Pohyb po naklonenej rovine telesa: rýchlosť, trenie, čas. Pohyb telesa po naklonenej rovine Zrýchlenie telesa po naklonenej rovine

Pohyb telesa po naklonenej rovine je klasickým príkladom pohybu telesa pri pôsobení viacerých nesmerových síl. Štandardnou metódou riešenia problémov tohto druhu pohybu je rozšírenie vektorov všetkých síl na zložky smerujúce pozdĺž súradnicových osí. Takéto komponenty sú lineárne nezávislé. To nám umožňuje napísať druhý Newtonov zákon pre komponenty pozdĺž každej osi samostatne. Druhý Newtonov zákon, ktorým je vektorová rovnica, sa teda zmení na systém dvoch (troch pre trojrozmerný prípad) algebraických rovníc.

Sily pôsobiace na blok sú
v prípade zrýchleného pohybu smerom nadol

Uvažujme teleso, ktoré kĺže po naklonenej rovine. V tomto prípade naň pôsobia nasledujúce sily:

• Gravitácia m g , smerujúce vertikálne nadol;
• Pozemná reakčná sila N , smerujúce kolmo na rovinu;
• Kĺzavá trecia sila F tr, nasmerovaný opačne k rýchlosti (hore pozdĺž naklonenej roviny, keď sa telo kĺže)

Pri riešení problémov, v ktorých sa objavuje naklonená rovina, je často vhodné zaviesť naklonený súradnicový systém, ktorého os OX smeruje nadol pozdĺž roviny. To je výhodné, pretože v tomto prípade budete musieť rozložiť iba jeden vektor na zložky - vektor gravitácie m g a vektor trecej sily F tr a pozemné reakčné sily N už nasmerované pozdĺž osí. Pri tejto expanzii sa x-ová zložka gravitácie rovná mg hriech( α ) a zodpovedá „ťažnej sile“ zodpovednej za zrýchlený pohyb nadol a zložka y je mg cos( α ) = N vyrovnáva reakčnú silu zeme, pretože nedochádza k žiadnemu pohybu tela pozdĺž osi OY.
Kĺzavá trecia sila F tr = uNúmerné sile reakcie zeme. To nám umožňuje získať nasledujúci výraz pre treciu silu: F tr = μmg cos( α ). Táto sila je opačná k „ťahovacej“ zložke gravitácie. Preto pre kĺzanie tela nadol , získame výrazy pre celkovú výslednú silu a zrýchlenie:

F x = mg(hriech( α ) – µ cos( α ));
a x = g(hriech( α ) – µ cos( α )).

Nie je ťažké vidieť, čo keby µ < tg(α ), potom výraz má kladné znamenie a máme do činenia s rovnomerne zrýchleným pohybom po naklonenej rovine. Ak µ >tg( α ), potom bude mať zrýchlenie záporné znamienko a pohyb bude rovnako pomalý. Takýto pohyb je možný len vtedy, ak telo dostane počiatočnú rýchlosť dolu svahom. V tomto prípade sa telo postupne zastaví. Ak je poskytnutá µ >tg( α ) objekt je spočiatku v kľude, nezačne sa zosúvať. Tu bude statická trecia sila úplne kompenzovať „ťahovú“ zložku gravitácie.

Keď sa koeficient trenia presne rovná dotyčnici uhla sklonu roviny: µ = tg( α ), máme do činenia so vzájomnou kompenzáciou všetkých troch síl. V tomto prípade podľa prvého Newtonovho zákona môže byť teleso buď v pokoji, alebo sa môže pohybovať konštantnou rýchlosťou (v tomto prípade je rovnomerný pohyb možný len smerom nadol).

Sily pôsobiace na blok sú
kĺzanie po naklonenej rovine:
prípade spomaleného pohybu smerom nahor

Karoséria však dokáže jazdiť aj po naklonenej rovine. Príkladom takéhoto pohybu je pohyb hokejového puku po ľadovej šmýkačke. Keď sa teleso pohybuje nahor, trecia sila aj „ťahová“ zložka gravitácie smerujú nadol pozdĺž naklonenej roviny. V tomto prípade máme vždy čo do činenia s rovnomerne pomalým pohybom, keďže celková sila smeruje v opačnom smere ako je rýchlosť. Výraz pre zrýchlenie pre túto situáciu sa získa podobným spôsobom a líši sa iba znakom. Tak pre teleso kĺzajúce po naklonenej rovine , máme.

Dynamika je jedným z dôležitých odvetví fyziky, ktorý študuje príčiny pohybu telies v priestore. V tomto článku zvážime z teoretického hľadiska jeden z typických problémov dynamiky - pohyb tela pozdĺž naklonenej roviny a tiež uvedieme príklady riešení niektorých praktických problémov.

Základný vzorec dynamiky

Predtým, ako prejdeme k štúdiu fyziky pohybu tela pozdĺž naklonenej roviny, uvádzame potrebné teoretické informácie na riešenie tohto problému.

Isaac Newton v 17. storočí vďaka praktickým pozorovaniam pohybu makroskopických okolitých telies odvodil tri zákony, ktoré v súčasnosti nesú jeho meno. Celá klasická mechanika je založená na týchto zákonoch. Tento článok nás zaujíma len v druhom zákone. Jeho matematický tvar je uvedený nižšie:

Mohlo by vás zaujímať:

Vzorec hovorí, že pôsobenie vonkajšej sily F¯ spôsobí zrýchlenie a¯ telesa s hmotnosťou m. Tento jednoduchý výraz budeme ďalej používať na riešenie úloh pohybu tela po naklonenej rovine.

Všimnite si, že sila a zrýchlenie sú vektorové veličiny smerujúce rovnakým smerom. Navyše sila je aditívna charakteristika, to znamená, že vo vyššie uvedenom vzorci možno F¯ považovať za výsledný účinok na telo.

Naklonená rovina a sily pôsobiace na teleso, ktoré sa na nej nachádza

Kľúčovým bodom, od ktorého závisí úspešnosť riešenia úloh pohybu telesa po naklonenej rovine, je určenie síl pôsobiacich na teleso. Definícia síl sa chápe ako znalosť ich modulov a smerov pôsobenia.

Nižšie je nákres, ktorý ukazuje, že karoséria (auto) je v pokoji na rovine naklonenej pod uhlom k horizontále. Aké sily naň pôsobia?

Nižšie uvedený zoznam uvádza tieto sily:

• ťažkosť;
• podporné reakcie;
• trenie;
• napätie nite (ak existuje).

Gravitácia

V prvom rade je to sila gravitácie (Fg). Smeruje vertikálne nadol. Keďže teleso má schopnosť pohybu len po povrchu roviny, pri riešení úloh sa gravitačná sila rozloží na dve navzájom kolmé zložky. Jedna zo zložiek je nasmerovaná pozdĺž roviny, druhá je na ňu kolmá. Len prvý z nich vedie k objaveniu sa zrýchlenia v tele a v skutočnosti je jediným hnacím faktorom pre príslušné telo. Druhá zložka určuje výskyt reakčnej sily podpory.

Nech je malé teleso na naklonenej rovine s uhlom sklonu a (obr. 14.3, A). Poďme zistiť: 1) aká je trecia sila, ak sa teleso kĺže po naklonenej rovine; 2) aká je trecia sila, ak teleso leží nehybne; 3) pri akej minimálnej hodnote uhla sklonu a začne teleso kĺzať z naklonenej roviny.

A) b)

Trecia sila bude prekážať pohyb, preto bude smerovať nahor pozdĺž naklonenej roviny (obr. 14.3, b). Okrem trecej sily pôsobí na teleso aj gravitačná sila a normálna reakčná sila. Predstavme si súradnicový systém HOU, ako je znázornené na obrázku, a nájdite projekcie všetkých týchto síl na súradnicové osi:

X: F tr X = –F tr, N X = 0, mg X = mg sina;

Y:F tr Y = 0, NY=N, mg Y = -mg cosa.

Pretože teleso môže zrýchľovať iba pozdĺž naklonenej roviny, to znamená pozdĺž osi X, potom je zrejmé, že priemet vektora zrýchlenia na os Y bude vždy nula: a Y= 0, čo znamená súčet priemetov všetkých síl na os Y musí byť tiež nula:

F tr Y + N Y + mg Y= 0 Þ 0 + N–mg cosa = 0 Þ

N = mg cosa. (14.4)

Potom sa klzná trecia sila podľa vzorca (14.3) rovná:

F tr.sk = m N= m mg cosa. (14,5)

Ak telo odpočíva, potom súčet priemetov všetkých síl pôsobiacich na teleso na os X by sa malo rovnať nule:

F tr X + N X + mg X= 0 Þ – F tr + 0 + mg sina = 0 Þ

F tr.p = mg sina. (14.6)

Ak postupne zväčšujeme uhol sklonu, tak hodnotu mg sina sa bude postupne zvyšovať, čo znamená, že sa bude zvyšovať aj statická trecia sila, ktorá sa vždy „automaticky prispôsobí“ vonkajším vplyvom a kompenzuje ich.

Ale ako vieme, „možnosti“ statickej trecej sily nie sú neobmedzené. Pri určitom uhle a 0 sa vyčerpá celý „zdroj“ statickej trecej sily: dosiahne svoju maximálnu hodnotu, rovnakú silu klzné trenie. Potom bude rovnosť pravdivá:

F tr.sk = mg sina 0.

Nahradením tejto rovnosti hodnotou F tr.sk zo vzorca (14.5), získame: m mg cosa 0 = mg sina 0.

Delenie oboch strán poslednej rovnosti o mg cosa 0, dostaneme:

Þ a 0 = arctgm.

Takže uhol a, pri ktorom sa teleso začína kĺzať pozdĺž naklonenej roviny, je daný vzorcom:

a 0 = arctgm. (14.7)

Všimnite si, že ak a = a 0, teleso môže buď ležať nehybne (ak sa ho nedotknete), alebo kĺzať konštantnou rýchlosťou po naklonenej rovine (ak naň trochu zatlačíte). Ak< a 0 , то тело «стабильно» неподвижно, и легкий толчок не произведет на него никакого «впечатления». А если a >a 0, potom sa telo zošmykne z naklonenej roviny so zrýchlením a bez akýchkoľvek otrasov.

Problém 14.1. Muž nesie dve sane spojené navzájom (obr. 14.4, A), použitie sily F pod uhlom a k horizontále. Hmotnosti saní sú rovnaké a rovnaké T. Súčiniteľ trenia bežcov na snehu m. Nájdite zrýchlenie saní a napínaciu silu T laná medzi saňami, ako aj silu F 1, ktorým musí človek ťahať lano, aby sa sane pohybovali rovnomerne.

F a m m	A)	b) Ryža. 14.4
A = ? T = ? F 1 = ?

Riešenie. Zapíšme si druhý Newtonov zákon pre každú sánku v projekciách na os X A pri(Obr. 14.4, b):

ja pri: N 1 + F sina – mg = 0, (1)

X: F cosa - T– m N 1 = ma; (2)

II pri: N 2 – mg = 0, (3)

X: T– m N 2 = ma. (4)

Z (1) nájdeme N 1 = mg-F sina, z (3) a (4) nájdeme T = m mg++ ma. Nahradením týchto hodnôt N 1 a T v (2) dostaneme

.

Nahrádzanie A v (4) dostaneme

T= m N 2 + ma= m mg + že =

M mg + T .

Nájsť F 1, dajme rovnítko medzi výraz pre A na nulu:

Odpoveď: ; ;

.

STOP! Rozhodnite sa sami: B1, B6, C3.

Problém 14.2. Dve telá s hmotnosťou T A M zviazané niťou, ako je znázornené na obr. 14,5, A. S akým zrýchlením sa telo pohybuje? M, ak súčiniteľ trenia na povrchu stola je m. Aké je napätie nite T? Aká je sila tlaku na os bloku?

T M m	Riešenie. Napíšme druhý Newtonov zákon v projekciách na os X 1 a X 2 (obr. 14.5, b), zvažujem to: X 1: T - m Mg = Ma, (1) X 2: mg – T = ma. (2) Riešením sústavy rovníc (1) a (2) zistíme:
A = ? T = ? R = ?

Ak sa bremená nepohybujú, potom .

Odpoveď: 1) ak T < mM, To A = 0, T = mg, ; 2) ak T³m M, To , , .

STOP! Rozhodnite sa sami: B9–B11, C5.

Problém 15.3. Dve telá s hmotnosťou T 1 a T 2 sú spojené niťou prehodenou cez blok (obr. 14.6). Telo T 1 je na naklonenej rovine s uhlom sklonu a. Koeficient trenia o rovinu m. Telesná hmotnosť T 2 visiace na niti. Nájdite zrýchlenie telies, napínaciu silu závitu a prítlačnú silu bloku na osi za predpokladu, že T 2 < T 1. Uvažujme tga > m.

Ryža. 14.7

Napíšme druhý Newtonov zákon v projekciách na os X 1 a X 2, vzhľadom na to a:

X 1: T 1 g sina – T - m m 1 g cosa = m 1 a,

X 2: T–m 2 g = m 2 a.

, .

Pretože A Potom >0

Ak nie je splnená nerovnosť (1), potom zaťaženie T 2 sa určite neposúva hore! Potom sú možné ďalšie dve možnosti: 1) systém je nehybný; 2) náklad T 2 sa pohybuje nadol (a náklad T 1 nahor).

Predpokladajme, že zaťaženie T 2 sa pohybuje nadol (obr. 14.8).

Ryža. 14.8

Potom rovnice druhého Newtonovho zákona na osi X 1 a X 2 bude vyzerať takto:

X 1: T – t 1 g sina – m m 1 g cosa = m 1 a,

X 2: m 2 g – T = m 2 a.

Pri riešení tohto systému rovníc zistíme:

, .

Pretože A Potom >0

Takže, ak je splnená nerovnosť (1), potom zaťaženie T 2 ide hore a ak je splnená nerovnosť (2), tak dole. Ak teda nie je splnená ani jedna z týchto podmienok, t.j.

,

systém je nehybný.

Zostáva nájsť tlakovú silu na osi bloku (obr. 14.9). Tlaková sila na os bloku R V v tomto prípade možno nájsť ako uhlopriečku kosoštvorca A B C D. Pretože

Ð ADC= 180° – 2,

kde b = 90°– a, potom pomocou kosínusovej vety

R 2 = .

Odtiaľ .

Odpoveď:

1) ak , To , ;

2) ak , To , ;

3) ak , To A = 0; T = T 2 g.

V každom prípade .

STOP! Rozhodnite sa sami: B13, B15.

Problém 14.4. Na vozíku váženie M pôsobí horizontálna sila F(Obr. 14.10, A). Koeficient trenia medzi zaťažením T a košík sa rovná m. Určte zrýchlenie bremien. Aká by mala byť minimálna sila F 0 načítať T začal kĺzať na vozíku?

M, T F m	A)	b) Ryža. 14.10
A 1 = ? A 2 = ? F 0 = ?

Riešenie. Najprv si všimnite, že sila poháňajúca záťaž T v pohybe je statická trecia sila, ktorou vozík pôsobí na náklad. Maximálna možná hodnota tejto sily je m mg.

Podľa tretieho Newtonovho zákona zaťaženie pôsobí na vozík rovnakou silou - (obr. 14.10, b). Sklz začína v momente, keď už dosiahol svoju maximálnu hodnotu, ale sústava sa stále pohybuje ako jedno hmotné teleso T+M so zrýchlením. Potom podľa druhého Newtonovho zákona

Teleso s hmotnosťou 2 kg pod silou F sa posunie po naklonenej rovine o vzdialenosť, vzdialenosť telesa od povrchu Zeme sa zväčší o

Vektor sily F smerovaný rovnobežne s naklonenou rovinou, modul sily F sa rovná 30 N. Koľko práce vykonala gravitácia pri tomto pohybe? (Odpoveď uveďte v jouloch.) Zrýchlenie voľný pád vziať koeficient trenia rovnaký

Riešenie.

Práca sily je definovaná ako skalárny súčin vektora sily a vektora posunutia telesa. V dôsledku toho gravitačná sila pri zdvíhaní telesa po naklonenej rovine fungovala (- uhol pri základni naklonenej roviny)

Odpoveď: -60.

Alternatívne riešenie.

Gravitácia je druh sily nazývanej potenciál. Tieto sily majú tú vlastnosť, že ich práca pozdĺž akejkoľvek uzavretej dráhy je vždy nulová (toto možno považovať za definíciu). Ako ďalšie príklady potenciálnych síl môžeme uviesť silu pružnosti, podliehajúcu Hookovmu zákonu, Coulombovu silu interakcie nábojov, silu univerzálnej gravitácie (ako zovšeobecnenie jednoduchej gravitačnej sily). -potenciálnou silou, ktorá nemá vyššie opísanú vlastnosť, môže byť napríklad trecia sila.

Ako je ľahké vidieť, pre všetky sily, ktoré sa tu nazývajú potenciál, je hodnota potenciálnej energie určená: - pre gravitáciu, - pre elasticitu, - pre Coulombove interakčné sily a napokon - pre silu univerzálnej gravitácie. Ukazuje sa, že práve pozoruhodná vlastnosť potenciálnych síl, ktorá tvorí základ ich definície, umožňuje zaviesť pre ne pojmy zodpovedajúcich potenciálnych energií. IN všeobecný prípad toto sa robí nasledovne. Nechajte pôsobiť potenciálnu silu pri prenose telesa z bodu 1 do bodu 2. Potom podľa definície hovoria, že rozdiel v hodnotách zodpovedajúcej potenciálnej energie v bodoch 2 a 1 je rovnaký. Keďže táto definícia vždy obsahuje iba rozdiel potenciálnych energií v dvoch bodoch, potenciálna energia sa vždy ukáže byť definovaná až do konštanty. Toto by vám mala byť dobre známa skutočnosť. Aplikujme to teraz na tento problém.

Musíme nájsť prácu vykonanú gravitáciou; pre gravitáciu vieme, čo je potenciálna energia. Použitím vyššie napísaného vzorca dostaneme: Že požadovaná práca sa rovná zmene potenciálnej energie tela, ktorá sa berie so znamienkom mínus. Výška telesa nad povrchom Zeme sa zväčšila, teda jeho energia vzrástla o

To znamená, že práca vykonaná gravitáciou sa rovná

Na konsolidáciu materiálu navrhujem zvážiť nasledujúci problém. Z povrchu Zeme štartuje raketa s hmotnosťou Určte, koľko práce vykoná gravitačná sila zo Zeme, kým bude raketa vo vzdialenosti dvoch polomerov Zeme od stredu Zeme.

Riešenie.

Vzorec „“ nebude možné použiť čelne, keďže gravitačná sila klesá, keď sa vzďaľujete od Zeme, jedinou šancou na uplatnenie tohto vzorca je začať s integráciou. Opustíme to a pokúsime sa znova uplatniť naše znalosti. Gravitačná sila smerom k Zemi je potenciálna. Pre ňu poznáme hodnotu potenciálnej energie. Určme, ako veľmi sa zmení potenciálna energia rakety.

Preto sila príťažlivosti vykonala prácu

Podľa očakávania je tento výkon negatívny.

Príklad pre sebaanalýzu:

Pružina s tuhosťou 10 N/m je natiahnutá o 5 cm, akú prácu vykoná elastická sila, keď sa natiahne o ďalších 5 cm?

Na povrchu Zeme gravitácia (gravitácia) je konštantná a rovná sa súčinu hmotnosti padajúceho telesa a gravitačného zrýchlenia: Fg = mg

Treba poznamenať, že zrýchlenie voľného pádu je konštantná hodnota: g=9,8 m/s 2 a smeruje do stredu Zeme. Na základe toho môžeme povedať, že telesá s rôznou hmotnosťou padnú na Zem rovnako rýchlo. Ako to? Ak hodíte kúsok vaty a tehlu z rovnakej výšky, tá sa rýchlejšie dostane na zem. Nezabudnite na odpor vzduchu! Pre vatu to bude významné, pretože jej hustota je veľmi nízka. V priestore bez vzduchu budú tehla a vlna padať súčasne.

Lopta sa pohybuje po naklonenej rovine dlhej 10 metrov, uhol sklonu roviny je 30°. Aká bude rýchlosť lopty na konci roviny?

Na loptičku pôsobí iba gravitačná sila Fg, smerujúca nadol kolmo na základňu roviny. Pod vplyvom tejto sily (zložka smerujúca pozdĺž povrchu roviny) sa loptička bude pohybovať. Aká bude zložka gravitácie pôsobiaca pozdĺž naklonenej roviny?

Na určenie zložky je potrebné poznať uhol medzi vektorom sily F g a naklonenou rovinou.

Určenie uhla je pomerne jednoduché:

• súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka je 180°;
• uhol medzi vektorom sily F g a základňou naklonenej roviny je 90°;
• uhol medzi naklonenou rovinou a jej základňou je α

Na základe vyššie uvedeného bude požadovaný uhol rovný: 180° - 90° - α = 90° - α

Z trigonometrie:

Fg sklon = Fg cos(90°-α)

Sinα = cos(90°-α)

F g sklon = F g sinα

Naozaj je to takto:

• pri α=90° (vertikálna rovina) F g sklon = F g
• pri α=0° (horizontálna rovina) Fg sklon = 0

Určme zrýchlenie lopty zo známeho vzorca:

F g sinα = m a

A = F g sinα/m

A = mg sinα/m = g sinα

Zrýchlenie lopty pozdĺž naklonenej roviny nezávisí od hmotnosti lopty, ale iba od uhla sklonu roviny.

Určte rýchlosť lopty na konci roviny:

V 1 2 - V 0 2 = 2 a s

(V 0 =0) - lopta sa začne pohybovať z miesta

V12 = √2·a·s

V = 2 g sinα S = √2 9,8 0,5 10 = √98 = 10 m/s

Pozor na vzorec! Rýchlosť telesa na konci naklonenej roviny bude závisieť len od uhla sklonu roviny a jej dĺžky.

V našom prípade biliardová guľa aj biliardová guľa budú mať na konci roviny rýchlosť 10 m/s. auto, a sklápač a školák na saniach. Samozrejme, neberieme do úvahy trenie.