EGE განტოლებები. მომზადება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მათემატიკაში საბაზო და სპეციალიზებულ საფეხურებზე

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც თქვენ გაგზავნით მოთხოვნას საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, მისამართი ელდა ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ უნიკალური შეთავაზებებით, აქციებით და სხვა ღონისძიებებით და მომავალი ღონისძიებებით.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• საჭიროების შემთხვევაში, კანონის შესაბამისად, სასამართლო პროცედურა, სასამართლო პროცესებში ან/და საჯარო გამოკითხვების ან მოთხოვნების საფუძველზე სამთავრობო უწყებებსრუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

დღეს ჩვენ მოვამზადებთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მე-5 ამოცანის ამოხსნის უნარს - იპოვეთ განტოლების ფესვი. მოდი ვეძებოთ განტოლების ფესვი. მოდით შევხედოთ ამ ტიპის ამოცანის ამოხსნის მაგალითებს. მაგრამ ჯერ გავიხსენოთ რას ნიშნავს განტოლების ფესვის პოვნა?

ეს ნიშნავს x-ის ქვეშ დაშიფრული რიცხვის პოვნას, რომელსაც ჩავანაცვლებთ x-ის ნაცვლად და ჩვენი განტოლება იქნება ნამდვილი ტოლობა.

მაგალითად, 3x=9 არის განტოლება და 3. 3=9 უკვე ნამდვილი თანასწორობაა. ანუ ში ამ შემთხვევაში, x-ის ნაცვლად ჩავანაცვლეთ რიცხვი 3 - მივიღეთ სწორი გამოხატულება ან ტოლობა, ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ამოვხსენით განტოლება, ანუ ვიპოვეთ მოცემული რიცხვი x = 3, რომელიც აქცევს განტოლებას სწორ ტოლობაში.

ჩვენ ამას გავაკეთებთ - ვიპოვით განტოლების ფესვს.

ამოცანა 1 - იპოვეთ 2 განტოლების ფესვი 1-4x =32

ეს არის ექსპონენციალური განტოლება. იგი იხსნება შემდეგნაირად: აუცილებელია, რომ ტოლობის ნიშნის მარცხნივ და მარჯვნივ იყოს ხარისხი ერთი და იგივე ფუძით.

მარცხნივ გვაქვს მე-2 ხარისხის ფუძე, მარჯვნივ კი საერთოდ არ არის ხარისხი. მაგრამ ჩვენ ვიცით, რომ 32 არის 2 მეხუთე ხარისხზე. ანუ 32=2 5

ამრიგად, ჩვენი განტოლება ასე გამოიყურება: 2 1-4x = 2 5

მარცხნივ და მარჯვნივ ჩვენი მაჩვენებლები ერთნაირია, რაც ნიშნავს, რომ თანასწორობა რომ გვქონდეს, მაჩვენებლებიც ტოლი უნდა იყოს:

ვიღებთ ჩვეულებრივი განტოლება. ჩვენ ვხსნით ჩვეულებრივი გზით - ვტოვებთ ყველა უცნობს მარცხნივ, ხოლო ცნობილს მარჯვნივ გადავიტანთ, მივიღებთ:

შევამოწმოთ: 2 1-4(-1) =32

ჩვენ ვიპოვეთ განტოლების ფესვი. პასუხი: x=-1.

იპოვეთ განტოლების ფესვი შემდეგ ამოცანებში:

ბ) 2 1-3x =128

დავალება 2 - იპოვეთ განტოლების ფესვი

განტოლებას ვხსნით ანალოგიურად - განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარის იმავე სიმძლავრის ბაზაზე შემცირებით. ჩვენს შემთხვევაში - მე-2 ხარისხის საფუძვლამდე.

ჩვენ ვიყენებთ ხარისხის შემდეგ თვისებებს:

ამ თვისების გამოყენებით, მივიღებთ ჩვენი განტოლების მარჯვენა მხარეს:

თუ ხარისხის საფუძვლები ტოლია, მაშინ მაჩვენებლები ტოლია:

პასუხი: x=9.

მოდით შევამოწმოთ - ჩავანაცვლოთ x-ის ნაპოვნი მნიშვნელობა თავდაპირველ განტოლებაში - თუ მივიღებთ სწორ ტოლობას, მაშინ განტოლება სწორად მოვაგვარეთ.

ჩვენ სწორად ვიპოვეთ განტოლების ფესვი.

ამოცანა 3 - იპოვეთ განტოლების ფესვი

გაითვალისწინეთ, რომ მარჯვნივ გვაქვს 1/8 და 1/8 არის

მაშინ ჩვენი განტოლება დაიწერება შემდეგნაირად:

თუ ხარისხის საფუძვლები ტოლია, მაშინ მაჩვენებლები ტოლია, მივიღებთ მარტივ განტოლებას:

პასუხი: x=5. შემოწმება თავად გააკეთე.

დავალება 4 - იპოვეთ განტოლების ფესვი log 3 (15's)=log 3 2

ეს განტოლება შეიძლება ამოიხსნას ისევე, როგორც ექსპონენციალური. ჩვენ გვჭირდება ლოგარითმების საფუძვლები ტოლობის ნიშნის მარცხნივ და მარჯვნივ, რომ ერთნაირი იყოს. ახლა ისინი იგივეა, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ვაიგივებთ იმ გამონათქვამებს, რომლებიც ლოგარითმების ნიშნის ქვეშ არიან:

პასუხი: x=13

დავალება 5 - იპოვეთ განტოლების ლოგის ფესვი 3 (3-x)=3

რიცხვი 3 არის log 3 27. გასაგებად რომ ვთქვათ, ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც ამაღლებულია ხარისხზე, ჩვენს შემთხვევაში 3, ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არის რიცხვი, რომელიც მიიღება, როდესაც ამაღლებულია ხარისხზე - ეს არის 27, ხოლო ლოგარითმი თავად არის მაჩვენებლის მაჩვენებელი, რომელზეც 3 უნდა გაიზარდოს 27-ის მისაღებად.

შეხედე სურათს:

ამრიგად, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმად. ამ შემთხვევაში ძალიან მოსახერხებელია 3-ის ლოგარითმის დაწერა 3-ის ფუძით. ვიღებთ:

ჟურნალი 3 (3-x) = ჟურნალი 3 27

ლოგარითმების საფუძვლები ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ რიცხვები ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ტოლია:

მოდით შევამოწმოთ:

ჟურნალი 3 (3-(-24))= ჟურნალი 3 27

ჟურნალი 3 (3+24)= ჟურნალი 3 27

ჟურნალი 3 27 = ჟურნალი 3 27

პასუხი: x=-24.

იპოვეთ განტოლების ფესვი. დავალება 6.

ჟურნალი 2 (x+3) = ჟურნალი 2 (3x-15)

შემოწმება: ჟურნალი 2 (9+3)= ჟურნალი 2 (27-15)

ჟურნალი 2 12 = ჟურნალი 2 12

პასუხი: x=9.

იპოვეთ განტოლების ფესვი. დავალება 7.

ჟურნალი 2 (14-2x)=2ლოგი 2 3

ჟურნალი 2 (14-2x) = ჟურნალი 2 3 2

შემოწმება: ჟურნალი 2 (14-5)=2ლოგი 2 3

ჟურნალი 2 9=2 ჟურნალი 2 3

ჟურნალი 2 3 2 = 2 ჟურნალი 2 3

2log 2 3=2log 2 3

პასუხი: x=2.5

მოემზადეთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის - გადახედეთ წინა თემებს და.

ვიდეოკურსი „მიიღე A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რაც აუცილებელია წარმატებისთვის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარებამათემატიკაში 60-65 ქულაზე. მათემატიკაში პროფილის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ყველა დავალება 1-13 სრულად. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში ძირითადი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩასაბარებლად. თუ გსურთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, პირველი ნაწილი 30 წუთში და უშეცდომოდ უნდა მოაგვაროთ!

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი, რაც გჭირდებათ მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის 1 ნაწილის (პირველი 12 ამოცანის) და მე-13 ამოცანის (ტრიგონომეტრია) გადასაჭრელად. და ეს ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე 70 ქულაზე მეტია და მათ გარეშე არც 100-ქულიანი და არც ჰუმანიტარული სტუდენტი არ შეუძლია.

ყველა საჭირო თეორია. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხარვეზები და საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI Task Bank-ის პირველი ნაწილის ყველა მიმდინარე დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება 2018 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის დავალება. სიტყვის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი ალგორითმები პრობლემების გადასაჭრელად. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. რთული გადაწყვეტილებები, სასარგებლო მოტყუების ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან ამოცანამდე 13. გაგება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების მკაფიო ახსნა. ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის საფუძველი.

განტოლებები, ნაწილი $C$

ტოლობას, რომელიც შეიცავს უცნობ რიცხვს, რომელიც მითითებულია ასოებით, ეწოდება განტოლება. ტოლობის ნიშნის მარცხნივ გამოსახულებას განტოლების მარცხენა მხარე ეწოდება, ხოლო მარჯვნივ გამოსახულებას განტოლების მარჯვენა მხარე.

რთული განტოლებების ამოხსნის სქემა:

1. განტოლების ამოხსნამდე, თქვენ უნდა ჩამოწეროთ მისი რეგიონი მისაღები ღირებულებები(ოძ).
2. ამოხსენით განტოლება.
3. განტოლების მიღებული ფესვებიდან ამოარჩიეთ ისინი, რომლებიც აკმაყოფილებს ODZ-ს.

სხვადასხვა გამონათქვამების ODZ (გამოსახულებაში ვგულისხმობთ ალფანუმერულ აღნიშვნას):

1. მნიშვნელში გამოსახული არ უნდა იყოს ნულის ტოლი.

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. რადიკალური გამოთქმა არ უნდა იყოს უარყოფითი.

$√(g(x)); g(x) ≥ 0$.

3. მნიშვნელში რადიკალური გამოხატულება დადებითი უნდა იყოს.

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0$

4. ლოგარითმისთვის: სუბლოგარითმული გამოხატულება უნდა იყოს დადებითი; საფუძველი უნდა იყოს დადებითი; ბაზა არ შეიძლება იყოს ერთის ტოლი.

$log_(f(x))g(x)\table\(\g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

ლოგარითმული განტოლებები

ლოგარითმული განტოლებები არის $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$-ის ფორმის განტოლებები, სადაც $a$ არის $1$-ისგან განსხვავებული დადებითი რიცხვი და განტოლებები, რომლებიც მცირდება ამ ფორმამდე.

ლოგარითმული განტოლებების ამოსახსნელად საჭიროა იცოდეთ ლოგარითმების თვისებები: განვიხილავთ ლოგარითმების ყველა თვისებას $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

1. ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის $m$ და $n$ ტოლობები მართალია:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. ნამრავლის ლოგარითმი ტოლია ლოგარითმების ჯამის თითოეული ფაქტორის ერთსა და იმავე ფუძეზე.

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. კოეფიციენტის ლოგარითმი უდრის სხვაობას მრიცხველისა და მნიშვნელის ლოგარითმებს შორის ერთი და იგივე ფუძის გამოყენებით.

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. ორი ლოგარითმის გამრავლებისას შეგიძლიათ შეცვალოთ მათი ფუძეები

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$, თუ $a, b, c$ და $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, სადაც $a, b, c > 0, a≠1$

6. ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. კერძოდ, თუ საჭიროა ფუძისა და სუბლოგარითმული გამოსახულებების შეცვლა

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

ლოგარითმული განტოლებების რამდენიმე ძირითადი ტიპი არსებობს:

უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებები: $log_(a)x=b$. ამ ტიპის განტოლების ამოხსნა გამომდინარეობს ლოგარითმის განმარტებიდან, ე.ი. $x=a^b$ და $x > 0$

მოდით წარმოვადგინოთ განტოლების ორივე მხარე ლოგარითმის სახით $2$-ის საფუძვლად

$log_(2)x=log_(2)2^3$

თუ ერთნაირი ფუძის მქონე ლოგარითმები ტოლია, მაშინ ქველოგარითმული გამოსახულებებიც ტოლია.

პასუხი: $x = 8$

ფორმის განტოლებები: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. იმიტომ რომ ფუძეები იგივეა, შემდეგ ვაიგივებთ სუბლოგარითმული გამოსახულებებს და ვითვალისწინებთ ODZ-ს:

$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, а > 0, а≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

იმიტომ რომ ფუძეები ერთი და იგივეა, შემდეგ ვაიგივებთ სუბლოგარითმული გამოსახულებებს

გადავიტანოთ ყველა წევრი განტოლების მარცხენა მხარეს და წარმოვადგინოთ მსგავსი ტერმინები

შევამოწმოთ ნაპოვნი ფესვები $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$ პირობების მიხედვით

მეორე უტოლობაში ჩანაცვლებისას ფესვი $x=4$ არ აკმაყოფილებს პირობას, შესაბამისად, ის არის უცხო ფესვი.

პასუხი: $x=-3$

• ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი.

ამ მეთოდით გჭირდებათ:

1. ჩაწერეთ ODZ განტოლებები.
2. ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით, დარწმუნდით, რომ განტოლებები წარმოქმნიან იდენტურ ლოგარითმებს.
3. შეცვალეთ $log_(a)f(x)$ ნებისმიერი ცვლადით.
4. ამოხსენით განტოლება ახალი ცვლადისთვის.
5. დაუბრუნდით მე-3 საფეხურს, ჩაანაცვლეთ ცვლადის მნიშვნელობა და მიიღეთ ფორმის უმარტივესი განტოლება: $log_(a)x=b$
6. ამოხსენით უმარტივესი განტოლება.
7. ფესვების პოვნის შემდეგ ლოგარითმული განტოლებააუცილებელია მათი ჩასმა 1-ლ პუნქტში და შეამოწმოს ODZ-ის მდგომარეობა.

ამოხსენით განტოლება $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. მოდით ჩამოვწეროთ ODZ განტოლება:

$\table\(\ x>0,\text"რადგან ის არის ფესვისა და ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ";\ √x≠1→x≠1;$

2. მოდით გავაკეთოთ ლოგარითმები $2$-ის ფუძემდე, ამისთვის გამოვიყენებთ ახალ ბაზაზე გადასვლის წესს მეორე წევრში:

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. ვიღებთ წილადის რაციონალურ განტოლებას t ცვლადისთვის

მოდით შევამციროთ ყველა ტერმინი საერთო მნიშვნელზე $t$.

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

წილადი ნულის ტოლია, როცა მრიცხველი არის ნული, ხოლო მნიშვნელი არ არის ნული.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. მოვაგვაროთ შედეგი კვადრატული განტოლებავიეტას თეორემის მიხედვით:

6. დავუბრუნდეთ მე-3 საფეხურს, გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება და მივიღოთ ორი მარტივი ლოგარითმული განტოლება:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

მოდი განტოლებების მარჯვენა მხარეების ლოგარითმი გამოვყოთ

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

გავაიგივოთ სუბლოგარითმული გამონათქვამები

$√x=2$, $√x=4$

ფესვის მოსაშორებლად, განტოლების ორივე მხარე კვადრატში გავავლოთ

$х_1=4$, $х_2= 16$

7. შევცვალოთ ლოგარითმული განტოლების ფესვები საფეხურ 1-ში და შევამოწმოთ ODZ-ის მდგომარეობა.

$\(\table\ 4 >0; \4≠1;$

პირველი ფესვი აკმაყოფილებს ODZ-ს.

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ მეორე ფესვი ასევე აკმაყოფილებს ODZ-ს.

პასუხი: $4; $16

• $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$ ფორმის განტოლებები. ასეთი განტოლებები იხსნება ახალი ცვლადის შემოღებით და ჩვეულებრივ კვადრატულ განტოლებაზე გადასვლით. განტოლების ფესვების აღმოჩენის შემდეგ, ისინი უნდა შეირჩეს ODZ-ის გათვალისწინებით.

წილადი რაციონალური განტოლებები

• თუ წილადი არის ნული, მაშინ მრიცხველი არის ნული და მნიშვნელი არ არის ნული.
• თუ რაციონალური განტოლების ერთი ნაწილი მაინც შეიცავს წილადს, მაშინ განტოლებას ეწოდება წილად-რაციონალური.

წილადი რაციონალური განტოლების ამოსახსნელად საჭიროა:

1. იპოვეთ ცვლადის მნიშვნელობები, რომლებშიც განტოლებას აზრი არ აქვს (ODZ)
2. იპოვეთ განტოლებაში შემავალი წილადების საერთო მნიშვნელი;
3. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე საერთო მნიშვნელზე;
4. ამოხსენით მიღებული მთლიანი განტოლება;
5. გამორიცხეთ მისი ფესვებიდან ის, რაც არ აკმაყოფილებს ODZ-ის პირობას.

• თუ განტოლება მოიცავს ორ წილადს და მრიცხველები მათი თანაბარი გამოსახულებებია, მაშინ მნიშვნელები შეიძლება გავაიგივოთ ერთმანეთს და შედეგად მიღებული განტოლება გადაწყდეს მრიცხველებისთვის ყურადღების მიქცევის გარეშე. მაგრამ მთლიანი თავდაპირველი განტოლების ODZ-ის გათვალისწინებით.

ექსპონენციალური განტოლებები

ექსპონენციალური განტოლებები არის ის, რომლებშიც უცნობი შედის მაჩვენებელში.

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას გამოიყენება ძალაუფლების თვისებები, გავიხსენოთ ზოგიერთი მათგანი:

1. ერთსა და იმავე ფუძეებთან ხარისხების გამრავლებისას ფუძე იგივე რჩება და მაჩვენებლები ემატება.

$a^n·a^m=a^(n+m)$

2. გრადუსების ერთსა და იმავე ფუძეებთან გაყოფისას ფუძე იგივე რჩება და მაჩვენებლები კლდება

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. ხარისხის ხარისხზე აწევისას ფუძე იგივე რჩება, მაგრამ მაჩვენებლები მრავლდება

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. პროდუქტის სიმძლავრემდე ამაღლებისას თითოეული ფაქტორი ამაღლებულია ამ სიმძლავრემდე

$(a b)^n=a^n b^n$

5. წილადის ხარისხზე აყვანისას მრიცხველი და მნიშვნელი ამაღლებულია ამ ხარისხზე.

$((ა)/(ბ))^n=(a^n)/(b^n)$

6. როდესაც რომელიმე ფუძე ამაღლებულია ნულოვან მაჩვენებელზე, შედეგი უდრის ერთს

7. ფუძე ნებისმიერ უარყოფით მაჩვენებელში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფუძის სახით იმავე პოზიტიურ მაჩვენებელში ფუძის პოზიციის შეცვლით წილადის დარტყმასთან მიმართებაში.

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. რადიკალი (ფესვი) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის სახით

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

ექსპონენციალური განტოლებების სახეები:

1. მარტივი ექსპონენციალური განტოლებები:

ა) ფორმა $a^(f(x))=a^(g(x))$, სადაც $a >0, a≠1, x$ უცნობია. ასეთი განტოლებების ამოსახსნელად ვიყენებთ ხარისხების თვისებას: ერთნაირი ფუძის მქონე სიმძლავრეები ($a >0, a≠1$) ტოლია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი მაჩვენებლები ტოლია.

ბ) $a^(f(x))=b, b>0$ ფორმის განტოლება

ასეთი განტოლებების ამოსახსნელად ორივე მხარე ლოგარითმულად უნდა მივიღოთ $a$ ფუძემდე, გამოდის

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. ბაზის ნიველირების მეთოდი.

3. ფაქტორიზაციის და ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი.

• ამ მეთოდისთვის, მთელ განტოლებაში, ძალაუფლების თვისების მიხედვით, აუცილებელია ძლევამოსილებების გარდაქმნა ერთი სახით $a^(f(x))$.
• შეცვალეთ $a^(f(x))=t ცვლადი, t > 0$.
• ჩვენ ვიღებთ რაციონალურ განტოლებას, რომელიც უნდა გადაწყდეს გამოსახულების ფაქტორინგით.
• ჩვენ ვაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას იმის გათვალისწინებით, რომ $t >

ამოხსენით განტოლება $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

ძალაუფლების თვისების გამოყენებით ჩვენ გამოვხატავთ გამონათქვამს ისე, რომ მივიღოთ სიმძლავრე 2^x.

$(2^x)^3-(7·(2^x)^2)/(2)+(7·2^x)/(2-1)=0$

შევცვალოთ $2^x=t ცვლადი; t>0$

ჩვენ ვიღებთ ფორმის კუბურ განტოლებას

$t^3-(7 t^2)/(2)+(7 ტ)/(2)-1=0$

გაამრავლეთ მთელი განტოლება $2$-ზე, რათა თავიდან აიცილოთ მნიშვნელები

$2t^3-7 t^2+7 t-2=0$

გავაფართოვოთ განტოლების მარცხენა მხარე დაჯგუფების მეთოდის გამოყენებით

$(2t^3-2)-(7 t^2-7 t)=0$

მოდით ამოვიღოთ საერთო ფაქტორი $2$ პირველი ფრჩხილიდან და $7t$ მეორედან

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

გარდა ამისა, პირველ ფრჩხილში ვხედავთ კუბების ფორმულის განსხვავებას

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც მინიმუმ ერთი ფაქტორი ნულის ტოლია

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

მოდით ამოხსნათ პირველი განტოლება

მეორე განტოლება დისკრიმინანტის მეშვეობით ამოვხსნათ

$D=25-4·2·2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2=-1; x_3=1$

პასუხი: -1$; 0; 1$

4. კვადრატული განტოლების კონვერტაციის მეთოდი

• გვაქვს $A·a^(2f(x))+B·a^(f(x))+C=0$ ფორმის განტოლება, სადაც $A, B$ და $C$ არის კოეფიციენტები.
• ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას $a^(f(x))=t, t > 0$.
• შედეგი არის $A·t^2+B·t+С=0$ ფორმის კვადრატული განტოლება. ჩვენ ვხსნით მიღებულ განტოლებას.
• საპირისპირო ჩანაცვლებას ვაკეთებთ იმის გათვალისწინებით, რომ $t > 0$. ვიღებთ უმარტივეს ექსპონენციალურ განტოლებას $a^(f(x))=t$, ამოხსნით და შედეგს ვწერთ პასუხში.

ფაქტორიზაციის მეთოდები:

• საერთო ფაქტორის ამოღება ფრჩხილებიდან.

ფრჩხილებიდან საერთო კოეფიციენტის ამოღებით პოლინომის გასამრავლებლად საჭიროა:

1. დაადგინეთ საერთო ფაქტორი.
2. გაყავით მოცემული მრავალწევრი მასზე.
3. ჩაწერეთ საერთო ფაქტორის ნამრავლი და მიღებული კოეფიციენტი (ამ კოეფიციენტის ჩასმა ფრჩხილებში).

მრავლდება მრავალწევრი: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.

ამ მრავალწევრის საერთო კოეფიციენტია $2a$, ვინაიდან ყველა ტერმინი იყოფა $2$-ზე და “a”-ზე. შემდეგ ვპოულობთ თავდაპირველი მრავალწევრის „2a“-ზე გაყოფის კოეფიციენტს, მივიღებთ:

$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

ეს არის ფაქტორიზაციის საბოლოო შედეგი.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება

1. ჯამის კვადრატი იშლება პირველი რიცხვის კვადრატში, პლუს პირველი რიცხვის და მეორე რიცხვის ნამრავლის ორჯერ და პლუს მეორე რიცხვის კვადრატი.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. სხვაობის კვადრატი იშლება პირველი რიცხვის კვადრატში მინუს ორჯერ პირველი რიცხვის ნამრავლი და მეორე და პლუს მეორე რიცხვის კვადრატი.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. კვადრატების სხვაობა იშლება რიცხვთა სხვაობისა და მათი ჯამის ნამრავლად.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. ჯამის კუბი ტოლია პირველი რიცხვის კუბის პლუს პირველის კვადრატის ნამრავლის სამმაგი მეორე რიცხვით პლუს პირველის ნამრავლი მეორე რიცხვის კვადრატზე პლუს მეორის კუბი. ნომერი.

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. სხვაობის კუბი ტოლია პირველი რიცხვის კუბის გამოკლებით პირველი რიცხვის კვადრატის სამმაგი ნამრავლი მეორე რიცხვით პლუს პირველის სამმაგი ნამრავლი მეორე რიცხვის კვადრატზე და გამოკლებული კუბი. მეორე ნომერი.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. კუბების ჯამი ტოლია რიცხვთა ჯამის ნამრავლისა და სხვაობის ნაწილობრივი კვადრატისა.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. კუბების სხვაობა ტოლია რიცხვთა სხვაობისა და ჯამის არასრული კვადრატის ნამრავლის.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

დაჯგუფების მეთოდი

დაჯგუფების მეთოდი მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც აუცილებელია მრავალწევრის ფაქტორირება ლუწი რიცხვებით. ამ მეთოდით აუცილებელია ტერმინების ჯგუფებად შეგროვება და თითოეული ჯგუფიდან საერთო ფაქტორის ამოღება. ფრჩხილებში მოთავსების შემდეგ რამდენიმე ჯგუფმა უნდა მიიღოს იდენტური გამონათქვამები, შემდეგ ამ ფრჩხილი მივიღოთ წინ, როგორც საერთო ფაქტორი და გავამრავლოთ მიღებული კოეფიციენტის ფრჩხილზე.

შეადგინეთ პოლინომი $2a^3-a^2+4a-2$

ამ პოლინომის დასაშლელად გამოვიყენებთ ტერმინების დაჯგუფების მეთოდს, დავაჯგუფებთ პირველ ორ და ბოლო ორ წევრს და მნიშვნელოვანია, რომ სწორად განვათავსოთ ნიშანი მეორე დაჯგუფების წინ; მოაწერეთ ხელი და ამიტომ დაწერეთ ტერმინები მათი ნიშნებით ფრჩხილებში.

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

საერთო ფაქტორების ამოღების შემდეგ მივიღეთ წყვილი იდენტური ფრჩხილები. ახლა ჩვენ ვიღებთ ამ ფრჩხილს, როგორც საერთო ფაქტორს.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

ამ ფრჩხილების ნამრავლი არის ფაქტორიზაციის საბოლოო შედეგი.

კვადრატული ტრინომალური ფორმულის გამოყენებით.

თუ არსებობს $ax^2+bx+c$ ფორმის კვადრატული ტრინომიალი, მაშინ ის შეიძლება გაფართოვდეს ფორმულის მიხედვით.

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, სადაც $x_1$ და $x_2$ არის კვადრატული ტრინომის ფესვები