (1/32) = -5. L’une des sections les plus fascinantes des mathématiques est celle des « logarithmes ». Nous examinerons des exemples et des solutions d'équations ci-dessous, immédiatement après avoir étudié leurs propriétés. Voyons maintenant à quoi ressemblent les inégalités et comment les distinguer des équations.

L'expression suivante est donnée : log 2 (x-1) > 3 - c'est une inégalité logarithmique, puisque la valeur inconnue « x » est sous le signe logarithmique. Et aussi dans l'expression deux quantités sont comparées : le logarithme du nombre souhaité en base deux est supérieur au nombre trois.

La différence la plus importante entre les équations logarithmiques et les inégalités est que les équations avec des logarithmes (par exemple, le logarithme 2 x = √9) impliquent une ou plusieurs valeurs numériques spécifiques dans la réponse, tandis que lors de la résolution d'une inégalité, la plage des valeurs acceptables les valeurs et les points sont déterminés en brisant cette fonction. En conséquence, la réponse n’est pas un simple ensemble de nombres individuels, comme dans la réponse à une équation, mais une série continue ou un ensemble de nombres.

Théorèmes de base sur les logarithmes

Lors de la résolution de tâches primitives consistant à trouver les valeurs du logarithme, ses propriétés peuvent ne pas être connues. Cependant, lorsqu'il s'agit d'équations ou d'inégalités logarithmiques, il est tout d'abord nécessaire de comprendre clairement et d'appliquer dans la pratique toutes les propriétés de base des logarithmes. Nous examinerons des exemples d'équations plus tard ; examinons d'abord chaque propriété plus en détail.

1. L'identité principale ressemble à ceci : a logaB =B. Cela s'applique uniquement lorsque a est supérieur à 0, non égal à un, et B est supérieur à zéro.
2. Le logarithme du produit peut être représenté par la formule suivante : log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dans ce cas, la condition obligatoire est : d, s 1 et s 2 > 0 ; une≠1. Vous pouvez donner une preuve de cette formule logarithmique, avec des exemples et une solution. Soit log a s 1 = f 1 et log a s 2 = f 2, puis a f1 = s 1, a f2 = s 2. On obtient que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propriétés de degrés ), puis par définition : log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ce qui devait être prouvé.
3. Le logarithme du quotient ressemble à ceci : log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Le théorème sous forme de formule prend la forme suivante : log a q b n = n/q log a b.

Cette formule est appelée « propriété du degré du logarithme ». Cela ressemble aux propriétés des diplômes ordinaires, et ce n’est pas surprenant, car toutes les mathématiques sont basées sur des postulats naturels. Regardons la preuve.

Soit log a b = t, il s'avère que a t = b. Si on élève les deux parties à la puissance m : a tn = b n ;

mais puisque a tn = (a q) nt/q = b n, donc log a q b n = (n*t)/t, alors log a q b n = n/q log a b. Le théorème a été prouvé.

Exemples de problèmes et d’inégalités

Les types de problèmes les plus courants sur les logarithmes sont des exemples d’équations et d’inégalités. On les trouve dans presque tous les livres de problèmes et constituent également une partie obligatoire des examens de mathématiques. Pour entrer dans une université ou réussir les examens d'entrée en mathématiques, vous devez savoir comment résoudre correctement ces tâches.

Malheureusement, il n'existe pas de plan ou de schéma unique pour résoudre et déterminer la valeur inconnue du logarithme, mais certaines règles peuvent être appliquées à chaque inégalité mathématique ou équation logarithmique. Tout d’abord, vous devez savoir si l’expression peut être simplifiée ou réduite à une forme générale. Vous pouvez simplifier les expressions logarithmiques longues si vous utilisez correctement leurs propriétés. Faisons rapidement connaissance avec eux.

Lors de la résolution d'équations logarithmiques, nous devons déterminer de quel type de logarithme nous disposons : un exemple d'expression peut contenir un logarithme naturel ou décimal.

Voici les exemples ln100, ln1026. Leur solution se résume au fait qu’ils doivent déterminer la puissance à laquelle la base 10 sera respectivement égale à 100 et 1026. Pour résoudre des logarithmes naturels, vous devez appliquer des identités logarithmiques ou leurs propriétés. Examinons des exemples de résolution de problèmes logarithmiques de différents types.

Comment utiliser les formules logarithmiques : avec des exemples et des solutions

Voyons donc des exemples d'utilisation des théorèmes de base sur les logarithmes.

1. La propriété du logarithme d'un produit peut être utilisée dans des tâches où il est nécessaire de décomposer une grande valeur du nombre b en facteurs plus simples. Par exemple, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La réponse est 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - comme vous pouvez le voir, en utilisant la quatrième propriété de la puissance du logarithme, nous avons réussi à résoudre une expression apparemment complexe et insoluble. Il vous suffit de factoriser la base puis de retirer les valeurs des exposants du signe du logarithme.

Devoirs de l'examen d'État unifié

Les logarithmes se retrouvent souvent dans les examens d'entrée, en particulier de nombreux problèmes logarithmiques lors de l'examen d'État unifié (examen d'État pour tous les diplômés de l'école). En règle générale, ces tâches sont présentes non seulement dans la partie A (la partie test la plus simple de l'examen), mais également dans la partie C (les tâches les plus complexes et les plus volumineuses). L'examen nécessite une connaissance précise et parfaite du thème « Logarithmes naturels ».

Des exemples et des solutions aux problèmes sont tirés des versions officielles de l'examen d'État unifié. Voyons comment ces tâches sont résolues.

Étant donné log 2 (2x-1) = 4. Solution :
réécrivons l'expression en la simplifiant un peu log 2 (2x-1) = 2 2, par la définition du logarithme on obtient que 2x-1 = 2 4, donc 2x = 17 ; x = 8,5.

• Il est préférable de réduire tous les logarithmes à la même base afin que la solution ne soit pas lourde et déroutante.
• Toutes les expressions sous le signe du logarithme sont indiquées comme positives, par conséquent, lorsque l'exposant d'une expression qui est sous le signe du logarithme et comme sa base est retiré comme multiplicateur, l'expression restant sous le logarithme doit être positive.