პოლინომები. მრავალწევრის ფაქტორინგი: მეთოდები, მაგალითები

წინა გაკვეთილზე ვისწავლეთ მრავალწევრის მონომზე გამრავლება. მაგალითად, a და მრავალწევრის b + c ნამრავლი გვხვდება შემდეგნაირად:

a(b + c) = ab + bc

თუმცა, ზოგიერთ შემთხვევაში უფრო მოსახერხებელია შებრუნებული ოპერაციის შესრულება, რასაც შეიძლება ეწოდოს საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება:

ab + bc = a(b + c)

მაგალითად, მოდით გამოვთვალოთ ab + bc მრავალწევრის მნიშვნელობა a = 15.6, b = 7.2, c = 2.8 ცვლადების მნიშვნელობებისთვის. თუ მათ პირდაპირ გამონათქვამში ჩავანაცვლებთ, მივიღებთ

ab + bc = 15.6 * 7.2 + 15.6 * 2.8

ab + bc = a(b + c) = 15.6 * (7.2 + 2.8) = 15.6 * 10 = 156

IN ამ შემთხვევაშიჩვენ წარმოვადგინეთ მრავალწევრი ab + bc, როგორც ორი ფაქტორის ნამრავლი: a და b + c. ამ მოქმედებას მრავალწევრის ფაქტორინგი ეწოდება.

უფრო მეტიც, თითოეული ფაქტორი, რომელშიც მრავლდება მრავალწევრი, თავის მხრივ, შეიძლება იყოს მრავალწევრი ან მონომი.

განვიხილოთ მრავალწევრი 14ab - 63b 2. მისი თითოეული შემადგენელი მონომი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც პროდუქტი:

ჩანს, რომ ორივე მრავალწევრს აქვს საერთო კოეფიციენტი 7b. ეს ნიშნავს, რომ მისი ამოღება შესაძლებელია ფრჩხილებიდან:

14ab - 63b 2 = 7b*2a - 7b*9b = 7b(2a-9b)

თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ, არის თუ არა მულტიპლიკატორი სწორად განთავსებული ფრჩხილების გარეთ საპირისპირო მოქმედების გამოყენებით - ფრჩხილების გახსნა:

7b(2a - 9b) = 7b*2a - 7b*9b = 14ab - 63b 2

მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ხშირად მრავალწევრი შეიძლება გაფართოვდეს რამდენიმე გზით, მაგალითად:

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

ჩვეულებრივ, ისინი ცდილობენ ამოიღონ, უხეშად რომ ვთქვათ, "ყველაზე დიდი" მონომია. ანუ ისინი აფართოებენ მრავალწევრს ისე, რომ დარჩენილი მრავალწევრიდან მეტის ამოღება არ შეიძლება. ასე რომ, დაშლისას

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

მონომების ჯამი, რომლებსაც აქვთ საერთო c ფაქტორი, რჩება ფრჩხილებში. თუ მასაც ამოვიღებთ, მაშინ ფრჩხილებში საერთო ფაქტორები არ დარჩება:

b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ, თუ როგორ ვიპოვოთ მონომების საერთო ფაქტორები. მოდით დავშალოთ ჯამი

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10

იგი შედგება სამი ტერმინისგან. პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ მათ წინაშე არსებულ რიცხვობრივ შანსებს. ეს არის 8, 12 და 16. მე-6 კლასის მე-3 გაკვეთილზე განიხილეს GCD-ის თემა და მისი პოვნის ალგორითმი. ეს არის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი. საერთო მულტიპლიკატორის რიცხვითი კოეფიციენტი იქნება ზუსტად პოლინომის წევრთა რიცხვითი კოეფიციენტების GCD. ამ შემთხვევაში რიცხვი არის 4.

შემდეგი, ჩვენ ვუყურებთ ამ ცვლადების ხარისხს. საერთო ფაქტორში, ასოებს უნდა ჰქონდეთ მინიმალური უფლებამოსილება, რომელიც ჩანს ტერმინებში. ასე რომ, მრავალწევრში a ცვლადს აქვს 3, 2 და 4 გრადუსი (მინიმუმ 2), ამიტომ საერთო ფაქტორი იქნება 2. b ცვლადს აქვს მინიმალური ხარისხი 3, ამიტომ საერთო ფაქტორი იქნება b 3:

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)

შედეგად, დანარჩენ წევრებს 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 არ აქვთ ერთი საერთო ასო ცვლადი და მათ კოეფიციენტებს 2, 3 და 4 არ აქვთ საერთო გამყოფები.

ფრჩხილებიდან შეიძლება ამოღებულ იქნეს არა მხოლოდ მონომები, არამედ მრავალწევრები. მაგალითად:

x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)

კიდევ ერთი მაგალითი. აუცილებელია გამოხატვის გაფართოება

5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y)

გამოსავალი. შეგახსენებთ, რომ მინუს ნიშანი აბრუნებს ფრჩხილებში ჩადებულ ნიშნებს, ასე რომ

-(8y - 3x) = -8y + 3x = 3x - 8y

ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ (3x - 8y) - (8y - 3x):

5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y) = 5t(8y - 3x) + 2*(-1)s(8y - 3x) = (8y - 3x)(5t - 2s)

პასუხი: (8y - 3x)(5t - 2s).

გახსოვდეთ, რომ სუბტრაჰენდი და მინუენდი შეიძლება შეიცვალოს ფრჩხილების წინ ნიშნის შეცვლით:

(ა - ბ) = - (ბ - ა)

საპირისპირო ასევე მართალია: მინუს ნიშანი უკვე ფრჩხილების წინ შეიძლება მოიხსნას სუბტრაჰენდისა და მინუენდის ერთდროულად შეცვლით:

ეს ტექნიკა ხშირად გამოიყენება პრობლემების გადაჭრისას.

დაჯგუფების მეთოდი

განვიხილოთ მრავალწევრის ფაქტორების სხვა გზა, რომელიც ხელს უწყობს მრავალწევრის გაფართოებას. იყოს გამოხატვა

ab - 5a + bc - 5c

შეუძლებელია ოთხივე მონომისთვის საერთო ფაქტორის გამოყვანა. თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ ეს პოლინომი, როგორც ორი მრავალწევრის ჯამი და თითოეულ მათგანში ამოიღეთ ცვლადი ფრჩხილებიდან:

ab - 5a + bc - 5c = (ab - 5a) + (bc - 5c) = a(b - 5) + c(b - 5)

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიტანოთ გამოთქმა b - 5:

a(b - 5) + c(b - 5) = (b - 5)(a + c)

პირველი ტერმინი მეორესთან "დავაჯგუფეთ", მესამე კი მეოთხესთან. ამიტომ აღწერილ მეთოდს დაჯგუფების მეთოდს უწოდებენ.

მაგალითი. გავაფართოვოთ მრავალწევრი 6xy + ab- 2bx- 3ay.

გამოსავალი. 1-ლი და მე-2 ტერმინების დაჯგუფება შეუძლებელია, რადგან მათ არ აქვთ საერთო ფაქტორი. ამიტომ, მოდით გავცვალოთ მონომები:

6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x(3y - b) + a(b - 3y)

განსხვავებები 3y - b და b - 3y განსხვავდება მხოლოდ ცვლადების თანმიმდევრობით. ერთ-ერთ ფრჩხილში ის შეიძლება შეიცვალოს ფრჩხილებიდან მინუს ნიშნის გადატანით:

(b - 3y) = - (3y - b)

მოდით გამოვიყენოთ ეს ჩანაცვლება:

2x(3y - b) + a(b - 3y) = 2x(3y - b) - a(3y - b) = (3y - b)(2x - a)

შედეგად მივიღეთ ვინაობა:

6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b)(2x - a)

პასუხი: (3y - b)(2x - a)

თქვენ შეგიძლიათ დააჯგუფოთ არა მხოლოდ ორი, არამედ ზოგადად ნებისმიერი რაოდენობის ტერმინი. მაგალითად, მრავალწევრში

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z

შეგვიძლია დავაჯგუფოთ პირველი სამი და ბოლო 3 მონომი:

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2(x - 3y + z) = (x + 2)(x - 3y + z)

ახლა მოდით შევხედოთ გაზრდილი სირთულის ამოცანას

მაგალითი. გააფართოვეთ კვადრატული ტრინომი x 2 - 8x +15.

გამოსავალი. ეს მრავალწევრი შედგება მხოლოდ 3 მონომისაგან და ამიტომ, როგორც ჩანს, დაჯგუფება შეუძლებელი იქნება. თუმცა, შეგიძლიათ გააკეთოთ შემდეგი ჩანაცვლება:

მაშინ თავდაპირველი ტრინომი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15

მოდით დავაჯგუფოთ ტერმინები:

x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x(x - 3) - 5 (x - 3) = (x - 5) (x - 3)

პასუხი: (x- 5) (x - 3).

რა თქმა უნდა, არ არის ადვილი გამოცნობა ჩანაცვლება - 8x = - 3x - 5x ზემოთ მოცემულ მაგალითში. მოდით ვაჩვენოთ მსჯელობის განსხვავებული ხაზი. მეორე ხარისხის მრავალწევრი უნდა გავაფართოვოთ. როგორც გვახსოვს, მრავალწევრების გამრავლებისას მათი სიმძლავრეები იკრიბება. ეს ნიშნავს, რომ თუნდაც კვადრატული ტრინომი ორ ფაქტორად დავყოთ, ისინი აღმოჩნდებიან 1-ლი ხარისხის ორი მრავალწევრი. დავწეროთ პირველი ხარისხის ორი მრავალწევრის ნამრავლი, რომელთა წამყვანი კოეფიციენტები 1-ის ტოლია:

(x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab

აქ a და b აღვნიშნავთ რამდენიმე თვითნებურ რიცხვად. იმისათვის, რომ ეს პროდუქტი იყოს ორიგინალური ტრინომი x 2 - 8x +15 ტოლი, აუცილებელია ცვლადებისთვის შესაფერისი კოეფიციენტების შერჩევა:

შერჩევის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ, რომ რიცხვები a = - 3 და b = - 5 აკმაყოფილებს ამ პირობას

(x - 3) (x - 5) = x 2 * 8x + 15

როგორც ჩანს ფრჩხილების გახსნით.

სიმარტივისთვის განვიხილეთ მხოლოდ ის შემთხვევა, როდესაც 1-ლი ხარისხის გამრავლებულ მრავალწევრებს აქვთ წამყვანი კოეფიციენტები 1-ის ტოლი. თუმცა, ისინი შეიძლება იყოს ტოლი, მაგალითად, 0.5 და 2. ამ შემთხვევაში, გაფართოება ოდნავ განსხვავებულად გამოიყურება:

x 2 * 8x + 15 = (2x - 6)(0.5x - 2.5)

თუმცა, პირველი ფრჩხილიდან გამოვიღოთ კოეფიციენტი 2 და გავამრავლოთ მეორეზე, მივიღებთ თავდაპირველ გაფართოებას:

(2x - 6)(0.5x - 2.5) = (x - 3) * 2 * (0.5x - 2.5) = (x - 3)(x - 5)

განხილულ მაგალითში ჩვენ გავაფართოვეთ კვადრატული ტრინომი პირველი ხარისხის ორ მრავალწევრად. ამის გაკეთება მომავალში ხშირად მოგვიწევს. თუმცა, აღსანიშნავია, რომ ზოგიერთი კვადრატული ტრინომი, მაგ.

შეუძლებელია ამ გზით მრავალწევრების ნამრავლად დაშლა. ეს მოგვიანებით დადასტურდება.

ფაქტორინგის მრავალწევრების გამოყენება

პოლინომის ფაქტორირებამ შეიძლება გააადვილოს ზოგიერთი ოპერაცია. მოდით, საჭირო იყოს გამოხატვის მნიშვნელობის გამოთვლა

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

ავიღოთ რიცხვი 2 და თითოეული ტერმინის ხარისხი ერთით შემცირდება:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)

ავღნიშნოთ თანხა

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

x-სთვის. შემდეგ ზემოთ დაწერილი თანასწორობა შეიძლება გადაიწეროს:

x + 2 9 = 2 (1 + x)

მივიღეთ განტოლება, მოდით ამოხსნათ იგი (იხილეთ განტოლების გაკვეთილი):

x + 2 9 = 2 (1 + x)

x + 2 9 = 2 + 2x

2x - x = 2 9 - 2

x = 512 - 2 = 510

ახლა გამოვხატოთ თანხა, რომელსაც ჩვენ ვეძებთ x-ის მიხედვით:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

ამ ამოცანის ამოხსნისას ჩვენ ავწიეთ ნომერი 2 მხოლოდ მე-9 ხარისხამდე და ყველა სხვა სიმძლავრის ოპერაცია ამოღებულია გამოთვლებიდან პოლინომის ფაქტორინგით. ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ შექმნათ გაანგარიშების ფორმულა სხვა მსგავსი თანხებისთვის.

ახლა მოდით გამოვთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890

81 4 - 9 7 + 3 12

იყოფა 73-ზე. გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები 9 და 81 არის სამი ხარისხები:

81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4

ამის ცოდნა, მოდით შევცვალოთ ორიგინალური გამონათქვამი:

81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12

მოდით ამოვიღოთ 3 12:

3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73

ნამრავლი 3 12 .73 იყოფა 73-ზე (რადგან ერთ-ერთი ფაქტორი იყოფა მასზე), ამიტომ გამონათქვამი 81 4 - 9 7 + 3 12 იყოფა ამ რიცხვზე.

ფაქტორინგი შეიძლება გამოყენებულ იქნას იდენტობის დასამტკიცებლად. მაგალითად, დავამტკიცოთ თანასწორობა

(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

იდენტურობის ამოსახსნელად, ჩვენ გარდაქმნით თანასწორობის მარცხენა მხარეს საერთო ფაქტორის ამოღებით:

(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a) + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2 )

(a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a)(a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a)((a 2 + 2a) + (a + 2) ) = (a 2 + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z )(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

კიდევ ერთი მაგალითი. მოდით დავამტკიცოთ, რომ x და y ცვლადების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის გამოსახულია

(x - y) (x + y) - 2x (x - y)

არ არის დადებითი რიცხვი.

გამოსავალი. ავიღოთ საერთო ფაქტორი x - y:

(x - y)(x + y) - 2x(x - y) = (x - y)(x + y - 2x) = (x - y)(y - x)

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჩვენ მივიღეთ ორი მსგავსი ბინომის ნამრავლი, რომლებიც განსხვავდებიან მხოლოდ x და y ასოების თანმიმდევრობით. თუ ჩვენ გავცვლით ცვლადებს ერთ-ერთ ფრჩხილში, მივიღებთ ორი იდენტური გამონათქვამის ნამრავლს, ანუ კვადრატს. მაგრამ იმისათვის, რომ შეცვალოთ x და y, თქვენ უნდა დააყენოთ მინუს ნიშანი ფრჩხილის წინ:

(x - y) = -(y - x)

მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ:

(x - y)(y - x) = -(y - x)(y - x) = -(y - x) 2

მოგეხსენებათ, ნებისმიერი რიცხვის კვადრატი მეტია ან ტოლია ნულის. ეს ასევე ეხება გამოთქმას (y - x) 2. თუ გამოხატვის წინ არის მინუსი, მაშინ ის უნდა იყოს ნულზე ნაკლები ან ტოლი, ანუ ეს არ არის დადებითი რიცხვი.

პოლინომიური გაფართოება ეხმარება ზოგიერთი განტოლების ამოხსნას. გამოიყენება შემდეგი განცხადება:

თუ განტოლების ერთი ნაწილი შეიცავს ნულს, ხოლო მეორე არის ფაქტორების ნამრავლი, მაშინ თითოეული მათგანი ნულის ტოლი უნდა იყოს.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება (s - 1) (s + 1) = 0.

გამოსავალი. s - 1 და s + 1 მონომების ნამრავლი იწერება მარცხენა მხარეს, ხოლო ნული იწერება მარჯვენა მხარეს. მაშასადამე, ნული ტოლი უნდა იყოს ან s - 1 ან s + 1:

(s - 1)(s + 1) = 0

s - 1 = 0 ან s + 1 = 0

s = 1 ან s = -1

s ცვლადის ორი მიღებული მნიშვნელობიდან თითოეული არის განტოლების ფესვი, ანუ მას აქვს ორი ფესვი.

პასუხი: -1; 1.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება 5w 2 - 15w = 0.

გამოსავალი. ამოვიღოთ 5w:

ისევ მარცხენა მხარეს იწერება ნამუშევარი, მარჯვნივ კი ნული. განვაგრძოთ გამოსავალი:

5w = 0 ან (w - 3) = 0

w = 0 ან w = 3

პასუხი: 0; 3.

მაგალითი. იპოვეთ განტოლების ფესვები k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0.

გამოსავალი. მოდით დავაჯგუფოთ ტერმინები:

k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0

(k 3 - 8k 2) + (3k- 24) = 0

k 2 (k - 8) + 3 (k - 8) = 0

(k 3 + 3) (k - 8) = 0

k 2 + 3 = 0 ან k - 8 = 0

k 2 = -3 ან k = 8

გაითვალისწინეთ, რომ k 2 = - 3 განტოლებას არ აქვს ამონახსნი, რადგან ნებისმიერი რიცხვი კვადრატში არ არის ნულზე ნაკლები. აქედან გამომდინარე, ორიგინალური განტოლების ერთადერთი ფესვი არის k = 8.

მაგალითი. იპოვეთ განტოლების ფესვები

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

გამოსავალი: გადაიტანეთ ყველა ტერმინი მარცხენა მხარეს და შემდეგ დააჯგუფეთ ტერმინები:

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

(2u - 5)(u + 3) - 7u - 21 = 0

(2u - 5)(u + 3) - 7(u + 3) = 0

(2u - 5 - 7)(u + 3) = 0

(2u - 12)(u + 3) = 0

2u - 12 = 0 ან u + 3 = 0

u = 6 ან u = -3

პასუხი: - 3; 6.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება

(t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

(t 2 - 5t) 2 - (30t - 6t 2) = 0

(t 2 - 5t) (t 2 - 5t) + 6 (t 2 - 5t) = 0

(t 2 - 5t) (t 2 - 5t + 6) = 0

t 2 - 5t = 0 ან t 2 - 5t + 6 = 0

t = 0 ან t - 5 = 0

t=0 ან t=5

ახლა გადავიდეთ მეორე განტოლებაზე. ისევ გვაქვს კვადრატული ტრინომიალი. დაჯგუფების მეთოდის გამოყენებით ფაქტორებად რომ გაერთიანდეს, თქვენ უნდა წარმოადგინოთ იგი 4 წევრის ჯამის სახით. თუ ჩანაცვლებას გააკეთებთ - 5t = - 2t - 3t, მაშინ შეგიძლიათ კიდევ დააჯგუფოთ ტერმინები:

t 2 - 5t + 6 = 0

t 2 - 2t - 3t + 6 = 0

t(t - 2) - 3 (t - 2) = 0

(t - 3) (t - 2) = 0

T - 3 = 0 ან t - 2 = 0

t=3 ან t=2

შედეგად, ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ თავდაპირველ განტოლებას აქვს 4 ფესვი.

მრავალწევრების ფაქტორებისთვის გამოვიყენეთ ბრეკეტინგის, დაჯგუფების და შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. ზოგჯერ შესაძლებელია პოლინომის ფაქტორირება ზედიზედ რამდენიმე მეთოდის გამოყენებით. ამ შემთხვევაში ტრანსფორმაცია უნდა დაიწყოს, თუ ეს შესაძლებელია, საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღებით.

მაგალითი 1.გავამრავლოთ მრავალწევრი 10a 3 - 40a.

გამოსავალი:ამ მრავალწევრის ტერმინებს აქვთ საერთო კოეფიციენტი 10a. ავიღოთ ეს ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

10a 3 - 40a = 10a (a 2 - 4).

ფაქტორიზაცია შეიძლება გაგრძელდეს კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით a 2 - 4 გამოსახულებაში. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ უფრო დაბალი ხარისხის მრავალწევრებს, როგორც ფაქტორებს.

10a(a 2 - 4) = 10a(a + 2)(a - 2).

10a 3 - 40a = 10a(a + 2) (a - 2).

მაგალითი 2.გავამრავლოთ მრავალწევრი

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - 3b 2 y.

გამოსავალი:პირველი, ავიღოთ საერთო ფაქტორი b2 ფრჩხილებიდან:

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - 3b 2 y = b 2 (ab - 3b + ay - 3y).

ახლა ვცადოთ მრავალწევრის ფაქტორირება

ab - 3b + ау - 3у.

პირველი წევრის დაჯგუფება მეორესთან და მესამე მეოთხესთან გვაქვს

ab - 3b + ay - 3 = b(a - 3) + y (a - 3) = (a - 3) (b + y).

ბოლოს მივიღებთ

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - 3b 2 y = b 2 (a - 3) (b + y).

მაგალითი 3.გავამრავლოთ მრავალწევრი a 2 - 4ax - 9 + 4x 2.

გამოსავალი:დავაჯგუფოთ მრავალწევრის პირველი, მეორე და მეოთხე წევრი. ვიღებთ ტრინომს a 2 - 4ax + 4x 2, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სხვაობის კვადრატი. ამიტომაც

a 2 - 4ax - 9 + 4x 2 = (a 2 - 4ax + 4x 2) - 9 = (a - 2x) 2 - 9.

შედეგად მიღებული გამოხატულება შეიძლება ფაქტორიზირებული იყოს კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით:

(a - 2x) 2 - 9 = (a - 2x) 2 - 3 2 = (a - 2x - 3)(a - 2x + 3).

აქედან გამომდინარე,

a 2 - 4ax - 9 + 4x 2 = (a - 2x - 3)(a - 2x + 3).

გაითვალისწინეთ, რომ პოლინომის ფაქტორირებისას ვგულისხმობთ მის წარმოდგენას რამდენიმე მრავალწევრის ნამრავლად, რომლებშიც მინიმუმ ორი ფაქტორი არის არანულოვანი ხარისხის პოლინომები (ანუ ისინი არ არიან რიცხვები).

ყველა მრავალწევრის ფაქტორიზაცია არ შეიძლება. მაგალითად, შეუძლებელია მრავლობითი x 2 + 1, 4x 2 - 2x + 1 და ა.შ.

მოდით შევხედოთ ფაქტორიზაციის გამოყენების მაგალითს კალკულატორის გამოყენებით გამოთვლების გასამარტივებლად.

მაგალითი 4.კალკულატორის გამოყენებით ვპოულობთ მრავალწევრის მნიშვნელობას bx 3 + 2x 2 - 7x + 4 x = 1.2-ზე.

გამოსავალი:თუ მოქმედებებს ასრულებთ მიღებული თანმიმდევრობით, ჯერ უნდა იპოვოთ x 3 5, x 2 2 და 7x გამონათქვამების მნიშვნელობები, დაწეროთ შედეგები ქაღალდზე ან შეიყვანოთ ისინი კალკულატორის მეხსიერებაში და შემდეგ გააგრძელოთ შეკრების და გამოკლების მოქმედებები. თუმცა, სასურველი შედეგის მიღება ბევრად უფრო მარტივად შეიძლება, თუ ამ მრავალწევრს შემდეგნაირად გარდაქმნით:

bx 3 + 2x 2 - 7x + 4 = (5x 2 + 2x - 7)x + 4 = ((5x + 2)x - 7)x + 4.

x = 1.2-ის გამოთვლების შესრულების შემდეგ აღმოვაჩენთ, რომ მრავალწევრის მნიშვნელობა არის 7.12.

სავარჯიშოები

ტესტის კითხვები და დავალებები

მიეცით მთელი და არამთლიანი გამოხატვის მაგალითი.
რა მოქმედებები უნდა შესრულდეს და რა თანმიმდევრობით წარმოვიდგინოთ მთელი რიცხვი გამოსახულება 4x (3 - x) 2 + (x 2 - 4)(x + 4) მრავალწევრად?
მრავალწევრების ფაქტორინგის რა მეთოდები იცით?

გაკვეთილის მიზანი:  მრავალწევრის ფაქტორირების უნარ-ჩვევების გამომუშავება სხვადასხვა გზით;  გამოუმუშავეთ სიზუსტე, შეუპოვრობა, შრომისმოყვარეობა და წყვილებში მუშაობის უნარი. აღჭურვილობა: მულტიმედიური პროექტორი, კომპიუტერი, სასწავლო მასალა. გაკვეთილის გეგმა: 1. ორგანიზაციული მომენტი; 2. საშინაო დავალების შემოწმება; 3. ზეპირი სამუშაო; 4. ახალი მასალის შესწავლა; 5. ფიზიკური აღზრდის სესია; 6. შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია; 7. მუშაობა წყვილებში; 8. საშინაო დავალება; 9. შეჯამება. გაკვეთილის მიმდინარეობა: 1. ორგანიზაციული მომენტი. მოსწავლეების ფოკუსირება გაკვეთილზე. განათლება არ შედგება ცოდნის რაოდენობაში, არამედ იმ ყველაფრის სრულ გაგებაში და ოსტატურად გამოყენებაში, რაც იცით.

(გეორგ ჰეგელი) 2. საშინაო დავალების შემოწმება. ამოცანების ანალიზი, რომლის ამოხსნაც მოსწავლეებს უჭირდათ. 3. ზეპირი სამუშაო.  ფაქტორიზირება: 1) 2) 3) ; 4).  შეუთავსეთ გამოთქმები მარცხენა და მარჯვენა სვეტებში: ა. 1. ბ. 2. გ. 3. დ 4. დ.  ამოხსენით განტოლებები: 1. 2. 3. 4. ახალი მასალის შესწავლა. მრავალწევრების ფაქტორებისთვის გამოვიყენეთ ბრეკეტინგი, დაჯგუფება და შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. ზოგჯერ შესაძლებელია პოლინომის ფაქტორირება ზედიზედ რამდენიმე მეთოდის გამოყენებით. ტრანსფორმაცია უნდა დაიწყოს, თუ ეს შესაძლებელია, საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღებით. ასეთი მაგალითების წარმატებით გადაჭრისთვის, დღეს შევეცდებით შევიმუშაოთ გეგმა მათი თანმიმდევრული გამოყენებისთვის.

150000₽ საპრიზო ფონდი 11 საპატიო დოკუმენტი მედიაში გამოქვეყნების სერთიფიკატი სექციები:

მათემატიკა

გაკვეთილის ტიპი:
მიწოდების მეთოდის მიხედვით - სახელოსნო გაკვეთილი;

დიდაქტიკური მიზნებისათვის - გაკვეთილი ცოდნისა და უნარების გამოყენების შესახებ.სამიზნე:

მრავალწევრის ფაქტორირების უნარის განვითარება.

ამოცანები:ცოდნის სისტემატიზაცია, გაფართოება და გაღრმავება, მოსწავლის უნარები, გამოიყენეთ მრავალწევრის ფაქტორინგის სხვადასხვა მეთოდი. კომბინაციის გზით პოლინომიური ფაქტორიზაციის გამოყენების უნარის გამომუშავება სხვადასხვა ტექნიკა. ცოდნის და უნარების დანერგვა თემაზე: „პოლინომის ფაქტორირება“ ამოცანების შესასრულებლად როგორც საბაზისო დონეზე, ასევე გაზრდილი სირთულის ამოცანების შესასრულებლად.
განმავითარებელიგონებრივი აქტივობის განვითარება სხვადასხვა სახის პრობლემების გადაჭრის გზით, ისწავლოს გადაჭრის ყველაზე რაციონალური მეთოდების პოვნა და ანალიზი, ხელი შეუწყოს შესწავლილი ფაქტების განზოგადების უნარის ჩამოყალიბებას, აზრების მკაფიოდ და ნათლად გამოხატვას.
საგანმანათლებლო: განუვითარდებათ დამოუკიდებელი და გუნდური მუშაობის უნარები, თვითკონტროლის უნარები.

მუშაობის მეთოდები:

ვერბალური;
ვიზუალური;
პრაქტიკული.

საგაკვეთილო აღჭურვილობა:ინტერაქტიული დაფა ან ოვერჰედის პროექტორი, ცხრილები შემოკლებული გამრავლების ფორმულებით, ინსტრუქციები, ინსტრუქციები ჯგუფებში მუშაობისთვის.

გაკვეთილის სტრუქტურა:

ორგანიზაციული მომენტი. 1 წუთი
პრაქტიკული გაკვეთილის თემის, მიზნისა და ამოცანების ჩამოყალიბება. 2 წუთი
საშინაო დავალების შემოწმება. 4 წუთი
მოსწავლეთა საბაზისო ცოდნისა და უნარების განახლება.
12 წუთი
ფიზიკური აღზრდის წუთი. 2 წუთი
ინსტრუქცია სემინარის ამოცანების შესრულების შესახებ. 2 წუთი
დავალებების შესრულება ჯგუფებში. 15 წუთი
დავალებების შემოწმება და განხილვა.
სამუშაოს ანალიზი. 3 წუთი

საშინაო დავალების დაყენება. 1 წუთი

სამუშაო ადგილების დაჯავშნა. 3 წუთი

გაკვეთილის პროგრესი

1. საორგანიზაციო მომენტი

მასწავლებელი ამოწმებს კლასისა და მოსწავლეების მზადყოფნას გაკვეთილისთვის.
2. სემინარის გაკვეთილის თემის, მიზნისა და ამოცანების ჩამოყალიბება შეტყობინება ბოლო გაკვეთილის შესახებ თემაზე.მოტივაცია
საგანმანათლებლო საქმიანობა

სტუდენტები.

გაკვეთილის მიზნის ჩამოყალიბება და ამოცანების დასახვა (მოსწავლეებთან ერთად).

3. საშინაო დავალების შემოწმება

დაფაზე მოცემულია No943 საშინაო დავალების ამოხსნის მაგალითები (ა, გ); No945 (გ, დ). ნიმუშები დაამზადეს კლასის მოსწავლეებმა. (მოსწავლეთა ეს ჯგუფი გამოვლინდა წინა გაკვეთილზე; მათ გადაწყვეტილება შესვენებაზე დააფიქსირეს). სტუდენტები ემზადებიან გადაწყვეტილებების „დასაცავად“.

მასწავლებელი:

ამოწმებს საშინაო დავალების არსებობას მოსწავლეთა რვეულებში.

იწვევს კლასის მოსწავლეებს უპასუხონ კითხვას: „რა სირთულეები გამოიწვია დავალების შესრულებამ?“

გთავაზობთ თქვენი გადაწყვეტის შემოწმებას დაფაზე არსებული ხსნარით.

იწვევს სტუდენტებს დაფაზე, უპასუხონ კითხვებს, რომლებიც მოსწავლეებს აქვთ ადგილზე ნიმუშების გამოყენებით შემოწმებისას.

კომენტარს აკეთებს მოსწავლეთა პასუხებზე, ავსებს პასუხებს და აზუსტებს (საჭიროების შემთხვევაში).

აჯამებს საშინაო დავალების შესრულებას. სტუდენტები:მასწავლებელს.

უცვლიან რვეულებს (წყვილებში) და ამოწმებენ ერთმანეთს.

უპასუხეთ მასწავლებლის კითხვებს.

შეამოწმეთ თქვენი ხსნარი ნიმუშებით.

ისინი მოქმედებენ როგორც მოწინააღმდეგეები, აკეთებენ დამატებებს, შესწორებებს, წერენ სხვა მეთოდს, თუ ბლოკნოტში ამოხსნის მეთოდი განსხვავდება დაფაზე არსებული მეთოდისგან.

სთხოვეთ მოსწავლეებს და მასწავლებელს საჭირო ახსნა-განმარტებები.

იპოვნეთ მიღებული შედეგების გადამოწმების გზები.

საბჭოში შესრულებული დავალებების ხარისხის შეფასებაში მონაწილეობა.

4. მოსწავლეთა საბაზისო ცოდნისა და უნარების განახლება

1. ზეპირი სამუშაო

3. საშინაო დავალების შემოწმება

უპასუხეთ კითხვებს:

რას ნიშნავს მრავალწევრის ფაქტორირება?
დაშლის რამდენი მეთოდი იცით?
რას ეძახიან?
რომელია ყველაზე გავრცელებული?

2. დაფაზე იწერება მრავალწევრები:

1. 14x 3 – 14x 5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2хy – y 2

4. x 3 - 3x - 2

მასწავლებელიიწვევს მოსწავლეებს მრავლობითი მრავალწევრების No1-3:

I ვარიანტი – საერთო ფაქტორის გამოყენებით;
ვარიანტი II – შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით;
ვარიანტი III - დაჯგუფების მეთოდით.

ერთ მოსწავლეს ევალება მრავლობითი პოლინომი No4 (გაზრდილი სირთულის ინდივიდუალური დავალება, დავალება შესრულებულია ფორმატში A 4). შემდეგ დაფაზე ჩნდება No1-3 ამოცანების ამოხსნის ნიმუში (შესრულებულია მასწავლებლის მიერ), მე-4 ამოცანის ამოხსნის ნიმუში (მოსწავლის მიერ შესრულებული).

3. გაათბეთ

მასწავლებელი აძლევს ინსტრუქციას, დაადგინოს და შეარჩიოს სწორ პასუხთან ასოცირებული ასო. ასოების დამატებით მიიღებთ მე-17 საუკუნის უდიდესი მათემატიკოსის სახელს, რომელმაც უდიდესი წვლილი შეიტანა განტოლებების ამოხსნის თეორიის განვითარებაში. (დეკარტი)

5. ფიზიკური აღზრდის წუთები მოსწავლეებს კითხულობენ განცხადებებს. თუ განცხადება მართალია, მაშინ მოსწავლეებმა უნდა ასწიონ ხელები მაღლა, ხოლო თუ ის მცდარია, მაშინ დასხდნენ მერხებთან. (დანართი 2)

6. ინსტრუქცია სახელოსნოს ამოცანების შესრულების შესახებ.

ჩართულია ინტერაქტიული დაფაან ცალკე პლაკატი ცხრილით ინსტრუქციებით.

პოლინომის ფაქტორირებისას უნდა დაიცვან შემდეგი თანმიმდევრობა:

1. საერთო ფაქტორის ამოღება ფრჩხილებიდან (ასეთის არსებობის შემთხვევაში);

2. გამოიყენოს შემოკლებული გამრავლების ფორმულები (თუ შესაძლებელია);

3. გამოიყენოს დაჯგუფების მეთოდი;

4. შეამოწმეთ გამრავლებით მიღებული შედეგი.

მასწავლებელი:

წარუდგენს ინსტრუქციებს მოსწავლეებს (ფოკუსირებულია მე-4 საფეხურზე).

გთავაზობთ სემინარების დავალებების ჯგუფურად შესრულებას.

ანაწილებს სამუშაო ფურცლებს ჯგუფებში, ფურცლებს ნახშირბადის ქაღალდზე რვეულებში დავალებების შესასრულებლად და მათი შემდგომი შემოწმებისთვის.

ადგენს დროს ჯგუფურად მუშაობისა და რვეულებში მუშაობისთვის.

სტუდენტები:

წაიკითხეთ ინსტრუქციები.

მასწავლებლები ყურადღებით უსმენენ.

სხედან ჯგუფებად (4-5 კაცი).

ემზადება პრაქტიკული სამუშაოსთვის.

7. დავალებების ჯგუფურად შესრულება

სამუშაო ფურცლები ჯგუფებისთვის დავალებებით. (დანართი 3)

მასწავლებელი:

მართავს დამოუკიდებელი მუშაობაჯგუფებში.

აფასებს სტუდენტების დამოუკიდებლად მუშაობის უნარს, ჯგუფში მუშაობის უნარს და სამუშაო ფურცლის დიზაინის ხარისხს.

სტუდენტები:

დაასრულეთ დავალებები სამუშაო წიგნში შეტანილ ნახშირბადის ფურცლებზე.

განიხილეთ რაციონალური გადაწყვეტილებების მიღების გზები.

მოამზადეთ სამუშაო ფურცელი ჯგუფიდან.

მოემზადეთ დასრულებული სამუშაოს დასაცავად.

8. დავალების შესრულების შემოწმება და განხილვა

პასუხები ინტერაქტიულ დაფაზე.

მასწავლებელი:

აგროვებს გადაწყვეტილებების ასლებს.

მართავს მოსწავლეთა მოხსენებას სამუშაო ფურცლებზე.

გთავაზობთ თქვენი სამუშაოს თვითშეფასებას, პასუხების შედარებას რვეულებიდან, სამუშაო ფურცლებიდან და ნიმუშებიდან დაფაზე.

მახსენებს სამუშაოსთვის ნიშნის მინიჭების და მის განხორციელებაში მონაწილეობის კრიტერიუმებს.

იძლევა განმარტებას წარმოშობილი გადაწყვეტილების ან თვითშეფასების საკითხებზე.

აჯამებს პრაქტიკული მუშაობისა და რეფლექსიის პირველ შედეგებს.

აჯამებს (მოსწავლეებთან ერთად) გაკვეთილს.

მასში ნათქვამია, რომ საბოლოო შედეგები შეჯამდება სტუდენტების მიერ შესრულებული სამუშაოს ასლების შემოწმების შემდეგ.

სტუდენტები:

გადაეცით მასწავლებელს ასლები.

დაფაზე მიმაგრებულია სამუშაო ფურცლები.

მოხსენება სამუშაოს დასრულების შესახებ.

განახორციელოს სამუშაოს შესრულების თვითშემოწმება და თვითშეფასება.

9. საშინაო დავალების დადგენა

დაფაზე საშინაო დავალება იწერება: No1016 (ა, ბ); 1017 (c,d); No 1021 (g,d,f)*

მასწავლებელი:

გთავაზობთ სახლისთვის დავალების სავალდებულო ნაწილის ჩაწერას.

კომენტარს აკეთებს მის განხორციელებაზე.

იწვევს უფრო მომზადებულ მოსწავლეებს ჩაწერონ No1021 (გ, ე, ვ) *.

გეუბნებათ, რომ მოემზადოთ შემდეგი მიმოხილვის გაკვეთილისთვის

მათემატიკა

გაკვეთილის ტიპი:
მიწოდების მეთოდის მიხედვით - სახელოსნო გაკვეთილი;

მრავალწევრის ფაქტორირების უნარის განვითარება.

ამოცანები:: მოსწავლეთა ცოდნისა და უნარების სისტემატიზაცია, გაფართოება და გაღრმავება, მრავალწევრის ფაქტორინგის სხვადასხვა მეთოდის გამოყენება. მრავალწევრის ფაქტორიზაციის გამოყენების უნარის გამომუშავება სხვადასხვა ტექნიკის კომბინაციით. ცოდნის და უნარების დანერგვა თემაზე: „პოლინომის ფაქტორირება“ ამოცანების შესასრულებლად როგორც საბაზისო დონეზე, ასევე გაზრდილი სირთულის ამოცანების შესასრულებლად.
განმავითარებელიგონებრივი აქტივობის განვითარება სხვადასხვა სახის პრობლემების გადაჭრის გზით, ისწავლოს გადაჭრის ყველაზე რაციონალური მეთოდების პოვნა და ანალიზი, ხელი შეუწყოს შესწავლილი ფაქტების განზოგადების უნარის ჩამოყალიბებას, აზრების მკაფიოდ და ნათლად გამოხატვას.
საგანმანათლებლო: განუვითარდებათ დამოუკიდებელი და გუნდური მუშაობის უნარები, თვითკონტროლის უნარები.

მუშაობის მეთოდები:

ვერბალური;
ვიზუალური;
პრაქტიკული.

გაკვეთილის სტრუქტურა:

ორგანიზაციული მომენტი. 1 წუთი
პრაქტიკული გაკვეთილის თემის, მიზნისა და ამოცანების ჩამოყალიბება. 2 წუთი
საშინაო დავალების შემოწმება. 4 წუთი
მოსწავლეთა საბაზისო ცოდნისა და უნარების განახლება.
12 წუთი
ფიზიკური აღზრდის წუთი. 2 წუთი
ინსტრუქცია სემინარის ამოცანების შესრულების შესახებ. 2 წუთი
დავალებების შესრულება ჯგუფებში. 15 წუთი
დავალებების შემოწმება და განხილვა.
სამუშაოს ანალიზი. 3 წუთი

საშინაო დავალების დაყენება. 1 წუთი

სამუშაო ადგილების დაჯავშნა. 3 წუთი

გაკვეთილის პროგრესი

1. საორგანიზაციო მომენტი

მასწავლებელი ამოწმებს კლასისა და მოსწავლეების მზადყოფნას გაკვეთილისთვის.
მოსწავლეთა სასწავლო აქტივობების მოტივაცია.
საგანმანათლებლო საქმიანობა

სტუდენტები.

3. საშინაო დავალების შემოწმება

მასწავლებელი:

ამოწმებს საშინაო დავალების არსებობას მოსწავლეთა რვეულებში.

გთავაზობთ თქვენი გადაწყვეტის შემოწმებას დაფაზე არსებული ხსნარით.

საშინაო დავალება წარუდგინეთ მასწავლებელს.

უცვლიან რვეულებს (წყვილებში) და ამოწმებენ ერთმანეთს.

უპასუხეთ მასწავლებლის კითხვებს.

შეამოწმეთ თქვენი ხსნარი ნიმუშებით.

სთხოვეთ მოსწავლეებს და მასწავლებელს საჭირო ახსნა-განმარტებები.

იპოვნეთ მიღებული შედეგების გადამოწმების გზები.

საბჭოში შესრულებული დავალებების ხარისხის შეფასებაში მონაწილეობა.

4. მოსწავლეთა საბაზისო ცოდნისა და უნარების განახლება

1. ზეპირი სამუშაო

3. საშინაო დავალების შემოწმება

უპასუხეთ კითხვებს:

რას ნიშნავს მრავალწევრის ფაქტორირება?
დაშლის რამდენი მეთოდი იცით?
რას ეძახიან?
რომელია ყველაზე გავრცელებული?

2. დაფაზე იწერება მრავალწევრები:

1. 14x 3 – 14x 5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2хy – y 2

4. x 3 - 3x - 2

მასწავლებელიიწვევს მოსწავლეებს მრავლობითი მრავალწევრების No1-3:

I ვარიანტი – საერთო ფაქტორის გამოყენებით;
ვარიანტი II – შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით;
ვარიანტი III - დაჯგუფების მეთოდით.

3. გაათბეთ

6. ინსტრუქცია სახელოსნოს ამოცანების შესრულების შესახებ.

ინტერაქტიულ დაფაზე ან ცალკე პოსტერზე არის ცხრილი ინსტრუქციებით.

პოლინომის ფაქტორირებისას უნდა დაიცვან შემდეგი თანმიმდევრობა:

1. საერთო ფაქტორის ამოღება ფრჩხილებიდან (ასეთის არსებობის შემთხვევაში);

2. გამოიყენოს შემოკლებული გამრავლების ფორმულები (თუ შესაძლებელია);

3. გამოიყენოს დაჯგუფების მეთოდი;

4. შეამოწმეთ გამრავლებით მიღებული შედეგი.

მასწავლებელი:

წარუდგენს ინსტრუქციებს მოსწავლეებს (ფოკუსირებულია მე-4 საფეხურზე).

გთავაზობთ სემინარების დავალებების ჯგუფურად შესრულებას.

ადგენს დროს ჯგუფურად მუშაობისა და რვეულებში მუშაობისთვის.

სტუდენტები:

წაიკითხეთ ინსტრუქციები.

მასწავლებლები ყურადღებით უსმენენ.

სხედან ჯგუფებად (4-5 კაცი).

ემზადება პრაქტიკული სამუშაოსთვის.

7. დავალებების ჯგუფურად შესრულება

სამუშაო ფურცლები ჯგუფებისთვის დავალებებით. (დანართი 3)

მასწავლებელი:

წარმართავს დამოუკიდებელ მუშაობას ჯგუფებში.

სტუდენტები:

დაასრულეთ დავალებები სამუშაო წიგნში შეტანილ ნახშირბადის ფურცლებზე.

განიხილეთ რაციონალური გადაწყვეტილებების მიღების გზები.

მოამზადეთ სამუშაო ფურცელი ჯგუფიდან.

მოემზადეთ დასრულებული სამუშაოს დასაცავად.

8. დავალების შესრულების შემოწმება და განხილვა

პასუხები ინტერაქტიულ დაფაზე.

მასწავლებელი:

აგროვებს გადაწყვეტილებების ასლებს.

მართავს მოსწავლეთა მოხსენებას სამუშაო ფურცლებზე.

აჯამებს პრაქტიკული მუშაობისა და რეფლექსიის პირველ შედეგებს.

აჯამებს (მოსწავლეებთან ერთად) გაკვეთილს.

სტუდენტები:

გადაეცით მასწავლებელს ასლები.

დაფაზე მიმაგრებულია სამუშაო ფურცლები.

მოხსენება სამუშაოს დასრულების შესახებ.

განახორციელოს სამუშაოს შესრულების თვითშემოწმება და თვითშეფასება.

9. საშინაო დავალების დადგენა

დაფაზე საშინაო დავალება იწერება: No1016 (ა, ბ); 1017 (c,d); No 1021 (g,d,f)*

მასწავლებელი:

გთავაზობთ სახლისთვის დავალების სავალდებულო ნაწილის ჩაწერას.

კომენტარს აკეთებს მის განხორციელებაზე.

იწვევს უფრო მომზადებულ მოსწავლეებს ჩაწერონ No1021 (გ, ე, ვ) *.

გეუბნებათ, რომ მოემზადოთ შემდეგი მიმოხილვის გაკვეთილისთვის