Résolvez les équations de l'examen. Équations irrationnelles
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Aujourd'hui, nous allons entraîner la compétence permettant de résoudre la tâche 5 de l'examen d'État unifié - trouver la racine de l'équation. Cherchons la racine de l'équation. Regardons des exemples de résolution de ce type de tâche. Mais d’abord, rappelons-nous ce que signifie trouver la racine d’une équation ?
Cela signifie trouver un nombre chiffré sous x, que nous substituerons à la place de x et notre équation sera une vraie égalité.
Par exemple, 3x=9 est une équation et 3 . 3=9 est déjà une vraie égalité. C'est dedans dans ce cas, nous avons remplacé x par le nombre 3 - nous avons obtenu l'expression ou l'égalité correcte, cela signifie que nous avons résolu l'équation, c'est-à-dire que nous avons trouvé le nombre donné x = 3, ce qui transforme l'équation en une égalité correcte.
C'est ce que nous ferons : nous trouverons la racine de l'équation.
Tâche 1 - trouver la racine de l'équation 2 1-4x =32
Ce équation exponentielle. Il se résout de la manière suivante : il faut qu'à gauche et à droite du signe « égal » il y ait un degré avec la même base.
À gauche, nous avons une base de degré 2, et à droite, il n’y a aucun degré. Mais nous savons que 32 vaut 2 à la puissance cinq. Autrement dit, 32=2 5
Ainsi, notre équation ressemblera à ceci : 2 1-4x = 2 5
A gauche et à droite, nos exposants sont les mêmes, ce qui veut dire que pour qu'on ait l'égalité, les exposants doivent aussi être égaux :
On a équation ordinaire. Nous résolvons de la manière habituelle - nous laissons toutes les inconnues à gauche et déplaçons celles connues vers la droite, nous obtenons :
Vérifions : 2 1-4(-1) =32
Nous avons trouvé la racine de l'équation. Réponse : x=-1.
Trouvez vous-même la racine de l'équation dans les tâches suivantes :
b) 2 1-3x =128
Tâche 2 - trouver la racine de l'équation
Nous résolvons l'équation de la même manière - en réduisant les côtés gauche et droit de l'équation à la même base de puissance. Dans notre cas - à la base du degré 2.
Nous utilisons la propriété de degré suivante :
En utilisant cette propriété, nous obtenons pour le côté droit de notre équation :
Si les bases du degré sont égales, alors les exposants sont égaux :
Réponse : x=9.
Faisons une vérification - remplaçons la valeur trouvée de x dans l'équation d'origine - si nous obtenons l'égalité correcte, alors nous avons résolu l'équation correctement.
Nous avons trouvé correctement la racine de l’équation.
Tâche 3 - trouver la racine de l'équation
Notez qu'à droite nous avons 1/8, et 1/8 est
Notre équation s’écrira alors :
Si les bases du degré sont égales, alors les exposants sont égaux, on obtient une équation simple :
Réponse : x=5. Faites le contrôle vous-même.
Tâche 4 - trouver la racine de l'équation log 3 (15's)=log 3 2
Cette équation peut être résolue de la même manière que l’équation exponentielle. Nous avons besoin que les bases des logarithmes à gauche et à droite du signe égal soient identiques. Maintenant, ce sont les mêmes, ce qui signifie que nous assimilons les expressions qui sont sous le signe des logarithmes :
Réponse : x=13
Tâche 5 - trouver la racine de l'équation log 3 (3-x)=3
Le nombre 3 est log 3 27. Pour que ce soit clair, sous l'indice sous le signe du logarithme se trouve le nombre qui est élevé à la puissance, dans notre cas 3, sous le signe du logarithme se trouve le nombre qui a été obtenu lorsqu'il est élevé à la puissance - c'est 27, et le logarithme lui-même est l'exposant auquel 3 doit être augmenté pour obtenir 27.
Regarde l'image:
Ainsi, n’importe quel nombre peut être écrit sous forme de logarithme. Dans ce cas, il est très pratique d'écrire le nombre 3 sous forme de logarithme de base 3. On obtient :
journal 3 (3-x)=journal 3 27
Les bases des logarithmes sont égales, ce qui signifie que les nombres sous le signe du logarithme sont égaux :
Allons vérifier:
journal 3 (3-(-24))=journal 3 27
journal 3 (3+24)= journal 3 27
journal 3 27=journal 3 27
Réponse : x=-24.
Trouvez la racine de l'équation. Tâche 6.
journal 2 (x+3)=journal 2 (3x-15)
Vérifier : log 2 (9+3)=log 2 (27-15)
journal 2 12=journal 2 12
Réponse : x=9.
Trouvez la racine de l'équation. Tâche 7.
journal 2 (14-2x)=2log 2 3
journal 2 (14-2x)=journal 2 3 2
Vérifier : log 2 (14-5)=2log 2 3
journal 2 9=2log 2 3
journal 2 3 2 =2log 2 3
2log 2 3=2log 2 3
Réponse : x=2,5
Préparez-vous à l'examen d'État unifié et à l'examen d'État unifié - consultez les sujets précédents et.
Équations, partie $C$
Une égalité contenant un nombre inconnu, indiqué par une lettre, s'appelle une équation. L’expression à gauche du signe égal est appelée le côté gauche de l’équation et l’expression à droite est appelée le côté droit de l’équation.
Schéma de résolution d'équations complexes :
- Avant de résoudre une équation, vous devez écrire la région correspondante valeurs acceptables(ODZ).
- Résous l'équation.
- Sélectionnez parmi les racines obtenues de l'équation celles qui satisfont à l'ODZ.
ODZ de diverses expressions (par expression nous entendons la notation alphanumérique) :
1. L'expression au dénominateur ne doit pas être égale à zéro.
$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$
2. L'expression radicale ne doit pas être négative.
$√(g(x)); g(x) ≥ 0$.
3. L'expression radicale au dénominateur doit être positive.
$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0$
4. Pour un logarithme : l'expression sublogarithmique doit être positive ; la base doit être positive ; La base ne peut pas en égaler un.
$log_(f(x))g(x)\table\(\g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$
Équations logarithmiques
Les équations logarithmiques sont des équations de la forme $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, où $a$ est un nombre positif différent de $1$, et des équations qui se réduisent à cette forme.
Pour résoudre des équations logarithmiques, vous devez connaître les propriétés des logarithmes : nous considérerons toutes les propriétés des logarithmes pour $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – n'importe quel nombre réel.
1. Pour tout nombre réel $m$ et $n$ les égalités sont vraies :
$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$
$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$
$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$
$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$
$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$
$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$
2. Le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes de même base de chaque facteur.
$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$
3. Le logarithme d'un quotient est égal à la différence entre les logarithmes du numérateur et du dénominateur utilisant la même base
$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$
4. Lorsque vous multipliez deux logarithmes, vous pouvez échanger leurs bases
$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$, si $a, b, c$ et $d > 0, a≠1, b≠1.$
5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, où $a, b, c > 0, a≠1$
6. Formule pour déménager dans une nouvelle base
$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$
7. En particulier, s'il est nécessaire d'échanger l'expression de base et l'expression sublogarithmique
$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$
Il existe plusieurs types principaux d'équations logarithmiques :
Les équations logarithmiques les plus simples : $log_(a)x=b$. La solution de ce type d'équation découle de la définition du logarithme, c'est-à-dire $x=a^b$ et $x > 0$
Représentons les deux côtés de l'équation sous la forme d'un logarithme pour baser $2$
$log_(2)x=log_(2)2^3$
Si les logarithmes de même base sont égaux, alors les expressions sous-logarithmiques sont également égales.
Réponse : $x = 8$
Équations de la forme : $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. Parce que les bases sont les mêmes, alors on assimile les expressions sublogarithmiques et on prend en compte l'ODZ :
$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, а > 0, а≠1;$
$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$
Parce que les bases sont les mêmes, alors on assimile les expressions sublogarithmiques
Déplaçons tous les termes vers la gauche de l'équation et présentons les termes similaires
Vérifions les racines trouvées selon les conditions $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$
Lors de la substitution dans la deuxième inégalité, la racine $x=4$ ne satisfait pas à la condition, c'est donc une racine étrangère
Réponse : $x=-3$
- Méthode de remplacement variable.
Dans cette méthode, vous avez besoin de :
- Notez les équations ODZ.
- En utilisant les propriétés des logarithmes, assurez-vous que les équations produisent des logarithmes identiques.
- Remplacez $log_(a)f(x)$ par n'importe quelle variable.
- Résolvez l’équation de la nouvelle variable.
- Revenez à l'étape 3, remplacez la valeur de la variable et obtenez l'équation la plus simple de la forme : $log_(a)x=b$
- Résolvez l'équation la plus simple.
- Après avoir trouvé les racines équation logarithmique il faut les mettre au paragraphe 1 et vérifier l'état de l'ODZ.
Résoudre l'équation $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$
1. Écrivons l’équation ODZ :
$\table\(\ x>0,\text"puisqu'il est sous le signe de la racine et du logarithme";\ √x≠1→x≠1;$
2. Faisons des logarithmes à la base $2$, pour cela nous utiliserons la règle de passage à une nouvelle base au deuxième terme :
$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$
4. On obtient une équation rationnelle fractionnaire pour la variable t
Réduisons tous les termes à un dénominateur commun $t$.
$(t^2+2-3t)/(t)=0$
Une fraction est égale à zéro lorsque le numérateur est nul et le dénominateur n'est pas zéro.
$t^2+2-3t=0$, $t≠0$
5. Résolvons le résultat équation quadratique selon le théorème de Vieta :
6. Revenons à l'étape 3, effectuons la substitution inverse et obtenons deux équations logarithmiques simples :
$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$
Logarithmonons les membres droits des équations
$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$
Égalisons les expressions sublogarithmiques
$√x=2$, $√x=4$
Pour se débarrasser de la racine, mettons au carré les deux côtés de l'équation
$х_1=4$, $х_2= 16$
7. Remplaçons les racines de l'équation logarithmique à l'étape 1 et vérifions la condition ODZ.
$\(\table\ 4 >0; \4≠1;$
La première racine satisfait l'ODZ.
$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ La deuxième racine satisfait également l'ODZ.
Réponse : 4 $ ; 16 $
- Équations de la forme $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. De telles équations sont résolues en introduisant une nouvelle variable et en passant à une équation quadratique ordinaire. Une fois les racines de l'équation trouvées, elles doivent être sélectionnées en tenant compte de l'ODZ.
Équations rationnelles fractionnaires
- Si une fraction est nulle, alors le numérateur est zéro et le dénominateur n’est pas zéro.
- Si au moins une partie d'une équation rationnelle contient une fraction, alors l'équation est dite fractionnaire-rationnelle.
Pour résoudre une équation rationnelle fractionnaire, vous devez :
- Trouver les valeurs de la variable pour lesquelles l'équation n'a pas de sens (ODZ)
- Trouver le dénominateur commun des fractions incluses dans l'équation ;
- Multipliez les deux côtés de l’équation par le dénominateur commun ;
- Résolvez l'équation entière résultante ;
- Excluez de ses racines ceux qui ne satisfont pas à la condition ODZ.
- Si une équation implique deux fractions et que les numérateurs sont leurs expressions égales, alors les dénominateurs peuvent être assimilés et l'équation résultante peut être résolue sans prêter attention aux numérateurs. MAIS en tenant compte de l'ODZ de toute l'équation originale.
Équations exponentielles
Les équations exponentielles sont celles dans lesquelles l'inconnue est contenue dans l'exposant.
Lors de la résolution d'équations exponentielles, les propriétés des puissances sont utilisées, rappelons-en quelques-unes :
1. Lors de la multiplication de puissances avec les mêmes bases, la base reste la même et les exposants sont ajoutés.
$a^n·a^m=a^(n+m)$
2. Lors de la division de degrés avec les mêmes bases, la base reste la même et les exposants sont soustraits
$a^n:a^m=a^(n-m)$
3. Lorsqu'on élève un degré à une puissance, la base reste la même, mais les exposants sont multipliés
$(a^n)^m=a^(n∙m)$
4. Lorsqu'on élève un produit à une puissance, chaque facteur est élevé à cette puissance
$(a b)^n=a^n b^n$
5. Lorsqu'on élève une fraction à une puissance, le numérateur et le dénominateur sont élevés à cette puissance
$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$
6. Lorsqu'une base est élevée à un exposant zéro, le résultat est égal à un
7. Une base dans n'importe quel exposant négatif peut être représentée comme une base dans le même exposant positif en changeant la position de la base par rapport au trait de la fraction
$a^(-n)=(1)/(a^n)$
$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$
8. Un radical (racine) peut être représenté comme une puissance avec un exposant fractionnaire
$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$
Types d'équations exponentielles :
1. Équations exponentielles simples :
a) La forme $a^(f(x))=a^(g(x))$, où $a >0, a≠1, x$ est inconnu. Pour résoudre de telles équations, nous utilisons la propriété des puissances : les puissances de même base ($a >0, a≠1$) ne sont égales que si leurs exposants sont égaux.
b) Équation de la forme $a^(f(x))=b, b>0$
Pour résoudre de telles équations, les deux côtés doivent être pris logarithmiquement à la base $a$, il s'avère
$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$
2. Méthode de nivellement de base.
3. Méthode de factorisation et de remplacement de variables.
- Pour cette méthode, dans l'équation entière, selon la propriété des puissances, il est nécessaire de transformer les puissances en une seule forme $a^(f(x))$.
- Effectuez un changement de variable $a^(f(x))=t, t > 0$.
- On obtient une équation rationnelle qui doit être résolue en factorisant l'expression.
- Nous effectuons des substitutions inverses en tenant compte du fait que $t >
Résolvez l'équation $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$
En utilisant la propriété des puissances, nous transformons l’expression pour obtenir la puissance 2^x.
$(2^x)^3-(7·(2^x)^2)/(2)+(7·2^x)/(2-1)=0$
Changeons la variable $2^x=t ; t>0$
On obtient une équation cubique de la forme
$t^3-(7 t^2)/(2)+(7 t)/(2)-1=0$
Multipliez l'équation entière par 2$ pour vous débarrasser des dénominateurs
$2t^3-7 t^2+7 t-2=0$
Développons le côté gauche de l'équation en utilisant la méthode de regroupement
$(2t^3-2)-(7t^2-7t)=0$
Retirons le facteur commun $2$ de la première tranche et $7t$ de la seconde
$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$
De plus, dans la première parenthèse, nous voyons la formule différence des cubes
$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$
Le produit est nul lorsqu'au moins un des facteurs est nul
1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$
Résolvons la première équation
Résolvons la deuxième équation par le discriminant
$D=25-4·2·2=9=3^2$
$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$
$t_3=(5+3)/(4)=2$
2 $ ^ x = 1 ; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$
$2^x=2^0 ; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$
$x_1=0 ; x_2=-1 ; x_3=1$
Réponse : -1 $ ; 0 ; 1$
4. Méthode de conversion d'équation quadratique
- Nous avons une équation de la forme $A·a^(2f(x))+B·a^(f(x))+C=0$, où $A, B$ et $C$ sont des coefficients.
- Nous effectuons le remplacement $a^(f(x))=t, t > 0$.
- Le résultat est une équation quadratique de la forme $A·t^2+B·t+С=0$. Nous résolvons l'équation résultante.
- Nous effectuons la substitution inverse en tenant compte du fait que $t > 0$. Nous obtenons l'équation exponentielle la plus simple $a^(f(x))=t$, la résolvons et écrivons le résultat comme réponse.
Méthodes de factorisation :
- Sortir le facteur commun des parenthèses.
Pour factoriser un polynôme en sortant le facteur commun entre parenthèses, il faut :
- Déterminez le facteur commun.
- Divisez le polynôme donné par celui-ci.
- Notez le produit du facteur commun et le quotient résultant (en mettant ce quotient entre parenthèses).
Factorisez le polynôme : $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.
Le facteur commun de ce polynôme est $2a$, puisque tous les termes sont divisibles par $2$ et « a ». Ensuite, on trouve le quotient de la division du polynôme d'origine par « 2a », on obtient :
$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$
C'est le résultat final de la factorisation.
Utiliser des formules de multiplication abrégées
1. Le carré de la somme est décomposé en le carré du premier nombre plus le double du produit du premier nombre et du deuxième nombre et plus le carré du deuxième nombre.
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. Le carré de la différence est décomposé comme suit : le carré du premier nombre moins le double du produit du premier nombre et du deuxième et plus le carré du deuxième nombre.
$(ab)^2=a^2-2ab+b^2$
3. La différence des carrés se décompose en produit de la différence des nombres et de leur somme.
$a^2-b^2=(a+b)(ab)$
4. Le cube de la somme est égal au cube du premier nombre plus le triple du produit du carré du premier par le deuxième nombre plus le triple du produit du premier par le carré du deuxième nombre plus le cube du deuxième nombre.
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
5. Le cube de la différence est égal au cube du premier nombre moins le triple produit du carré du premier nombre par le deuxième nombre plus le triple produit du premier par le carré du deuxième nombre et moins le cube de le deuxième numéro.
$(ab)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
6. La somme des cubes est égale au produit de la somme des nombres par le carré partiel de la différence.
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
7. La différence des cubes est égale au produit de la différence des nombres et du carré incomplet de la somme.
$a^3-b^3=(ab)(a^2+ab+b^2)$
Méthode de regroupement
La méthode de regroupement est pratique à utiliser lorsqu'il est nécessaire de factoriser un polynôme avec un nombre pair de termes. Dans cette méthode, il est nécessaire de regrouper les termes en groupes et de retirer le facteur commun de chaque groupe. Après les avoir placés entre parenthèses, plusieurs groupes doivent obtenir des expressions identiques ; puis nous prenons cette parenthèse comme facteur commun et la multiplions par la parenthèse du quotient résultant.
Factoriser le polynôme $2a^3-a^2+4a-2$
Pour décomposer ce polynôme, nous utiliserons la méthode de regroupement des termes, pour cela nous regrouperons les deux premiers et les deux derniers termes, et il est important de bien placer le signe devant le deuxième groupement, nous mettrons le signe + et écrivez donc les termes avec leurs signes entre parenthèses.
$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$
Après avoir éliminé les facteurs communs, nous avons obtenu une paire de supports identiques. Nous supprimons maintenant cette tranche comme facteur commun.
$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$
Le produit de ces parenthèses est le résultat final de la factorisation.
En utilisant la formule du trinôme quadratique.
S'il existe un trinôme carré de la forme $ax^2+bx+c$, alors il peut être développé selon la formule
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trinôme quadratique