E. Kamke

Préface à la quatrième édition
Quelques notations
Abréviations acceptées dans les instructions bibliographiques
PARTIE UN
MÉTHODES GÉNÉRALES DE SOLUTION
§ 1. Equations différentielles résolues par rapport à la dérivée : (formule) concepts de base
1.1. Notation et signification géométrique de l'équation différentielle
1.2. Existence et unicité d'une solution
§ 2. Equations différentielles résolues par rapport à la dérivée : (formule) ; méthodes de résolution
2.1. Méthode polyligne
2.2. Méthode Picard-Lindelöf d'approximations successives
2.3. Application des séries de puissance
2.4. Plus cas général extensions de séries
2.5. Expansion de la série par paramètre
2.6. Relation avec les équations aux dérivées partielles
2.7. Théorèmes d'estimation
2.8. Comportement des solutions aux grandes valeurs (?)
§ 3. Equations différentielles non résolues par rapport à la dérivée : (formule)
3.1. À propos des solutions et des méthodes de résolution
3.2. Eléments linéaires réguliers et spéciaux
§ 4. Solution de types particuliers d'équations différentielles du premier ordre
4.1. Équations différentielles à variables séparables
4.2. (formule)
4.3. Équations différentielles linéaires
4.4. Comportement asymptotique des solutions aux équations différentielles linéaires
4.5. Équation de Bednoulli (formule)
4.6. Equations différentielles homogènes et celles qui leur sont réductibles
4.7. Équations homogènes généralisées
4.8. Équation spéciale de Riccati : (formule)
4.9. Équation générale de Riccati : (formule)
4.10. Équation d'Abel du premier type
4.11. Équation d'Abel du deuxième type
4.12. Équation en différentiels totaux
4.13. Facteur d'intégration
4.14. (formule), « intégration par différenciation »
4.15. (formule)
4.16. (formule)
4.17. (formule)
4.18. Équations de Clairaut
4.19. équation de Lagrange-D'Alembert
4.20. (formule). Transformation Legendre
Chapitre II. Systèmes arbitraires d'équations différentielles résolues par rapport aux dérivées
§ 5. Notions de base
5.1. Notation et signification géométrique d'un système d'équations différentielles
5.2. Existence et unicité d'une solution
5.3. Théorème d'existence de Carathéodory
5.4. Dépendance de la solution aux conditions et paramètres initiaux
5.5. Problèmes de durabilité
§ 6. Modalités de solution
6.1. Méthode polyligne
6.2. Méthode Picard-Lindelöf d'approximations successives
6.3. Application des séries de puissance
6.4. Relation avec les équations aux dérivées partielles
6.5. Réduction du système en utilisant une relation connue entre les solutions
6.6. Réduction d'un système par différenciation et élimination
6.7. Théorèmes d'estimation
§ 7. Systèmes autonomes
7.1. Définition et signification géométrique d'un système autonome
7.2. Sur le comportement des courbes intégrales au voisinage d'un point singulier dans le cas n = 2
7.3. Critères de détermination du type de point singulier
Chapitre III. Systèmes d'équations différentielles linéaires
§ 8. Systèmes linéaires arbitraires
8.1. Remarques générales
8.2. Théorèmes d'existence et d'unicité. Méthodes de résolution
8.3. Réduire un système hétérogène à un système homogène
8.4. Théorèmes d'estimation
§ 9. Systèmes linéaires homogènes
9.1. Propriétés des solutions. Systèmes de solutions fondamentales
9.2. Théorèmes d'existence et méthodes de solution
9.3. Réduction d'un système à un système avec moins d'équations
9.4. Système conjugué d'équations différentielles
9.5. Systèmes auto-adjoints d'équations différentielles
9.6. Systèmes conjugués de formes différentielles ; Identité de Lagrange, la formule de Green
9.7. Solutions fondamentales
§ 10. Systèmes linéaires homogènes à points singuliers
10.1. Classifications de points singuliers
10.2. Points faiblement singuliers
10.3. Des points fortement singuliers
§ 11. Comportement des solutions pour les grandes valeurs de x
§ 12. Systèmes linéaires dépendant d'un paramètre
§ 13. Systèmes linéaires à coefficients constants
13.1. Systèmes homogènes
13.2. Systèmes plus vue générale
Chapitre IV. Équations différentielles arbitraires du nième ordre
§ 14. Équations résolues par rapport à la dérivée la plus élevée : (formule)
§ 15. Equations non résolues par rapport à la dérivée la plus élevée : (formule)
15.1. Équations en différentiels totaux
15.2. Équations homogènes généralisées
15.3. Équations qui ne contiennent pas explicitement x ou y
Chapitre V. Équations différentielles linéaires d'ordre n
§ 16. Équations différentielles linéaires arbitraires du nième ordre
16.1. Remarques générales
16.2. Théorèmes d'existence et d'unicité. Méthodes de résolution
16.3. Élimination de la dérivée d'ordre (n-1)
16.4. Réduire une équation différentielle inhomogène à une équation homogène
16.5. Comportement des solutions pour les grandes valeurs de x
§ 17. Équations différentielles linéaires homogènes du nième ordre
17.1. Propriétés des solutions et théorèmes d'existence
17.2. Réduire l'ordre d'une équation différentielle
17.3. À propos de zéro solution
17.4. Solutions fondamentales
17.5. Formes différentielles conjuguées, auto-adjointes et anti-auto-adjointes
17.6. L'identité de Lagrange ; Formules Dirichlet et Green
17.7. Sur les solutions d'équations conjuguées et d'équations aux différentielles totales
§ 18. Équations différentielles linéaires homogènes à points singuliers
18.1. Classification des points singuliers
18.2. Le cas où le point (?) est régulier ou faiblement singulier
18.3. Le cas où le point (?) est régulier ou faiblement singulier
18.4. Le cas où le point (?) est très particulier
18.5. Le cas où le point (?) est très particulier
18.6. Équations différentielles avec coefficients polynomiaux
18.7. Équations différentielles à coefficients périodiques
18.8. Équations différentielles à coefficients doublement périodiques
18.9. Le cas d'une variable réelle
§ 19. Résolution d'équations différentielles linéaires à l'aide d'intégrales définies
19.1. Principe général
19.2. transformation de Laplace
19.3. Transformation spéciale de Laplace
19.4. Transformation de Mellin
19.5. Transformation d'Euler
19.6. Solution utilisant des intégrales doubles
§ 20. Comportement des solutions pour les grandes valeurs de x
20.1. Coefficients polynomiaux
20.2. Coefficients d'une forme plus générale
20.3. Coefficients continus
20.4. Théorèmes d'oscillation
§ 21. Equations différentielles linéaires d'ordre n en fonction d'un paramètre
§ 22. Quelques types particuliers d'équations différentielles linéaires du nième ordre
22.1. Équations différentielles homogènes à coefficients constants
22.2. Équations différentielles inhomogènes à coefficients constants
22.3. Les équations d'Euler
22.4. L'équation de Laplace
22.5. Équations avec coefficients polynomiaux
22.6. L'équation de Pochhammer
Chapitre VI. Équations différentielles du second ordre
§ 23. Équations différentielles non linéaires du second ordre
23.1. Méthodes de résolution de types particuliers d'équations non linéaires
23.2. Quelques notes complémentaires
23.3. Théorèmes des valeurs limites
23.4. Théorème des oscillations
§ 24. Équations différentielles linéaires arbitraires du second ordre
24.1. Remarques générales
24.2. Quelques méthodes de résolution
24.3. Théorèmes d'estimation
§ 25. Équations différentielles linéaires homogènes du second ordre
25.1. Réduction des équations différentielles linéaires du second ordre
25.2. Autres remarques sur la réduction des équations linéaires du second ordre
25.3. Expansion de la solution en une fraction continue
25.4. Remarques générales sur les zéros de solution
25.5. Zéros de solutions sur un intervalle fini
25.6. Comportement des solutions à (?)
25.7. Équations différentielles linéaires du second ordre avec points singuliers
25.8. Solutions approximatives. Solutions asymptotiques ; variable réelle
25.9. Solutions asymptotiques ; variable complexe
25.10. Méthode VBK
Chapitre VII. Équations différentielles linéaires des troisième et quatrième ordres
§ 26. Équations différentielles linéaires du troisième ordre
§ 27. Équations différentielles linéaires du quatrième ordre
Chapitre VIII. Méthodes approximatives d'intégration d'équations différentielles
§ 28. Intégration approximative des équations différentielles du premier ordre
28.1. Méthode polyligne
28.2. Méthode supplémentaire en demi-étapes
28.3. Méthode Runge-Hein-Kutta
28.4. Combiner interpolation et approximations successives
28.5. Méthode Adams
28.6. Ajouts à la méthode Adams
§ 29. Intégration approximative d'équations différentielles d'ordre supérieur
29.1. Méthodes d'intégration approximative de systèmes d'équations différentielles du premier ordre
29.2. Méthode polyligne pour les équations différentielles du second ordre
29.3. Méthode Runge*-Kutta pour les équations différentielles de cet ordre
29.4. Méthode Adams-Stoermer pour l'équation (formule)
29.5. Méthode Adams-Stoermer pour l'équation (formule)
29.6. Méthode Bless pour l'équation (formule)
DEUXIÈME PARTIE
Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres
Chapitre I. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres pour les équations différentielles linéaires du nième ordre
§ 1. Théorie générale problèmes de valeurs limites
1.1. Notations et notes préliminaires
1.2. Conditions de solvabilité du problème des valeurs limites
1.3. Problème de valeur limite conjuguée
1.4. Problèmes de valeurs limites auto-adjointes
1.5. La fonction de Green
1.6. Solution d'un problème de valeurs limites inhomogènes à l'aide de la fonction de Green
1.7. Fonction de Green généralisée
§ 2. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres pour l'équation (formule)
2.1. Valeurs propres et fonctions propres ; déterminant caractéristique (?)
2.2. Problème conjugué sur les valeurs propres de la résolvante de Gria ; système biorthogonal complet
2.3. Conditions aux limites normalisées ; problèmes réguliers de valeurs propres
2.4. Valeurs propres pour les problèmes de valeurs propres réguliers et irréguliers
2.5. Expansion d'une fonction donnée en fonctions propres de problèmes de valeurs propres réguliers et irréguliers
2.6. Problèmes de valeurs propres normales auto-adjointes
2.7. Sur les équations intégrales de type Fredholm
2.8. Relation entre les problèmes de valeurs limites et les équations intégrales de type Fredholm
2.9. Relation entre problèmes de valeurs propres et équations intégrales de type Fredholm
2.10. Sur les équations intégrales de type Volterra
2.11. Relation entre problèmes de valeurs limites et équations intégrales de type Volterra
2.12. Relation entre problèmes de valeurs propres et équations intégrales de type Volterra
2.13. Relation entre les problèmes de valeurs propres et le calcul des variations
2.14. Application à l'expansion des fonctions propres
2.15. Notes complémentaires
§ 3. Méthodes approximatives de résolution des problèmes de valeurs propres et des problèmes de valeurs limites
3.1. Méthode approximative de Galerkin-Ritz
3.2. Méthode Grammel approximative
3.3. Solution d'un problème de valeurs limites inhomogènes par la méthode Galerkin-Ritz
3.4. Méthode d'approximation successive
3.5. Solution approchée des problèmes de valeurs limites et des problèmes de valeurs propres par la méthode des différences finies
3.6. Méthode de perturbation
3.7. Estimations des valeurs propres
3.8. Revue des méthodes de calcul des valeurs propres et des fonctions propres
§ 4. Problèmes aux valeurs propres auto-adjointes pour une équation (formule)
4.1. Formulation du problème
4.2. Notes préliminaires générales
4.3. Problèmes normaux de valeurs propres
4.4. Problèmes de valeurs propres définis positifs
4.5. Expansion des fonctions propres
§ 5. Conditions limites et complémentaires de forme plus générale
Chapitre II. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres pour les systèmes d'équations différentielles linéaires
§ 6. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres pour les systèmes d'équations différentielles linéaires
6.1. Conditions de notation et de solvabilité
6.2. Problème de valeur limite conjuguée
6.3. La matrice de Green
6.4. Problèmes de valeurs propres
6.5. Problèmes de valeurs propres auto-adjoints
Chapitre III. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres pour les équations d'ordre inférieur
§ 7. Problèmes de premier ordre
7.1. Problèmes linéaires
7.2. Problèmes non linéaires
§ 8. Problèmes de valeurs limites linéaires du second ordre
8.1. Remarques générales
8.2. La fonction de Green
8.3. Estimations pour les solutions de problèmes de valeurs limites du premier type
8.4. Conditions aux limites à (?)
8.5. Trouver des solutions périodiques
8.6. Un problème de valeur limite lié à l’étude de l’écoulement des fluides
§ 9. Problèmes de valeurs propres linéaires du second ordre
9.1. Remarques générales
9.2 Problèmes de valeurs propres auto-adjoints
9.3. (formule) et les conditions aux limites sont auto-adjointes
9.4. Problèmes de valeurs propres et principe variationnel
9.5. Sur le calcul pratique des valeurs propres et des fonctions propres
9.6. Problèmes de valeurs propres, pas nécessairement auto-adjoints
9.7. Conditions supplémentaires forme plus générale
9.8. Problèmes de valeurs propres contenant plusieurs paramètres
9.9. Équations différentielles avec singularités aux points limites
9.10. Problèmes de valeurs propres sur un intervalle infini
§ 10. Problèmes de valeurs limites non linéaires et problèmes de valeurs propres du second ordre
10.1. Problèmes de valeurs limites pour un intervalle fini
10.2. Problèmes de valeurs limites pour un intervalle semi-limité
10.3. Problèmes de valeurs propres
§ 11. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres du troisième au huitième ordre
11.1. Problèmes linéaires aux valeurs propres du troisième ordre
11.2. Problèmes linéaires aux valeurs propres du quatrième ordre
11.3. Problèmes linéaires pour un système de deux équations différentielles du second ordre
11.4. Problèmes de valeurs limites non linéaires du quatrième ordre
11.5. Problèmes de valeurs propres d'ordre supérieur
TROISIÈME PARTIE ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES INDIVIDUELLES
Remarques préliminaires
Chapitre I. Équations différentielles du premier ordre
1-367. Équations différentielles du premier degré par rapport à (?)
368-517. Équations différentielles du deuxième degré par rapport à (?)
518-544. Équations différentielles du troisième degré par rapport à (?)
545-576. Équations différentielles d'une forme plus générale
Chapitre II. Équations différentielles linéaires du second ordre
1-90. (formule)
91-145. (formule)
146 à 221. (formule)
222-250. (formule)
251-303. (formule)
304-341. (formule)
342-396. (formule)
397-410. (formule)
411-445. Autres équations différentielles
Chapitre III. Équations différentielles linéaires du troisième ordre
Chapitre IV. Équations différentielles linéaires du quatrième ordre
Chapitre V. Équations différentielles linéaires du cinquième ordre et des ordres supérieurs
Chapitre VI. Équations différentielles non linéaires du second ordre
1-72. (formule)
73-103. (formule)
104-187. (formule)
188-225. (formule)
226-249. Autres équations différentielles
Chapitre VII. Équations différentielles non linéaires du troisième ordre et des ordres supérieurs
Chapitre VIII. Systèmes d'équations différentielles linéaires
Remarques préliminaires
1-18. Systèmes de deux équations différentielles du premier ordre à coefficients constants
19-25. Systèmes de deux équations différentielles du premier ordre à coefficients variables
26-43. Systèmes de deux équations différentielles d'ordre supérieur à la première
44-57. Systèmes de plus de deux équations différentielles
Chapitre IX. Systèmes d'équations différentielles non linéaires
1-17. Systèmes de deux équations différentielles
18-29. Systèmes de plus de deux équations différentielles
AJOUTS
Sur la solution d'équations linéaires homogènes du second ordre (I. Zbornik)
Ajouts au livre de E. Kamke (D. Mitrinovic)
Une nouvelle façon de classer les équations différentielles linéaires et de les construire solution générale en utilisant des formules récurrentes (I. Zbornik)
Index des sujets

Kamke E. Manuel des équations aux dérivées partielles du premier ordre : Manuel. Edité par N.X. Rozova - M. : « Nauka », 1966. - 258 p.
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Cependant, au tout début Dernièrement l'intérêt pour les équations aux dérivées partielles du premier ordre a de nouveau considérablement augmenté. Cela a été facilité par deux circonstances. Tout d'abord, il s'est avéré que les solutions dites généralisées d'équations quasi-linéaires du premier ordre présentent un intérêt exceptionnel pour des applications (par exemple, dans la théorie des ondes de choc en dynamique des gaz, etc.). De plus, la théorie des systèmes d'équations aux dérivées partielles a fait de grands progrès. Néanmoins, à ce jour, il n'existe aucune monographie en russe qui rassemblerait et présenterait tous les faits accumulés dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre, à l'exception du livre bien connu de N. M. Gun-

PRÉFACE À L'ÉDITION RUSSE

tera, qui est depuis longtemps devenue une rareté bibliographique. Ce livre comble dans une certaine mesure cette lacune.

Le nom du professeur E. Kamke, de l’université de Tübingen, est familier aux mathématiciens soviétiques. Il possède grand nombre des ouvrages sur les équations différentielles et quelques autres branches des mathématiques, ainsi que plusieurs livres pédagogiques. En particulier, sa monographie « Lebesgue-Stieltjes Integral » a été traduite en russe et publiée en 1959. Le « Manuel des équations différentielles ordinaires », qui est une traduction du premier volume des « Gewohnliche Differenlialglchungen » du livre de E. Kamke « Differentialgleichungen (Losungsmethoden und Lôsungen) », a connu trois éditions en russe en 1951, 1961 et 1965.

"Handbook of First Order Partial Differential Equations" est une traduction du deuxième volume du même livre. Environ 500 équations avec solutions sont rassemblées ici. En plus de ce matériel, cet ouvrage de référence contient un résumé (sans preuves) d'un certain nombre de questions théoriques, y compris celles qui ne sont pas incluses dans les cours réguliers d'équations différentielles, par exemple les théorèmes d'existence, l'unicité, etc.

Lors de la préparation de l'édition russe, la vaste bibliographie du livre a été révisée. Dans la mesure du possible, les références à des manuels étrangers anciens et inaccessibles ont été remplacées par des références à la littérature nationale et traduite. Toutes les inexactitudes, erreurs et fautes de frappe remarquées ont été corrigées. Toutes les insertions, commentaires et ajouts apportés au livre lors de l'édition sont mis entre crochets.

Cet ouvrage de référence, créé au début des années quarante (et depuis réédité à plusieurs reprises en RDA sans aucune modification), ne reflète sans doute plus pleinement les acquis qui existent aujourd'hui dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Ainsi, l'ouvrage de référence ne trouve aucune réflexion sur la théorie des solutions généralisées d'équations quasi-linéaires, développée dans les travaux bien connus de I. M. Gelfand, O. A. Oleinik, etc. On peut donner des exemples de résultats récents non inclus dans l'ouvrage qui concernent aux problématiques directement abordées dans l’ouvrage de référence. La théorie des équations de Pfaff n'est pas non plus abordée dans l'ouvrage de référence. Cependant, il semble que même sous cette forme, le livre sera sans aucun doute un guide utile pour la théorie classique des équations aux dérivées partielles du premier ordre.

Le résumé des équations données dans le livre, dont les solutions peuvent être écrites sous forme finie, est très intéressant et utile, mais, bien entendu, n'est pas exhaustif. Il a été compilé par l'auteur sur la base d'ouvrages parus avant le début des années quarante.

QUELQUES NOTATIONS

x, y ; salut xp; y.... yn - variables indépendantes, r- (x(, xn) a, b, c; A, B, C - constantes, coefficients constants, @, @ (x, y), @ (r) - ouvert région, région sur le plan (x, y), dans l'espace des variables xt,...,xn [généralement la région de continuité des coefficients et des solutions. - Ed.], g - sous-domaine @, F, f - général fonction,

fi - fonction arbitraire, r;r(x,y); z - ty(x....., xn) - la fonction, la solution,

Dg_dg_dg_dg

р~~дх "q~~dy~" Pv~lx^" qv~~dy~^"

x, |L, k, n - indices de sommation,

\n)~n ! (p-t) ! "

/g"...zln\

dét | zkv\ est le déterminant de la matrice I.....I.

\gsh - gpp I

ABRÉVIATIONS ACCEPTÉES DANS LES NOTES BIBLIOGRAPHIQUES

Gunter - N.M. Gunter, Intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, GTTI, 1934.

Kamke - E. Kamke, Manuel d'équations différentielles ordinaires, Science, 1964.

Courant - R. Courant, Equations aux dérivées partielles, "Monde", 1964.

Petrovsky - I.G. Petrovsky, Conférences sur la théorie des équations différentielles ordinaires, « Science », 1964.

Stepanov - V.V. Stepanov, Cours d'équations différentielles, Fizmat-Giz, 1959.

Kamke, DQlen-E. Kamke, Differentialgleichungen reeller Funktionen, Leipzig, 1944.

Les abréviations des noms de périodiques correspondent à celles généralement acceptées et sont donc omises dans la traduction ; voir cependant K a m k e. - Env. éd.]

PARTIE UN

MÉTHODES GÉNÉRALES DE SOLUTION

[La littérature suivante est consacrée aux questions abordées dans la première partie :

Par. avec lui. — 4e éd., rév. - M. : Sciences : Ch. éd. physique et mathématiques lit., 1971. - 576 p.

DE LA PRÉFACE À LA QUATRIÈME ÉDITION

La première édition de la traduction russe de ce livre est parue en 1951. Les deux décennies qui se sont écoulées depuis ont été une période de développement rapide des mathématiques computationnelles et de la technologie informatique. Les outils informatiques modernes permettent de résoudre rapidement et avec précision une variété de problèmes qui semblaient auparavant trop fastidieux. En particulier, les méthodes numériques sont largement utilisées dans les problèmes impliquant des équations différentielles ordinaires. Néanmoins, la possibilité d'écrire la solution générale d'une équation différentielle ou d'un système particulier sous forme fermée présente des avantages significatifs dans de nombreux cas. Par conséquent, le vaste matériel de référence rassemblé dans la troisième partie du livre de E. Kamke - environ 1650 équations avec solutions - préserve grande importance et maintenant.

Le livre de E. Kamke contient de nombreux faits et résultats utiles dans le travail quotidien, il s'est avéré précieux et nécessaire pour un large éventail de scientifiques et de spécialistes des domaines appliqués, d'ingénieurs et d'étudiants. Trois éditions précédentes de la traduction de cet ouvrage de référence en russe ont été accueillies favorablement par les lecteurs et sont épuisées depuis longtemps.

Table des matières
Préface à la Quatrième Édition 11
Quelques symboles 13
Abréviations acceptées dans les instructions bibliographiques 13
PARTIE UN
MÉTHODES GÉNÉRALES DE SOLUTION Chapitre I. Équations différentielles du premier ordre
§ 1. Equations différentielles résolues par rapport à 19
dérivé: oui" =f(x,y); concepts de base
1.1. Notation et signification géométrique du différentiel 19
équations
1.2. Existence et unicité de la solution 20
§ 2. Equations différentielles résolues par rapport à 21
dérivé: oui" =f(x,y); méthodes de résolution
2.1. Méthode polyligne 21
2.2. Méthode Picard-Lindelöf d'approximations successives 23
2.3. Application de la série de puissance 24
2.4. Un cas plus général d’expansion en série 25
2.5. Extension de série selon le paramètre 27
2.6. Connexion avec les équations aux dérivées partielles 27
2.7. Théorèmes d'estimation 28
2.8. Comportement des solutions aux grandes valeurs X 30
§ 3. Equations différentielles non résolues par rapport à 32
dérivé: F(y", y, x)=0
3.1. À propos des solutions et des méthodes de résolution 32
3.2. Eléments linéaires réguliers et spéciaux 33
§ 4. Solution de types particuliers d'équations différentielles des 34 premières
commande
4.1. Équations différentielles à variables séparables 35
4.2. y"=f(hache+par+c) 35
4.3. Équations différentielles linéaires 35.
4.4. Comportement asymptotique des solutions
4.5. L'équation de Bernoulli y"+f(x)y+g(x)ya =0 38
4.6. Equations différentielles homogènes et leur réduction 38
4.7. Équations homogènes généralisées 40
4.8. Équation spéciale de Riccati : y "+ ay 2 = bx a 40
4.9. Équation générale de Riccati : y"=f(x)y 2 +g(x)y+h(x) 41
4.10. Équation d'Abel du premier type 44
4.11. Équation d'Abel du deuxième type 47
4.12. Équation en différentiels totaux 49
4.13. Facteur d'intégration 49
4.14. F(y",y,x)=0, "intégration par différenciation" 50
4.15. (un) y=G(x, y"); (b) x=G(y, y") 50 4.16. (a) G(y ",x)=0; (b) G(y y)=Q 51
4L7. (a) y"=g(y); (6) x=g(y") 51
4.18. Équations de Clairaut 52
4.19. Équation de Lagrange-D'Alembert 52
4.20. F(x, xy"-y, y")=0. La transformation de Legendre 53 Chapitre II. Systèmes arbitraires d'équations différentielles,
autorisé en matière de produits dérivés
§ 5. Notions de base 54
5.1. Notation et signification géométrique d'un système d'équations différentielles
5.2. Existence et unicité de la solution 54
5.3. Théorème d'existence de Carathéodory 5 5
5.4. Dépendance de la solution aux conditions et paramètres initiaux 56
5.5. Questions de durabilité 57
§ 6. Modalités de solution 59
6.1. Méthode polyligne 59
6.2. Méthode Picard-Lindelöf d'approximations successives 59
6.3. Application de la série de puissance 60
6.4. Connexion avec les équations aux dérivées partielles 61
6.5. Réduction du système en utilisant une relation connue entre les solutions
6.6. Réduction d'un système par différenciation et élimination 62
6.7. Théorèmes d'estimation 62
§ 7. Systèmes autonomes 63
7.1. Définition et signification géométrique d'un système autonome 64
7.2. Sur le comportement des courbes intégrales au voisinage d'un point singulier dans le cas n = 2
7.3. Critères de détermination du type de point singulier 66
Chapitre III. Systèmes d'équations différentielles linéaires
§ 8. Systèmes linéaires arbitraires 70
8.1. Notes générales 70
8.2. Théorèmes d'existence et d'unicité. Méthodes de résolution 70
8.3. Réduire un système hétérogène à un système homogène 71
8.4. Théorèmes d'estimation 71
§ 9. Systèmes linéaires homogènes 72
9.1. Propriétés des solutions. Systèmes de décision fondamentaux 72
9.2. Théorèmes d'existence et méthodes de solution 74
9.3. Réduction d'un système à un système avec moins d'équations 75
9.4. Système conjugué d'équations différentielles 76
9.5. Systèmes auto-adjoints d'équations différentielles, 76
9.6. Systèmes conjugués de formes différentielles ; Identité de Lagrange, la formule de Green
9.7. Solutions fondamentales 78
§dix. Systèmes linéaires homogènes à points singuliers 79
10.1. Classification des points singuliers 79
10.2. Points faiblement singuliers 80
10.3. Points fortement singuliers 82 §11. Comportement des solutions aux grandes valeurs X 83
§12. Systèmes linéaires en fonction du paramètre 84
§13. Systèmes linéaires à coefficients constants 86
13.1. Systèmes homogènes 83
13.2. Systèmes de forme plus générale 87 Chapitre IV. Équations différentielles arbitraires nième ordre
§ 14. Equations résolues par rapport à la dérivée la plus élevée : 89
yin)=f(x,y,y...,y(n-) )
§15. Equations non résolues par rapport à la dérivée la plus élevée : 90
F(x,y,y...,y(n))=0
15.1. Équations en différentielles totales 90
15.2. Équations homogènes généralisées 90
15.3. Équations qui ne contiennent pas explicitement x ou à 91 Chapitre V. Équations différentielles linéaires nième ordre,
§16. Équations différentielles linéaires arbitraires n quelque chose à propos de 92
16.1. Notes générales 92
16.2. Théorèmes d'existence et d'unicité. Méthodes de résolution 92
16.3. Élimination du dérivé (n-1)ième ordre 94
16.4. Réduire une équation différentielle inhomogène à une équation homogène
16.5. Comportement des solutions aux grandes valeurs X 94
§17. Équations différentielles linéaires homogènes n quelque chose à propos de 95
17.1. Propriétés des solutions et théorèmes d'existence 95
17.2. Réduire l'ordre d'une équation différentielle 96
17.3. 0 zéro solution 97
17.4. Solutions fondamentales 97
17.5. Formes différentielles conjuguées, auto-adjointes et anti-auto-adjointes
17.6. L'identité de Lagrange ; Formules Dirichlet et Green 99
17.7. Sur les solutions d'équations conjuguées et d'équations aux différentielles totales
§18. Equations différentielles linéaires homogènes avec singularités 101
points
18.1. Classification des points singuliers 101
18.2. Le cas où le point x=E, régulier ou faiblement spécial 104
18.3. Le cas où le point x=inf est régulier ou faiblement singulier 108
18.4. Le cas où le point x=% très spécial 107
18.5. Cas où le point x=inf est très particulier 108
18.6. Équations différentielles avec coefficients polynomiaux
18.7. Équations différentielles à coefficients périodiques
18.8. Équations différentielles à coefficients doublement périodiques
18.9. Le cas d'une variable réelle 112
§19. Résolution d'équations différentielles linéaires à l'aide de 113
intégrales définies 19.1. Principe général 113
19.2. Transformée de Laplace 116
19.3.Transformée spéciale de Laplace 119
19.4. Transformation de Mellin 120
19.5. Transformation d'Euler 121
19.6. Solution utilisant des intégrales doubles 123
§ 20. Comportement des solutions pour les grandes valeurs X 124
20.1. Coefficients polynomiaux 124
20.2. Coefficients d'une forme plus générale 125
20.3. Cote continue 125
20.4. Théorèmes d'oscillation 126
§21. Équations différentielles linéaires ordre n en fonction de 127
paramètre
§ 22. Quelques types particuliers de différentiels linéaires 129
équations ordre n
22.1. Équations différentielles homogènes à coefficients constants
22.2. Équations différentielles inhomogènes à constantes 130
22.3. Les équations d'Euler 132
22.4. L'équation de Laplace 132
22.5. Équations à coefficients polynomiaux 133
22.6. Équation de Pochhammer 134
Chapitre VI. Équations différentielles du second ordre
§ 23. Équations différentielles non linéaires du second ordre 139
23.1. Méthodes de résolution de types particuliers d'équations non linéaires 139
23.2. Quelques notes complémentaires 140
23.3. Théorèmes des valeurs limites 141
23.4. Théorème des oscillations 142
§ 24. Équations différentielles linéaires arbitraires de la seconde 142
commande
24.1. Notes générales 142
24.2. Quelques méthodes de résolution 143
24.3. Théorèmes d'estimation 144
§ 25. Équations différentielles linéaires homogènes du second ordre 145
25.1. Réduction des équations différentielles linéaires du second ordre
25.2. Autres remarques sur la réduction des équations linéaires du second ordre
25.3. Expansion de la solution en une fraction continue 149
25.4. Remarques générales sur la solution zéros 150
25.5. Zéros de solutions sur un intervalle fini 151
25.6. Comportement des solutions à x->inf 153
25.7. Équations différentielles linéaires du second ordre avec points singuliers
25.8. Solutions approximatives. Solutions asymptotiques variable réelle
25.9. Solutions asymptotiques ; variable complexe 161 25.10. Méthode VBK 162 Chapitre VII. Équations différentielles linéaires des troisième et quatrième
ordres de grandeur
§ 26. Équations différentielles linéaires du troisième ordre 163
§ 27. Equations différentielles linéaires du quatrième ordre 164 Chapitre VIII. Méthodes approximatives d'intégration différentielle
équations
§ 28. Intégration approximative des équations différentielles 165
Premier ordre
28.1. Méthode polyligne 165.
28.2. Méthode supplémentaire en demi-étapes 166
28.3. Méthode Runge - Heine - Kutta 167
28.4. Combiner interpolation et approximations successives 168
28.5. Méthode Adams 170
28.6. Ajouts à la méthode Adams 172
§ 29. Intégration approximative des équations différentielles 174
commandes plus élevées
29.1. Méthodes d'intégration approximative de systèmes d'équations différentielles du premier ordre
29.2. Méthode polyligne pour les équations différentielles du second ordre 176
29.3. Méthode Runge-Kutta pour les équations différentielles du second ordre
29.4. Méthode Adams-Stoermer pour l'équation y"=f(x,y,y) 177
29.5. Méthode Adams-Stoermer pour l'équation y"=f(x,y) 178
29.6. Méthode Bless pour l'équation y"=f(x,y,y) 179
DEUXIÈME PARTIE
Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres Chapitre I. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres pour les systèmes linéaires
équations différentielles ordre n
§ 1. Théorie générale des problèmes de valeurs limites 182
1.1. Notations et notes préliminaires 182
1.2. Conditions de solvabilité du problème des valeurs limites 184
1.3. Problème de valeur limite conjuguée 185
1.4. Problèmes de valeurs limites auto-adjointes 187
1.5. Fonction de Green 188
1.6. Solution d'un problème de valeurs limites inhomogènes à l'aide de la fonction de Green 190
1.7. Fonction de Green généralisée 190
§ 2. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres pour l'équation 193
£shu(y) +Yx)y = 1(x)
2.1. Valeurs propres et fonctions propres ; déterminant caractéristique OH)
2.2. Conjuguer le problème des valeurs propres et la résolvante de Green ; système biorthogonal complet
2.3. Conditions aux limites normalisées ; problèmes réguliers aux valeurs propres 2.4. Valeurs propres pour les problèmes de valeurs propres réguliers et irréguliers
2.5. Expansion d'une fonction donnée en fonctions propres de problèmes de valeurs propres réguliers et irréguliers
2.6. Problèmes de valeurs propres normales auto-adjointes 200
2.7. Sur les équations intégrales de Fredholm type 204
2.8. Relation entre les problèmes de valeurs limites et les équations intégrales de type Fredholm
2.9. Relation entre les problèmes de valeurs propres et les équations intégrales de type Fredholm
2.10. Sur les équations intégrales de Volterra type 211
2.11. Relation entre problèmes de valeurs limites et équations intégrales de type Volterra
2.12. Relation entre problèmes de valeurs propres et équations intégrales de type Volterra
2.13. Relation entre les problèmes de valeurs propres et le calcul des variations
2.14. Application à l’expansion des fonctions propres 218
2.15. Notes complémentaires 219
§ 3. Méthodes approximatives de résolution des problèmes de valeurs propres et 222-
problèmes de valeurs limites
3.1. Méthode approximative Galerkin-Ritz 222
3.2. Méthode Grammel approximative 224
3.3. Solution d'un problème de valeurs limites inhomogènes par la méthode Galerkin-Ritz
3.4. Méthode des approximations successives 226
3.5. Solution approchée des problèmes de valeurs limites et des problèmes de valeurs propres par la méthode des différences finies
3.6. Méthode de perturbation 230
3.7. Estimations des valeurs propres 233
3.8. Revue des méthodes de calcul des valeurs propres et des fonctions propres236
§ 4. Problèmes aux valeurs propres auto-adjoints pour l'équation 238
F(y)=W(y)
4.1. Énoncé du problème 238
4.2. Remarques générales préliminaires 239
4.3. Problèmes normaux aux valeurs propres 240
4.4. Problèmes aux valeurs propres définies positives 241
4.5. Expansion des fonctions propres 244
§ 5. Conditions limites et complémentaires d'une forme plus générale 247 Chapitre II. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres pour les systèmes
équations différentielles linéaires
§ 6. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres pour les systèmes 249
équations différentielles linéaires
6.1. Conditions de notation et de solvabilité 249
6.2. Problème de valeur limite conjuguée 250
6.3. Matrice de Green 252 6.4. Problèmes de valeurs propres 252-
6.5. Problèmes de valeurs propres auto-adjoints 253 Chapitre III. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres pour les équations
commandes inférieures
§ 7. Problèmes de premier ordre 256
7.1. Problèmes linéaires 256
7.2. Problèmes non linéaires 257
§ 8. Problèmes de valeurs limites linéaires du second ordre 257
8.1. Notes générales 257
8.2. Fonction de Green 258
8.3. Estimations pour les solutions de problèmes de valeurs limites du premier type 259
8.4. Conditions aux limites pour |x|->inf 259
8.5. Trouver des solutions périodiques 260
8.6. Un problème de valeur limite lié à l'étude de l'écoulement des fluides 260
§ 9. Problèmes aux valeurs propres linéaires du second ordre 261
9.1. Notes générales 261
9.2 Problèmes de valeurs propres auto-adjoints 263
9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y et les conditions aux limites sont auto-adjointes 266
9.4. Problèmes de valeurs propres et principe variationnel 269
9.5. Sur le calcul pratique des valeurs propres et des fonctions propres
9.6. Problèmes de valeurs propres, pas nécessairement auto-adjoints 271
9.7. Conditions supplémentaires d'une forme plus générale 273
9.8. Problèmes de valeurs propres contenant plusieurs paramètres
9.9. Équations différentielles avec singularités aux points limites 276
9.10. Problèmes de valeurs propres sur un intervalle infini 277
§dix. Problèmes de valeurs limites non linéaires et problèmes de valeurs propres 278
deuxième ordre
10.1. Problèmes de valeurs limites pour un intervalle fini 278
10.2. Problèmes de valeurs limites pour un intervalle semi-limité 281
10.3. Problèmes de valeurs propres 282
§onze. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes sur les valeurs propres du tiers - 283
huitième ordre
11.1. Problèmes de valeurs propres linéaires du troisième ordre 283
11.2. Problèmes de valeurs propres linéaires du quatrième ordre 284
11.3. Problèmes linéaires pour un système de deux équations différentielles du second ordre
11.4. Problèmes de valeurs limites non linéaires du quatrième ordre 287
11.5. Problèmes de valeurs propres d'ordre supérieur 288
PARTIE TROIS
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SÉPARÉES
Remarques préliminaires 290 Chapitre I. Équations différentielles du premier ordre
1-367. Équations différentielles du premier degré par rapport à U294
368-517. Equations différentielles du deuxième degré par rapport à 334 518-544. Équations différentielles du troisième degré par rapport à 354
545-576. Equations différentielles d'une forme plus générale 358Chapitre II. Équations différentielles linéaires du second ordre
1-90. oui" + ... 363
91-145. (hache+lyu" + ... 385
146-221.x2 y" + ... 396
222-250. (x 2 ±a 2)y"+... 410
251-303. (ah 2 +bx+c)y" + ... 419
304-341. (ah 3 +...)o" + ... 435
342-396. (ah 4 +...)o" + ... 442
397-410. (Oh" +...)o" + ... 449
411-445. Autres équations différentielles 454
g lave III. Equations différentielles linéaires du troisième ordre Chapitre IV. Équations différentielles linéaires du quatrième ordre Chapitre V. Équations différentielles linéaires du cinquième et supérieur
commandesChapitre VI. Équations différentielles non linéaires du second ordre
1-72. ay"=F(x,y,y) 485
73-103./(x);y"=F(x,;y,;y") 497
104- 187./(x)xy"CR(x,;y,;y") 503
188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y )) 514
226-249. Autres équations différentielles 520Chapitre VII. Équations différentielles non linéaires du troisième et plus
commandes élevéesChapitre VIII. Systèmes d'équations différentielles linéaires
Remarques préliminaires 530
1-18. Systèmes de deux équations différentielles du premier ordre avec 530
cote constante 19-25.
Systèmes de deux équations différentielles du premier ordre avec 534
cotes variables
26-43. Systèmes de deux équations différentielles d'ordre supérieur à 535
d'abord
44-57. Systèmes de plus de deux équations différentielles 538Chapitre IX. Systèmes d'équations différentielles non linéaires
1-17. Systèmes de deux équations différentielles 541
18-29. Systèmes de plus de deux équations différentielles 544
AJOUTS
Sur la solution des équations linéaires homogènes du second ordre (I. Zbornik) 547
Ajouts au livre de E. Kamke (D. Mitrinovic) 556
Une nouvelle façon de classer les équations différentielles linéaires et 568
construire leur solution générale à l'aide de formules récurrentes
(I.Zbornik)
Index des sujets 571

Ains E.L. Équations différentielles ordinaires. Kharkov : ONTI, 1939

Andronov A.A., Leontovich E.V., Gordon I.I., Mayer A.G. Théorie qualitative des systèmes dynamiques du second ordre. M. : Nauka, 1966

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Golubev V.V. Cours sur la théorie analytique des équations différentielles. M.-L. : Gostekhteorizdat, 1950

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Sansone J. Équations différentielles ordinaires, volume 1. M. : IL, 1953

Nom: Manuel d'équations différentielles ordinaires.

Le « Manuel d'équations différentielles ordinaires » du célèbre mathématicien allemand Erich Kamke (1890 - 1961) est une publication unique dans sa couverture du matériel et occupe une place digne dans la littérature mathématique de référence mondiale.
La première édition de la traduction russe de ce livre est parue en 1951. Les deux décennies qui se sont écoulées depuis ont été une période de développement rapide des mathématiques computationnelles et de la technologie informatique. Les outils informatiques modernes permettent de résoudre rapidement et avec précision une variété de problèmes qui semblaient auparavant trop fastidieux. En particulier, les méthodes numériques sont largement utilisées dans les problèmes impliquant des équations différentielles ordinaires. Néanmoins, la possibilité d'écrire la solution générale d'une équation différentielle ou d'un système particulier sous forme fermée présente des avantages significatifs dans de nombreux cas. Par conséquent, le vaste matériel de référence rassemblé dans la troisième partie du livre de E. Kamke - environ 1650 équations avec solutions - reste encore d'une grande importance.

En plus du matériel de référence spécifié, le livre de E. Kamke contient une présentation (mais sans preuve) des concepts de base et des résultats les plus importants liés aux équations différentielles ordinaires. Il couvre également un certain nombre de questions qui ne sont généralement pas incluses dans les manuels d'équations différentielles (par exemple, la théorie des problèmes de valeurs limites et des problèmes de valeurs propres).
Le livre de E. Kamke contient de nombreux faits et résultats utiles dans le travail quotidien, il s'est avéré précieux et nécessaire pour un large éventail de scientifiques et de spécialistes des domaines appliqués, d'ingénieurs et d'étudiants. Trois éditions précédentes de la traduction de cet ouvrage de référence en russe ont été accueillies favorablement par les lecteurs et sont épuisées depuis longtemps.
La traduction russe a été revérifiée avec la sixième édition allemande (1959) ; Les inexactitudes, erreurs et fautes de frappe notées ont été corrigées. Toutes les insertions, commentaires et ajouts apportés au texte par l'éditeur et le traducteur sont mis entre crochets. À la fin du livre, sous le titre « Ajouts », se trouvent des traductions abrégées (réalisées par N. Kh. Rozov) de plusieurs articles de revues qui complètent la partie de référence, mentionnée par l'auteur dans la sixième édition allemande.

PARTIE UN
MÉTHODES GÉNÉRALES DE SOLUTION
Chapitre I.
§ 1. Équations différentielles résolues par rapport à
dérivée : y" =f(x,y); concepts de base
1.1. Notation et signification géométrique du différentiel
équations
1.2. Existence et unicité d'une solution
§ 2. Equations différentielles résolues par rapport à
dérivée : y" =f(x,y); méthodes de solution
2.1. Méthode polyligne
2.2. Méthode Picard-Lindelöf d'approximations successives
2.3. Application des séries de puissance
2.4. Un cas plus général d’expansion en série25
2.5. Extension de série selon le paramètre 27
2.6. Connexion avec les équations aux dérivées partielles27
2.7. Théorèmes d'estimation 28
2.8. Comportement des solutions pour les grandes valeurs de x 30
§ 3. Equations différentielles non résolues par rapport à32
dérivée : F(y", y, x)=0
3.1. À propos des solutions et des méthodes de résolution 32
3.2. Eléments linéaires réguliers et spéciaux33
§ 4. Solution de types particuliers d'équations différentielles des 34 premières
commande
4.1. Équations différentielles à variables séparables 35
4.2. y"=f(hache+par+c) 35
4.3. Équations différentielles linéaires 35.
4.4. Comportement asymptotique des solutions aux équations différentielles linéaires
4.5. Équation de Bernoulli y"+f(x)y+g(x)ya=0 38
4.6. Equations différentielles homogènes et celles qui leur sont réductibles38
4.7. Équations homogènes généralisées 40
4.8. Équation spéciale de Riccati : y" + ay2 = bxa 40
4.9. Équation générale de Riccati : y"=f(x)y2+g(x)y+h(x)41
4.10. Équation d'Abel du premier type44
4.11. Équation d'Abel du deuxième type47
4.12. Équation en différentiels totaux 49
4.13. Facteur d'intégration 49
4.14. F(y",y,x)=0, "intégration par différenciation" 50
4.15. (a) y=G(x, y") ; (b) x=G(y, y") 50
4.16. (a) G(y ",x)=0; (b) G(y\y)=Q 51
4.17. (a) y"=g(y); (6) x=g(y") 51
4.18. Équations de Clairaut 52
4.19. Équation de Lagrange-D'Alembert 52
4.20. F(x, xy"-y, y")=0. Transformation Legendre53
Chapitre II. Systèmes arbitraires d'équations différentielles résolues par rapport aux dérivées
§ 5. Notions de base54
5.1. Notation et signification géométrique d'un système d'équations différentielles
5.2. Existence et unicité de la solution 54
5.3. Théorème d'existence de Carathéodory 5 5
5.4. Dépendance de la solution aux conditions et paramètres initiaux56
5.5. Problèmes de durabilité57
§ 6. Modalités de solution 59
6.1. Méthode des lignes brisées59
6.2. Méthode Picard-Lindelöf des approximations successives59
6.3. Application de la série de puissance 60
6.4. Connexion avec les équations aux dérivées partielles 61
6.5. Réduction du système en utilisant une relation connue entre les solutions
6.6. Réduction d'un système par différenciation et élimination 62
6.7. Théorèmes d'estimation 62
§ 7. Systèmes autonomes 63
7.1. Définition et signification géométrique d'un système autonome 64
7.2. Sur le comportement des courbes intégrales au voisinage d'un point singulier dans le cas n = 2
7.3. Critères de détermination du type de point singulier 66
Chapitre III.
§ 8. Systèmes linéaires arbitraires70
8.1. Remarques générales70
8.2. Théorèmes d'existence et d'unicité. Méthodes de résolution70
8.3. Réduire un système hétérogène à un système homogène71
8.4. Théorèmes d'estimation 71
§ 9. Systèmes linéaires homogènes72
9.1. Propriétés des solutions. Systèmes de décision fondamentaux 72
9.2. Théorèmes d'existence et méthodes de solution 74
9.3. Réduction d'un système à un système avec moins d'équations75
9.4. Système conjugué d’équations différentielles76
9.5. Systèmes auto-adjoints d'équations différentielles, 76
9.6. Systèmes conjugués de formes différentielles ; Identité de Lagrange, la formule de Green
9.7. Solutions fondamentales78
§dix. Systèmes linéaires homogènes à points singuliers 79
10.1. Classification des points singuliers 79
10.2. Points faiblement singuliers80
10.3. Points fortement singuliers 82
§onze. Comportement des solutions aux grandes valeurs de x 83
§12. Systèmes linéaires en fonction du paramètre 84
§13. Systèmes linéaires à coefficients constants 86
13.1. Systèmes homogènes 83
13.2. Systèmes d'une forme plus générale 87
Chapitre IV. Équations différentielles arbitraires du nième ordre
§ 14. Equations résolues par rapport à la dérivée la plus élevée : 89
yin)=f(x,y,y\...,y(n-\))
§15. Équations non résolues par rapport à la dérivée la plus élevée :90
F(x,y,y\...,y(n))=0
15.1. Équations en différentielles totales90
15.2. Équations homogènes généralisées 90
15.3. Équations qui ne contiennent pas explicitement x ou y 91
Chapitre V Équations différentielles linéaires d'ordre n,
§16. Équations différentielles linéaires arbitraires d’ordre n92
16.1. Remarques générales92
16.2. Théorèmes d'existence et d'unicité. Méthodes de résolution92
16.3. Élimination de la dérivée d'ordre (n-1)94
16.4. Réduire une équation différentielle inhomogène à une équation homogène
16.5. Comportement des solutions aux grandes valeurs x94
§17. Equations différentielles linéaires homogènes d'ordre n 95
17.1. Propriétés des solutions et théorèmes d'existence 95
17.2. Réduire l'ordre d'une équation différentielle96
17.3. 0 zéro solution 97
17.4. Solutions fondamentales 97
17.5. Formes différentielles conjuguées, auto-adjointes et anti-auto-adjointes
17.6. L'identité de Lagrange ; Formules Dirichlet et Green 99
17.7. Sur les solutions d'équations conjuguées et d'équations aux différentielles totales
§18. Équations différentielles linéaires homogènes avec singularités101
points
18.1. Classification des points singuliers 101
18.2. Le cas où le point x = E, régulier ou faiblement singulier104
18.3. Le cas où le point x=inf est régulier ou faiblement singulier108
18.4. Le cas où le point x=% est très particulier 107
18.5. Cas où le point x=inf est très particulier 108
18.6. Équations différentielles avec coefficients polynomiaux
18.7. Équations différentielles à coefficients périodiques
18.8. Équations différentielles à coefficients doublement périodiques
18.9. Le cas d’une variable réelle112
§19. Résolution d'équations différentielles linéaires à l'aide de 113
intégrales définies
19.1. Principe général 113
19.2. Transformée de Laplace 116
19.3.Transformée spéciale de Laplace 119
19.4. Transformation de Mellin 120
19.5. Transformation d'Euler 121
19.6. Solution utilisant des intégrales doubles 123
§ 20. Comportement des solutions pour les grandes valeurs de x 124
20.1. Coefficients polynomiaux124
20.2. Coefficients d'une forme plus générale 125
20.3. Cote continue 125
20.4. Théorèmes d'oscillation126
§21. Équations différentielles linéaires d'ordre n dépendant de127
paramètre
§ 22. Quelques types particuliers de différentiels linéaires129
équations du nième ordre
22.1. Équations différentielles homogènes à coefficients constants
22.2. Équations différentielles inhomogènes à constantes130
22.3. Les équations d'Euler 132
22.4. Équation de Laplace132
22.5. Équations à coefficients polynomiaux133
22.6. Équation de Pochhammer134
Chapitre VI. Équations différentielles du second ordre
§ 23. Équations différentielles non linéaires du second ordre 139
23.1. Méthodes de résolution de types particuliers d'équations non linéaires 139
23.2. Quelques notes complémentaires140
23.3. Théorèmes des valeurs limites 141
23.4. Théorème des oscillations 142
§ 24. Équations différentielles linéaires arbitraires de la seconde 142
commande
24.1. Remarques générales142
24.2. Quelques méthodes de résolution 143
24.3. Théorèmes d'estimation 144
§ 25. Équations différentielles linéaires homogènes du second ordre 145
25.1. Réduction des équations différentielles linéaires du second ordre
25.2. Autres remarques sur la réduction des équations linéaires du second ordre
25.3. Expansion de la solution en une fraction continue 149
25.4. Remarques générales sur la solution zéros150
25.5. Zéros de solutions sur un intervalle fini151
25.6. Comportement des solutions pour x->inf 153
25.7. Équations différentielles linéaires du second ordre avec points singuliers
25.8. Solutions approximatives. Solutions asymptotiques variable réelle
25.9. Solutions asymptotiques ; variable complexe161
25.10. Méthode VBK 162
Chapitre VII. Équations différentielles linéaires des troisième et quatrième
ordres de grandeur
§ 26. Équations différentielles linéaires du troisième ordre163
§ 27. Équations différentielles linéaires du quatrième ordre 164
Chapitre VIII. Méthodes approximatives d'intégration différentielle
équations
§ 28. Intégration approximative des équations différentielles 165
Premier ordre
28.1. Méthode des lignes brisées165.
28.2. Méthode supplémentaire en demi-étapes 166
28.3. Méthode Runge - Heine - Kutta 167
28.4. Combiner interpolation et approximations successives168
28.5. Méthode Adams 170
28.6. Ajouts à la méthode Adams 172
§ 29. Intégration approximative des équations différentielles 174
commandes plus élevées
29.1. Méthodes d'intégration approximative de systèmes d'équations différentielles du premier ordre
29.2. Méthode polyligne pour les équations différentielles du second ordre 176
29.3. Méthode Runge-Kutta pour les équations différentielles du second ordre
29.4. Méthode Adams-Stoermer pour l'équation y"=f(x,y,y) 177
29.5. Méthode Adams-Stoermer pour l'équation y"=f(x,y) 178
29.6. Méthode Bless pour l'équation y"=f(x,y,y) 179

DEUXIÈME PARTIE
Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres
Chapitre I. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres pour les
équations différentielles du nième ordre
§ 1. Théorie générale des problèmes de valeurs limites182
1.1. Notations et notes préliminaires 182
1.2. Conditions de solvabilité d’un problème de valeurs limites184
1.3. Problème de valeur limite conjuguée 185
1.4. Problèmes de valeurs limites auto-adjointes 187
1.5. Fonction de Green 188
1.6. Solution d'un problème de valeurs limites inhomogènes à l'aide de la fonction de Green 190
1.7. Fonction de Green généralisée 190
§ 2. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres pour l'équation 193
£ШУ(У)+ИХ)У = 1(Х)
2.1. Valeurs propres et fonctions propres ; déterminant caractéristique A(X)
2.2. Conjuguer le problème des valeurs propres et la résolvante de Green ; système biorthogonal complet
2.3. Conditions aux limites normalisées ; problèmes réguliers de valeurs propres
2.4. Valeurs propres pour les problèmes de valeurs propres réguliers et irréguliers
2.5. Expansion d'une fonction donnée en fonctions propres de problèmes de valeurs propres réguliers et irréguliers
2.6. Problèmes de valeurs propres normales auto-adjointes 200
2.7. Sur les équations intégrales de Fredholm type 204
2.8. Relation entre les problèmes de valeurs limites et les équations intégrales de type Fredholm
2.9. Relation entre les problèmes de valeurs propres et les équations intégrales de type Fredholm
2.10. Sur les équations intégrales de type Volterra211
2.11. Relation entre problèmes de valeurs limites et équations intégrales de type Volterra
2.12. Relation entre problèmes de valeurs propres et équations intégrales de type Volterra
2.13. Relation entre les problèmes de valeurs propres et le calcul des variations
2.14. Application à l’expansion des fonctions propres218
2.15. Notes complémentaires219
§ 3. Méthodes approximatives de résolution des problèmes de valeurs propres et222-
problèmes de valeurs limites
3.1. Méthode approximative de Galerkin-Ritz222
3.2. Méthode Grammel approximative224
3.3. Solution d'un problème de valeurs limites inhomogènes par la méthode Galerkin-Ritz
3.4. Méthode des approximations successives 226
3.5. Solution approchée des problèmes de valeurs limites et des problèmes de valeurs propres par la méthode des différences finies
3.6. Méthode de perturbation 230
3.7. Estimations des valeurs propres 233
3.8. Revue des méthodes de calcul des valeurs propres et des fonctions propres236
§ 4. Problèmes aux valeurs propres auto-adjoints pour l'équation238
F(y)=W(y)
4.1. Énoncé du problème 238
4.2. Remarques générales préliminaires 239
4.3. Problèmes normaux aux valeurs propres 240
4.4. Problèmes aux valeurs propres définies positives 241
4.5. Expansion des fonctions propres 244
§ 5. Conditions limites et complémentaires de forme plus générale 247
Chapitre II. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres pour les systèmes
équations différentielles linéaires
§ 6. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres pour les systèmes 249
équations différentielles linéaires
6.1. Conditions de notation et de solvabilité 249
6.2. Problème de valeur limite conjuguée 250
6.3. Matrice de Green252
6.4. Problèmes de valeurs propres 252-
6.5. Problèmes de valeurs propres auto-adjoints 253
Chapitre III. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes de valeurs propres pour les équations
commandes inférieures
§ 7. Problèmes de premier ordre256
7.1. Problèmes linéaires 256
7.2. Problèmes non linéaires 257
§ 8. Problèmes de valeurs limites linéaires du second ordre257
8.1. Notes générales 257
8.2. Fonction de Green 258
8.3. Estimations pour les solutions de problèmes de valeurs limites du premier type259
8.4. Conditions aux limites pour |x|->inf259
8.5. Trouver des solutions périodiques 260
8.6. Un problème de valeur limite lié à l'étude de l'écoulement des fluides 260
§ 9. Problèmes aux valeurs propres linéaires du second ordre 261
9.1. Notes générales 261
9.2 Problèmes de valeurs propres auto-adjoints 263
9.3. y"=F(x,)Cjz, z"=-G(x,h)y et les conditions aux limites sont auto-adjointes266
9.4. Problèmes de valeurs propres et principe variationnel269
9.5. Sur le calcul pratique des valeurs propres et des fonctions propres
9.6. Problèmes de valeurs propres, pas nécessairement auto-adjoints271
9.7. Conditions supplémentaires de forme plus générale273
9.8. Problèmes de valeurs propres contenant plusieurs paramètres
9.9. Équations différentielles avec singularités aux points limites 276
9.10. Problèmes de valeurs propres sur un intervalle infini 277
§dix. Problèmes de valeurs limites non linéaires et problèmes de valeurs propres 278
deuxième ordre
10.1. Problèmes de valeurs limites pour un intervalle fini 278
10.2. Problèmes de valeurs limites pour un intervalle semi-limité 281
10.3. Problèmes de valeurs propres282
§onze. Problèmes de valeurs aux limites et problèmes sur les valeurs propres du tiers - 283
huitième ordre
11.1. Problèmes de valeurs propres linéaires du troisième ordre283
11.2. Problèmes de valeurs propres linéaires du quatrième ordre 284
11.3. Problèmes linéaires pour un système de deux équations différentielles du second ordre
11.4. Problèmes de valeurs limites non linéaires du quatrième ordre 287
11.5. Problèmes de valeurs propres d’ordre supérieur288

PARTIE TROIS
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SÉPARÉES
Remarques préliminaires 290
Chapitre I. Équations différentielles du premier ordre
1-367. Équations différentielles du premier degré par rapport à U 294
368-517. Équations différentielles du deuxième degré par rapport à334
518-544. Équations différentielles du troisième degré par rapport à 354
545-576. Équations différentielles d'une forme plus générale358
Chapitre II. Équations différentielles linéaires du second ordre
1-90. oui" + ...363
91-145. (hache+lyu" + ... 385
146-221.x2 y" + ... 396
222-250. (x2±a2)y"+... 410
251-303. (ax2 +bx+c)y" + ... 419
304-341. (ax3 +...)y" + ...435
342-396. (ax4 +...)y" + ...442
397-410. (ah" +...)y" + ...449
411-445. Autres équations différentielles 454
Chapitre III. Équations différentielles linéaires du troisième ordre
Chapitre IV. Équations différentielles linéaires du quatrième ordre
Chapitre V Équations différentielles linéaires du cinquième et supérieur
ordres de grandeur
Chapitre VI. Équations différentielles non linéaires du second ordre
1-72. ay"=F(x,y,y)485
73-103./(x);y"=F(x,;y,;y") 497
104- 187./(x)xy"CR(x,;y,;y")503
188-225. f(x,y)y"=F(x,y,y)) 514
226-249. Autres équations différentielles 520
Chapitre VII. Équations différentielles non linéaires du troisième et plus
commandes élevées
Chapitre VIII. Systèmes d'équations différentielles linéaires
Remarques préliminaires 530
1-18. Systèmes de deux équations différentielles du premier ordre p530
cote constante 19-25.
Systèmes de deux équations différentielles du premier ordre p534
cotes variables
26-43. Systèmes de deux équations différentielles d'ordre supérieur535
d'abord
44-57. Systèmes de plus de deux équations différentielles538
Chapitre IX. Systèmes d'équations différentielles non linéaires
1-17. Systèmes de deux équations différentielles541
18-29. Systèmes de plus de deux équations différentielles 544
AJOUTS
Sur la solution des équations linéaires homogènes du second ordre (I. Zbornik) 547
Ajouts au livre de E. Kamke (D. Mitrinovic) 556
Une nouvelle façon de classer les équations différentielles linéaires et 568
construire leur solution générale à l'aide de formules récurrentes
(I.Zbornik)
Index des sujets 571