Kr 4 კვადრატული ფესვის ხსნარის თვისებების გამოყენება. არითმეტიკული კვადრატული ფესვი (მე-8 კლასი)

სათაური: დამოუკიდებელი და ტესტებიალგებრასა და გეომეტრიაში მე-8 კლასისთვის.

სახელმძღვანელო შეიცავს დამოუკიდებელ და საცდელ სამუშაოს ყველაზე ყველაზე მნიშვნელოვანი თემებიმე-8 კლასის ალგებრა და გეომეტრიის კურსი.

ნამუშევრები შედგება სამი დონის სირთულის 6 ვარიანტისგან. დიდაქტიკური მასალებიგანკუთვნილია სტუდენტების დიფერენცირებული დამოუკიდებელი მუშაობის ორგანიზებისთვის.

შინაარსი
ალგებრა 4
C-1 რაციონალური გამოხატულება. წილადების შემცირება 4
C-2 წილადების შეკრება და გამოკლება 5
K-1 რაციონალური წილადები. წილადების შეკრება და გამოკლება 7
C-3 წილადების გამრავლება და გაყოფა. წილადის აწევა 10-ის ხარისხზე
C-4 რაციონალური გამონათქვამების ტრანსფორმაცია 12
C-5 შებრუნებული პროპორციულობა და მისი გრაფიკი 14
K-2 რაციონალური წილადები 16
C-6 არითმეტიკული კვადრატული ფესვი 18
C-7 განტოლება x2 = a. ფუნქცია y = y[x 20
C-8 ნამრავლის კვადრატული ფესვი, წილადი, სიმძლავრე 22
K-3 არითმეტიკული კვადრატული ფესვი და მისი თვისებები 24
C-9 კვადრატულ ფესვებში მამრავლის შეკრება და გამოკლება 27
C-10 კვადრატული ფესვების შემცველი გამონათქვამების კონვერტაცია 28
K-4 არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისებების გამოყენება 30
S-11 არასრული კვადრატული განტოლებები 32
S-12 ფორმულა კვადრატული განტოლების ფესვებისთვის 33
C-13 ამოცანების ამოხსნა კვადრატული განტოლებების გამოყენებით. ვიეტას თეორემა 34
K-5 კვადრატული განტოლებები 36
S-14 წილადი რაციონალური განტოლებები 38
C-15 წილადი რაციონალური განტოლებების გამოყენება. პრობლემის გადაჭრა 39
K-6 წილადი რაციონალური განტოლებები 40
C-16 რიცხვითი უტოლობების თვისებები 43
K-7 რიცხვითი უტოლობები და მათი თვისებები 44
S-17 წრფივი უტოლობაერთი ცვლადით 47
S-18 წრფივი უტოლობების სისტემები 48
K-8 წრფივი უტოლობა და უტოლობათა სისტემები ერთი ცვლადით 50
C-19 გრადუსი უარყოფითი მაჩვენებლით 52
K-9 ხარისხი ინტეგრალური ქულით 54
K-10 წლიური ტესტი 56
გეომეტრია (პოგორელოვის მიხედვით) 58
C-1 პარალელოგრამის თვისებები და მახასიათებლები." 58
C-2 მართკუთხედი. რომბი. მოედანი 60
K-1 პარალელოგრამი 62
C-3 თალესის თეორემა. სამკუთხედის შუა ხაზი 63
S-4 ტრაპეცია. ტრაპეციის შუა ხაზი 66
K-2 ტრაპეცია. სამკუთხედისა და ტრაპეციის შუახაზები....68
C-5 პითაგორას თეორემა 70
C-6 თეორემა პითაგორას თეორემის შებრუნებული. პერპენდიკულური და ირიბი 71
C-7 სამკუთხედის უტოლობა 73
K-3 პითაგორას თეორემა 74
C-8 მართკუთხა სამკუთხედების ამოხსნა 76
C-9 ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებები 78
K-4 მართკუთხა სამკუთხედი (ზოგადი ტესტი) 80
C-10 სეგმენტის შუა კოორდინატები. მანძილი წერტილებს შორის. წრის განტოლება 82
S-11 სწორი ხაზის განტოლება 84
K-5 დეკარტის კოორდინატები 86
S-12 მოძრაობა და მისი თვისებები. ცენტრალური და ღერძული სიმეტრია. 88-ის მხრივ
S-13. პარალელური გადაცემა 90
S-14 ვექტორის კონცეფცია. ვექტორთა ტოლობა 92
C-15 მოქმედებები ვექტორებთან კოორდინატულ ფორმაში. კოლინარული ვექტორები 94
S-16 მოქმედებები ვექტორებთან გეომეტრიული ფორმით 95
C-17 წერტილი პროდუქტი 98
K-6 ვექტორები 99
K-7 წლიური ტესტი 102
გეომეტრია (ათანასიანის მიხედვით) 104
C-1 პარალელოგრამის თვისებები და მახასიათებლები 104
C-2 მართკუთხედი. რომბი. მოედანი 106
K-1 ოთხკუთხედები 108
C-3 მართკუთხედის ფართობი, კვადრატი 109
C-4 პარალელოგრამის ფართობი, რომბი, სამკუთხედი 111
S-5 Trapezoid area 113
C-6 პითაგორას თეორემა 114
K-2 კვადრატები. პითაგორას თეორემა 116
C-7 მსგავსი სამკუთხედების განსაზღვრა. სამკუთხედის კუთხის ბისექტრის თვისება 118
S-8 სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები 120
K-3 სამკუთხედების მსგავსება 122
C-9 მსგავსების გამოყენება პრობლემის გადაჭრაში 124
C-10 მიმართებები მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებსა და კუთხეებს შორის 126
K-4 მსგავსების გამოყენება პრობლემის გადაჭრაში. მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებსა და კუთხეებს შორის მიმართება 128
C-11 ტანგენტი წრეზე 130
C-12 ცენტრალური და ჩაწერილი კუთხეები 132
C-13 თეორემა გადამკვეთი აკორდების სეგმენტების ნამრავლის შესახებ. სამკუთხედის ღირსშესანიშნავი წერტილები 134
C-14 ჩაწერილი და შემოხაზული წრეები 136
K-5 წრე 137
S-15 ვექტორების შეკრება და გამოკლება 139
C-16 ვექტორის გამრავლება 141 რიცხვზე
S-17 ტრაპეციის ცენტრალური ხაზი 142
K-6 ვექტორები. ვექტორების გამოყენება ამოცანის ამოხსნაში 144
K-7 წლიური ტესტი 146
პასუხები 148
ლიტერატურა 157

წინასიტყვაობა .
1. ერთი შედარებით პატარა წიგნი შეიცავს სრულ კომპლექტს გადამოწმების სამუშაო(მათ შორის დასკვნითი ტესტები) მე-8 კლასის ალგებრისა და გეომეტრიის მთელი კურსისთვის, რაც საკმარისია კლასში ერთი წიგნის შეძენაზე.
ტესტები განკუთვნილია გაკვეთილისთვის, დამოუკიდებელი მუშაობა- 20-35 წუთის განმავლობაში, თემის მიხედვით. წიგნის მოხერხებულობისთვის, თითოეული დამოუკიდებელი და სატესტო ნაწარმოების სათაური ასახავს მის თემას.

2. კრებული იძლევა ცოდნის დიფერენცირებული კონტროლის საშუალებას, ვინაიდან ამოცანები განაწილებულია სირთულის სამ დონეზე A, B და C. დონე A შეესაბამება პროგრამის სავალდებულო მოთხოვნებს, B - სირთულის საშუალო დონე, განკუთვნილია C დონის ამოცანები. სტუდენტებისთვის, რომლებიც ავლენენ გაზრდილ ინტერესს მათემატიკის მიმართ, ასევე კლასებში, სკოლებში, გიმნაზიებსა და ლიცეუმებში მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით გამოსაყენებლად. თითოეული დონისთვის არის 2 ეკვივალენტური ვარიანტი, რომლებიც განლაგებულია ერთმანეთის გვერდით (როგორც ჩვეულებრივ იწერება დაფაზე), ამიტომ გაკვეთილისთვის საკმარისია ერთი წიგნი მაგიდაზე.

უფასო ჩამოტვირთვა ელექტრონული წიგნიმოსახერხებელ ფორმატში უყურეთ და წაიკითხეთ:
ჩამოტვირთეთ წიგნი დამოუკიდებელი და სატესტო სამუშაო ალგებრასა და გეომეტრიაზე მე-8 კლასისთვის. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, სწრაფი და უფასო ჩამოტვირთვა.

• დამოუკიდებელი და სატესტო სამუშაო გეომეტრიაზე მე-11 კლასისთვის. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004 წ
• დამოუკიდებელი და სატესტო სამუშაო ალგებრასა და გეომეტრიაში მე-9 კლასისთვის. ერშოვა A.P., Goloborodko V.V., 2004 წ
• დამოუკიდებელი და სატესტო სამუშაო ალგებრასა და გეომეტრიაში, კლასი 8, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013 წ.

კიდევ ერთხელ გავხედე ნიშანს... და, წავიდეთ!

დავიწყოთ რაღაც მარტივით:

სულ რაღაც ერთი წუთი. ეს, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია დავწეროთ ასე:

გაიგე? აი შემდეგი შენთვის:

მიღებული რიცხვების ფესვები ზუსტად არ არის ამოღებული? პრობლემა არ არის - აქ არის რამდენიმე მაგალითი:

რა მოხდება, თუ არ არის ორი, არამედ მეტი მულტიპლიკატორი? იგივე! ფესვების გამრავლების ფორმულა მუშაობს ნებისმიერი რაოდენობის ფაქტორებთან:

ახლა სრულიად დამოუკიდებლად:

პასუხები:კარგად გააკეთე! გეთანხმები, ყველაფერი ძალიან მარტივია, მთავარია გამრავლების ცხრილი იცოდე!

ფესვების გაყოფა

ჩვენ დავახარისხეთ ფესვების გამრავლება, ახლა გადავიდეთ გაყოფის თვისებაზე.

შეგახსენებთ, რომ ფორმულა ში ზოგადი ხედიასე გამოიყურება:

რაც იმას ნიშნავს კოეფიციენტის ფესვი უდრის ფესვების კოეფიციენტს.

კარგად, მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

სულ ეს არის მეცნიერება. აი მაგალითი:

ყველაფერი არ არის ისეთი გლუვი, როგორც პირველ მაგალითში, მაგრამ, როგორც ხედავთ, არაფერია რთული.

რა მოხდება, თუ შეხვდებით ამ გამოთქმას:

თქვენ უბრალოდ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა საპირისპირო მიმართულებით:

და აი მაგალითი:

თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეხვდეთ ამ გამოთქმას:

ყველაფერი იგივეა, მხოლოდ აქ უნდა გახსოვდეთ წილადების თარგმნა (თუ არ გახსოვთ, გადახედეთ თემას და დაბრუნდით!). გახსოვს? ახლა გადავწყვიტოთ!

დარწმუნებული ვარ, რომ თქვენ გაუმკლავდით ყველაფერს, ახლა ვცადოთ ფესვების ამაღლება გრადუსამდე.

ექსპონენტაცია

რა მოხდება, თუ კვადრატული ფესვი კვადრატულია? მარტივია, გახსოვდეთ რიცხვის კვადრატული ფესვის მნიშვნელობა - ეს არის რიცხვი, რომლის კვადრატული ფესვი ტოლია.

მაშ, თუ კვადრატში გამოვყოფთ რიცხვს, რომლის კვადრატული ფესვი ტოლია, რას მივიღებთ?

კარგად, რა თქმა უნდა!

მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

მარტივია, არა? რა მოხდება, თუ ფესვი სხვა ხარისხით არის? არაუშავს!

დაიცავით იგივე ლოგიკა და დაიმახსოვრე თვისებები და შესაძლო მოქმედებები გრადუსით.

წაიკითხეთ თეორია თემაზე "" და ყველაფერი ძალიან ნათელი გახდება თქვენთვის.

მაგალითად, აქ არის გამონათქვამი:

ამ მაგალითში ხარისხი ლუწია, მაგრამ რა მოხდება, თუ ის კენტია? ისევ გამოიყენეთ ექსპონენტების თვისებები და აკრიფეთ ყველაფერი:

ამით ყველაფერი ნათელია, მაგრამ როგორ ამოვიღოთ რიცხვის ფესვი ხარისხში? აი, მაგალითად, ეს:

საკმაოდ მარტივია, არა? რა მოხდება, თუ ხარისხი ორზე მეტია? ჩვენ მივყვებით იმავე ლოგიკას ხარისხების თვისებების გამოყენებით:

ისე, ყველაფერი გასაგებია? შემდეგ თავად მოაგვარეთ მაგალითები:

და აი პასუხები:

ფესვის ნიშნის ქვეშ შესვლა

რა არ ვისწავლეთ ფესვებთან! რჩება მხოლოდ ძირეული ნიშნის ქვეშ ნომრის შეყვანა!

ეს მართლაც ადვილია!

ვთქვათ, ჩვენ გვაქვს ჩაწერილი რიცხვი

რა ვუყოთ მას? რა თქმა უნდა, დამალეთ სამი ფესვის ქვეშ, გახსოვდეთ, რომ სამი არის კვადრატული ფესვი!

რატომ გვჭირდება ეს? დიახ, მხოლოდ იმისათვის, რომ გავაფართოვოთ ჩვენი შესაძლებლობები მაგალითების ამოხსნისას:

როგორ მოგწონთ ფესვების ეს თვისება? ეს ცხოვრებას ბევრად აადვილებს? ჩემთვის ეს ზუსტად ასეა! მხოლოდ უნდა გვახსოვდეს, რომ მხოლოდ დადებითი რიცხვების შეყვანა შეგვიძლია კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ.

თავად მოაგვარეთ ეს მაგალითი -
მოახერხე? ვნახოთ რა უნდა მიიღოთ:

კარგად გააკეთე! თქვენ მოახერხეთ ძირის ნიშნის ქვეშ ნომრის შეყვანა! მოდით გადავიდეთ ერთნაირად მნიშვნელოვანზე - მოდით შევადაროთ კვადრატული ფესვის შემცველი რიცხვები!

ფესვების შედარება

რატომ უნდა ვისწავლოთ რიცხვების შედარება, რომლებიც შეიცავს კვადრატულ ფესვს?

ძალიან მარტივი. ხშირად გამოცდაზე შემხვედრი დიდი და გრძელი გამონათქვამებით ვიღებთ ირაციონალურ პასუხს (გახსოვთ ეს რა არის? ამაზე დღეს უკვე ვისაუბრეთ!)

მიღებული პასუხები უნდა მოვათავსოთ კოორდინატთა ხაზზე, მაგალითად, განვსაზღვროთ რომელი ინტერვალია შესაფერისი განტოლების ამოსახსნელად. და აქ ჩნდება პრობლემა: გამოცდაზე არ არის კალკულატორი და მის გარეშე როგორ წარმოგიდგენიათ რომელი რიცხვია მეტი და რომელი ნაკლები? ესე იგი!

მაგალითად, დაადგინეთ რომელია უფრო დიდი: ან?

მაშინვე ვერ გეტყვით. აბა, გამოვიყენოთ ძირის ნიშნის ქვეშ რიცხვის შეყვანის დაშლილი თვისება?

შემდეგ გააგრძელეთ:

კარგად, ცხადია, რაც უფრო დიდია რიცხვი ფესვის ნიშნის ქვეშ, მით უფრო დიდია თავად ფესვი!

იმათ. თუ, მაშინ, .

აქედან ჩვენ მტკიცედ ვასკვნით, რომ. და ვერავინ დაგვარწმუნებს სხვაგვარად!

ფესვების ამოღება დიდი რაოდენობით

მანამდე ფესვის ნიშნის ქვეშ შევიყვანეთ მულტიპლიკატორი, მაგრამ როგორ ამოიღოთ იგი? თქვენ უბრალოდ უნდა შეაფასოთ ის ფაქტორებად და ამოიღოთ ის, რასაც თქვენ ამოიღებთ!

შესაძლებელი იყო სხვა გზის გავლა და სხვა ფაქტორების გაფართოება:

ცუდი არ არის, არა? ნებისმიერი ეს მიდგომა სწორია, გადაწყვიტეთ როგორც გსურთ.

ფაქტორინგი ძალიან სასარგებლოა ისეთი არასტანდარტული პრობლემების გადაჭრისას, როგორიცაა:

ნუ გვეშინია, მაგრამ იმოქმედე! მოდით დავშალოთ თითოეული ფაქტორი ფესვის ქვეშ ცალკეულ ფაქტორებად:

ახლა სცადეთ ეს თავად (კალკულატორის გარეშე! გამოცდაზე არ იქნება):

ეს დასასრულია? შუა გზაზე ნუ გავჩერდებით!

სულ ესაა, არც ისე საშინელია, არა?

იმუშავა? კარგად გააკეთე, ასეა!

ახლა სცადეთ ეს მაგალითი:

მაგრამ მაგალითი არის ხისტი თხილის გასატეხი, ასე რომ თქვენ არ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაერკვნენ, თუ როგორ მივუდგეთ მას. მაგრამ, რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია გავუმკლავდეთ მას.

აბა, დავიწყოთ ფაქტორინგი? დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ რიცხვის გაყოფა შეგიძლიათ (გაიხსენეთ გაყოფის ნიშნები):

ახლა, სცადეთ ეს თავად (კიდევ ერთხელ, კალკულატორის გარეშე!):

კარგი, გამოვიდა? კარგად გააკეთე, ასეა!

მოდით შევაჯამოთ

1. არაუარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი (არითმეტიკული კვადრატული ფესვი) არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კვადრატი უდრის.
   .
2. თუ ჩვენ უბრალოდ ავიღებთ რაიმეს კვადრატულ ფესვს, ყოველთვის ვიღებთ ერთ არაუარყოფით შედეგს.
3. არითმეტიკული ფესვის თვისებები:
4. კვადრატული ფესვების შედარებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ რაც უფრო დიდია რიცხვი ფესვის ნიშნის ქვეშ, მით უფრო დიდია თავად ფესვი.

როგორია კვადრატული ფესვი? ყველაფერი გასაგებია?

ჩვენ შევეცადეთ ყოველგვარი აურზაურის გარეშე აგეხსნათ ყველაფერი, რაც გამოცდაზე უნდა იცოდეთ კვადრატული ფესვის შესახებ.

ახლა შენი ჯერია. მოგვწერეთ რთულია თუ არა ეს თემა თქვენთვის.

რამე ახალი ისწავლე თუ უკვე ყველაფერი ნათელი იყო?

დაწერეთ კომენტარებში და გისურვებთ წარმატებებს გამოცდებზე!

ამ სტატიაში განვიხილავთ მთავარს ფესვების თვისებები. დავიწყოთ არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისებებით, მივცეთ მათი ფორმულირებები და მოვიყვანოთ მტკიცებულებები. ამის შემდეგ შევეხებით n-ე ხარისხის არითმეტიკული ფესვის თვისებებს.

გვერდის ნავიგაცია.

კვადრატული ფესვის თვისებები

ამ პუნქტში განვიხილავთ შემდეგ ძირითადს არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისებები:

თითოეულ წერილობით თანასწორობაში, მარცხენა და მარჯვენა მხარეები შეიძლება შეიცვალოს, მაგალითად, ტოლობა შეიძლება გადაიწეროს როგორც . ამ „უკუ“ ფორმაში არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისებები გამოიყენება, როდესაც გამონათქვამების გამარტივებაისევე ხშირად, როგორც „პირდაპირი“ ფორმით.

პირველი ორი თვისების დადასტურება ეფუძნება არითმეტიკული კვადრატული ფესვის განსაზღვრას და . და არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ბოლო თვისების გასამართლებლად მოგიწევთ გახსოვდეთ.

ასე რომ დავიწყოთ ორი არაუარყოფითი რიცხვის ნამრავლის არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისების დადასტურება: . ამისათვის, არითმეტიკული კვადრატული ფესვის განმარტების მიხედვით, საკმარისია იმის ჩვენება, რომ არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კვადრატი უდრის a·b. მოდით გავაკეთოთ ეს. გამოხატვის მნიშვნელობა არის არაუარყოფითი, როგორც არაუარყოფითი რიცხვების ნამრავლი. ორი რიცხვის ნამრავლის სიძლიერის თვისება საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ტოლობა , და ვინაიდან არითმეტიკული კვადრატული ფესვის განმარტებით და , მაშინ .

ანალოგიურად დადასტურებულია, რომ k არაუარყოფითი ფაქტორების ნამრავლის არითმეტიკული კვადრატული ფესვი a 1 , a 2 , ..., a k უდრის ამ ფაქტორების არითმეტიკული კვადრატული ფესვების ნამრავლს. ნამდვილად,. ამ თანასწორობიდან გამომდინარეობს, რომ.

მოვიყვანოთ მაგალითები: და.

ახლა დავამტკიცოთ კოეფიციენტის არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისება: . ბუნებრივი ხარისხის კოეფიციენტის თვისება საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ტოლობა , ა , და არის არაუარყოფითი რიცხვი. ეს არის მტკიცებულება.

მაგალითად და .

დროა დაალაგოთ რიცხვის კვადრატის არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისება, ტოლობის სახით იწერება როგორც . ამის დასამტკიცებლად განიხილეთ ორი შემთხვევა: a≥0-სთვის და a-სთვის<0 .

ცხადია, a≥0-სთვის თანასწორობა მართალია. ასევე ადვილი დასანახია, რომ ა<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 და (−a) 2 =a 2 . ამრიგად, რისი დამტკიცება იყო საჭირო.

აქ არის რამდენიმე მაგალითი: და .

კვადრატული ფესვის მხოლოდ დადასტურებული თვისება საშუალებას გვაძლევს გავამართლოთ შემდეგი შედეგი, სადაც a არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი, ხოლო m არის ნებისმიერი. ფაქტობრივად, ხარისხი ძლიერებამდე აწევის თვისება გვაძლევს საშუალებას შევცვალოთ a 2 m ხარისხი გამოსახულებით (a m) 2, შემდეგ .

მაგალითად, და .

n-ე ფესვის თვისებები

პირველ რიგში, მოდით ჩამოვთვალოთ ძირითადი n-ე ფესვების თვისებები:

ყველა წერილობითი თანასწორობა ძალაში რჩება, თუ მათი მარცხენა და მარჯვენა მხარეები შეიცვლება. ისინი ასევე ხშირად გამოიყენება ამ ფორმით, ძირითადად გამონათქვამების გამარტივებისა და გარდაქმნისას.

ფესვის ყველა გამოცხადებული თვისების დადასტურება ეფუძნება n-ე ხარისხის არითმეტიკული ფესვის განსაზღვრას, ხარისხის თვისებებსა და რიცხვის მოდულის განსაზღვრას. ჩვენ დავამტკიცებთ მათ პრიორიტეტის მიხედვით.

დავიწყოთ მტკიცებულებით პროდუქტის n-ე ფესვის თვისებები . არაუარყოფითი a და b-სთვის, გამოხატვის მნიშვნელობა ასევე არის არაუარყოფითი, ისევე როგორც არაუარყოფითი რიცხვების ნამრავლი. პროდუქტის თვისება ბუნებრივ ძალაზე საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ თანასწორობა . n-ე ხარისხის არითმეტიკული ფესვის განმარტებით და, შესაბამისად, . ეს ადასტურებს განსახილველი ფესვის თვისებას.

ეს თვისება ასევე დადასტურებულია k ფაქტორების ნამრავლისთვის: არაუარყოფითი რიცხვებისთვის a 1, a 2, …, a n, და .

აქ მოცემულია პროდუქტის n-ე ფესვის თვისების გამოყენების მაგალითები: და .

დავამტკიცოთ კოეფიციენტის ფესვის თვისება. როდესაც a≥0 და b>0 პირობა დაკმაყოფილებულია და .

მოდით ვაჩვენოთ მაგალითები: და .

მოდით გადავიდეთ. დავამტკიცოთ რიცხვის n-ე ფესვის თვისება n-ე ხარისხზე. ანუ ჩვენ ამას დავამტკიცებთ ნებისმიერი რეალური და ბუნებრივი მ. a≥0-სთვის გვაქვს და, რომელიც ადასტურებს თანასწორობას და თანასწორობას აშკარად. როცა ა<0 имеем и (ბოლო გარდამავალი ძალაშია ლუწი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისების გამო), რაც ადასტურებს თანასწორობას და მართალია იმის გამო, რომ როდესაც ვსაუბრობდით კენტი ხარისხის ფუძეზე მივიღეთ ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვისთვის c.

აქ მოცემულია გაანალიზებული root თვისების გამოყენების მაგალითები: და .

ჩვენ მივდივართ ფესვის ფესვის თვისების მტკიცებულებაზე. გავცვალოთ მარჯვენა და მარცხენა მხარეები, ანუ დავამტკიცოთ ტოლობის მართებულობა, რაც ნიშნავს თავდაპირველი თანასწორობის მართებულობას. არაუარყოფითი რიცხვისთვის a, ფორმის ფესვი არის არაუარყოფითი რიცხვი. ხარისხის ხარისხამდე აწევის თვისების გახსენებით და ფესვის განმარტების გამოყენებით, შეგვიძლია დავწეროთ ფორმის ტოლობების ჯაჭვი. . ეს ადასტურებს განსახილველი ფესვის ფესვის თვისებას.

ანალოგიურად დასტურდება ფესვის ფესვის თვისება და ა.შ. მართლაც, .

მაგალითად, და .

მოდით დავამტკიცოთ შემდეგი ფესვის მაჩვენებლის შეკუმშვის თვისება. ამისათვის, ფესვის განსაზღვრის ძალით, საკმარისია იმის ჩვენება, რომ არსებობს არაუარყოფითი რიცხვი, რომელიც n·m ხარისხზე გაზრდისას უდრის m-ს. მოდით გავაკეთოთ ეს. გასაგებია, რომ თუ რიცხვი a არაუარყოფითია, მაშინ a რიცხვის n-ე ფესვი არაუარყოფითი რიცხვია. ამავე დროს , რომელიც ასრულებს მტკიცებულებას.

აქ არის გაანალიზებული root თვისების გამოყენების მაგალითი: .

დავამტკიცოთ შემდეგი თვისება - ფორმის ხარისხობრივი ფესვის თვისება . ცხადია, როდესაც a≥0 ხარისხი არის არაუარყოფითი რიცხვი. უფრო მეტიც, მისი n-ე ხარისხი უდრის m-ს, მართლაც, . ეს ადასტურებს განხილული ხარისხის თვისებას.

მაგალითად, .

მოდით გადავიდეთ. დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის a და b რომელ პირობას აკმაყოფილებს a , ანუ a≥b. და ეს ეწინააღმდეგება ა პირობას

მაგალითად, მოვიყვანოთ სწორი უტოლობა .

დაბოლოს, რჩება n-ე ფესვის ბოლო თვისების დამტკიცება. ჯერ დავამტკიცოთ ამ თვისების პირველი ნაწილი, ანუ დავამტკიცოთ, რომ m>n და 0-ისთვის . შემდეგ, ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებების გამო, უტოლობა უნდა დაკმაყოფილდეს , ანუ a n ≤a m . და შედეგად მიღებული უტოლობა m>n და 0-ისთვის

ანალოგიურად, წინააღმდეგობით მტკიცდება, რომ m>n და a>1-ისთვის პირობა დაკმაყოფილებულია.

მოდით მოვიყვანოთ დადასტურებული root თვისების გამოყენების მაგალითები კონკრეტულ რიცხვებში. მაგალითად, უტოლობები და მართალია.

ცნობები.

• მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. საგანმანათლებლო დაწესებულებები.
• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა ალგებრა და ანალიზის საწყისები: ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების მე-10 - მე-11 კლასების სახელმძღვანელო.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში მოსულთათვის).

\(\sqrt(a)=b\), თუ \(b^2=a\), სადაც \(a≥0,b≥0\)

მაგალითები:

\(\sqrt(49)=7\), ვინაიდან \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\), ვინაიდან \(0.2^2=0.04\)

როგორ გამოვყოთ რიცხვის კვადრატული ფესვი?

რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოსაღებად, თქვენ უნდა დაუსვათ საკუთარ თავს კითხვა: რომელი რიცხვი კვადრატში მისცემს გამოხატვას ფესვის ქვეშ?

მაგალითად. ამოიღეთ ფესვი: a)\(\sqrt(2500)\); ბ) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); გ) \(\sqrt(0.001)\); დ) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

ა) რა რიცხვი მისცემს კვადრატში \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

ბ) რა რიცხვი კვადრატში მისცემს \(\frac(4)(9)\) ?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

გ) რა რიცხვის კვადრატში მიიღება \(0.0001\)?

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

დ) რა რიცხვი კვადრატში მისცემს \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? კითხვაზე პასუხის გასაცემად, თქვენ უნდა გადაიყვანოთ ის არასწორად.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

კომენტარი: თუმცა \(-50\), \(-\frac(2)(3)\), \(-0.01\),\(- \frac(7)(6)\), ასევე უპასუხეთ კითხვებს, მაგრამ ისინი არ არის გათვალისწინებული, რადგან კვადრატული ფესვი ყოველთვის დადებითია.

ფესვის მთავარი თვისება

მოგეხსენებათ, მათემატიკაში ნებისმიერ მოქმედებას აქვს შებრუნებული. შეკრებას აქვს გამოკლება, გამრავლებას აქვს გაყოფა. კვადრატის შებრუნებული არის კვადრატული ფესვის აღება. ამრიგად, ეს ქმედებები ანაზღაურებს ერთმანეთს:

\((\sqrt(a))^2=a\)

ეს არის ფესვის მთავარი თვისება, რომელიც ყველაზე ხშირად გამოიყენება (მათ შორის OGE-ში)

მაგალითი . (დავალება OGE-დან). იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

გამოსავალი :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

მაგალითი . (დავალება OGE-დან). იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა \((\sqrt(85)-1)^2\)

გამოსავალი:

პასუხი: \(86-2\sqrt(85)\)

რა თქმა უნდა, კვადრატულ ფესვებთან მუშაობისას საჭიროა სხვა .

მაგალითი . (დავალება OGE-დან). იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
გამოსავალი:

პასუხი: \(220\)

4 წესი, რომელიც ადამიანებს ყოველთვის ავიწყდებათ

ფესვი ყოველთვის არ არის ამოღებული

მაგალითი: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) და ა.შ. - რიცხვის ფესვის ამოღება ყოველთვის არ არის შესაძლებელი და ეს ნორმალურია!

რიცხვის ფესვი, ასევე რიცხვი

არ არის საჭირო \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\), რაიმე განსაკუთრებული გზით მკურნალობა. ეს არის რიცხვები, მაგრამ არა მთელი რიცხვები, დიახ, მაგრამ ჩვენს სამყაროში ყველაფერი არ იზომება მთელი რიცხვებით.

ფესვი აღებულია მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვებიდან

ამიტომ, სახელმძღვანელოებში ვერ ნახავთ ასეთ ჩანაწერებს \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) და ა.შ.