Kr 4 application des propriétés de la solution de racine carrée. Racine carrée arithmétique (8e année)

Titre : Indépendant et papiers de test en algèbre et géométrie pour la 8e année.

Le manuel contient des travaux indépendants et des tests sur tous les sujets les plus importants Cours d'algèbre et de géométrie de 8e année.

Les œuvres se composent de 6 options de trois niveaux de difficulté. Matériel didactique sont destinés à organiser le travail indépendant différencié des étudiants.

CONTENU
ALGÈBRE 4
C-1 Expressions rationnelles. Réduire les fractions 4
C-2 Additionner et soustraire des fractions 5
K-1 Fractions rationnelles. Additionner et soustraire des fractions 7
C-3 Multiplication et division de fractions. Élever une fraction à la puissance 10
C-4 Transformation des expressions rationnelles 12
C-5 Proportionnalité inverse et son graphique 14
K-2 Fractions rationnelles 16
C-6 Racine carrée arithmétique 18
C-7 Équation x2 = a. Fonction y = y[x 20
C-8 Racine carrée d'un produit, fraction, puissance de 22
K-3 Racine carrée arithmétique et ses propriétés 24
C-9 Additionner et soustraire un multiplicateur en racines carrées 27
C-10 Conversion d'expressions contenant des racines carrées 28
K-4 Application des propriétés de la racine carrée arithmétique 30
S-11 Équations quadratiques incomplètes 32
S-12 Formule pour les racines de l'équation quadratique 33
C-13 Résoudre des problèmes à l'aide d'équations quadratiques. Théorème de Vieta 34
K-5 Équations du second degré 36
S-14 Équations rationnelles fractionnaires 38
P-15 Application des équations rationnelles fractionnaires. Résolution de problèmes 39
K-6 Équations rationnelles fractionnaires 40
C-16 Propriétés des inégalités numériques 43
K-7 Inégalités numériques et leurs propriétés 44
S-17 Inégalités linéaires avec une variable 47
S-18 Systèmes d'inégalités linéaires 48
K-8 Inégalités linéaires et systèmes d'inégalités à une variable 50
C-19 Degré avec un indicateur négatif 52
Degré K-9 avec un score intégral de 54
K-10 Test annuel 56
GÉOMÉTRIE (selon Pogorelov) 58
C-1 Propriétés et caractéristiques d'un parallélogramme." 58
C-2 Rectangulaire. Rhombe. Carré 60
K-1 Parallélogramme 62
C-3 Théorème de Thalès. Ligne médiane du triangle 63
Trapèze S-4. Ligne médiane du trapèze 66
Trapèze K-2. Lignes médianes d'un triangle et d'un trapèze....68
C-5 Théorème de Pythagore 70
C-6 Théorème inverse du théorème de Pythagore. Perpendiculaire et oblique 71
C-7 Inégalité triangulaire 73
Théorème de Pythagore 74 de la maternelle à la 3e année
C-8 Résoudre des triangles rectangles 76
C-9 Propriétés des fonctions trigonométriques 78
K-4 Triangle rectangle (test général) 80
C-10 Coordonnées du milieu du segment. Distance entre les points. Équation du cercle 82
S-11 Équation d'une droite 84
Coordonnées cartésiennes K-5 86
S-12 Mouvement et ses propriétés. Symétrie centrale et axiale. Tournez 88
S-13. Transfert parallèle 90
S-14 Notion de vecteur. Égalité des vecteurs 92
C-15 Actions avec des vecteurs sous forme de coordonnées. Vecteurs colinéaires 94
S-16 Actions avec des vecteurs sous forme géométrique 95
C-17 Produit scalaire 98
K-6 Vecteurs 99
Test annuel K-7 102
GÉOMÉTRIE (selon Atanasyan) 104
C-1 Propriétés et caractéristiques d'un parallélogramme 104
C-2 Rectangulaire. Rhombe. Carré 106
Quadrangles K-1 108
C-3 Aire d'un rectangle, carré 109
C-4 Aire d'un parallélogramme, losange, triangle 111
Zone trapézoïdale S-5 113
C-6 Théorème de Pythagore 114
Carrés K-2. Théorème de Pythagore 116
C-7 Détermination de triangles semblables. Propriété de la bissectrice d'un triangle 118
S-8 Signes de similitude des triangles 120
K-3 Similitude des triangles 122
C-9 Application de la similarité à la résolution de problèmes 124
C-10 Relations entre les côtés et les angles d'un triangle rectangle 126
K-4 Application de la similarité à la résolution de problèmes. Relations entre les côtés et les angles d'un triangle rectangle 128
C-11 Tangente au cercle 130
C-12 Angles centraux et inscrits 132
C-13 Théorème sur le produit de segments de cordes qui se croisent. Points remarquables du triangle 134
C-14 Cercles inscrits et circonscrits 136
Cercle K-5 137
S-15 Addition et soustraction de vecteurs 139
C-16 Multiplier un vecteur par le nombre 141
S-17 Ligne médiane du trapèze 142
Vecteurs K-6. Application des vecteurs à la résolution de problèmes 144
K-7 Test annuel 146
RÉPONSES 148
LITTÉRATURE 157

PRÉFACE .
1. Un livre relativement petit contient un ensemble complet travail de vérification(y compris les tests finaux) pour l'ensemble du cours d'algèbre et de géométrie de 8e année, ce qui suffit pour acheter un jeu de livres par classe.
Les tests sont conçus pour la leçon, travail indépendant- pendant 20-35 minutes, selon le sujet. Pour faciliter l'utilisation du livre, le titre de chaque ouvrage indépendant et test reflète son sujet.

2. La collection permet un contrôle différencié des connaissances, puisque les tâches sont réparties en trois niveaux de complexité A, B et C. Le niveau A correspond aux exigences obligatoires du programme, B - un niveau de complexité moyen, les tâches du niveau C sont destinées pour les étudiants qui manifestent un intérêt accru pour les mathématiques, ainsi que pour une utilisation dans les classes, les écoles, les gymnases et les lycées avec une étude approfondie des mathématiques. Pour chaque niveau, il y a 2 options équivalentes situées l'une à côté de l'autre (comme elles sont généralement écrites au tableau), donc un livre sur le bureau suffit pour la leçon.

Téléchargez gratuitement le livre électronique dans un format pratique, regardez et lisez :
Téléchargez le livre Travaux indépendants et tests sur l'algèbre et la géométrie pour la 8e année. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, téléchargement rapide et gratuit.

Travail indépendant et test sur la géométrie pour la 11e année. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
Travail indépendant et test en algèbre et géométrie pour la 9e année. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
Travaux indépendants et tests en algèbre et géométrie, 8e année, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013

J'ai regardé à nouveau le panneau... Et c'est parti !

Commençons par quelque chose de simple :

Juste une minute. ceci, ce qui signifie qu'on peut l'écrire comme ceci :

J'ai compris? Voici le prochain pour vous :

Les racines des nombres résultants ne sont-elles pas exactement extraites ? Pas de problème, voici quelques exemples :

Et s'il n'y avait pas deux, mais plus de multiplicateurs ? Le même! La formule de multiplication des racines fonctionne avec un certain nombre de facteurs :

Désormais entièrement autonome :

Réponses: Bien joué! D'accord, tout est très simple, l'essentiel est de connaître la table de multiplication !

Division des racines

Nous avons réglé la multiplication des racines, passons maintenant à la propriété de division.

Permettez-moi de vous rappeler que la formule dans vue générale Ressemble à ça:

Ce qui signifie que la racine du quotient est égale au quotient des racines.

Eh bien, regardons quelques exemples :

C'est tout ce qu'est la science. Voici un exemple :

Tout n'est pas aussi fluide que dans le premier exemple, mais, comme vous pouvez le constater, il n'y a rien de compliqué.

Et si vous tombiez sur cette expression :

Il suffit d'appliquer la formule dans le sens inverse :

Et voici un exemple :

Vous pouvez également rencontrer cette expression :

Tout est pareil, seulement ici, vous devez vous rappeler comment traduire les fractions (si vous ne vous en souvenez pas, regardez le sujet et revenez !). Vous souvenez-vous? Maintenant décidons !

Je suis sûr que vous avez fait face à tout, essayons maintenant d'élever les racines à un certain degré.

Exponentiation

Que se passe-t-il si la racine carrée est au carré ? C'est simple, rappelez-vous la signification de la racine carrée d'un nombre - c'est un nombre dont la racine carrée est égale.

Donc, si nous mettons au carré un nombre dont la racine carrée est égale, qu’obtenons-nous ?

Oui bien sur, !

Regardons des exemples :

C'est simple, non ? Et si la racine était à un degré différent ? C'est bon!

Suivez la même logique et rappelez-vous les propriétés et les actions possibles avec les diplômes.

Lisez la théorie sur le sujet « » et tout deviendra extrêmement clair pour vous.

Par exemple, voici une expression :

Dans cet exemple, le degré est pair, mais que se passe-t-il s’il est impair ? Encore une fois, appliquez les propriétés des exposants et factorisez le tout :

Tout semble clair avec cela, mais comment extraire la racine d'un nombre en puissance ? Voici par exemple ceci :

Assez simple, non ? Et si le degré est supérieur à deux ? Nous suivons la même logique en utilisant les propriétés des diplômes :

Eh bien, tout est clair ? Ensuite, résolvez vous-même les exemples :

Et voici les réponses :

Entrer sous le signe de la racine

Que n’avons-nous pas appris à faire avec les racines ! Il ne reste plus qu'à s'entraîner à saisir le numéro sous le signe racine !

C'est vraiment simple !

Disons que nous avons un numéro écrit

Que pouvons-nous en faire ? Eh bien, bien sûr, cachez les trois sous la racine, en vous rappelant que les trois sont la racine carrée de !

Pourquoi avons nous besoin de ça? Oui, juste pour étendre nos capacités lors de la résolution d'exemples :

Que pensez-vous de cette propriété des racines ? Est-ce que cela rend la vie beaucoup plus facile ? Pour moi, c'est tout à fait vrai ! Seulement Nous devons nous rappeler que nous ne pouvons saisir que des nombres positifs sous le signe de la racine carrée.

Résolvez cet exemple vous-même -
Avez-vous réussi ? Voyons ce que vous devriez obtenir :

Bien joué! Vous avez réussi à saisir le numéro sous le signe racine ! Passons à quelque chose de tout aussi important : voyons comment comparer des nombres contenant une racine carrée !

Comparaison des racines

Pourquoi devons-nous apprendre à comparer les nombres contenant une racine carrée ?

Très simple. Souvent, dans les expressions larges et longues rencontrées lors de l'examen, nous recevons une réponse irrationnelle (vous vous souvenez de ce que c'est ? Nous en avons déjà parlé aujourd'hui !)

Nous devons par exemple placer les réponses reçues sur la ligne de coordonnées pour déterminer quel intervalle convient pour résoudre l'équation. Et là se pose le problème : il n'y a pas de calculatrice dans l'examen, et sans elle, comment imaginer quel nombre est le plus grand et lequel est le moins ? C'est ça!

Par exemple, déterminez lequel est le plus grand : ou ?

Vous ne pouvez pas le savoir tout de suite. Eh bien, utilisons la propriété désassemblée de saisir un nombre sous le signe racine ?

Alors vas-y:

Eh bien, évidemment, plus le nombre sous le signe racine est grand, plus la racine elle-même est grande !

Ceux. si donc, .

De là, nous concluons fermement que. Et personne ne nous convaincra du contraire !

Extraire des racines à partir d'un grand nombre

Avant cela, nous saisissions un multiplicateur sous le signe de la racine, mais comment le supprimer ? Il vous suffit de le prendre en compte et d'extraire ce que vous extrayez !

Il était possible d’emprunter une voie différente et de s’étendre à d’autres facteurs :

Pas mal, non ? Chacune de ces approches est correcte, décidez comme vous le souhaitez.

La factorisation est très utile pour résoudre des problèmes non standard tels que celui-ci :

N'ayons pas peur, mais agissons ! Décomposons chaque facteur sous la racine en facteurs distincts :

Maintenant, essayez-le vous-même (sans calculatrice ! Ce ne sera pas à l’examen) :

Est-ce la fin? Ne nous arrêtons pas à mi-chemin !

C'est tout, ce n'est pas si effrayant, non ?

Arrivé? Bravo, c'est vrai !

Essayez maintenant cet exemple :

Mais l’exemple est difficile à résoudre, vous ne pouvez donc pas immédiatement comprendre comment l’aborder. Mais bien sûr, nous pouvons y faire face.

Eh bien, commençons à factoriser ? Notons tout de suite qu'on peut diviser un nombre par (rappelez-vous les signes de divisibilité) :

Maintenant, essayez-le vous-même (encore une fois, sans calculatrice !) :

Eh bien, est-ce que ça a marché ? Bravo, c'est vrai !

Résumons-le

La racine carrée (racine carrée arithmétique) d'un nombre non négatif est un nombre non négatif dont le carré est égal à.
.
Si nous prenons simplement la racine carrée de quelque chose, nous obtenons toujours un résultat non négatif.
Propriétés d'une racine arithmétique :
Lorsque l'on compare des racines carrées, il ne faut pas oublier que plus le nombre sous le signe racine est grand, plus la racine elle-même est grande.

Comment est la racine carrée ? Tout est clair?

Nous avons essayé de vous expliquer sans problème tout ce que vous devez savoir lors de l'examen sur la racine carrée.

C'est ton tour. Écrivez-nous si ce sujet est difficile pour vous ou non.

Avez-vous appris quelque chose de nouveau ou tout était déjà clair ?

Écrivez dans les commentaires et bonne chance pour vos examens !

Dans cet article, nous examinerons les principaux propriétés des racines. Commençons par les propriétés de la racine carrée arithmétique, donnons leurs formulations et fournissons des preuves. Après cela, nous traiterons des propriétés de la racine arithmétique du nième degré.

Navigation dans les pages.

Propriétés de la racine carrée

Dans ce paragraphe, nous traiterons des principes de base suivants propriétés de la racine carrée arithmétique:

Dans chacune des égalités écrites, les côtés gauche et droit peuvent être intervertis, par exemple, l'égalité peut être réécrite comme . Dans cette forme « inverse », les propriétés de la racine carrée arithmétique sont appliquées lorsque simplification des expressions aussi souvent que sous la forme « directe ».

La preuve des deux premières propriétés repose sur la définition de la racine carrée arithmétique et sur . Et pour justifier la dernière propriété de la racine carrée arithmétique, il faudra se souvenir.

Alors commençons par preuve de la propriété arithmétique racine carrée du produit de deux nombres non négatifs: . Pour ce faire, selon la définition d'une racine carrée arithmétique, il suffit de montrer qu'il s'agit d'un nombre non négatif dont le carré est égal à ab. Faisons-le. La valeur d’une expression est non négative car elle est le produit de nombres non négatifs. La propriété de la puissance du produit de deux nombres permet d'écrire l'égalité , et puisque par définition de la racine carrée arithmétique et , alors .

Il est de même prouvé que la racine carrée arithmétique du produit de k facteurs non négatifs a 1 , a 2 , ..., a k est égale au produit des racines carrées arithmétiques de ces facteurs. Vraiment, . De cette égalité il résulte que .

Donnons des exemples : et.

Maintenant, prouvons propriété de la racine carrée arithmétique du quotient: . La propriété d'un quotient à un degré naturel permet d'écrire l'égalité , UN , et il y a un nombre non négatif. C'est la preuve.

Par exemple, et .

Il est temps de faire le tri propriété de la racine carrée arithmétique du carré d'un nombre, sous la forme d'une égalité, il s'écrit . Pour le prouver, considérons deux cas : pour a≥0 et pour a<0 .

Évidemment, pour a≥0 l’égalité est vraie. Il est également facile de voir que pour un<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 et (−a) 2 =a 2 . Ainsi, , c'était ce qui devait être prouvé.

Voici quelques exemples: Et .

La propriété de la racine carrée qui vient d'être démontrée permet de justifier le résultat suivant, où a est n'importe quel nombre réel, et m est n'importe quel nombre réel. En fait, la propriété d'élever une puissance à une puissance permet de remplacer la puissance a 2 m par l'expression (a m) 2, alors .

Par exemple, Et .

Propriétés de la nième racine

Commençons par lister les principaux propriétés des nièmes racines:

Toutes les égalités écrites restent valables si leurs côtés gauche et droit sont inversés. Ils sont également souvent utilisés sous cette forme, principalement pour simplifier et transformer des expressions.

La preuve de toutes les propriétés annoncées de la racine repose sur la définition de la racine arithmétique du nième degré, sur les propriétés du degré et sur la définition du module d'un nombre. Nous les prouverons par ordre de priorité.

Commençons par la preuve propriétés de la nième racine d'un produit . Pour a et b non négatifs, la valeur de l’expression est également non négative, comme le produit de nombres non négatifs. La propriété d'un produit à la puissance naturelle permet d'écrire l'égalité . Par définition d'une racine arithmétique du nième degré et, donc, . Cela prouve la propriété de la racine considérée.

Cette propriété se prouve de la même manière pour le produit de k facteurs : pour les nombres non négatifs a 1, a 2, …, an, Et .

Voici des exemples d’utilisation de la propriété de la nième racine d’un produit : Et .

Prouvons propriété de la racine d'un quotient. Lorsque a≥0 et b>0 la condition est satisfaite, et .

Montrons des exemples : Et .

Allons-nous en. Prouvons propriété de la nième racine d'un nombre à la nième puissance. Autrement dit, nous prouverons que pour tout a réel et m naturel. Pour a≥0 on a et , ce qui prouve l’égalité , et l’égalité évidemment. Lorsqu'un<0 имеем и (la dernière transition est valable en raison de la propriété d'un degré avec un exposant pair), ce qui prouve l'égalité , et est vrai car en parlant de la racine du degré impair, nous avons accepté pour tout nombre non négatif c.

Voici des exemples d'utilisation de la propriété racine analysée : et .

Nous procédons à la preuve de la propriété de la racine de la racine. Inversons les côtés droit et gauche, c'est-à-dire que nous prouverons la validité de l'égalité, ce qui signifiera la validité de l'égalité originale. Pour un nombre a non négatif, la racine de la forme est un nombre non négatif. En rappelant la propriété d'élever un degré à une puissance, et en utilisant la définition d'une racine, on peut écrire une chaîne d'égalités de la forme . Cela prouve la propriété de la racine considérée.

La propriété d'une racine d'une racine d'une racine, etc. se prouve de la même manière. Vraiment, .

Par exemple, Et .

Montrons ce qui suit propriété de contraction de l'exposant racine. Pour ce faire, grâce à la définition d'une racine, il suffit de montrer qu'il existe un nombre non négatif qui, élevé à la puissance n·m, est égal à a m. Faisons-le. Il est clair que si le nombre a est non négatif, alors la nième racine du nombre a est un nombre non négatif. Où , ce qui complète la preuve.

Voici un exemple d'utilisation de la propriété racine analysée : .

Montrons la propriété suivante – la propriété d'une racine d'un degré de la forme . Évidemment, lorsque a≥0 le degré est un nombre non négatif. De plus, sa nième puissance est égale à a m, en effet . Cela prouve la propriété du diplôme considéré.

Par exemple, .

Allons-nous en. Montrons que pour tout nombre positif a et b pour lequel la condition a est satisfaite , c'est-à-dire une≥b. Et cela contredit la condition a

A titre d'exemple, donnons l'inégalité correcte .

Enfin, il reste à prouver la dernière propriété de la nième racine. Démontrons d'abord la première partie de cette propriété, c'est-à-dire que pour m>n et 0 . Ensuite, en raison des propriétés d'un degré à exposant naturel, l'inégalité , c'est-à-dire a n ≤a m . Et l'inégalité résultante pour m>n et 0
De même, par contradiction il est prouvé que pour m>n et a>1 la condition est satisfaite.

Donnons des exemples d'application de la propriété racine prouvée dans des nombres spécifiques. Par exemple, les inégalités et sont vraies.

Bibliographie.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 8e année. les établissements d'enseignement.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les classes 10 - 11 des établissements d'enseignement général.

Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).

\(\sqrt(a)=b\), si \(b^2=a\), où \(a≥0,b≥0\)

Exemples:

\(\sqrt(49)=7\), puisque \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\), puisque \(0.2^2=0.04\)

Comment extraire la racine carrée d’un nombre ?

Pour extraire la racine carrée d'un nombre, il faut se poser la question : quel nombre au carré donnera l'expression sous la racine ?

Par exemple. Extrayez la racine : a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0,001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Quel nombre au carré donnera \(2500\) ?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Quel nombre au carré donnera \(\frac(4)(9)\) ?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Quel nombre au carré donnera \(0,0001\) ?

\(\sqrt(0,0001)=0,01\)

d) Quel nombre au carré donnera \(\sqrt(1\frac(13)(36))\) ? Pour répondre à la question, vous devez la convertir en la mauvaise.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Commentaire: Bien que \(-50\), \(-\frac(2)(3)\), \(-0.01\),\(- \frac(7)(6)\), répondez également aux questions, mais ils ne sont pas pris en compte puisque la racine carrée est toujours positive.

La propriété principale de la racine

Comme vous le savez, en mathématiques, toute action a un inverse. L'addition a la soustraction, la multiplication a la division. L’inverse de la quadrature consiste à prendre la racine carrée. Ces actions se compensent donc :

\((\sqrt(a))^2=a\)

C'est la propriété principale de la racine, qui est la plus souvent utilisée (y compris en OGE)

Exemple . (mission de l'OGE). Trouver la valeur de l'expression \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Solution :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Exemple . (mission de l'OGE). Trouver la valeur de l'expression \((\sqrt(85)-1)^2\)
Solution:
Répondre: \(86-2\sqrt(85)\)
Bien sûr, lorsque vous travaillez avec des racines carrées, vous devez en utiliser d’autres.

Exemple . (mission de l'OGE). Trouver la valeur de l'expression \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Solution:
Répondre: \(220\)

4 règles que les gens oublient toujours
La racine n'est pas toujours extraite

Exemple: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\), etc. – extraire la racine d’un nombre n’est pas toujours possible et c’est normal !

Racine d'un nombre, également un nombre

Il n'est pas nécessaire de traiter \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\), d'une manière particulière. Ce sont des nombres, mais pas des nombres entiers, oui, mais tout dans notre monde ne se mesure pas en nombres entiers.

La racine est extraite uniquement de nombres non négatifs

Par conséquent, dans les manuels, vous ne verrez pas de telles entrées \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\), etc.