ღირებულებების ნაკრების პოვნა. ფუნქციის დიაპაზონი (ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები)

ფუნქციის კონცეფცია და მასთან დაკავშირებული ყველაფერი ტრადიციულად რთულია და ბოლომდე გაგებული. სპეციალური დაბრკოლება ფუნქციის შესწავლისას და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადებისას არის ფუნქციის განსაზღვრის სფერო და მნიშვნელობების (ცვლილებების) დიაპაზონი.
ხშირად სტუდენტები ვერ ხედავენ განსხვავებას ფუნქციის დომენსა და მისი მნიშვნელობების დომენს შორის.
და თუ მოსწავლეები ახერხებენ დაეუფლონ ფუნქციის განსაზღვრის დომენის პოვნის ამოცანებს, მაშინ ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნის ამოცანები მათ მნიშვნელოვან სირთულეებს უქმნის.
ამ სტატიის მიზანი: გაეცნოთ ფუნქციის მნიშვნელობების პოვნის მეთოდებს.
ამ თემის განხილვის შედეგად შეისწავლეს თეორიული მასალა, განიხილეს ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლეების პოვნის ამოცანების გადაჭრის მეთოდები, დიდაქტიკური მასალაამისთვის დამოუკიდებელი მუშაობასტუდენტები.
ეს სტატია მასწავლებელს შეუძლია გამოიყენოს მოსწავლეთა დასკვნითი და მისაღები გამოცდებისთვის მოსამზადებლად, მათემატიკის არჩევით კლასებში თემის „ფუნქციის სფერო“ შესწავლისას.

I. ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონის განსაზღვრა.

y = f(x) ფუნქციის E(y) მნიშვნელობების დომენი (სიმრავლე) არის y 0 რიცხვების სიმრავლე, რომელთაგან თითოეულისთვის არის რიცხვი x 0 ისეთი, რომ: f(x 0) = y 0.

მოდით გავიხსენოთ ძირითადი მნიშვნელობების დიაპაზონი ელემენტარული ფუნქციები.

მოდით შევხედოთ მაგიდას.

ფუნქცია	მრავალი მნიშვნელობა
y = kx+ b	E(y) = (-∞;+∞)
y = x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1;1]
y = tan x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin x	E(y) = [-π/2;
π/2]	y = arcos x
E(y) =	y = არქტანი x
E(y) = (-π/2; π/2)	y = arcctg x

E(y) = (0; π)

ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ლუწი ხარისხის ნებისმიერი მრავალწევრის მნიშვნელობის დიაპაზონი არის ინტერვალი , სადაც n არის ამ მრავალწევრის უდიდესი მნიშვნელობა.

II. ფუნქციების თვისებები, რომლებიც გამოიყენება ფუნქციის დიაპაზონის პოვნისას

თვისებები 2 და 3, როგორც წესი, გამოიყენება ელემენტარული ფუნქციის თვისებასთან ერთად, რომ იყოს უწყვეტი მისი განმარტების სფეროში. ამ შემთხვევაში, ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნის პრობლემის უმარტივესი და ყველაზე ლაკონური გადაწყვეტა მიიღწევა თვისება 1-ზე დაყრდნობით, თუ შესაძლებელია მარტივი მეთოდების გამოყენებით ფუნქციის ერთფეროვნების დადგენა. პრობლემის გადაწყვეტა კიდევ უფრო მარტივია, თუ ფუნქცია, გარდა ამისა, არის ლუწი ან კენტი, პერიოდული და ა.შ. ამრიგად, ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნის პრობლემების გადაჭრისას, საჭიროებისამებრ, უნდა შეამოწმოთ და გამოიყენოთ ფუნქციის შემდეგი თვისებები:

• უწყვეტობა;
• ერთფეროვანი;
• დიფერენცირებადობა;
• ლუწი, კენტი, პერიოდულობა და ა.შ.

მარტივი ამოცანები ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრების მოსაძებნად ძირითადად ორიენტირებულია:

ა) უმარტივესი შეფასებებისა და შეზღუდვების გამოყენება: (2 x >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 და ა.შ.);

ბ) სრული კვადრატის გამოყოფა: x 2 – 4x + 7 = (x – 2) 2 + 3;

გ) ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გარდაქმნა: 2sin 2 x – 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

დ) ფუნქციის ერთფეროვნების გამოყენებით x 1/3 + 2 x-1 იზრდება R-ით.

III. მოდით განვიხილოთ ფუნქციების დიაპაზონის პოვნის გზები.

ა) რთული ფუნქციის არგუმენტების მნიშვნელობების თანმიმდევრული პოვნა;
ბ) შეფასების მეთოდი;
გ) ფუნქციის უწყვეტობისა და ერთფეროვნების თვისებების გამოყენება;
დ) წარმოებულის გამოყენება;
ე) ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების გამოყენება;
ვ) გრაფიკული მეთოდი;
ზ) პარამეტრის შეყვანის მეთოდი;
თ) შებრუნებული ფუნქციის მეთოდი.

მოდით გამოვავლინოთ ამ მეთოდების არსი კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.

მაგალითი 1: იპოვნეთ დიაპაზონი E(y)ფუნქციები y = log 0.5 (4 – 2 3 x – 9 x).

მოდით გადავჭრათ ეს მაგალითი რთული ფუნქციის არგუმენტების თანმიმდევრული მოძიებით. ლოგარითმის ქვეშ სრულყოფილი კვადრატის არჩევით, ჩვენ გარდაქმნით ფუნქციას

y = ჟურნალი 0,5 (5 – (1 + 2 3 x – 3 2x)) = ჟურნალი 0,5 (5 – (3 x + 1) 2)

და ჩვენ თანმიმდევრულად ვიპოვით მისი რთული არგუმენტების მნიშვნელობების კომპლექტს:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

აღვნიშნოთ ტ= 5 – (3 x +1) 2, სადაც -∞≤ t≤4. ამრიგად, პრობლემა მცირდება სხივზე y = log 0,5 ტ ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნამდე. (-∞;4) . ვინაიდან ფუნქცია y = log 0,5 t განსაზღვრულია მხოლოდ, მისი მნიშვნელობების სიმრავლე სხივზე (-∞;4) ემთხვევა ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლეს ინტერვალზე (0;4), რომელიც არის კვეთა. სხივის (-∞;4) ლოგარითმული ფუნქციის განსაზღვრის დომენით (0;+∞). ინტერვალზე (0;4) ეს ფუნქცია არის უწყვეტი და კლებადი. ზე ტ> 0 მიდრეკილია +∞ და როდის t = 4 იღებს მნიშვნელობას -2, ასე რომ E(y) =(-2, +∞).

მაგალითი 2: იპოვეთ ფუნქციის დიაპაზონი

y = cos7x + 5cosx

მოდით გადავჭრათ ეს მაგალითი შეფასების მეთოდის გამოყენებით, რომლის არსი არის უწყვეტი ფუნქციის შეფასება ქვემოდან და ზემოდან და დავამტკიცოთ, რომ ფუნქცია აღწევს შეფასებების ქვედა და ზედა საზღვრებს. ამ შემთხვევაში, ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის დამთხვევა შეფასების ქვედა ზღვრიდან ზედა ზღვრამდე ინტერვალთან განისაზღვრება ფუნქციის უწყვეტობით და მისთვის სხვა მნიშვნელობების არარსებობით.

-1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 უტოლობებიდან ვიღებთ შეფასებას -6≤y?6. x = p და x = 0, ფუნქცია იღებს -6 და 6 მნიშვნელობებს, ე.ი. აღწევს შეფასების ქვედა და ზედა საზღვრებს. როგორც cos7x და cosx უწყვეტი ფუნქციების წრფივი კომბინაცია, y ფუნქცია უწყვეტია მთელ რიცხვთა ღერძზე, ამიტომ უწყვეტი ფუნქციის თვისებით ის იღებს ყველა მნიშვნელობას -6-დან 6-ის ჩათვლით და მხოლოდ მათ, ვინაიდან -6≤y?6 უტოლობების გამო მისთვის სხვა მნიშვნელობები შეუძლებელია. აქედან გამომდინარე, E(y)= [-6;6].

მაგალითი 3: იპოვეთ დიაპაზონი E(f)ფუნქციები f(x)= cos2x + 2cosx.

ორმაგი კუთხის კოსინუსის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ გარდაქმნით ფუნქციას f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 და აღვნიშნავთ ტ=cosx. მაშინ f(x)= 2t 2 + 2t – 1. ვინაიდან E(cosx) =

[-1;1], შემდეგ ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი f(x)ემთხვევა g ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლეს (ტ)= 2t 2 + 2t – 1 სეგმენტზე [-1;1], რომელსაც გრაფიკულად ვპოულობთ. y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0.5) 2 – 1.5 ფუნქცია [-1;1] ინტერვალზე გამოსახულებით, ვპოულობთ E(f) = [-1,5; 3].

შენიშვნა: პარამეტრთან დაკავშირებული მრავალი პრობლემა მცირდება ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნამდე, ძირითადად დაკავშირებულია განტოლებათა და უტოლობათა ამონახსნების ამოხსნასთან და რაოდენობასთან. მაგალითად, განტოლება f(x)= a ამოსახსნელია თუ და მხოლოდ თუ

a E(f)ანალოგიურად, ეკვ. f(x)= a-ს აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი, რომელიც მდებარეობს X ინტერვალზე, ან არ აქვს ერთი ფესვი ამ ინტერვალზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ a ეკუთვნის ან არ ეკუთვნის ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლეს f(x) X ინტერვალზე. ასევე შესწავლილი ფუნქციის მნიშვნელობებისა და უტოლობების სიმრავლის გამოყენებით f(x)≠ A, f(x)>ა და ა.შ. კერძოდ, f(x)≠და ყველასთვის მისაღები ღირებულებები x თუ E(f)

მაგალითი 4. a პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის აქვს განტოლებას (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) ერთი ფესვი [-4;-1] ინტერვალზე.

დავწეროთ განტოლება (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. ბოლო განტოლებას აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი [-4;-1] ინტერვალზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ a ეკუთვნის ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლეს. f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) სეგმენტზე [-4;-1]. ვიპოვოთ ეს სიმრავლე ფუნქციის უწყვეტობის და ერთფეროვნების თვისების გამოყენებით.

[-4;-1] ინტერვალზე ფუნქცია y = xІ + 4 არის უწყვეტი, კლებადი და დადებითი, შესაბამისად ფუნქცია g(x) = 1/(x 2 + 4) არის უწყვეტი და იზრდება ამ სეგმენტზე, ვინაიდან დადებითი ფუნქციით დაყოფისას ფუნქციის ერთფეროვნების ბუნება იცვლება საპირისპიროდ. ფუნქცია h(x) =(x + 5) 1/2 არის უწყვეტი და იზრდება მისი განმარტების დომენში D(h) =[-5;+∞) და, კერძოდ, სეგმენტზე [-4;-1], სადაც ის, გარდა ამისა, დადებითია. შემდეგ ფუნქცია f(x)=g(x) h(x)როგორც ორი უწყვეტი, მზარდი და დადებითი ფუნქციის ნამრავლი, ასევე არის უწყვეტი და მზარდი [-4;-1] სეგმენტზე, ამიტომ მისი მნიშვნელობების ნაკრები [-4;-1]-ზე არის სეგმენტი [ f(-4); f(-1)] =. შესაბამისად, განტოლებას აქვს გამოსავალი [-4;-1] ინტერვალზე და უნიკალური (უწყვეტი მონოტონური ფუნქციის თვისებით), 0,05 ≤ a ≤ 0,4-ისთვის.

კომენტარი. განტოლების ამოხსნადობა f(x) = aგარკვეულ ინტერვალზე X უდრის პარამეტრის მნიშვნელობებს კუთვნილებას აფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები f(x) X-ზე. შესაბამისად, ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები f(x) X ინტერვალზე ემთხვევა პარამეტრის მნიშვნელობების სიმრავლეს ა, რისთვისაც განტოლება f(x) = aაქვს მინიმუმ ერთი ფესვი X ინტერვალზე. კერძოდ, მნიშვნელობების დიაპაზონი E(f)ფუნქციები f(x)შეესაბამება პარამეტრების მნიშვნელობების სიმრავლეს ა, რისთვისაც განტოლება f(x) = aაქვს მინიმუმ ერთი ფესვი.

მაგალითი 5: იპოვეთ დიაპაზონი E(f)ფუნქციები

მოდით გადავჭრათ მაგალითი პარამეტრის შემოღებით, რომლის მიხედვითაც E(f)შეესაბამება პარამეტრების მნიშვნელობების სიმრავლეს ა, რისთვისაც განტოლება

აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი.

როდესაც a = 2, განტოლება არის წრფივი - 4x - 5 = 0 არანულოვანი კოეფიციენტით უცნობი x-ისთვის, ამიტომ მას აქვს ამონახსნები. a≠2-სთვის განტოლება კვადრატულია, ამიტომ ის ამოსახსნელია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი დისკრიმინანტია

ვინაიდან წერტილი a = 2 ეკუთვნის სეგმენტს

შემდეგ პარამეტრის მნიშვნელობების სასურველი ნაკრები A,შესაბამისად, მნიშვნელობების დიაპაზონი E(f)იქნება მთელი სეგმენტი.

როგორც ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნისას პარამეტრის შემოღების მეთოდის უშუალო განვითარება, შეგვიძლია განვიხილოთ შებრუნებული ფუნქციის მეთოდი, რომლის საპოვნელადაც საჭიროა x-ის განტოლების ამოხსნა. f(x)=y, მიგვაჩნია y პარამეტრად. თუ ამ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი x =g(y), შემდეგ მნიშვნელობების დიაპაზონი E(f)ორიგინალური ფუნქცია f(x)ემთხვევა განმარტების სფეროს D(g)შებრუნებული ფუნქცია g(y). თუ განტოლება f(x)=yაქვს რამდენიმე გამოსავალი x =g 1 (y), x =g 2 (y)და ა.შ., მაშინ E(f)უდრის ფუნქციის დომენების გაერთიანებას g 1 (y), g 2 (y)და ა.შ.

მაგალითი 6: იპოვეთ დიაპაზონი E(y)ფუნქციები y = 5 2/(1-3x).

მდებარეობა Eq.

ვიპოვოთ შებრუნებული ფუნქცია x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) და მისი განმარტების დომენი D(x):

ვინაიდან x-ის განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნები, მაშინ

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

თუ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი შედგება რამდენიმე ინტერვალისგან ან ფუნქცია სხვადასხვა ინტერვალზე მოცემულია სხვადასხვა ფორმულებით, მაშინ ფუნქციის მნიშვნელობების დომენის საპოვნელად აუცილებელია ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნა. თითოეულ ინტერვალზე და აიღეთ მათი კავშირი.

მაგალითი 7: იპოვეთ დიაპაზონები f(x)და f(f(x)), სად

f(x)სხივზე (-∞;1], სადაც ის ემთხვევა გამოსახულებას 4 x + 9 4 -x + 3. აღვნიშნოთ t = 4x. მაშინ f(x) = t + 9/t + 3, სადაც 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x)სხივზე (-∞;1] ემთხვევა ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლეს გ(ტ) = t + 9/t + 3, ინტერვალზე (0;4], რომელსაც ვპოულობთ წარმოებულის გამოყენებით g’(t) = 1 – 9/t 2. ინტერვალზე (0;4] წარმოებული g'(t)განისაზღვრება და ქრება იქ t = 3. 0-ზე<ტ<3 она отрицательна, а при 3<ტ<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция გ(ტ)მცირდება და (3;4) ინტერვალში იზრდება, რჩება უწყვეტი მთელი ინტერვალის განმავლობაში (0;4), ასე რომ გ. (3)= 9 – ამ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალზე (0;4], ხოლო მისი უდიდესი მნიშვნელობა არ არსებობს, ასე რომ, როდესაც t→0ფუნქცია მარჯვნივ g(t)→+∞.შემდეგ, უწყვეტი ფუნქციის თვისებით, ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები გ(ტ)ინტერვალზე (0;4] და შესაბამისად მნიშვნელობების ნაკრები f(x)(-∞;-1]-ზე, იქნება სხივი.

ახლა, ინტერვალების გაერთიანება - ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე f(f(x)), აღნიშნეთ t = f(x). მაშინ f(f(x)) = f(t), სადაც მითითებული ტფუნქცია f(t)= 2 cos( x-1) 1/2+ 7 და ის კვლავ იღებს ყველა მნიშვნელობას 5-დან 9-ის ჩათვლით, ე.ი. დიაპაზონი E(fІ) = E(f(f(x))) =.

ანალოგიურად, აღნიშნავს z = f(f(x)), შეგიძლიათ იპოვოთ მნიშვნელობების დიაპაზონი E(f 3)ფუნქციები f(f(f(x))) = f(z), სადაც 5 ≤ z ≤ 9 და ა.შ. დარწმუნდით E(f 3) = .

ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრების პოვნის ყველაზე უნივერსალური მეთოდი არის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების გამოყენება მოცემულ ინტერვალზე.

მაგალითი 8. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე რუტოლობა 8 x - р ≠ 2 x+1 – 2 xმოქმედებს ყველასთვის -1 ≤ x< 2.

დანიშნულმა t = 2 x, უტოლობას ვწერთ ფორმაში р ≠ t 3 – 2t 2 + t. იმიტომ რომ t = 2 x- უწყვეტი გაზრდის ფუნქცია ჩართულია R,შემდეგ -1 ≤ x-ისთვის< 2 переменная

2 -1 ≤ ტ<2 2 ↔

0,5 ≤ ტ< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда რგანსხვავდება ფუნქციის მნიშვნელობებისგან f (t) = t 3 – 2t 2 + t 0,5 ≤ ტ-ზე< 4.

ჯერ ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები f(t)სეგმენტზე, სადაც მას ყველგან აქვს წარმოებული f’(t) =3t 2 – 4t + 1. აქედან გამომდინარე, f(t)არის დიფერენცირებადი და, შესაბამისად, უწყვეტი ინტერვალზე. მდებარეობა Eq. f'(t) = 0იპოვნეთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები t = 1/3, t = 1,რომელთაგან პირველი არ ეკუთვნის სეგმენტს და მეორე ეკუთვნის მას. იმიტომ რომ f(0.5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36,მაშინ დიფერენცირებადი ფუნქციის თვისების მიხედვით 0 არის ყველაზე პატარა, ხოლო 36 არის ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა f(t)სეგმენტზე. მაშინ f(t),როგორც უწყვეტი ფუნქცია, ის იღებს ინტერვალში ყველა მნიშვნელობას 0-დან 36-ის ჩათვლით, ხოლო მნიშვნელობა 36 იღებს მხოლოდ მაშინ, როდესაც t=4, შესაბამისად, 0,5 ≤ ტ< 4, она принимает все значения из промежутка . ვიპოვოთ ამ სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა.

წარმოებული ყველასთვის დადებითია xინტერვალიდან (-1; 1) ანუ, რკალის ფუნქცია იზრდება განმარტების მთელ დომენზე. ამიტომ, ის იღებს უმცირეს მნიშვნელობას, როდესაც x = -1და ყველაზე დიდი x = 1.

ჩვენ მივიღეთ რკალი ფუნქციის დიაპაზონი .

იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები სეგმენტზე .

გამოსავალი.

ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა მოცემულ სეგმენტზე.

მოდით განვსაზღვროთ სეგმენტის კუთვნილი უკიდურესი წერტილები :

ხშირად, როგორც პრობლემების გადაჭრის ნაწილი, ჩვენ გვიწევს ფუნქციის მრავალი მნიშვნელობის ძიება განმარტების დომენზე ან სეგმენტზე. მაგალითად, ეს უნდა გაკეთდეს სხვადასხვა ტიპის უტოლობების ამოხსნისას, გამონათქვამების შეფასებისას და ა.შ.

ამ მასალაში ჩვენ გეტყვით, თუ რა არის ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი, მივცემთ ძირითად მეთოდებს, რომლითაც შესაძლებელია მისი გამოთვლა და გავაანალიზებთ სხვადასხვა ხარისხის სირთულის პრობლემებს. სიცხადისთვის, ინდივიდუალური დებულებები ილუსტრირებულია გრაფიკებით. ამ სტატიის წაკითხვის შემდეგ, თქვენ მიიღებთ სრულყოფილ გაგებას ფუნქციის დიაპაზონის შესახებ.

დავიწყოთ ძირითადი განმარტებებით.

განმარტება 1

y = f (x) ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე გარკვეულ ინტერვალზე x არის ყველა მნიშვნელობის ნაკრები, რომელსაც ეს ფუნქცია იღებს ყველა x ∈ X მნიშვნელობებზე გამეორებისას.

განმარტება 2

y = f (x) ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი არის მისი ყველა მნიშვნელობის სიმრავლე, რომელიც მას შეუძლია მიიღოს x მნიშვნელობების ძიებისას x ∈ (f) დიაპაზონიდან.

გარკვეული ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი ჩვეულებრივ აღინიშნება E (f)-ით.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის კონცეფცია ყოველთვის არ არის მისი მნიშვნელობების დიაპაზონის იდენტური. ეს ცნებები ექვივალენტური იქნება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ x-ის მნიშვნელობების დიაპაზონი მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნისას ემთხვევა ფუნქციის განსაზღვრის სფეროს.

ასევე მნიშვნელოვანია განასხვავოთ მნიშვნელობების დიაპაზონი და ცვლადის x მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი მარჯვენა მხარეს y = f (x) გამოსახულებისთვის. დასაშვები x მნიშვნელობების დიაპაზონი f (x) გამოსახულებისთვის იქნება ამ ფუნქციის განსაზღვრის სფერო.

ქვემოთ მოცემულია ილუსტრაცია, რომელიც აჩვენებს რამდენიმე მაგალითს. ლურჯი ხაზები არის ფუნქციების გრაფიკები, წითელი ხაზები ასიმპტოტებია, წითელი წერტილები და ხაზები ორდინატთა ღერძზე არის ფუნქციის დიაპაზონი.

ცხადია, ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონის მიღება შესაძლებელია ფუნქციის გრაფიკის O y ღერძზე პროექციით. უფრო მეტიც, მას შეუძლია წარმოადგინოს ერთი რიცხვი ან რიცხვების ნაკრები, სეგმენტი, ინტერვალი, ღია სხივი, რიცხვითი ინტერვალების გაერთიანება და ა.შ.

მოდით გადავხედოთ ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონის პოვნის ძირითად გზებს.

დავიწყოთ y = f (x) უწყვეტი ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის განსაზღვრით გარკვეულ სეგმენტზე, რომელიც აღინიშნება [a; ბ ] . ჩვენ ვიცით, რომ ფუნქცია, რომელიც უწყვეტია გარკვეულ სეგმენტზე, აღწევს მის მინიმუმსა და მაქსიმუმს მასზე, ანუ უდიდეს m a x x ∈ a ; b f (x) და ყველაზე პატარა მნიშვნელობა m i n x ∈ a ; b f (x) . ეს ნიშნავს, რომ მივიღებთ სეგმენტს m i n x ∈ a ; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , რომელიც შეიცავს ორიგინალური ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლეს. შემდეგ ყველაფერი რაც უნდა გავაკეთოთ არის ამ სეგმენტზე მითითებული მინიმალური და მაქსიმალური ქულების პოვნა.

ავიღოთ პრობლემა, რომელშიც უნდა განვსაზღვროთ რკალის მნიშვნელობების დიაპაზონი.

მაგალითი 1

მდგომარეობა:იპოვეთ მნიშვნელობების დიაპაზონი y = a r c sin x.

გამოსავალი

ზოგად შემთხვევაში, რკალის განსაზღვრის დომენი მდებარეობს სეგმენტზე [-1; 1]. ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ მასზე მითითებული ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა.

y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2

ჩვენ ვიცით, რომ ფუნქციის წარმოებული დადებითი იქნება x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის, რომელიც მდებარეობს ინტერვალში [-1; 1 ], ანუ განმარტების მთელ დომენში, რკალის ფუნქცია გაიზრდება. ეს ნიშნავს, რომ ის მიიღებს უმცირეს მნიშვნელობას, როდესაც x უდრის - 1-ს, ხოლო ყველაზე დიდი მნიშვნელობა არის, როდესაც x უდრის 1-ს.

m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

ამრიგად, რკალის ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი ტოლი იქნება E (a r c sin x) = - π 2; π 2.

პასუხი: E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2

მაგალითი 2

მდგომარეობა:გამოთვალეთ მნიშვნელობების დიაპაზონი y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 მოცემულ ინტერვალზე [1; 4].

გამოსავალი

ჩვენ მხოლოდ უნდა გამოვთვალოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა მოცემულ ინტერვალში.

ექსტრემალური წერტილების დასადგენად, შემდეგი გამოთვლები უნდა გაკეთდეს:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 4 და 4 x 2 - 12 = 0 D = - 15 2 - 4 · 12 = 33 x 2 = 15 - 33; = 15 + 33 8 ≈ 2 .

ახლა ვიპოვოთ მოცემული ფუნქციის მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში და წერტილებში x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 ≈ 512 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 წ (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები განისაზღვრება სეგმენტით 117 - 165 33 512; 32.

პასუხი: 117 - 165 33 512 ; 32 .

მოდით გადავიდეთ უწყვეტი ფუნქციის y = f (x) მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნაზე (a ; b) და a ; + ∞ , - ∞ ; ბ , - ∞ ; + ∞ .

დავიწყოთ უმსხვილესი და უმცირესი წერტილების, აგრეთვე მოცემულ ინტერვალზე გაზრდისა და კლების ინტერვალების განსაზღვრით. ამის შემდეგ დაგვჭირდება ცალმხრივი ლიმიტების გამოთვლა ინტერვალის ბოლოებში და/ან ლიმიტები უსასრულობაში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ ფუნქციის ქცევა მოცემულ პირობებში. ჩვენ გვაქვს ამისთვის ყველა საჭირო მონაცემი.

მაგალითი 3

მდგომარეობა:გამოთვალეთ y = 1 x 2 - 4 ფუნქციის დიაპაზონი ინტერვალზე (- 2 ; 2) .

გამოსავალი

განსაზღვრეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა მოცემულ სეგმენტზე

y " = 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

მივიღეთ მაქსიმალური მნიშვნელობა 0-ის ტოლი, ვინაიდან სწორედ ამ დროს იცვლება ფუნქციის ნიშანი და გრაფიკი იწყებს კლებას. იხილეთ ილუსტრაცია:

ანუ, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 იქნება ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა.

ახლა მოდით განვსაზღვროთ ფუნქციის ქცევა x-ისთვის, რომელიც მიდრეკილია - 2 წმ მარჯვენა მხარედა k + 2 მარცხენა მხარეს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვპოულობთ ცალმხრივ საზღვრებს:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

გამოდის, რომ ფუნქციის მნიშვნელობები გაიზრდება მინუს უსასრულობიდან - 1 4-მდე, როდესაც არგუმენტი იცვლება - 2-დან 0-მდე. და როდესაც არგუმენტი იცვლება 0-დან 2-მდე, ფუნქციის მნიშვნელობები მცირდება მინუს უსასრულობისკენ. შესაბამისად, მოცემული ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები ჩვენთვის საჭირო ინტერვალზე იქნება (- ∞ ; - 1 4 ] .

პასუხი: (- ∞ ; - 1 4 ] .

მაგალითი 4

მდგომარეობა: მიუთითეთ მნიშვნელობების ნაკრები y = t g x მოცემულ ინტერვალზე - π 2; π 2.

გამოსავალი

ვიცით, რომ ზოგად შემთხვევაში ტანგენტის წარმოებული არის - π 2; π 2 იქნება დადებითი, ანუ ფუნქცია გაიზრდება. ახლა განვსაზღვროთ, თუ როგორ იქცევა ფუნქცია მოცემულ საზღვრებში:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

ჩვენ მივიღეთ ფუნქციის მნიშვნელობების ზრდა მინუს უსასრულობიდან პლუს უსასრულობამდე, როდესაც არგუმენტი იცვლება - π 2-დან π 2-მდე და შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამ ფუნქციის ამონახსნების სიმრავლე იქნება ყველა რეალურის სიმრავლე. ნომრები.

პასუხი: - ∞ ; + ∞ .

მაგალითი 5

მდგომარეობა:განსაზღვრეთ ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქციის დიაპაზონი y = ln x.

გამოსავალი

ჩვენ ვიცით, რომ ეს ფუნქცია განისაზღვრება არგუმენტის დადებითი მნიშვნელობებისთვის D (y) = 0; + ∞ . წარმოებული მოცემულ ინტერვალზე დადებითი იქნება: y " = ln x " = 1 x . ეს ნიშნავს, რომ მასზე ფუნქცია იზრდება. შემდეგი, ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ ცალმხრივი ზღვარი იმ შემთხვევისთვის, როდესაც არგუმენტი მიისწრაფვის 0-მდე (მარჯვნივ მხარეს) და როდესაც x მიდის უსასრულობამდე:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ფუნქციის მნიშვნელობები გაიზრდება მინუს უსასრულობიდან პლუს უსასრულობამდე, რადგან x-ის მნიშვნელობები იცვლება ნულიდან პლუს უსასრულობამდე. ეს ნიშნავს, რომ ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე არის ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი.

პასუხი:ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე არის ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი.

მაგალითი 6

მდგომარეობა:განსაზღვრეთ y = 9 x 2 + 1 ფუნქციის დიაპაზონი.

გამოსავალი

ეს ფუნქცია განისაზღვრება იმ პირობით, რომ x არის რეალური რიცხვი. მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები, ასევე მისი ზრდისა და შემცირების ინტერვალები:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

შედეგად, ჩვენ დავადგინეთ, რომ ეს ფუნქცია შემცირდება, თუ x ≥ 0; იზრდება თუ x ≤ 0 ; მას აქვს მაქსიმალური წერტილი y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 ცვლადით ტოლი 0.

ვნახოთ, როგორ იქცევა ფუნქცია უსასრულობაში:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

ჩანაწერიდან ირკვევა, რომ ფუნქციის მნიშვნელობები ამ შემთხვევაში ასიმპტომურად მიუახლოვდება 0-ს.

შეჯამება: როდესაც არგუმენტი იცვლება მინუს უსასრულობიდან ნულამდე, ფუნქციის მნიშვნელობები იზრდება 0-დან 9-მდე. როდესაც არგუმენტის მნიშვნელობები იცვლება 0-დან პლუს უსასრულობამდე, შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები შემცირდება 9-დან 0-მდე. ჩვენ ეს ვაჩვენეთ ფიგურაში:

ის აჩვენებს, რომ ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი იქნება ინტერვალი E (y) = (0 ; 9 ]

პასუხი: E (y) = (0 ; 9 ]

თუ უნდა განვსაზღვროთ y = f (x) ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე ინტერვალებზე [a; ბ) , (a ; b ] , [a ; + ∞), (- ∞ ; b ] , მაშინ ზუსტად იგივე კვლევები დაგვჭირდება. ამ შემთხვევებს ჯერ არ გავაანალიზებთ: მოგვიანებით შევხვდებით. პრობლემები.

მაგრამ რა მოხდება, თუ გარკვეული ფუნქციის განსაზღვრის სფერო არის რამდენიმე ინტერვალის გაერთიანება? შემდეგ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ მნიშვნელობების ნაკრები თითოეულ ამ ინტერვალზე და გავაერთიანოთ ისინი.

მაგალითი 7

მდგომარეობა:განსაზღვრეთ რა იქნება მნიშვნელობების დიაპაზონი y = x x - 2.

გამოსავალი

ვინაიდან ფუნქციის მნიშვნელი არ უნდა იყოს 0-ზე გადაქცევა, მაშინ D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .

დავიწყოთ პირველ სეგმენტზე ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის განსაზღვრით - ∞; 2, რომელიც არის ღია სხივი. ვიცით, რომ მასზე ფუნქცია შემცირდება, ანუ ამ ფუნქციის წარმოებული იქნება უარყოფითი.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

შემდეგ, იმ შემთხვევებში, როდესაც არგუმენტი იცვლება მინუს უსასრულობისკენ, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტომურად მიუახლოვდება 1-ს. თუ x-ის მნიშვნელობები იცვლება მინუს უსასრულობიდან 2-მდე, მაშინ მნიშვნელობები შემცირდება 1-დან მინუს უსასრულობამდე, ე.ი. ამ სეგმენტზე ფუნქცია მიიღებს მნიშვნელობებს ინტერვალიდან - ∞; 1. ჩვენ გამოვრიცხავთ ერთიანობას ჩვენი მსჯელობიდან, რადგან ფუნქციის მნიშვნელობები არ აღწევს მას, მაგრამ მხოლოდ ასიმპტომურად უახლოვდება მას.

ღია სხივისთვის 2; + ∞ ჩვენ ვასრულებთ ზუსტად იგივე მოქმედებებს. მასზე ფუნქციაც მცირდება:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციის მნიშვნელობები განისაზღვრება სიმრავლით 1; + ∞ . ეს ნიშნავს, რომ მნიშვნელობების დიაპაზონი, რომელიც ჩვენ გვჭირდება პირობაში მითითებული ფუნქციისთვის, იქნება კომპლექტების გაერთიანება - ∞ ; 1 და 1; + ∞ .

პასუხი: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .

ეს ჩანს გრაფიკზე:

განსაკუთრებული შემთხვევაა პერიოდული ფუნქციები. მათი მნიშვნელობების დიაპაზონი ემთხვევა მნიშვნელობების სიმრავლეს იმ ინტერვალზე, რომელიც შეესაბამება ამ ფუნქციის პერიოდს.

მაგალითი 8

მდგომარეობა:განსაზღვრეთ სინუს y = sin x მნიშვნელობების დიაპაზონი.

გამოსავალი

სინუსი პერიოდული ფუნქციაა და მისი პერიოდი არის 2 pi. აიღეთ სეგმენტი 0; 2 π და ნახეთ რა იქნება მასზე მნიშვნელობების ნაკრები.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

0-ის ფარგლებში; 2 π ფუნქციას ექნება უკიდურესი წერტილები π 2 და x = 3 π 2. მოდით გამოვთვალოთ რისი ტოლი იქნება ფუნქციის მნიშვნელობები მათში, ასევე სეგმენტის საზღვრებზე და შემდეგ ავირჩიოთ ყველაზე დიდი და პატარა მნიშვნელობა.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sin x = ცოდვა π 2 = 1

პასუხი: E (sin x) = - 1; 1.

თუ თქვენ უნდა იცოდეთ ფუნქციების დიაპაზონი, როგორიცაა სიმძლავრე, ექსპონენციალური, ლოგარითმული, ტრიგონომეტრიული, შებრუნებული ტრიგონომეტრიული, მაშინ გირჩევთ, ხელახლა წაიკითხოთ სტატია ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების შესახებ. თეორია, რომელიც ჩვენ აქ წარმოგიდგენთ, საშუალებას გვაძლევს გადავამოწმოთ იქ მითითებული მნიშვნელობები. მიზანშეწონილია მათი სწავლა, რადგან ისინი ხშირად საჭიროა პრობლემების გადაჭრისას. თუ იცით ძირითადი ფუნქციების დიაპაზონი, შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ფუნქციების დიაპაზონები, რომლებიც მიიღება ელემენტარულიდან გეომეტრიული ტრანსფორმაციის გამოყენებით.

მაგალითი 9

მდგომარეობა:განსაზღვრეთ მნიშვნელობების დიაპაზონი y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4.

გამოსავალი

ჩვენ ვიცით, რომ სეგმენტი 0-დან pi-მდე არის რკალის კოსინუსის დიაპაზონი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, E (a r c cos x) = 0; π ან 0 ≤ a r c cos x ≤ π . რკალის კოსინუსიდან a r c cos x 3 + 5 π 7 ფუნქცია შეგვიძლია მივიღოთ მისი O x ღერძის გასწვრივ გადაადგილებით და გაჭიმვით, მაგრამ ასეთი გარდაქმნები არაფერს მოგვცემს. ეს ნიშნავს 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

ფუნქცია 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 შეიძლება მივიღოთ რკალის კოსინუსიდან a r c cos x 3 + 5 π 7 ორდინატთა ღერძის გასწვრივ გაჭიმვით, ე.ი. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . საბოლოო ტრანსფორმაცია არის ცვლა O y ღერძის გასწვრივ 4 მნიშვნელობით. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ორმაგ უტოლობას:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ჩვენთვის საჭირო მნიშვნელობების დიაპაზონი ტოლი იქნება E (y) = - 4; 3 π - 4 .

პასუხი: E (y) = - 4; 3 π - 4 .

სხვა მაგალითს ახსნის გარეშე ჩამოვწერთ, რადგან ის სრულიად წააგავს წინას.

მაგალითი 10

მდგომარეობა:გამოთვალეთ რა იქნება y = 2 2 x - 1 + 3 ფუნქციის დიაპაზონი.

გამოსავალი

მოდით გადავიწეროთ პირობითში მითითებული ფუნქცია, როგორც y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3. სიმძლავრის ფუნქციისთვის y = x - 1 2 მნიშვნელობების დიაპაზონი განისაზღვრება 0 ინტერვალზე; + ∞, ე.ი. x - 1 2 > 0 . ამ შემთხვევაში:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

ასე რომ, E(y) = 3; + ∞ .

პასუხი: E(y) = 3; + ∞ .

ახლა ვნახოთ, როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი, რომელიც არ არის უწყვეტი. ამისათვის ჩვენ უნდა დავყოთ მთელი ტერიტორია ინტერვალებად და ვიპოვოთ მნიშვნელობების ნაკრები თითოეულ მათგანში და შემდეგ გავაერთიანოთ ის, რაც მივიღებთ. ამის უკეთ გასაგებად, გირჩევთ, გადახედოთ ფუნქციის წყვეტის წერტილების ძირითად ტიპებს.

მაგალითი 11

მდგომარეობა:მოცემული ფუნქცია y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. გამოთვალეთ მისი მნიშვნელობების დიაპაზონი.

გამოსავალი

ეს ფუნქცია განისაზღვრება x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. მოდით გავაანალიზოთ ის უწყვეტობისთვის არგუმენტების მნიშვნელობების ტოლი - 3 და 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

ჩვენ გვაქვს პირველი სახის შეუწყვეტელი შეუწყვეტლობა, როდესაც არგუმენტის მნიშვნელობა არის - 3. როგორც მივუახლოვდებით, ფუნქციის მნიშვნელობები მიდრეკილია - 2 sin 3 2 - 4 , და როგორც x მიდრეკილია - 3-ზე მარჯვენა მხარეს, მნიშვნელობები მიდრეკილია - 1-მდე.

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

მე-3 წერტილში გვაქვს მეორე სახის შეუქცევადი შეწყვეტა. როდესაც ფუნქცია მიდრეკილია მისკენ, მისი მნიშვნელობები უახლოვდება - 1-ს, ხოლო მარჯვნივ ერთი და იგივე წერტილისკენ - მინუს უსასრულობამდე.

ეს ნიშნავს, რომ ამ ფუნქციის განსაზღვრის მთელი დომენი იყოფა 3 ინტერვალად (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).

პირველ მათგანში მივიღეთ ფუნქცია y = 2 sin x 2 - 4. ვინაიდან - 1 ≤ sin x ≤ 1, მივიღებთ:

1 ≤ ცოდვა x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

ეს ნიშნავს, რომ მოცემულ ინტერვალზე (- ∞ ; - 3 ] ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები არის [-6; 2].

ნახევარ ინტერვალზე (- 3; 3 ] შედეგი არის მუდმივი ფუნქცია y = - 1. შესაბამისად, მისი მნიშვნელობების მთელი ნაკრები ამ შემთხვევაშიშემცირდება ერთ რიცხვამდე - 1.

მეორე ინტერვალზე 3; + ∞ გვაქვს ფუნქცია y = 1 x - 3 . ის მცირდება, რადგან y" = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

ეს ნიშნავს, რომ ორიგინალური ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე x > 3-ისთვის არის 0 სიმრავლე; + ∞ . ახლა გავაერთიანოთ შედეგები: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

პასუხი: E (y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

გამოსავალი ნაჩვენებია გრაფიკზე:

მაგალითი 12

მდგომარეობა: არსებობს ფუნქცია y = x 2 - 3 e x. განსაზღვრეთ მისი მნიშვნელობების ნაკრები.

გამოსავალი

იგი განისაზღვრება ყველა არგუმენტის მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც რეალური რიცხვებია. მოდით განვსაზღვროთ რომელ ინტერვალებში გაიზრდება ეს ფუნქცია და რომელ შემცირდება:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

ჩვენ ვიცით, რომ წარმოებული გახდება 0, თუ x = - 1 და x = 3. დავდოთ ეს ორი წერტილი ღერძზე და გავარკვიოთ, რა ნიშნები ექნება წარმოებულს მიღებულ ინტერვალებზე.

ფუნქცია შემცირდება (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) და გაიზრდება [ - 1 ; 3]. მინიმალური ქულა იქნება - 1, მაქსიმალური - 3.

ახლა ვიპოვოთ შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობები:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

მოდით შევხედოთ ფუნქციის ქცევას უსასრულობაში:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

მეორე ლიმიტის გამოსათვლელად გამოყენებული იქნა L'Hopital-ის წესი. მოდით გამოვსახოთ ჩვენი ამოხსნის პროგრესი გრაფიკზე.

ეს აჩვენებს, რომ ფუნქციის მნიშვნელობები შემცირდება პლუს უსასრულობიდან -2 e-მდე, როდესაც არგუმენტი იცვლება მინუს უსასრულობიდან -1-მდე. თუ ის იცვლება 3-დან პლუს უსასრულობამდე, მაშინ მნიშვნელობები შემცირდება 6 e - 3-დან 0-მდე, მაგრამ 0-ს არ მიაღწევს.

ამრიგად, E(y) = [ - 2 e ; + ∞).

პასუხი: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ბევრი პრობლემა გვაიძულებს მოვიძიოთ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები გარკვეულ სეგმენტზე ან განსაზღვრების მთელ დომენში. ასეთი ამოცანები მოიცავს გამონათქვამების სხვადასხვა შეფასებას და უტოლობების ამოხსნას.

ამ სტატიაში ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონს, განვიხილავთ მის პოვნის მეთოდებს და დეტალურად გავაანალიზებთ მაგალითების გადაწყვეტას მარტივიდან უფრო რთულამდე. ყველა მასალა წარმოდგენილი იქნება გრაფიკული ილუსტრაციებით სიცხადისთვის. ასე რომ, ეს სტატია არის დეტალური პასუხი კითხვაზე, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ფუნქციის დიაპაზონი.

განმარტება.

y = f(x) ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები X ინტერვალზეარის ფუნქციის ყველა მნიშვნელობის ერთობლიობა, რომელსაც ის იღებს ყველაზე გამეორებისას.

განმარტება.

ფუნქციის დიაპაზონი y = f(x)არის ფუნქციის ყველა მნიშვნელობის ერთობლიობა, რომელსაც ის იღებს ყველა x-ზე გამეორებისას განსაზღვრების დომენიდან.

ფუნქციის დიაპაზონი აღინიშნება როგორც E(f).

ფუნქციის დიაპაზონი და ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები არ არის იგივე. ჩვენ განვიხილავთ ამ ცნებებს ექვივალენტურად, თუ X ინტერვალი y = f(x) ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნისას ემთხვევა ფუნქციის განსაზღვრის დომენს.

ასევე, არ ავურიოთ ფუნქციის დიაპაზონი x ცვლადთან y=f(x) ტოლობის მარჯვენა მხარეს გამოსახულებისთვის. x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი f(x) გამოხატვისთვის არის y=f(x) ფუნქციის განსაზღვრის დომენი.

ფიგურაში ნაჩვენებია რამდენიმე მაგალითი.

ფუნქციების გრაფიკები ნაჩვენებია სქელი ლურჯი ხაზებით, წვრილი წითელი ხაზები ასიმპტოტებია, წითელი წერტილები და ხაზები Oy ღერძზე აჩვენებს შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონს.

როგორც ხედავთ, ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი მიიღება ფუნქციის გრაფიკის y-ღერძზე პროექციით. ის შეიძლება იყოს ერთი მხოლობითი(პირველი შემთხვევა), რიცხვთა სიმრავლე (მეორე შემთხვევა), სეგმენტი (მესამე შემთხვევა), ინტერვალი (მეოთხე შემთხვევა), ღია სხივი (მეხუთე შემთხვევა), კავშირი (მეექვსე შემთხვევა) და ა.შ.

რა უნდა გააკეთოთ ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონის მოსაძებნად?

დავიწყოთ უმარტივესი შემთხვევით: ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა განვსაზღვროთ უწყვეტი ფუნქციის y = f(x) სიმრავლე სეგმენტზე.

ცნობილია, რომ უწყვეტი ფუნქცია ინტერვალზე აღწევს მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს მასზე. ამრიგად, სეგმენტზე ორიგინალური ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები იქნება სეგმენტი . შესაბამისად, ჩვენი ამოცანა მოდის სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნაზე.

მაგალითად, ვიპოვოთ რკალის ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი.

მაგალითი.

მიუთითეთ ფუნქციის დიაპაზონი y = arcsinx.

გამოსავალი.

რკალის განსაზღვრის არე არის სეგმენტი [-1; 1]. ვიპოვოთ ამ სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა.

წარმოებული დადებითია ყველა x-სთვის ინტერვალიდან (-1; 1), ანუ რკალის ფუნქცია იზრდება განსაზღვრების მთელ დომენზე. შესაბამისად, ის იღებს უმცირეს მნიშვნელობას x = -1-ზე და ყველაზე დიდს x = 1-ზე.

ჩვენ მივიღეთ რკალი ფუნქციის დიაპაზონი .

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები სეგმენტზე.

გამოსავალი.

ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა მოცემულ სეგმენტზე.

მოდით განვსაზღვროთ სეგმენტის კუთვნილი უკიდურესი წერტილები:

ჩვენ ვიანგარიშებთ ორიგინალური ფუნქციის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და წერტილებში :

ამრიგად, ინტერვალზე ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები არის ინტერვალი .

ახლა ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ უწყვეტი ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე y = f(x) ინტერვალებში (a; b) , .

პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ უკიდურეს წერტილებს, ფუნქციის ექსტრემებს, ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალებს მოცემულ ინტერვალზე. შემდეგი, ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტერვალის ბოლოებზე და (ან) ზღვრებს უსასრულობაში (ანუ ვსწავლობთ ფუნქციის ქცევას ინტერვალის საზღვრებზე ან უსასრულობაში). ეს ინფორმაცია საკმარისია იმისთვის, რომ იპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები ასეთ ინტერვალებზე.

მაგალითი.

განსაზღვრეთ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები ინტერვალზე (-2; 2).

გამოსავალი.

ვიპოვოთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები, რომლებიც ეცემა ინტერვალზე (-2; 2):

წერტილი x = 0 არის მაქსიმალური წერტილი, ვინაიდან წარმოებული მასში გავლისას ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე, ხოლო ფუნქციის გრაფიკი გაზრდიდან კლებამდე მიდის.

არის ფუნქციის შესაბამისი მაქსიმუმი.

მოდით გავარკვიოთ ფუნქციის ქცევა, როგორც x მიდრეკილია -2-ზე მარჯვნივ და როგორც x მიდრეკილია 2-ისკენ მარცხნივ, ანუ ვპოულობთ ცალმხრივ ზღვრებს:

რა მივიღეთ: როდესაც არგუმენტი იცვლება -2-დან ნულამდე, ფუნქციის მნიშვნელობები იზრდება მინუს უსასრულობიდან მინუს მეოთხედმდე (ფუნქციის მაქსიმუმი x = 0-ზე), როცა არგუმენტი იცვლება ნულიდან 2-მდე, ფუნქციის მნიშვნელობები მცირდება მინუს უსასრულობამდე. ამრიგად, ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები ინტერვალზე (-2; 2) არის .

მაგალითი.

ინტერვალზე მიუთითეთ tangent ფუნქციის y = tgx მნიშვნელობების სიმრავლე.

გამოსავალი.

ინტერვალზე ტანგენტის ფუნქციის წარმოებული დადებითია , რაც ფუნქციის ზრდაზე მიუთითებს. შევისწავლოთ ფუნქციის ქცევა ინტერვალის საზღვრებზე:

ამრიგად, როდესაც არგუმენტი იცვლება დან, ფუნქციის მნიშვნელობები იზრდება მინუს უსასრულობიდან პლუს უსასრულობამდე, ანუ ამ ინტერვალზე ტანგენტის მნიშვნელობების სიმრავლე არის ყველა რეალური რიცხვის ნაკრები.

მაგალითი.

იპოვეთ ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქციის დიაპაზონი y = lnx.

გამოსავალი.

ამისთვის განსაზღვრულია ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქცია დადებითი ღირებულებებიარგუმენტი . ამ ინტერვალზე წარმოებული დადებითია , ეს მიუთითებს მასზე ფუნქციის ზრდაზე. მოდით ვიპოვოთ ფუნქციის ცალმხრივი ზღვარი, რადგან არგუმენტი მარჯვნივ მიისწრაფვის ნულისკენ, ხოლო ზღვარი, როგორც x მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ:

ჩვენ ვხედავთ, რომ როდესაც x იცვლება ნულიდან პლუს უსასრულობამდე, ფუნქციის მნიშვნელობები იზრდება მინუს უსასრულობიდან პლუს უსასრულობამდე. ამრიგად, ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქციის დიაპაზონი არის რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები.

მაგალითი.

გამოსავალი.

ეს ფუნქცია განისაზღვრება x-ის ყველა რეალური მნიშვნელობისთვის. განვსაზღვროთ ექსტრემალური წერტილები, ასევე ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები.

შესაბამისად, ფუნქცია მცირდება ზე, იზრდება ზე, x = 0 არის მაქსიმალური წერტილი, ფუნქციის შესაბამისი მაქსიმუმი.

მოდით შევხედოთ ფუნქციის ქცევას უსასრულობაში:

ამრიგად, უსასრულობაში ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტომურად უახლოვდება ნულს.

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ როდესაც არგუმენტი იცვლება მინუს უსასრულობიდან ნულამდე (მაქსიმალური წერტილი), ფუნქციის მნიშვნელობები იზრდება ნულიდან ცხრამდე (ფუნქციის მაქსიმუმამდე), ხოლო როდესაც x იცვლება ნულიდან პლუს უსასრულობამდე, ფუნქციის მნიშვნელობები. ცხრადან ნულამდე შემცირება.

შეხედეთ სქემატურ ნახატს.

ახლა აშკარად ჩანს, რომ ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი არის.

y = f(x) ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნა ინტერვალებზე მოითხოვს მსგავს კვლევას. ამ შემთხვევებზე ახლა დეტალურად არ შევჩერდებით. ჩვენ მათ კვლავ შევხვდებით ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში.

მოდით, y = f(x) ფუნქციის განსაზღვრის დომენი იყოს რამდენიმე ინტერვალის კავშირი. ასეთი ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონის პოვნისას განისაზღვრება მნიშვნელობების სიმრავლეები თითოეულ ინტერვალზე და მიიღება მათი კავშირი.

მაგალითი.

იპოვნეთ ფუნქციის დიაპაზონი.

გამოსავალი.

ჩვენი ფუნქციის მნიშვნელი არ უნდა გადავიდეს ნულზე, ანუ .

პირველი, მოდით ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები ღია სხივზე.

ფუნქციის წარმოებული ამ ინტერვალზე უარყოფითია, ანუ მასზე ფუნქცია მცირდება.

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ რადგან არგუმენტი მიდრეკილია მინუს უსასრულობისკენ, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტოტურად უახლოვდება ერთიანობას. როდესაც x იცვლება მინუს უსასრულობიდან ორამდე, ფუნქციის მნიშვნელობები მცირდება ერთიდან მინუს უსასრულობამდე, ანუ განხილულ ინტერვალზე ფუნქცია იღებს მნიშვნელობების ერთობლიობას. ჩვენ არ ვაერთიანებთ ერთიანობას, რადგან ფუნქციის მნიშვნელობები არ აღწევს მას, მაგრამ მხოლოდ ასიმპტომურად მიდრეკილია მინუს უსასრულობისკენ.

ანალოგიურად ვაგრძელებთ ღია სხივს.

ამ ინტერვალზე ფუნქციაც მცირდება.

ამ ინტერვალზე ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები არის ნაკრები.

ამრიგად, ფუნქციის მნიშვნელობების სასურველი დიაპაზონი არის კომპლექტების გაერთიანება და.

გრაფიკული ილუსტრაცია.

განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს პერიოდულ ფუნქციებს. პერიოდული ფუნქციების მნიშვნელობების დიაპაზონი ემთხვევა მნიშვნელობების სიმრავლეს ამ ფუნქციის პერიოდის შესაბამის ინტერვალზე.

მაგალითი.

იპოვეთ y = sinx ფუნქციის დიაპაზონი.

გამოსავალი.

ეს ფუნქცია პერიოდულია ორი pi პერიოდით. ავიღოთ სეგმენტი და განვსაზღვროთ მასზე მნიშვნელობების ნაკრები.

სეგმენტი შეიცავს ორ უკიდურეს წერტილს და .

ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს ამ წერტილებში და სეგმენტის საზღვრებზე, ვირჩევთ ყველაზე პატარა და უდიდეს მნიშვნელობებს:

აქედან გამომდინარე, .

მაგალითი.

იპოვნეთ ფუნქციის დიაპაზონი .

გამოსავალი.

ჩვენ ვიცით, რომ რკალის კოსინუსის დიაპაზონი არის სეგმენტი ნულიდან პიამდე, ანუ, ან სხვა პოსტში. ფუნქცია შეიძლება მივიღოთ arccosx-დან აბსცისის ღერძის გასწვრივ გადაადგილებით და გაჭიმვით. ასეთი გარდაქმნები გავლენას არ ახდენს მნიშვნელობების დიაპაზონზე, შესაბამისად, . ფუნქცია მიღებული სამჯერ გადაჭიმული Oy ღერძის გასწვრივ, ანუ . გარდაქმნის ბოლო ეტაპი არის ოთხი ერთეულის ცვლა y-ღერძის გასწვრივ. ეს მიგვიყვანს ორმაგ უთანასწორობამდე

ამრიგად, მნიშვნელობების საჭირო დიაპაზონი არის .

მოდით მივცეთ გამოსავალი სხვა მაგალითზე, მაგრამ ახსნა-განმარტების გარეშე (ისინი არ არის საჭირო, რადგან ისინი სრულიად მსგავსია).

მაგალითი.

განსაზღვრეთ ფუნქციის დიაპაზონი .

გამოსავალი.

მოდით დავწეროთ ორიგინალური ფუნქცია ფორმაში . სიმძლავრის ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი არის ინტერვალი. ანუ,. მერე

აქედან გამომდინარე, .

სურათის დასასრულებლად, ჩვენ უნდა ვისაუბროთ ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონის პოვნაზე, რომელიც არ არის უწყვეტი განსაზღვრების დომენზე. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვყოფთ განმარტების დომენს ინტერვალებად შესვენების წერტილებით და ვპოულობთ მნიშვნელობების კომპლექტს თითოეულ მათგანზე. შედეგად მიღებული მნიშვნელობების ნაკრების გაერთიანებით, ჩვენ ვიღებთ ორიგინალური ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონს. ჩვენ გირჩევთ დაიმახსოვროთ 3 მარცხნივ, ფუნქციის მნიშვნელობები მიდრეკილია მინუს ერთისკენ, ხოლო x 3-ისკენ მარჯვნივ, ფუნქციის მნიშვნელობები მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ.

ამრიგად, ჩვენ ვყოფთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენს სამ ინტერვალად.

ინტერვალზე გვაქვს ფუნქცია . მას შემდეგ

ამრიგად, ორიგინალური ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები ინტერვალზე არის [-6;2].

ნახევარ ინტერვალზე გვაქვს მუდმივი ფუნქცია y = -1. ანუ, ორიგინალური ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები ინტერვალზე შედგება ერთი ელემენტისგან.

ფუნქცია განისაზღვრება ყველა სწორი არგუმენტისთვის. მოდით გავარკვიოთ ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები.

წარმოებული ქრება x=-1 და x=3-ზე. მოდი აღვნიშნოთ ეს წერტილები რიცხვთა წრფეზე და განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშნები მიღებულ ინტერვალებზე.

ფუნქცია მცირდება , იზრდება [-1; 3] , x=-1 მინიმალური ქულა, x=3 მაქსიმალური ქულა.

გამოვთვალოთ ფუნქციის შესაბამისი მინიმალური და მაქსიმუმი:

მოდით შევამოწმოთ ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში:

მეორე ლიმიტი გამოითვალა გამოყენებით.

მოდით გავაკეთოთ სქემატური ნახაზი.

როდესაც არგუმენტი იცვლება მინუს უსასრულობიდან -1-მდე, ფუნქციის მნიშვნელობები მცირდება პლუს უსასრულობიდან -2e-მდე, როდესაც არგუმენტი იცვლება -1-დან 3-მდე, ფუნქციის მნიშვნელობები იზრდება -2e-დან, როდესაც არგუმენტი იცვლება 3-დან პლუს უსასრულობამდე, ფუნქციის მნიშვნელობები მცირდება ნულამდე, მაგრამ ისინი არ აღწევენ ნულს.

დღეს გაკვეთილზე მივმართავთ მათემატიკის ერთ-ერთ ძირითად ცნებას - ფუნქციის ცნებას; მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ ფუნქციის ერთ-ერთი თვისება - მისი მნიშვნელობების სიმრავლე.

გაკვეთილის პროგრესი

მასწავლებელი. პრობლემების გადაჭრისას, ჩვენ ვამჩნევთ, რომ ზოგჯერ ეს არის ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრების პოვნა, რომელიც რთულ სიტუაციებში გვაყენებს. რატომ? როგორც ჩანს, მე-7 კლასიდან ფუნქციის შესწავლით, ამის შესახებ საკმაოდ ბევრი ვიცით. ამიტომ, ჩვენ გვაქვს ყველა მიზეზი, რომ პროაქტიული ნაბიჯი გადავდგათ. მოდით, დღეს ჩვენ თვითონ "ვითამაშოთ" მრავალი ფუნქციური მნიშვნელობით, რათა მომავალ გამოცდაზე ვუპასუხოთ ბევრ კითხვას ამ თემაზე.

ელემენტარული ფუნქციების მნიშვნელობების ნაკრები

მასწავლებელი. პირველ რიგში, თქვენ უნდა გაიმეოროთ გრაფიკები, განტოლებები და ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების მნიშვნელობების სიმრავლე დეფინიციის მთელ დომენში.

ფუნქციების გრაფიკები დაპროექტებულია ეკრანზე: წრფივი, კვადრატული, წილად-რაციონალური, ტრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური და ლოგარითმული, თითოეული მათგანისთვის სიტყვიერად განისაზღვრება მნიშვნელობების ნაკრები. მოსწავლეთა ყურადღება გავამახვილო იმაზე, რომ წრფივი ფუნქცია E(f) = რან ერთი რიცხვი, წილადი წრფივი

ეს არის ჩვენი ანბანი. მას დავამატებთ გრაფიკის გარდაქმნების ცოდნას: პარალელური თარგმნა, გაჭიმვა, შეკუმშვა, ასახვა, ჩვენ შევძლებთ გადავჭრათ პირველი ნაწილის ამოცანები. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა კიდევ უფრო რთულია. მოდით შევამოწმოთ.

დამოუკიდებელი მუშაობა

უ თითოეული მოსწავლისთვის იბეჭდება პრობლემის ტერმინები და კოორდინატთა სისტემები.

1. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრები განმარტების მთელ დომენზე:

ა) წ= 3 ცოდვა X ;
ბ) წ = 7 – 2 X ;
V) წ= –არკოსი ( x + 5):
გ) წ= | arctg x |;
დ)

2. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე წ = x 2 შორის ჯ, თუ:

ა) ჯ = ;
ბ) ჯ = [–1; 5).

3. განსაზღვრეთ ფუნქცია ანალიტიკურად (განტოლებით), თუ მისი მნიშვნელობების სიმრავლეა:

1) ე(ვ(x)) = (–∞ ; 2] და ვ(x) - ფუნქცია

ა) კვადრატული,
ბ) ლოგარითმული,
გ) დემონსტრაციული;

2) ე(ვ(x)) = რ \{7}.

დავალების განხილვისას 2დამოუკიდებელი მუშაობა, მოსწავლეთა ყურადღება მიაპყროს იმ ფაქტს, რომ y ფუნქციის ერთფეროვნებისა და უწყვეტობის შემთხვევაში=ვ(x)მოცემულ ინტერვალში[ა;ბ],მისი მრავალი მნიშვნელობა-ინტერვალი,რომლის ბოლოები არის f-ის მნიშვნელობები(ა)და ვ(ბ).

პასუხის ვარიანტები ამოცანისთვის 3.

1.
ა) წ = –x 2 + 2 , წ = –(x + 18) 2 + 2,
წ= ა(x – xგ) 2 + 2 ზე ა < 0.

ბ) წ= –| ჟურნალი 8 x | + 2,

V) წ = –| 3 x – 7 | + 2, წ = –5 | x | + 3.

2.
ა) ბ)

V) წ = 12 – 5x, სად x ≠ 1 .

ფუნქციის მრავალი მნიშვნელობის პოვნა წარმოებულის გამოყენებით

მასწავლებელი. მე-10 კლასში გავეცანით სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქციის ექსტრემის პოვნის და მისი სიდიდეების სიმრავლის პოვნის ალგორითმს, ფუნქციის გრაფიკზე დაყრდნობის გარეშე. გახსოვს, როგორ გავაკეთეთ ეს? ( წარმოებულის გამოყენება.) გავიხსენოთ ეს ალგორითმი .

1. დარწმუნდით, რომ ფუნქცია წ = ვ(x) არის განსაზღვრული და უწყვეტი სეგმენტზე ჯ = [ა; ბ]. 2. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობები სეგმენტის ბოლოებში: ვ(ა) და ვ(ბ). კომენტარი. თუ ვიცით, რომ ფუნქცია უწყვეტი და ერთფეროვანია ჯმაშინვე შეგიძლიათ უპასუხოთ: ე(ვ) = [ვ(ა); ვ(ბ)] ან ე(ვ) = [ვ(ბ); ვ(ა)]. 3. იპოვეთ წარმოებული და შემდეგ კრიტიკული წერტილები x kჯ. 4. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში ვ(x k). 5. შეადარეთ ფუნქციის მნიშვნელობები ვ(ა), ვ(ბ) და ვ(x k), აირჩიეთ ყველაზე დიდი და უმცირესი ღირებულებაფუნქციონირებს და უპასუხე: ე(ვ)= [ვსახელი; ვ naib].

ამ ალგორითმის გამოყენებასთან დაკავშირებული პრობლემები გვხვდება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ვარიანტები. მაგალითად, 2008 წელს შემოგვთავაზეს ასეთი დავალება. თქვენ უნდა მოაგვაროთ სახლები .

ამოცანა C1.იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა

ვ(x) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2

ზე | x + 1| ≤ 3.

თითოეული მოსწავლისთვის იბეჭდება საშინაო დავალების პირობები .

რთული ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნა

მასწავლებელი. ჩვენი გაკვეთილის ძირითადი ნაწილი იქნება რთული ფუნქციების შემცველი არასტანდარტული ამოცანები, რომელთა წარმოებულები ძალიან რთული გამონათქვამებია. და ჩვენ არ ვიცით ამ ფუნქციების გრაფიკები. მაშასადამე, გადასაჭრელად გამოვიყენებთ რთული ფუნქციის განმარტებას, ანუ ცვლადებს შორის დამოკიდებულებას მოცემულ ფუნქციაში მათი ბუდეების მიხედვით და მათი მნიშვნელობების დიაპაზონის შეფასებას (მათში ცვლილების ინტერვალი. ღირებულებები). ამ ტიპის პრობლემები გვხვდება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მეორე ნაწილში. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

დავალება 1.ფუნქციებისთვის წ = ვ(x) და წ = გ(x) დაწერეთ რთული ფუნქცია წ = ვ(გ(x)) და იპოვეთ მისი მნიშვნელობების ნაკრები:

ა) ვ(x) = –x 2 + 2x + 3, გ(x) = ცოდვა x;
ბ) ვ(x) = –x 2 + 2x + 3, გ(x) = ჟურნალი 7 x;
V) გ(x) = x 2 + 1;
გ)

გამოსავალი.ა) კომპლექსურ ფუნქციას აქვს ფორმა: წ= –ცოდვა 2 x+ 2ცოდ x + 3.

შუალედური არგუმენტის გაცნობა ტ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ეს ფუნქცია ასე:

წ= –ტ 2 + 2ტ+ 3, სადაც ტ= ცოდვა x.

შიდა ფუნქციაზე ტ= ცოდვა xარგუმენტი იღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას და მისი მნიშვნელობების ნაკრები არის სეგმენტი [–1; 1].

ამრიგად, გარე ფუნქციისთვის წ = –ტ 2 +2ტ+ 3 ჩვენ გავარკვიეთ მისი არგუმენტის მნიშვნელობების შეცვლის ინტერვალი ტ: ტ[–1; 1]. წ = –ტ 2 +2ტ + 3.

მოდით შევხედოთ ფუნქციის გრაფიკს ჩვენ ამას ვამჩნევთკვადრატული ფუნქცია ტზე [–1; 1] იღებს უმცირესს დაუმაღლესი ღირებულება წმის ბოლოებში: წსახელი = წ(–1) = 0 და წნაიბი =

(1) = 4. და ვინაიდან ეს ფუნქცია უწყვეტია [–1; 1], მაშინ ის იღებს ყველა მნიშვნელობას მათ შორის.: წ .

უპასუხე

წ= –ტ 2 + 2ტ+ 3, სადაც ტბ) ამ ფუნქციების შემადგენლობა მიგვიყვანს რთულ ფუნქციამდე, რომელიც შუალედური არგუმენტის შემოტანის შემდეგ შეიძლება წარმოვიდგინოთ შემდეგნაირად: x,

= ჟურნალი 7 ტფუნქცია x

x (0; +∞ ), ტ (–∞ ; +∞ ).

= ჟურნალი 7 წ = –ტ 2 + 2ტ= ჟურნალი 7 ტ+ 3 (იხ. გრაფიკი) არგუმენტი

(1) = 4. და ვინაიდან ეს ფუნქცია უწყვეტია [–1; 1], მაშინ ის იღებს ყველა მნიშვნელობას მათ შორის.: წ (–∞ ; 4].

იღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას და თავად კვადრატული ფუნქცია იღებს ყველა მნიშვნელობას არაუმეტეს 4-ისა.

გ) კომპლექსურ ფუნქციას აქვს შემდეგი ფორმა:

შუალედური არგუმენტის შემოღებით მივიღებთ: ტ = x 2 + 1.

სად x რ ვინაიდან შინაგანი ფუნქციისთვის ტ .

(1) = 4. და ვინაიდან ეს ფუნქცია უწყვეტია [–1; 1], მაშინ ის იღებს ყველა მნიშვნელობას მათ შორის.: წ (0; 3].

, ა

დ) ამ ორი ფუნქციის შემადგენლობა გვაძლევს კომპლექსურ ფუნქციას

რომელიც შეიძლება დაიწეროს როგორც

გაითვალისწინეთ რომ

შუალედური არგუმენტის შემოღებით მივიღებთ: ასე რომ, როდის კ , ტ [–1; 0) (0; 1].

ზ ფუნქციის გრაფიკის დახატვით ტ

წჩვენ ამას ამ ღირებულებებით ვხედავთ

(–∞ ; –4] c ;

გამოსავალი.ბ) მთელ განსაზღვრის არეალში. ტპირველ რიგში, ჩვენ განვიხილავთ ამ ფუნქციას ერთფეროვნებისთვის. ფუნქცია x= arcctg რ - უწყვეტი და მცირდება წდა მისი მნიშვნელობების ნაკრები (0; π). ფუნქცია ტ= ჟურნალი 5 რ განსაზღვრულია ინტერვალზე (0; π), არის უწყვეტი და იზრდება მასზე. ეს ნიშნავს, რომ ეს რთული ფუნქცია მცირდება კომპლექტში რ .

. და ის, როგორც ორი უწყვეტი ფუნქციის კომპოზიცია, იქნება უწყვეტი

მოვაგვაროთ პრობლემა „ა“.

ვინაიდან ფუნქცია უწყვეტია მთელ რიცხვთა წრფეზე, ის უწყვეტია მის ნებისმიერ ნაწილზე, კერძოდ, მოცემულ სეგმენტზე. და შემდეგ ამ სეგმენტზე მას აქვს ყველაზე პატარა და უდიდესი მნიშვნელობები და იღებს ყველა მნიშვნელობას მათ შორის:ვ

მიღებული მნიშვნელობებიდან რომელია მეტი? რატომ? და რა იქნება ღირებულებების ნაკრები?

პასუხი:

მოვაგვაროთ პრობლემა „ბ“.

პასუხი: ზე(–∞ ; ჟურნალი 5 π) განსაზღვრის მთელ ტერიტორიაზე.

პრობლემა პარამეტრთან

ახლა შევეცადოთ შევქმნათ და ამოხსნათ მარტივი განტოლება ფორმის პარამეტრით ვ(x) = ა, სად ვ(x) - იგივე ფუნქცია, როგორც დავალება 4.

დავალება 5.განტოლების log 5-ის ფესვების რაოდენობის განსაზღვრა (arcctg x) = ათითოეული პარამეტრის მნიშვნელობისთვის ა.

გამოსავალი.როგორც უკვე აჩვენა დავალება 4, ფუნქცია ზე= ჟურნალი 5 (arcctg x) - მცირდება და უწყვეტია რ და იღებს მნიშვნელობებს ნაკლები log 5 π. ეს ინფორმაცია საკმარისია პასუხის გასაცემად.

პასუხი:თუ ა < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

თუ ა≥ log 5 π, მაშინ ფესვები არ არის.

მასწავლებელი. დღეს ჩვენ გადავხედეთ პრობლემებს, რომლებიც დაკავშირებულია ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნასთან. ამ გზაზე ჩვენ აღმოვაჩინეთ განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის ახალი მეთოდი - შეფასების მეთოდი, ასე რომ, ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნა გახდა უფრო მაღალი დონის პრობლემების გადაჭრის საშუალება. ამით ჩვენ დავინახეთ, თუ როგორ არის აგებული ასეთი ამოცანები და როგორ უწყობს ხელს ფუნქციის ერთფეროვნების თვისებები მათ გადაწყვეტას.

და ვიმედოვნებ, რომ ლოგიკა, რომელიც აკავშირებდა დღეს განხილულ ამოცანებს, გაგაოცა ან სულ მცირე გაგაოცა. სხვაგვარად არ შეიძლება: ახალ მწვერვალზე ასვლა გულგრილს არავის ტოვებს! ჩვენ ვამჩნევთ და ვაფასებთ ლამაზ ნახატებს, ქანდაკებებს და ა.შ. მაგრამ მათემატიკასაც აქვს თავისი სილამაზე, მიმზიდველი და მომხიბვლელი - ლოგიკის სილამაზე. მათემატიკოსები ამბობენ, რომ ლამაზი გამოსავალი, როგორც წესი, სწორი გამოსავალია და ეს მხოლოდ ფრაზა არ არის. ახლა თქვენ თავად უნდა იპოვოთ ასეთი გადაწყვეტილებები და ჩვენ დღეს მივუთითეთ მათკენ მიმავალი ერთ-ერთი გზა. წარმატებებს გისურვებთ! და დაიმახსოვრე: ის, ვინც დადის, გზას დაეუფლება!