Mesure en degrés d'angle, types d'angles. Développés, obtus, verticaux et non développés : types d'angles géométriques

Quand deux faisceau (A.O. Et O.B.) proviennent d'un point, alors la figure formée par ces rayons (avec la partie du plan limitée par eux) est appelée angle

Les rayons formant un angle sont appelés des soirées. Le point d'où ils proviennent est haut coin.

Côtés du coin doit être imaginé comme s'étendant à l'infini à partir du sommet.

Coin généralement désigné par trois lettres, dont celle du milieu est placée à pics, et les extrêmes se trouvent à certains points des côtés. Par exemple, ils disent « angle AOB ou angle ISC" Mais vous pouvez désigner un angle avec une lettre placée au sommet, s'il n'y a pas d'autres angles à ce sommet. On désignera parfois un angle par un nombre placé à l'intérieur de l'angle au sommet. Le mot « angle » dans l’écrit est souvent remplacé par le signe / .

Quand deux rayons naissent d'un seul points, alors strictement ils disent qu'ils forment non pas un angle, mais deux angles.

Ces deux angles ne sont égaux que si les rayons A.O. Et O.B. constituer un direct .

Cet angle est appelé angle tourné.

Deux angles comptent angles égaux, si lorsqu'ils sont superposés, ils peuvent être combinés.

Nous tenons pour évident qu'à l'intérieur de tout angle, à partir de son sommet, il est possible de tracer un rayon (et un seul) qui divise cet angle en deux. Un tel faisceau est appelé bissectrice de l'angle .

Deux coins ( A.O.B Et BOC) sont appelés adjacent, s’ils ont un côté en commun et que les deux autres côtés sont ligne droite.

Merde 1. Merde 2

Quand deux angle adjacent sont égaux (Fig. 2), alors leur côté commun O.B. appelé perpendiculaireà une ligne droite A.C., sur lequel reposent les autres côtés.

Si les angles adjacents sont inégaux (Fig. 1), alors le côté commun O.B. appelé inclinéÀ A.C..

Dans les deux cas, pointez Ô appelé base(perpendiculaire ou oblique).

De n'importe quel point d'une droite on peut, de part et d'autre de cette droite, y restituer perpendiculaire et un seul en plus .

Chacun des angles adjacents égaux est appelé direct. Un angle droit est constante une valeur égale à 90 0 (elle est généralement désignée par le signe d, c'est à dire. la lettre initiale du mot français « droit » - droit). En conséquence, la taille des angles ordinaires est comparée à celle d’un angle droit.

N'importe lequel étendu l'angle est de 2 d= 180°.

Chaque coin ( AOC), inférieur à un angle droit ( AOB) est appelé pointu.

Chaque coin ( AOD) le plus grand direct s'appelle stupide.

Chaque angle, selon sa taille, a son propre nom :

Type d'angle	Taille en degrés	Exemple
Épicé	Moins de 90°
Droit	Égal à 90°. Dans un dessin, un angle droit est généralement désigné par un symbole dessiné d'un côté à l'autre de l'angle.
Émoussé	Plus de 90° mais moins de 180°
Étendu	Égal à 180° Un angle droit est égal à la somme de deux angles droits et un angle droit est la moitié d'un angle droit.
Convexe	Plus de 180° mais moins de 360°
Complet	Égal à 360°

Les deux angles sont appelés adjacent, s'ils ont un côté en commun et que les deux autres côtés forment une ligne droite :

Angles SERPILLIÈRE Et PON adjacent, puisque la poutre PO- le côté commun, et les deux autres côtés - OM Et SUR former une ligne droite.

Le côté commun des angles adjacents est appelé oblique à droit, sur lequel se trouvent les deux autres côtés, uniquement dans le cas où les angles adjacents ne sont pas égaux entre eux. Si les angles adjacents sont égaux, alors leur côté commun sera perpendiculaire.

La somme des angles adjacents est de 180°.

Les deux angles sont appelés verticale, si les côtés d'un angle complètent les côtés de l'autre angle en lignes droites :

Les angles 1 et 3, ainsi que les angles 2 et 4, sont verticaux.

Les angles verticaux sont égaux.

Montrons que les angles verticaux sont égaux :

La somme de ∠1 et ∠2 est un angle droit. Et la somme de ∠3 et ∠2 est un angle droit. Ces deux montants sont donc égaux :

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Dans cette égalité, il existe un terme identique à gauche et à droite - ∠2. L'égalité ne sera pas violée si ce terme à gauche et à droite est omis. Ensuite, nous comprenons.

Angle entre des lignes droites. Les lignes perpendiculaire.

Angles adjacents et verticaux et leurs propriétés. Bissectrice d'angle.

L'angle est figure géométrique formé de deux rayons émanant d'un même point.

Unités d'angle : radian et degré. Un degré est un angle égal à 1/360 d’un angle complet. Un degré est divisé en 60 minutes (symbole : 1 0 = 60") ; une minute est divisée en 60 secondes (symbole : 1" = 60").

Un angle de 90 0 est appelé angle droit ; un angle inférieur à 90 0 est dit aigu ; Un angle supérieur à 90 0 est dit obtus.

Deux droites sont dites mutuellement perpendiculaires si elles forment un angle droit à leur intersection. Si les droites AB et MK sont perpendiculaires, alors cela est noté : AB MK.

Deux angles sont dits adjacents s’ils ont un côté en commun et que les deux autres côtés sont des continuations l’un de l’autre. Ainsi, la somme des angles adjacents est de 180 0.

Deux angles ayant un sommet commun, dont les côtés de l'un sont le prolongement des côtés de l'autre, sont appelés verticaux. Les angles verticaux sont égaux.

La bissectrice d'un angle est le rayon qui coupe l'angle en son milieu.

Propriété de la bissectrice d'un angle : chaque point d'une bissectrice d'un angle est à la même distance des côtés de cet angle.

Z aux prises avec une solution.

1. Trouvez les valeurs des angles adjacents si l'un d'eux est supérieur de 20 0 à l'autre.

Désignons l'un des coins comme X, alors le deuxième sera égal X+20 0. Puisque les angles sont adjacents, leur somme est de 180 0.

On obtient l'équation X+(X+20 0)= 180 0. Puis 2 X=160 0 , X=80 0 .

80 0 +20 0 =100 0

Réponse : 80 0 et 100 0

2. . Deux angles adjacents sont donnés. l'un de ces angles et l'autre forment un angle droit. Trouvez ces angles adjacents.

Désignons l'un des coins comme X. Puisque les angles sont adjacents, leur somme est de 180 0. Alors le deuxième angle sera égal à 180 0 – X.

Faisons une équation : X + (180 0 – X) =90 0 .

Multiplions les deux côtés de l'équation par le dénominateur commun des fractions 28.

On obtient : 16 X +7(180 0 – X)= 28·90 0

16X+ 7·180 0 – 7 X= 28·90 0

9X= -7 180 0 + 28 90 0 Divisez les deux côtés de l'équation par 9.

X= –7·20 0 + 28·10 0

X= –140 0 + 280 0

X= 140 0 - le premier angle, alors le second est égal à 180 0 – 140 0 =40 0.

Réponse : 140 0 et 40 0

3. La somme de trois angles formés par l'intersection de deux droites est supérieure de 280 0 au quatrième angle. Trouvez ces quatre coins.

Lorsque deux lignes droites se coupent, deux paires d’angles verticaux se forment. Les angles verticaux sont égaux les uns aux autres.

Laisser X– la taille d'un des angles. Alors l'angle qui lui est adjacent sera égal à 180 0 - X. Nous avons quatre coins : X, X, 180 0 – X, 180 0 – X.

Faisons une équation : X+ X+ (180 0 – X) = (180 0 – X)+ 280 0 .

On en obtient 2 X=280 0 , X=140 0 , 180 0 – 140 0 =40 0

Réponse : 140 0, 40 0, 140 0 et 40 0

4. L'angle entre les lignes a et b est égal à 17 0 et l'angle entre les lignes a et c est égal à 33 0

Trouvez l'angle entre les lignes b et c.

UN)

alors (b,^c)= 17 0 + 33 0 =50 0

b)

alors (b,^c)= 33 0 - 17 0 =16 0

Réponse : 50 0 ou 16 0

5. Les segments MR et OK se coupent au point E. L'un des angles au sommet E est égal à 110º. Trouvez l'angle KES, où EN est la bissectrice de l'angle REC.

Il existe deux options possibles pour résoudre le problème :

UN)

alors Ð KES= 70 0 : 2 =35 0

b)

Un angle est une figure formée de deux rayons émanant d’un même point.

Les rayons formant un angle sont appelés côtés de l’angle, et le point d’où ils émergent est le sommet de l’angle.

Dans mon dessin, les rayons OB et OS sont les côtés de l'angle, le sommet est le point O, et l'angle est désigné par : BOS.

Lorsque vous écrivez un angle, écrivez une lettre au milieu pour indiquer son sommet. Un angle peut également être désigné par une lettre - le nom de son sommet, par exemple : angle O. Le mot « angle » est remplacé par le signe « ».

Par exemple : BOS = O

Comme toutes les formes géométriques, les angles sont comparés par superposition. Si un angle se superpose à un autre et qu’ils coïncident, alors ces angles sont égaux.

Par exemple : MRL= AKV

De tous les angles on peut distinguer :

1. Aigu (l'ampleur de ces angles est supérieure à 0, mais inférieure à 90).

2. Droit (dont la valeur est 90).

3. Obtus (l'ampleur de ces angles est supérieure à 90, mais inférieure à 180).

4. Développé (dont la valeur est 180).

Un rapporteur est utilisé pour mesurer les angles.

L'échelle du rapporteur est située sur un demi-cercle. Le centre de ce demi-cercle est marqué sur le rapporteur par un tiret. Les lignes de l'échelle du rapporteur divisent le demi-cercle en 180 parties. Les rayons tirés du centre du demi-cercle à travers ces traits forment 180 angles, dont chacun est égal à une fraction d'un angle développé. De tels angles sont appelés degrés. Les diplômes sont indiqués par un signe. Chaque division de l'échelle du rapporteur est égale à 1. En plus des divisions de 1, le rapporteur possède également des divisions de 5 et 10.

Le rapporteur est également utilisé pour construire des angles.

Référence historique

Depuis l’Antiquité, les hommes sont confrontés au besoin de mesurer. Le concept de degré et l'apparition des premiers instruments de mesure des angles sont associés au développement de la civilisation dans l'ancienne Babylone, bien que le mot degré lui-même soit d'origine latine (degré - du latin gradus - « pas, pas »).

L'histoire n'a pas conservé le nom du scientifique qui a inventé le rapporteur - peut-être que dans les temps anciens, cet instrument avait un nom complètement différent. Le nom moderne vient du mot français « TRANSPORTEUR », qui signifie « transporter ».

Mais les anciens scientifiques effectuaient des mesures non seulement avec un rapporteur - après tout, cet instrument n'était pas pratique pour prendre des mesures sur le terrain et résoudre des problèmes appliqués. À savoir problèmes appliqués et étaient le principal sujet d’intérêt des géomètres anciens. L'invention du premier instrument permettant de mesurer des angles au sol est associée au nom de l'ancien scientifique grec Héron d'Alexandrie (1er siècle avant JC). Il a décrit l'outil « dioptrie », qui permet de mesurer des angles au sol et de résoudre de nombreux problèmes appliqués.

Ainsi, nous pouvons parler de l'émergence de la géodésie - un système de sciences permettant de déterminer la forme et la taille de la Terre et de mesurer la surface de la terre pour l'afficher sur des plans et des cartes. La géodésie est liée à l'astronomie, à la géophysique, à la cosmonautique, à la cartographie, etc. et est largement utilisée dans la conception et la construction de structures, de canaux de navigation et de routes.

Au XVIIe siècle, le dispositif de niveau a été inventé et au siècle suivant, le mécanicien anglais Jesse Ramsden a inventé le théodolite. Aujourd'hui, le théodolite est un appareil complexe. De nombreux travaux (y compris la construction) nécessitent une consultation préalable avec des géomètres pour des mesures à l'aide d'un théodolite.

Cependant, l’amélioration des outils de mesure d’angle ne se limite pas à les travaux de construction. Depuis l'Antiquité, les gens voyagent pour apprendre le monde. Les voyageurs devaient pouvoir naviguer dans l'espace. Pendant de nombreux siècles, les étoiles sont devenues le principal point de référence des voyageurs. Le premier outil destiné aux voyageurs est apparu : l'astrolabe. L'Astrolabe (grec astrolabion, de astron - « étoile » et labe - « saisir » ; latin astrolabium) est un appareil goniométrique qui servait jusqu'au début du XVIIIe siècle pour déterminer la position des luminaires dans le ciel.

Le sextant est l'appareil le plus avancé pour mesurer les coordonnées angulaires corps célestes ce temps. Son invention est attribuée à Isaac Newton. Le sextant permettait de mesurer à la fois la latitude et la longitude du point d'observation, et ce avec une assez grande précision. Notez qu'il existe d'autres unités pour mesurer les angles.

Les artilleurs doivent non seulement mesurer les angles, mais aussi convertir rapidement mentalement les valeurs angulaires résultantes en valeurs linéaires et vice versa. Par conséquent, mesurer les angles en degrés et en minutes n’est pas pratique pour les artilleurs. Les artilleurs ont proposé une mesure d'angles complètement différente. Cette mesure est « millièmes » ou, comme on l'appelle autrement, « division du rapporteur ». Pour obtenir le millième, le cercle est divisé en 6000 parties.

En navigation maritime, il est d'usage d'utiliser le rhumb comme unité de mesure principale. Le rhumb nautique est déterminé par l'angle au centre correspondant à un arc égal à 1/32 du cercle. La météorologie a son propre rhumb, qui est deux fois plus grand que la mer.

Commençons par définir ce qu'est un angle. Premièrement, il est. Deuxièmement, il est formé de deux rayons, appelés côtés de l'angle. Troisièmement, ces derniers émergent d'un point appelé sommet de l'angle. Sur la base de ces caractéristiques, nous pouvons créer une définition : un angle est une figure géométrique composée de deux rayons (côtés) émergeant d'un point (sommet).

Ils sont classés par valeur de degré, par emplacement les uns par rapport aux autres et par rapport au cercle. Commençons par les types d'angles selon leur ampleur.

Il en existe plusieurs variétés. Examinons de plus près chaque type.

Il n'existe que quatre principaux types d'angles : les angles droits, obtus, aigus et droits.

Droit

Cela ressemble à ceci :

Sa mesure en degrés est toujours de 90°, en d’autres termes, un angle droit est un angle de 90 degrés. Seuls les quadrilatères tels que le carré et le rectangle en possèdent.

Émoussé

Cela ressemble à ceci :

La mesure du degré est toujours supérieure à 90 o, mais inférieure à 180 o. On peut le trouver dans des quadrilatères tels qu'un losange, un parallélogramme arbitraire et dans des polygones.

Épicé

Cela ressemble à ceci :

La mesure en degrés d’un angle aigu est toujours inférieure à 90°. On le retrouve dans tous les quadrilatères sauf le carré et tout parallélogramme.

Étendu

L'angle déplié ressemble à ceci :

Il n'existe pas de polygones, mais il n'est pas moins important que tous les autres. Un angle droit est une figure géométrique dont la mesure en degrés est toujours de 180º. Vous pouvez construire dessus en dessinant un ou plusieurs rayons depuis son sommet dans n'importe quelle direction.

Il existe plusieurs autres types mineurs d'angles. Ils ne sont pas étudiés dans les écoles, mais il faut au moins connaître leur existence. Il n'existe que cinq types d'angles secondaires :

1. Zéro

Cela ressemble à ceci :

Le nom de l'angle lui-même indique déjà sa taille. Sa surface interne est de 0° et ses côtés se superposent comme le montre la figure.

2. Oblique

Un angle oblique peut être un angle droit, un angle obtus, un angle aigu ou un angle droit. Sa condition principale est qu'il ne soit pas égal à 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Convexe

Les angles convexes sont des angles nuls, droits, obtus, aigus et droits. Comme vous l'avez déjà compris, la mesure en degrés d'un angle convexe est comprise entre 0° et 180°.

4. Non convexe

Les angles dont les mesures en degrés vont de 181° à 359° inclus sont non convexes.

5. Plein

Un angle complet est de 360 ​​degrés.

Ce sont tous types d’angles selon leur ampleur. Examinons maintenant leurs types en fonction de leur emplacement dans l'avion les uns par rapport aux autres.

1. Supplémentaire

Ce sont deux angles aigus formant une seule ligne droite, c'est-à-dire leur somme est de 90 o.

2. Adjacent

Des angles adjacents se forment si un rayon passe par l'angle déplié, ou plutôt par son sommet, dans n'importe quelle direction. Leur somme est de 180 o.

3. verticale

Des angles verticaux se forment lorsque deux lignes droites se croisent. Leurs mesures de diplôme sont égales.

Passons maintenant aux types d'angles situés par rapport au cercle. Il n'y en a que deux : central et inscrit.

1. Centrale

Un angle au centre est un angle dont le sommet est au centre du cercle. Sa mesure en degrés est égale à la mesure en degrés du plus petit arc sous-tendu par les côtés.

2. Inscrit

Un angle inscrit est un angle dont le sommet se trouve sur un cercle et dont les côtés le coupent. Sa mesure en degré est égale à la moitié de l'arc sur lequel il repose.

Voilà pour les angles. Vous savez désormais qu'en plus des plus connus - aigus, obtus, droits et déployés - il en existe bien d'autres types en géométrie.