Le sujet de ce numéro est l'affectation de transformations affines sous forme matricielle. Ce sujet est essentiellement un résumé de tout ce qui a été dit précédemment.

Définition.La transformation plane est appelée affine, Si

• c'est un à un ;
• l'image de toute ligne droite est une ligne droite.

La transformation s'appelle Un par un, Si

• différents points vont à différents points ;
• un point va à chaque point.

Coordonnées homogènes

Si l'on considère le transfert parallèle, il s'avère qu'une matrice 2x2 ne suffit plus à le définir. Mais cela peut être spécifié en utilisant une matrice 3x3. La question se pose, où obtenir la troisième coordonnée d'un point bidimensionnel ?

Définition.Coordonnées homogènes - les coordonnées qui ont la propriété que l'objet qu'elles définissent ne change pas lorsque toutes les coordonnées sont multipliées par le même nombre.

Coordonnées vectorielles homogènes(x, y) est un triple de nombres(x", y", h), où x = x"/h, y = y"/h et h - un nombre réel (le cas où h = 0 est spécial).

NoteCes coordonnées ne permettent pas de spécifier de manière unique un point sur le plan. Par exemple,(1, 1, 1) et (2, 2, 2) fixer le même point(1, 1) . Il est suggéré de prendre un ensemble(x, y, 1) , qui décrira tous les points de l'avion.

La matrice de transformation pour coordonnées homogènes a une taille de 3x3. Considérons quelques transformations en coordonnées homogènes.

Compression/tension

Cette transformation multiplie les coordonnées du point correspondant par des facteurs d'échelle axiale :(x, y) -> (a x * x, a y * y) . La matrice de transformation s'écrira comme suit :

[une x 0 0]

Où un x – étirement axial X,

un oui – étirement axial y.

NoteOn peut noter qu'avec des valeurs négatives des coefficients de compression/extension, une réflexion se produit par rapport aux axes correspondants. Ce cas peut être inclus dans cette transformation, ou il peut être retiré séparément, en indiquant que les facteurs d'échelle ne prennent que des valeurs positives.

Tourner

La matrice de rotation 2x2 a été discutée en détail précédemment. Il est désormais complété par une ligne et une colonne :

[-sin(phi)cos(phi) 0]

NoteÀ l'angle phi = n cette matrice définit une symétrie centrale par rapport à l'origine, ce qui est un cas particulier de rotation. Vous remarquerez que cette symétrie peut être définie à l'aide d'une transformation squash/stretch (permettant des facteurs d'échelle négatifs).

Transfert parallèle

Le vecteur original (x, y) entre dans (x + t x, y + t y) . La matrice de transformation s'écrira comme suit :

[ 1 0 0]

[t x t y 1]

Réflexion

Comme indiqué dans la note sur la transformation écrasement/étirement, les réflexions sont obtenues comme suit :

[-10 0]

réflexion autour de l'axe x

réflexion autour de l'axe oui

Vue générale d'une transformation affine

Une matrice 3x3 dont la dernière colonne est (0 0 1) T définit une transformation affine du plan :

[ * * 0]

[ * * 0]

[ * * 1]

Selon l’une des propriétés, une transformation affine peut s’écrire :

f (x) = x * R + t,

où R – matrice inversible 2 x2, et t – vecteur arbitraire. En coordonnées homogènes cela s’écrira ainsi :

[R 1,1 R 1,2 0]

[R 2,1 R 2,2 0]

[ t x t y 1 ]

Si nous multiplions le vecteur ligne par cette matrice, nous obtenons le résultat de la transformation :

[ xy1 ] *[ R 1.1 R 1.2 0 ]

[R 2,1 R 2,2 0]

[ t x t y 1 ]

[ x'y'1 ]+[ t x t y 1 ]

Dans ce cas [ x ’ y ’ ]= R *[ x y ]

NoteLe lecteur curieux s'est déjà posé la question : quelle est la signification du déterminant de la matrice R ? Avec une transformation affine, les aires de toutes les figures deviennent | R. |. (Vous pouvez le prouver strictement d’un point de vue mathématique, mais ce fait est donné ici sans preuve.)

Que. une transformation affine est représentée comme une composition d'une transformation spécifiée par la matrice R. , et transfert parallèle. Examinons plus en détail la nature de cette matrice et les opportunités qu'elle nous offre.

Matrice R définit une nouvelle base de l'avion. Ceux. vecteur(1, 0) va à (R 1,1, R 1,2), le vecteur (0, 1) va à (R 2,1, R 2,2 ). La nouvelle base est constituée des lignes de la matrice R.

Exemple.

Lorsqu'on réfléchit sur l'axe y , le vecteur de base le long de l'axe des ordonnées est conservé, et le long de l'axe des abscisses il devient(-dix) . Que. matrice R ressemblera à ceci :

Il devient maintenant clair qu'en plus des transformations ci-dessus, en utilisant une transformation affine, vous pouvez obtenir un biseau :

Ce qui précède fournit des informations de base sur un outil aussi puissant que la transformation affine. De nombreuses questions demeurent : quelle sous-classe de transformations affines préserve les angles entre les droites ? Comment représenter une transformation affine comme une composition de plusieurs sous-classes ? Comment définir des transformations plus complexes, par exemple une symétrie axiale par rapport à une ligne droite arbitraire ?

Les réponses à ces questions et une discussion plus détaillée de la transformation affine seront données séparément, dans le cadre du cours de géométrie théorique.

Arrêtons-nous sur la mise en œuvre pratique de la transformation affine sous la forme d'un programme de démonstration. Les capacités d'une application qui démontre la rotation d'un plan avec une souris sont ajoutées aux fonctions de translation parallèle lorsqu'une touche est enfoncée CTRL.

Parce que Cet article est le dernier de cette section, le code de l'application de démonstration doit être approprié. Essayons de déterminer quels blocs sont nécessaires dans une application graphique, tout en examinant simultanément comment ils sont implémentés dans ce programme :

• bloc dans lequel la fenêtre est créée et les messages sont traités système opérateur, implémenté dans un fichier rester. RPC
• moteur graphique qui restitue les images, classe Moteur
• couche requise pour convertir les coordonnées logiques en coordonnées de fenêtre et vice versa, classe Fenêtre
• objet chargé de réagir aux actions de l'utilisateur, classe Action

L'exemple ci-dessous implémente ces blocs fonctionnels, avec des commentaires détaillés.

Pour commencer : sur quoi est basée la méthode de résolution par transformations affines ?

Un bref matériel théorique pour les étudiants est nécessaire.

Nous vous informons que le système de coordonnées ne doit pas nécessairement être rectangulaire. Si vous sélectionnez 3 points sur le plan qui ne se trouvent pas sur la même ligne, ils définiront alors un système de coordonnées affine, et le point et les vecteurs formeront un cadre affine (base).

Définition 1. Soit deux repères affines et spécifiés dans les plans et , respectivement. Une cartographie d'un plan sur un plan est appelée cartographie affine de plans si, lors de cette cartographie, un point de coordonnées dans le système de coordonnées (frame) se dirige vers un point de mêmes coordonnées dans le système de coordonnées (frame).

Propriétés des transformations affines :

1) Selon les propriétés des coordonnées, une transformation affine est une application biunivoque d'un plan sur un plan :

Chaque point a une image, et une seule ;

Différents points ont des images différentes ;

Chaque point de la plage de valeurs a une image inverse.

2) Puisqu'une application affine préserve les coordonnées des points, elle préserve les équations des figures. Il s’ensuit que la ligne droite se transforme en ligne droite.

3) Une transformation inverse d’une transformation affine est à nouveau une transformation affine.

4) Les points qui ne se trouvent pas sur la même ligne se transforment en points qui ne se trouvent pas sur la même ligne et, par conséquent, les lignes sécantes - en lignes sécantes et les lignes parallèles - en lignes parallèles.

5) Lors des transformations affines, les rapports des longueurs des segments situés sur une ou des lignes parallèles sont conservés.

6) Les ratios des aires des polygones sont également conservés.

7) Pas nécessairement sauvegardé rapports de longueurs de segments de lignes droites non parallèles, angles.

Remarque 1 : Si A, B, C sont trois points du plan qui ne sont pas sur la même droite, et sont trois autres points qui ne sont pas sur la même droite, alors il n'y a qu'une seule transformation affine qui prend les points A, B, C aux points .

Remarque 2 : La projection parallèle est une transformation affine d'un plan en plan. D'ailleurs, ce sujet « Conception parallèle » est présent dans le manuel scolaire de géométrie 10-11 (2000) de L. S. Atanasyan en annexe 1. Ce matériel est principalement utilisé lorsque nous enseignons comment représenter des figures spatiales sur un plan.

Pour imaginer ce que les transformations affines peuvent faire, regardons les images. Il est préférable que les élèves démontrent clairement l'application des transformations affines sur un sujet abstrait et passent ensuite aux figures géométriques.

Un cas particulier de transformations affines sont les transformations de similarité, d'homothétie et de mouvement. Les mouvements sont des traductions parallèles, des virages, des symétries diverses et leurs combinaisons. Un autre cas important de transformations affines est l’expansion et la compression par rapport à une droite. Dans la figure 2<Рисунок 2>divers mouvements d'un avion sur lequel est dessinée une maison sont représentés. Et dans les figures 3 et 4<Рисунок 3> <Рисунок 4>diverses transformations affines de ce plan sont représentées (projection parallèle).

Et ici sur la photo suivante<Рисунок 5>l'essence de la méthode peut être expliquée.

Si vous êtes confronté à la tâche de calculer certains rapports ou proportions dans un dessin déformé, par exemple : trouver le rapport entre la longueur des oreilles et la longueur de la queue, vous pouvez alors trouver ce rapport dans un dessin plus pratique (non déformé ), ce qui est beaucoup plus simple, et la solution trouvée correspondra à inclure un dessin déformé. Mais on ne peut pas chercher le rapport, par exemple, entre la longueur des oreilles et l'épaisseur du lièvre, car Ce sont des segments de lignes droites non parallèles.

Passons maintenant aux formes géométriques. Comment cette méthode peut-elle fonctionner pour eux ?

Habituellement, le problème peut être résolu par la méthode des transformations affines, si vous devez trouver le rapport des longueurs, le rapport des aires, prouver le parallélisme ou que les points appartiennent à la même ligne droite. De plus, l'énoncé du problème ne doit pas contenir de données qui ne sont pas préservées sous les transformations affines.

Les propriétés des figures sont dites affines si elles sont préservées sous des mappages affines. Par exemple, soyez la médiane d'un triangle est une propriété affine(le milieu d'un côté va au milieu sous une cartographie affine), mais ce n'est pas le cas d'être une bissectrice.

L'essence de la méthode de résolution de problèmes géométriques.

Lors de la résolution de problèmes impliquant des propriétés affines, il est souvent pratique de passer, à l'aide de transformations affines, à des figures plus simples, par exemple à un triangle régulier. Et puis, en utilisant la transformation affine inverse, transférez le résultat obtenu au chiffre souhaité.

Pour commencer, vous pouvez résoudre le problème bien connu du point d'intersection des médianes d'un triangle.

Tache 1. Montrer que les médianes d'un triangle arbitraire se coupent en un point et sont divisées dans le rapport 2:1, en comptant à partir du sommet.<Рисунок 6>

Solution (selon l'algorithme).

Soit le triangle ABC. 1) Vérifions les propriétés affines de la figure. Un triangle (d'après la remarque 1) est une figure affine, étant une médiane est également une propriété affine, et les rapports des longueurs des segments sont également conservés sous une application affine.

2) Cela signifie que nous pouvons passer à une figure plus pratique : un triangle équilatéral.

3) Prenez un triangle équilatéral. Ce triangle a des médianes , se coupent en un point (comme les altitudes ou les bissectrices d'un triangle équilatéral) et sont divisés par ce point dans un rapport de 2:1, en comptant à partir du sommet. En effet, et. Et l'attitude d'un triangle rectangle. Moyens, .

4) Définissons une application affine qui prend le triangle dans le triangle ABC. Avec cette cartographie, les médianes du triangle vont dans les médianes du triangle ABC et leur point d'intersection va dans le point d'intersection de leurs images et divise les médianes d'un triangle arbitraire ABC dans le rapport 2:1, en comptant à partir du sommet.

5) L’énoncé a été prouvé pour un triangle arbitraire.

Tâche 2. Montrer que dans tout trapèze les milieux des bases, le point d'intersection des diagonales et le point d'intersection des prolongements des côtés latéraux se trouvent sur la même droite.

Soit un trapèze ABCD, dans lequel M et N sont les milieux des bases, Q est le point d'intersection des diagonales, O est le point d'intersection des prolongements des côtés.<Рисунок 7>

1) Vérifions les propriétés affines de la figure. Un trapèze est une figure affine (puisqu'un trapèze se transforme en trapèze), l'appartenance de points à une même droite est une propriété affine. Ainsi, la condition et la question du problème appartiennent à la classe affine des problèmes. Cela signifie que la méthode des transformations affines peut être appliquée.

2) Prenez un triangle isocèle arbitraire. Il existe une cartographie affine qui prend les points A à , B à et O à . Avec cette cartographie affine, il y a un point sur le segment - l'image du point D, et sur le segment - un point (l'image du point C). Le trapèze est équilatéral.

3) Il ne sera pas difficile de prouver le problème formulé pour un trapèze isocèle (et de plusieurs manières).

4) Ainsi, après avoir prouvé que les points , , , se trouvent sur la même droite, on applique la propriété des applications affines (une application inverse d'une application affine est encore une application affine) et donc les points O, M, Q, N se situent également sur la même ligne du trapèze ABCD .

5) Le fait prouvé est également vrai pour un trapèze arbitraire.

Note. Les quadrilatères sont affinement équivalents si et seulement si le point d'intersection des diagonales les divise dans le même rapport.

Tâche 3 (issu du travail de diagnostic sur la préparation à l'examen d'État unifié 2010). Par le point O situé dans le triangle ABC, trois lignes droites sont tracées parallèlement à tous les côtés du triangle. En conséquence, le triangle s’est divisé en 3 triangles et 3 parallélogrammes. On sait que les aires des triangles résultants sont respectivement égales à 1 ; 2.25 et 4. Trouver la somme des aires des parallélogrammes résultants(tâche issue du travail de diagnostic sur la préparation à l'examen d'État unifié - 2010)

Mais ce problème peut être facilement résolu en utilisant des transformations affines.

Problème 4 (stéréométrique). Montrer que la diagonale d'un parallélépipède passe par les points d'intersection des médianes des triangles et et est divisé par ces points en trois segments égaux.

Il s’agit du numéro 372 du manuel d’Atanasyan (11e année). Le manuel donne sa solution en utilisant la méthode vectorielle. Mais vous pouvez appliquer la méthode des transformations affines en résolvant ce problème sur un cube dès la 10e année.

Dans ce problème, en utilisant des transformations affines, nous prouverons l'égalité de trois segments.

1) Vérifions les propriétés affines de la figure et les conditions du problème. L'image affine de tout parallélépipède peut être un cube. La division d'un segment dans une relation donnée est une propriété affine.

2) Considérons le cube du même nom , dans lequel la diagonale passe par les points d'intersection des médianes des triangles et .<Рисунок 10>

3) Montrons que la diagonale est divisée par ces points en trois segments égaux.

4) Il existe une application affine qui transforme un cube en parallélépipède arbitraire. Cela signifie que ce problème sera vrai pour un parallélépipède arbitraire.

5) Généralisations. Quelles propriétés prouvées sur le cube seront conservées pour un parallélépipède arbitraire et lesquelles ne le seront pas (discutez avec les élèves).

Par exemple : le parallélisme des plans et la relation seront conservés, la diagonale aux plans ne sera pas perpendiculaire, les triangles réguliers ne seront pas conservés, tout comme le centre d'un triangle régulier, il ira jusqu'au point d'intersection de les médianes.

Ainsi, dès la 10e année, vous pouvez faire des généralisations pour des figures arbitraires avec les élèves, en utilisant les propriétés des mappages affines.

Nous avons examiné les tâches au niveau logiciel et nous allons maintenant examiner les tâches au niveau avancé.

Voici le problème présenté aux élèves de 11e année à l'Olympiade cette année. Malheureusement, personne n’y a fait face. Voyons comment la méthode des transformations affines nous aidera à le résoudre.

Problème 5 (Olympiade 11e année). La pyramide triangulaire est disséquée par un plan de telle sorte que les médianes des faces latérales soient divisées par des points d'intersection dans les rapports 2 : 1, 3 : 1 et 4 : 1, en partant du sommet de la pyramide. Dans quel rapport, en partant du sommet de la pyramide, les côtes latérales sont-elles cassées ?(À partir de matériaux de Bauman MSTU). Réponse : 12:7, 12:5, 12:1

Et nous considérerons la solution en utilisant des transformations affines.

1) Le problème implique une pyramide arbitraire dans laquelle les médianes sont tracées (et être une médiane est une propriété affine), des segments proportionnels sont pris sur les médianes (avec une transformation affine, les rapports des longueurs des segments se trouvant sur la même droite sont conservés). Cela signifie que ce problème peut être résolu pour une pyramide « pratique », puis, en utilisant une transformation affine, le résultat peut être transféré à une pyramide arbitraire.

2) Résolvons le problème d’une pyramide dont les trois angles plans au sommet sont droits. Plaçons la nouvelle pyramide dans le système de coordonnées rectangulaires OXYZ.<Рисунок 11>

3) Traçons une médiane sur l'une des faces. et sont les lignes médianes du triangle AOB. Le fait est que . Alors les coordonnées du point K ou, en tenant compte du fait que les points médians sont respectivement OA et OB, K .De l'autre côté nous tracerons une médiane. Marquons dessus un point M tel que . De même, on retrouve les coordonnées de M ou M .Enfin, le point N se situe sur la médiane et , alors N ou N .

Donc : K ou pour , M ou M

N ou N

En analysant, nous choisirons des coordonnées numériques pratiques pour les points A(40;0;0), B(0;15;0), C(0;0;24).

Le plan (MNK) coupe les bords de la pyramide en certains points. Trouvons d'abord les coordonnées du point (x; 0; 0). Point (KMN), s'il y en a, disons (ce sont des vecteurs). Notons les coordonnées des vecteurs (15 ; -5 ; 1), (16 ; 1 ; -8), (x ; -5 ; -8). Alors le système d’équations suivant est valable . Résolvons-le : multipliez la deuxième équation par 8, nous obtenons .Ensuite, en ajoutant le deuxième et le troisième, nous avons . Où trouve-t-on x ? .

Nous devons trouver une relation
. Cela signifie que le point divise le bord OA dans un rapport de 12 : 1. Les calculs sont également corrects, mais compréhensibles. De même, nous pouvons trouver des relations pour les deux autres côtés.

Après avoir résolu le problème sur une pyramide « pratique », en tenant compte du fait qu'il existe une transformation affine qui transforme cette pyramide en pyramide arbitraire, nous transférons le résultat sur une pyramide arbitraire.

Si les conditions de ce problème avaient suggéré une pyramide « pratique », l'un des étudiants aurait probablement tenté au moins de résoudre le problème. La méthode des transformations affines permet de réduire des faits difficiles à une preuve facile.

Par exemple, prouvez ce qui suit tâche 6: Soit deux triangles ABC dans le même plan. Les lignes passant par les sommets correspondants de ces triangles se coupent en un point S. Si les lignes contenant les côtés correspondants de ces triangles se coupent par paires, alors les points d'intersection se trouvent sur la même ligne.. Et pour prouver que trois points appartiennent à une même droite, on construit l'intersection des plans ABC et (puisque deux plans se coupent le long d'une droite).

Construction.1) , 2) , 3)

Il y a trois points à l’intersection des plans, ils se trouvent donc sur la même droite. Ce problème (théorème de Desargues) a été prouvé.

Dans la continuité de cette application des transformations affines (résoudre un problème spatial comme planimétrique), nous pouvons considérer un autre problème intéressant.

Tâche(Jeux olympiques de Soros)

Étant donné trois rayons dans un plan et trois points A, B, C. Construisez un triangle avec des sommets sur ces rayons dont les côtés passent respectivement par les points A, B, C (à l'aide d'une règle).

Autrement dit, l'image devrait ressembler à ceci.<Рисунок 13>

Nous considérerons cette image comme une image affine (sous cartographie affine) de la pyramide XOYZ sur le plan. Les sommets de la pyramide se trouvent sur les axes de coordonnées et les points A, B, C sont des points dans les plans de coordonnées. Ensuite, la tâche consiste à construire les lignes d'intersection du plan (ABC) avec les plans de coordonnées. Il existe bien sûr un moyen de construire à l’aide d’un compas et d’une règle, mais nous n’en avons pas besoin. Donc, sans boussole.

Conclusions.

Ainsi, on vous a présenté une méthode pour résoudre des problèmes à l’aide de transformations affines. Résumons.

• La méthode vous permet de passer d'un processus de solution plus complexe à un processus de solution plus simple.
• Elle est de nature générale.
• Ses applications sont nombreuses, y compris dans des domaines connexes.
• Permet d'intégrer différentes sections de mathématiques.
• La compréhension et l'application de cette méthode développent chez les étudiants une approche constructive de la résolution de problèmes et une pensée critique.

Littérature

1. Géométrie : manuel pour les 10e et 11e années des établissements d'enseignement général/L.S. Atanasyan, V.F. Butouzov, S.B. Kadomtsev et autres - M. : Éducation, 2007.
2. I. Kushnir « Encyclopédie mathématique ». Astarté. Kiev.1995.
3. R. Hartshorne « Fondamentaux de la géométrie projective ». Maison d'édition "Mir". Moscou.1970.

Propriétés de la transformation affine

1. L’image des lignes parallèles est celle des lignes parallèles.

Preuve par contradiction. Supposons que l'image des droites parallèles l et m soient les droites l" et m" se coupant au point A" (Fig. 8). En raison de la transformation biunivoque, le point a une image inverse, qui nous désignons par A. Mais puisque A"єl", alors Aєl . Semblable à Аєm. Cela contredit le parallélisme des droites l et m.

2. Lors d'une transformation affine, la relation entre deux segments situés sur une même ligne est préservée : (Fig. 9)

En effet, par la définition d'une transformation affine :

3. Lors d'une transformation affine, la relation des segments parallèles est préservée.

Étant donné : AB||CD. Par propriété 2, il y aura aussi A"B"||C"D" (Fig. 10)

Nous devons prouver :

Pour le prouver, faisons AC, puis DL||AC. Construisons également A"C" et D"L"||A"C". Par propriété 2, la droite DL passe dans D"L" et donc . Maintenant par définition : . Mais AL=CD, A"L"=C"L", donc à partir de là, nous obtenons immédiatement ce dont nous avons besoin.

4. Lors d'une transformation affine, l'angle et le rapport des segments arbitraires, en général, ne sont pas conservés, puisque n'importe quel triangle peut être transformé en n'importe quel autre. Par conséquent, la hauteur et la bissectrice d'un triangle sont généralement transformées en d'autres lignes, et la médiane se transforme en médiane, puisque le milieu du segment se transforme en milieu.

5. Avec une transformation affine, un parallélogramme se transforme en parallélogramme, un trapèze en trapèze.

Chiffres équivalents

Semblable au concept d'égalité et de similitude des figures, le concept de leur équivalence affine est introduit.

Une figure F1 est dite affinement équivalente à une figure F2 si F1 peut être transformée en F2 par une transformation affine.

L'exactitude de cette définition découle du fait que les transformations affines forment un groupe et, par conséquent, l'équivalence affine introduite ici a une transitivité, une réflexivité et une symétrie.

Notons quelques classes de figures affinement équivalentes.

1). Tous les triangles sont affinement équivalents (cela découle du théorème principal).

2). Tous les parallélogrammes sont affinement équivalents.

3). Pour l'équivalence affine des trapèzes, il est nécessaire et suffisant que leurs bases soient proportionnelles.

Correspondance perspective-affine de deux plans

Supposons que deux plans w et w" se coupent le long de la ligne xx (Fig. 1). Définissons une droite l coupant les deux plans. Marquons un point arbitraire A sur le plan w et projetons-le sur le plan w ", traçant une droite passant par A, parallèle à l. Laissez la ligne droite projetée couper le plan w" au point A". Le point A" peut être considéré comme une projection du point A sur le plan w". Une telle projection est dite parallèle et est déterminée en spécifiant la droite l.

De la construction même de la projection A" du point A, il ressort clairement que, à son tour, le point A peut être considéré comme une projection du point A" sur le plan w. Ainsi, la projection parallèle est un appareil qui a absolument même valeur par rapport aux deux plans w et w". Il affecte à chaque point (A) du premier plan un point (A") bien défini du second, et vice versa. On obtient une correspondance deux à deux des points des plans w et w." Cette correspondance est biunivoque, c'est-à-dire que chaque point d'un plan correspond à un point unique du second, et vice versa.

La correspondance entre les plans w et w", établie à l'aide d'une projection parallèle, est dite perspective-affine ou apparentée.

Si l'on considère le processus de transition d'un de ces plans (par exemple w) à un autre plan (w"), dans lequel chaque point (A) d'un plan (w) passe au point correspondant (A") d'un autre plan (w"), comme unilatéral, alors cela s'appelle la transformation du plan (w) en plan (w") - Dans ce cas, le point A est appelé l'image inverse, et le point A" est son image .

En projetant un plan parallèle w sur le plan w" nous effectuons une transformation affine en perspective du plan w en plan w" .

On peut aussi appeler l'ensemble de tous les points du plan w un champ de points w et parler de la transformation d'un champ de points w en un champ de points w."

Fixons-nous pour tâche d'étudier les propriétés de la correspondance perspective-affine des plans.

Abordons tout d'abord la question des points doubles ou fixes de notre correspondance, c'est-à-dire des points qui coïncident avec leurs points correspondants. Puisque chaque point double doit appartenir à la fois à l'un et à l'autre plan, ils doivent se situer sur la droite d'intersection xx des plans w et w. " Par contre, il est évident que chaque point de la droite xx est un point double, puisqu'elle correspond à elle-même.La droite est appelée axe de correspondance.Selon la précédente, l'axe de correspondance peut être défini comme le lieu des points doubles.

Ainsi, à une droite sur un plan correspond une droite sur l’autre. Cette propriété de correspondance perspective-affine est appelée colinéarité. En vertu de la définition même d'une projection parallèle d'une figure comme lieu géométrique des projections de tous les points de cette figure, chaque point situé sur une droite correspond toujours à un point situé sur la droite correspondante. Ainsi, l'appartenance mutuelle d'un point et d'une ligne sur un plan entraîne l'appartenance mutuelle des éléments correspondants sur le second.

2. La propriété suivante de la correspondance perspective-affine concerne ce qu'on appelle relation simple trois points sur une ligne droite.

Considérons trois points A, B, C situés sur la même droite (Figure 1). Le rapport simple des points A, B, C est déterminé par la formule :

transformation géométrique correspondance affine

Dans cette formule, les points A et B sont considérés comme principaux (ou fondamentaux), et le point C est considéré comme diviseur. Un rapport simple (ABC) est le rapport des longueurs des segments que forme le point de division avec les principaux. Si le point C se trouve à l'extérieur du segment A B, alors les deux segments AC et BC sont de même direction et donc dans ce cas le rapport simple (ABC) est positif. Dans le cas où le point de division C est entre A et B, le rapport simple (ABC) est négatif.

Sur le dessin 1, on voit que points A, B, Du plan w correspondent aux points A, B, C du plan w. Puisque les droites projetées AA, BB, SS sont parallèles, on aura :

ou (ABC) = (A"B"C").

Nous arrivons à la conclusion que dans une correspondance perspective-affine, le simple rapport de trois points sur une droite d'un plan est toujours égal au simple rapport de trois points correspondants d'un autre.

3. Avant de passer à l'examen d'autres propriétés de la correspondance perspective-affine, attardons-nous sur la question de l'emplacement possible des plans correspondants w et w" dans l'espace.

Jusqu'à présent, nous avons supposé que ces plans ne coïncidaient pas et se coupaient le long de la ligne xx afin d'établir la correspondance perspective-affine discutée ci-dessus par projection parallèle. Une fois une telle correspondance établie, il serait possible de faire coïncider les deux plans en faisant tourner l’un d’entre eux autour de l’axe xx. Dans ce cas, toutes les images géométriques situées dans l'un et l'autre plan ne subissent aucune modification. Par conséquent, tant à tout moment de rotation du plan que lorsqu'il est combiné avec un deuxième plan, la correspondance perspective-affine précédemment établie n'est pas violée.

Les droites reliant les points correspondants, tels que AA", BB", SS",..., restent parallèles dans n'importe quelle position du plan tournant, ainsi qu'après son alignement avec un plan stationnaire. Cela ressort clairement du fait que toutes les deux lignes droites mentionnées (par exemple, AA" et BB") se trouvent toujours dans le même plan, défini par une paire de lignes droites sécantes (AB et A"B"), et coupent des segments proportionnels sur les côtés de l'angle, puisque (ABX) = (A"B"X). En combinant les plans w et w", les lignes droites projetées (AA", BB",...) se trouveront dans le plan formé de deux coïncidences plans w et w" (Fig. 2).

Le cas de la position combinée des plans nous intéresse particulièrement, puisque dans ce cas nous pouvons utiliser un dessin à plat représentant la correspondance établie sans distorsion.

Dans le cas de l'alignement, chaque point du plan (double) peut être considéré comme appartenant au plan w ou w" et noté en fonction de celui-ci lettre capitale sans accident vasculaire cérébral ou avec un accident vasculaire cérébral. Ainsi, nous avons une transformation du plan en lui-même, et son état initial (le plan avant la transformation) est désigné par la lettre w, et le nouvel état (le plan après la transformation) est désigné par la lettre w."

Notez qu'après avoir combiné les plans, l'axe de correspondance xx cesse d'être la ligne d'intersection de ces plans, mais il conserve la deuxième définition comme emplacement géométrique de points doubles ou fixes.

4. On pourrait désormais abandonner l'appareil spatial (projection parallèle), qui nous servait à établir une correspondance perspective-affine entre deux plans, et déterminer cette dernière pour un double plan sans aller dans l'espace. À cette fin, nous prouvons l'hypothèse suivante : la transformation perspective-affine d'un plan en lui-même est entièrement déterminée par l'axe (xx) et une paire de points correspondants (A, A").

Preuve. Soit l'axe xx et une paire de points correspondants (AA") de la transformation perspective-affine (Fig. 3). Montrons que pour tout point du plan, il est possible de construire un correspondant bien défini et unique point B".

Traçons une droite AB. Soit X le point de son intersection avec l'axe xx. Puisque le point X correspond à lui-même (comme se trouvant sur l'axe), alors la droite AX correspond à la droite A"X. Enfin, le point B" doit se trouver sur la droite A"X et la droite saillante BB", parallèles à A A . Cela nous permet de construire le point B requis." Il y avait donc suffisamment de données et le point B" correspondant représente la seule solution.

Notez que la correspondance perspective-affine sera effectivement réalisée, puisque la construction indiquée ne peut conduire à une contradiction. Ceci peut être facilement vérifié en réduisant la construction à un appareil de projection parallèle.

En effet, si l'on courbe le dessin 3 le long de la ligne xx pour que les plans w et w" forment un angle dièdre, alors toutes les droites saillantes (droites reliant les points correspondants, par exemple BB") se révéleront parallèles à la droite AA" (en raison de la proportionnalité des segments). Par conséquent, la correspondance que nous avons construite peut être considérée comme le résultat d'une projection parallèle.

Note. Si dans le dessin 3 nous assignions le point B au plan w, en le désignant par C, alors construire le point correspondant nous mènerait au point C qui, comme on peut le voir sur le dessin 3, ne coïncide pas toujours avec B." Il peut être prouvé qu'une condition nécessaire et suffisante pour une telle coïncidence, c'est-à-dire l'indépendance de la correspondance perspective-affine selon que le point est attribué à l'un ou à l'autre plan, est de diviser le segment A A" en deux au point d'intersection avec le axe xx.

Par conséquent, dans ce cas, la correspondance est oblique ou à symétrie directe (par rapport à l'axe xx).

5. Dans l'étude plus approfondie de la correspondance perspective-affine, nous nous appuierons sur les propriétés établies ci-dessus : 1) colinéarité et 2) égalité des relations simples de triplets de points correspondants.

Notez que dans les transformations affines à la perspective, ces propriétés expriment l'immuabilité, ou l'invariance, du concept de ligne droite et du concept de relation simple de trois points d'une ligne.

De ces propriétés, on peut déduire toute une série d’autres « invariants » de la transformation perspective-affine, qui ne sont donc plus indépendants. Montrons d'abord l'invariance du parallélisme des droites. Supposons que sur le plan w nous ayons deux droites a et b, qui sur le plan w" correspondent aux droites a" et b". Supposons que les droites a et b soient parallèles (a || b). Montrons qu'un "|| b". Appliquons une preuve par contradiction. Supposons que les droites a" et b" se coupent et désignons le point d'intersection par la lettre M" (Fig. 4). Ensuite, en raison de la correspondance biunivoque des plans w et w, le point M correspond au plan w. Le point M sur le plan w correspond au point M sur le plan w. Le point M doit appartenir à la fois à la droite a et ligne b. Par conséquent, M est le point d'intersection des lignes a et b. Ainsi, nous arrivons à une contradiction. L'hypothèse selon laquelle les lignes a" et b" se coupent est impossible. Donc a" || b".

Ainsi, le parallélisme des lignes est une propriété invariante d’une transformation affine à la perspective.

Relions B à D et traçons une ligne CF || passant par C. DВ. Sur le plan w" la droite СF correspondra à la droite С"F" D"В" (en raison de l'invariance du parallélisme) et, par conséquent, le point F correspondra au point F". Sachant que la relation simple de trois points est invariante, on peut écrire :

On arrive ainsi à l'égalité :

Ce dernier montre que la relation de deux segments parallèles est un invariant de correspondance perspective-affine.

Si les segments AB et CD se trouvent sur la même ligne droite (Fig. 6), alors leur relation est également invariante dans la correspondance perspective-affine. En effet, soit PQ un segment arbitraire parallèle à la droite AB. Ensuite nous avons:

6. Passons à l’examen des aires des figures correspondantes. Démontrons le lemme suivant : Les distances de deux points correspondants (A, A") à l'axe de correspondance (xx) sont dans un rapport constant, indépendant du choix d'une paire de points correspondants. Preuve. Supposons que les points A et B correspondent aux points A" et B" ( Fig. 7). En abaissant les perpendiculaires de ces points sur l'axe xx, on obtient leurs distances à l'axe. Les distances seront toujours considérées comme positives, quelle que soit la direction des perpendiculaires.

Nous pouvons écrire:

Mais comme on peut le voir sur le dessin :

L’égalité qui en résulte prouve le lemme formulé ci-dessus.

Notons k le rapport constant des distances des points correspondants. Démontrons le théorème suivant.

Le rapport des aires de deux triangles correspondants est constant et égal à.

La preuve du théorème se décompose dans les cas suivants :

1. Les triangles ont un côté commun sur l’axe xx.

De tels triangles sont présentés sur la figure 8. Le rapport de leurs aires sera exprimé comme suit :

2. Les triangles ont un sommet commun sur l’axe xx.

Ce sont les deux triangles du dessin 9. Les côtés correspondants BC et BC de ces triangles doivent se couper sur l'axe xx (au point X). Le cas considéré est réduit au précédent. En fait, à partir de la précédente, on peut écrire :

On aura donc :

3. Cas général deux triangles correspondants.

Ayons deux triangles correspondants ABC et A"B"C dans le dessin 10. Considérons l'un de ces triangles, par exemple ABC. L'aire de ce triangle peut être représentée comme suit :

Tous les triangles du côté droit de cette égalité se rapportent aux deux cas déjà considérés, donc, en leur appliquant le théorème prouvé, on peut réécrire l'égalité trouvée ci-dessus comme suit :

Ainsi,

7. La propriété que nous avons dérivée des aires de deux triangles correspondants peut être facilement étendue au cas de polygones correspondants. En fait, chaque polygone peut être divisé en plusieurs triangles, et l'aire du polygone est exprimée par la somme des aires de ses triangles constitutifs.

Pour le polygone correspondant on obtient une division similaire en triangles. Si l'on note les aires de deux polygones correspondants par les lettres S et S", et les aires des deux triangles constitutifs correspondants par des lettres, alors on peut écrire :

Puisque, en plus, pour les aires des triangles correspondants on a :

On obtient ainsi :

Enfin, on peut généraliser le théorème de relation d'aire au cas de deux aires délimitées par des courbes correspondantes de forme arbitraire.

Notons les aires délimitées par deux courbes correspondantes par et. Inscrivons le polygone dans la courbe délimitant l'aire, et désignons l'aire de ce polygone par la lettre S. On augmentera le nombre de côtés du polygone inscrit à l'infini, à condition que chaque côté tende vers zéro, alors on obtenir:

Pour la zone, nous aurons un processus similaire : ,

où S" désigne l'aire du polygone correspondant au polygone S. Puisque pendant tout le processus (changements de polygones), selon le théorème prouvé ci-dessus, ils doivent avoir :

puis passer à la limite donne =k.

Ainsi,

La propriété résultante peut être représentée comme un invariant de correspondance perspective-affine.

En fait, désignons par et les aires délimitées par deux courbes de forme arbitraire, et par " et " - les aires délimitées par les courbes correspondantes, alors, d'après ce qui a été prouvé, nous aurons :

ou, en réorganisant les termes moyens de la proportion :

ce qui peut être exprimé par les mots suivants : le rapport de deux aires quelconques ne change pas (est invariant) dans la correspondance perspective-affine.

Appariement affine général

Une correspondance perspective-affine entre deux plans peut être obtenue en utilisant une projection parallèle.

Considérons maintenant la correspondance de deux plans formés par l'utilisation répétée de projections parallèles. Ainsi, sur le dessin 11, le plan w est projeté parallèlement à la droite l sur le plan w." Ce plan est projeté parallèlement à la droite l" sur le plan w. Enfin, cette dernière est projetée parallèlement à la droite l" sur le plan w. " Ainsi, une correspondance s'établit entre les plans w et w"" dans lesquels points A,B,C le premier plan correspond aux points A"", B"", C" du second. Il est facile de vérifier que cette correspondance n'est peut-être pas une projection parallèle, mais possède en même temps les propriétés invariantes d'une correspondance perspective-affine . En effet, la correspondance des plans w et w"" est une chaîne de projections parallèles successives. Puisque chacune de ces projections préserve la colinéarité et une simple relation de trois points, alors la correspondance résultante des plans w et w""" devrait évidemment ont les mêmes propriétés.

La même chose peut être dite des autres propriétés invariantes considérées dans le cas de la correspondance perspective-affine, qui s'avère donc n'être que ce cas particulier où les lignes reliant les points correspondants sont parallèles entre elles :

C’est précisément pour cette raison qu’une telle correspondance est appelée perspective-affine.

La correspondance des plans w et w""" est dite affine. Nous sommes arrivés à ce concept en utilisant une chaîne de transformations perspective-affines (ou projections parallèles). Si nous désignons chacune d'elles par les lettres P, P, P" et la transformation résultante par la lettre A , on peut représenter la transformation affine A par la formule symbolique suivante :

A = P * P" * P",

dans lequel le côté droit est un « produit » de transformations affines à la perspective, c’est-à-dire le résultat de leur application séquentielle.

Le même raisonnement pourrait être effectué sans quitter un plan, pour lequel il suffit de considérer l'enchaînement de transformations perspective-affines du plan en lui-même. Chacune des transformations peut être spécifiée par un axe et une paire de points correspondants. Ainsi, par exemple, sur le dessin 12, la première transformation P est spécifiée par l'axe xx et la paire (A, A") ; la seconde P" - par l'axe et la paire (A", A"); le troisième P" - l'axe des x "x" et la paire (A" "A""). Dans la transformation résultante A, le point A correspond au point A"". Le même dessin montre la construction du point B"" , correspondant au point B.

Ce qui précède montre que les transformations obtenues à l'aide d'une chaîne de projections parallèles (ou transformations perspective-affine) ont les propriétés de colinéarité et de préservation d'une relation simple de trois points.

UDC 004.932

Kudrina M.A., Murzin A.V.

Établissement d'enseignement budgétaire de l'État fédéral d'enseignement professionnel supérieur "Université aérospatiale d'État de Samara du nom d'Ak. S.P. Korolev (université nationale de recherche)", Samara, Russie

TRANSFORMATIONS AFFINES D'OBJETS EN INFORMATION

L'une des tâches typiques qui doivent être résolues à l'aide de graphiques raster est la transformation à la fois de l'image entière dans son ensemble et de ses fragments individuels, tels que : se déplacer, tourner autour d'un centre donné, changer dimensions linéaires et ainsi de suite.

Ce problème est résolu à l'aide de transformations affines.

Les transformations affines peuvent être très utiles dans les situations suivantes :

1. Composer une image plate ou une scène tridimensionnelle en disposant des éléments de même type, en les copiant, en les transformant et en les déplaçant à différents endroits de l'image. Par exemple, pour créer des objets symétriques, comme un flocon de neige. Vous pouvez développer un motif puis créer une image de l'objet entier en réfléchissant, en tournant et en déplaçant ce motif.

2. Visualiser des objets tridimensionnels sous différents points de vue. Dans ce cas, vous pouvez fixer la position de la caméra et faire pivoter la scène, ou vice versa, laisser la scène immobile et déplacer la caméra autour d'elle. De telles manipulations peuvent être effectuées à l'aide de transformations affines tridimensionnelles.

3. Projeter des objets tridimensionnels sur un plan et afficher la scène dans une fenêtre. Ainsi, par exemple, pour la projection axonométrique, une séquence de deux rotations du plan de projection est utilisée, et pour l'affichage dans une fenêtre, une combinaison de mise à l'échelle et de translation est utilisée.

Les transformations affines sur le plan sont généralement décrites par les formules suivantes :

J X = Hache + Par + C, . Le programme vous permet d'automatiser le processus de composition des tâches de test.

LITTÉRATURE

1. Porev V.N. Infographie. - Saint-Pétersbourg : BHV-Pétersbourg, 2002. - 432 p. : je vais.

2. Colline F. Ouvrir GL. Programmation en infographie. Pour les professionnels. - Saint-Pétersbourg : Pierre,

2002. - 1088 pp. : ill. ISBN5-318-00219-6

3. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Vytyagov A.A., Ionov D.O. Développement d'un système d'enseignement à distance pour le cours "Informatique" sous Moodle : Actes du colloque international Fiabilité et qualité. 2010. T.I.P. 165.

4. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Degtyareva O.A. Certification matériel de mesure pédagogique pour le cours "Informatique" // Fiabilité et qualité 2008. Actes de l'international. symposium. Penza, 2008, p. 162-163.

5. Kudrina M.A. Utilisation de matériels de certification et de mesure pédagogique pour le cours

"L'infographie" dans le processus éducatif"//Éducation - investissements dans la réussite : Matériel scientifique -

Une transformation affine préserve le parallélisme des lignes, mais pas nécessairement des angles ou des longueurs.
En infographie, tout ce qui appartient au cas bidimensionnel est généralement désigné par le symbole 2D (2 dimensions). Supposons qu'un système de coordonnées rectiligne soit introduit sur le plan. Ensuite, chaque point M se voit attribuer une paire ordonnée de nombres (x, y) de ses coordonnées (Fig. 1).

Les formules ci-dessus peuvent être considérées de deux manières : soit le point est conservé et le système de coordonnées change, auquel cas un point arbitraire M reste le même, seules ses coordonnées (x, y) (x*, y*) changent, soit le point change et le système de coordonnées dans ce cas est conservé. Dans ce cas, les formules définissent une cartographie qui amène un point arbitraire M(x, y) à un point M*(x*, y*), dont les coordonnées sont défini dans le même système de coordonnées. À l'avenir, nous interpréterons les formules, en règle générale, selon lesquelles les points du plan sont transformés dans un système donné de coordonnées rectilignes.
Dans les transformations affines du plan, un rôle particulier est joué par plusieurs cas particuliers importants qui ont des caractéristiques géométriques bien traçables. Lors de l'étude de la signification géométrique des coefficients numériques dans les formules pour ces cas, il convient de supposer que le système de coordonnées donné est cartésien rectangulaire.
Les techniques d'infographie les plus couramment utilisées sont : la translation, la mise à l'échelle, la rotation, la réflexion. Les expressions algébriques et les figures expliquant ces transformations sont résumées dans le tableau 1.

Transformations affines dans le plan

Par transfert, nous entendons déplacer les primitives de sortie vers le même vecteur.
La mise à l'échelle consiste à agrandir ou à réduire l'image entière ou une partie de celle-ci. Lors de la mise à l'échelle, les coordonnées des points de l'image sont multipliées par un certain nombre.
La rotation fait référence à la rotation des primitives de sortie autour d'un axe donné. (Dans le plan de dessin, la rotation se produit autour d'un point.)
La réflexion fait référence à l'obtention d'une image miroir d'une image par rapport à l'un des axes (par exemple, X).
Le choix de ces quatre cas particuliers est déterminé par deux circonstances :
1. Chacune des transformations ci-dessus a une signification géométrique simple et claire (les nombres constants inclus dans les formules ci-dessus sont également dotés d'une signification géométrique).
2. Comme cela est prouvé au cours de la géométrie analytique, toute transformation de la forme (*) peut toujours être représentée comme une exécution séquentielle (superposition) des transformations les plus simples des formes A, B, C et D (ou des parties de celles-ci transformations).
Ainsi, la propriété importante suivante des transformations affines du plan est vraie : toute application de la forme (*) peut être décrite à l'aide d'applications spécifiées par les formules A, B, C et D.
Pour utilisation efficace Pour ces formules bien connues dans les problèmes d’infographie, leur notation matricielle est plus pratique.
Pour combiner ces transformations, des coordonnées homogènes sont introduites. Les coordonnées homogènes d'un point sont tout triplet de nombres x1, x2, x3 simultanément non nuls, liés à des nombres donnés x et y par les relations suivantes :

Alors le point M(x, y) s'écrit M(hX, hY, h), où h 0 est le facteur d'échelle. Les coordonnées cartésiennes bidimensionnelles peuvent être trouvées sous la forme

En géométrie projective, ces coordonnées sont introduites pour éliminer les incertitudes qui surviennent lors de la spécification d'éléments infiniment distants (impropres). Les coordonnées homogènes peuvent être interprétées comme l'intégration d'un plan mis à l'échelle par un facteur h dans le plan Z = h dans un espace tridimensionnel.
Les points en coordonnées homogènes sont écrits dans des vecteurs lignes à trois éléments. Les matrices de transformation doivent être de taille 3x3.
En utilisant des triplets de coordonnées homogènes et des matrices du troisième ordre, toute transformation affine d'un plan peut être décrite.
En fait, en supposant h = 1, comparons deux entrées : celle marquée du symbole (*) et celle matricielle suivante :

Vous pouvez désormais utiliser des compositions de transformations, en utilisant une résultante au lieu d'une série de transformations se succédant. Vous pouvez, par exemple, diviser un problème complexe en plusieurs problèmes simples. La rotation du point A autour d'un point arbitraire B peut être divisée en trois tâches :
transfert, dans lequel B = 0 (où 0 est l'origine) ;
tourner;
transfert inverse, dans lequel le point B revient à sa place, etc.
La composition est la plus vue générale des opérations T, D, R, M a une matrice :

La partie supérieure 2x2 est la matrice combinée de rotation et de mise à l'échelle, et tx et ty décrivent la traduction totale.
Les transformations fondamentales décrites sont les suivantes :
défilement déplacer une fenêtre sur la surface de rendu (si le mouvement est limité uniquement aux directions haut et bas, on parle alors de défilement vertical) ;

Zoom changement progressif de l'échelle de l'image ;
saut périlleux une image dynamique des primitives de sortie tournant autour d'un certain axe, dont l'orientation change continuellement dans l'espace ;
poêle transfert progressif d’une image pour créer une sensation visuelle de mouvement.