Komplexné čísla sú minimálnym rozšírením množiny reálnych čísel, ktoré poznáme. Ich zásadný rozdiel je v tom, že sa objaví prvok, ktorý pri odmocnení dáva -1, t.j. ja alebo .

Každé komplexné číslo sa skladá z dvoch častí: skutočné a vymyslené:

Je teda zrejmé, že množina reálnych čísel sa zhoduje s množinou komplexných čísel s nulovou imaginárnou časťou.

Najpopulárnejším modelom pre množinu komplexných čísel je obyčajná rovina. Prvá súradnica každého bodu bude jeho skutočnou časťou a druhá bude jeho imaginárnou časťou. Potom úlohou samotných komplexných čísel budú vektory so začiatkom v bode (0,0).

Operácie s komplexnými číslami.

V skutočnosti, ak vezmeme do úvahy model množiny komplexných čísel, je intuitívne jasné, že sčítanie (odčítanie) a násobenie dvoch komplexných čísel sa vykonáva rovnakým spôsobom ako zodpovedajúce operácie s vektormi. Navyše máme na mysli vektorový súčin vektorov, pretože výsledkom tejto operácie je opäť vektor.

1.1 Doplnenie.

(Ako vidíte, táto operácia presne zodpovedá)

1.2 Odčítanie, podobne sa vyrába podľa nasledujúceho pravidla:

2. Násobenie.

3. Rozdelenie.

Definované jednoducho ako inverzná operácia násobenia.

Trigonometrická forma.

Modul komplexného čísla z je nasledujúca veličina:

,

samozrejme, toto je opäť len modul (dĺžka) vektora (a,b).

Najčastejšie sa modul komplexného čísla označuje ako ρ.

Ukazuje sa, že

z = ρ(cosφ+isinφ).

Priamo z trigonometrickej formy zápisu komplexného čísla vyplýva: vzorce :

Posledný vzorec je tzv Moivreov vzorec. Vzorec je odvodený priamo od neho n-tá odmocnina komplexného čísla:

teda existujú n-té korene komplexného čísla z.

Plán lekcie.

1. Organizačný moment.

2. Prezentácia materiálu.

3. Domáce úlohy.

4. Zhrnutie lekcie.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

II. Prezentácia materiálu.

Motivácia.

Rozšírenie množiny reálnych čísel spočíva v pridávaní nových čísel (imaginárnych) k reálnym číslam. Zavedenie týchto čísel je spôsobené nemožnosťou extrahovať odmocninu zo záporného čísla v množine reálnych čísel.

Úvod do pojmu komplexné číslo.

Imaginárne čísla, ktorými dopĺňame reálne čísla, sa píšu v tvare bi, Kde i je pomyselná jednotka a i 2 = - 1.

Na základe toho získame nasledujúcu definíciu komplexného čísla.

Definícia. Komplexné číslo je vyjadrením tvaru a+bi, Kde a A b- reálne čísla. V tomto prípade sú splnené nasledujúce podmienky:

a) Dve komplexné čísla a 1 + b 1 i A a 2 + b 2 i rovnať vtedy a len vtedy a 1 = a 2, b 1 = b 2.

b) Sčítanie komplexných čísel je určené pravidlom:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Násobenie komplexných čísel je určené pravidlom:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Algebraický tvar komplexného čísla.

Zápis komplexného čísla do formulára a+bi sa nazýva algebraická forma komplexného čísla, kde A- skutočná časť, bi je imaginárna časť a b- Reálne číslo.

Komplexné číslo a+bi sa považuje za rovné nule, ak sa jeho skutočná a imaginárna časť rovnajú nule: a = b = 0

Komplexné číslo a+bi pri b = 0 považované za rovnaké ako reálne číslo a: a + 0i = a.

Komplexné číslo a+bi pri a = 0 sa nazýva čisto imaginárny a označuje sa bi: 0 + bi = bi.

Dve komplexné čísla z = a + bi A = a – bi, líšiace sa len znakom imaginárnej časti, sa nazývajú konjugované.

Operácie s komplexnými číslami v algebraickej forme.

Nasledujúce operácie môžete vykonávať s komplexnými číslami v algebraickej forme.

1) Doplnenie.

Definícia. Súčet komplexných čísel zi = ai + b1 i A z2 = a2 + b2 i sa nazýva komplexné číslo z, ktorej reálna časť sa rovná súčtu reálnych častí z 1 A z 2 a imaginárna časť je súčtom imaginárnych častí čísel z 1 A z 2, teda z = (ai + a2) + (b1 + b2)i.

čísla z 1 A z 2 sa nazývajú termíny.

Sčítanie komplexných čísel má nasledujúce vlastnosti:

1º. Komutivita: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. Asociativita: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Komplexné číslo –a –bi nazývaný opakom komplexného čísla z = a + bi. Komplexné číslo, opak komplexného čísla z, označené -z. Súčet komplexných čísel z A -z rovná nule: z + (-z) = 0

Príklad 1: Vykonajte sčítanie (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Odčítanie.

Definícia. Odčítajte od komplexného čísla z 1 komplexné číslo z 2 z,Čo z + z 2 = z 1.

Veta. Rozdiel medzi komplexnými číslami existuje a je jedinečný.

Príklad 2: Vykonajte odčítanie (4 – 2i) – (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) Násobenie.

Definícia. Súčin komplexných čísel zi = ai + bi i A z2 = a2 + b2 i sa nazýva komplexné číslo z, definovaný rovnosťou: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

čísla z 1 A z 2 sa nazývajú faktory.

Násobenie komplexných čísel má tieto vlastnosti:

1º. Komutivita: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Asociativita: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2- Reálne číslo.

V praxi sa násobenie komplexných čísel uskutočňuje podľa pravidla násobenia súčtu súčtom a oddeľovania reálnej a imaginárnej časti.

V nasledujúcom príklade budeme uvažovať o násobení komplexných čísel dvoma spôsobmi: pravidlom a násobením súčtu súčtom.

Príklad 3: Vykonajte násobenie (2 + 3i) (5 – 7i).

1 spôsob. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

Metóda 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) Rozdelenie.

Definícia. Rozdeľte komplexné číslo z 1 na komplexné číslo z 2, znamená nájsť také komplexné číslo z, Čo z · z 2 = z 1.

Veta. Podiel komplexných čísel existuje a je jedinečný, ak z 2 ≠ 0 + 0i.

V praxi sa podiel komplexných čísel zistí vynásobením čitateľa a menovateľa konjugátom menovateľa.

Nechaj zi = ai + b1 i, z2 = a2 + b2 i, Potom

.

V nasledujúcom príklade vykonáme delenie pomocou vzorca a pravidla násobenia číslom konjugovaným do menovateľa.

Príklad 4. Nájdite kvocient .

5) Pozdvihnutie k pozitívnej celkovej sile.

a) Mocniny imaginárnej jednotky.

Využívanie výhod rovnosti i2 = -1, je ľahké definovať akúkoľvek kladnú mocninu celého čísla imaginárnej jednotky. Máme:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i8 = i6 i2 = 1 atď.

To ukazuje, že hodnoty stupňov ja n, Kde n– kladné celé číslo, ktoré sa periodicky opakuje, keď sa indikátor zvyšuje o 4 .

Preto na zvýšenie počtu i na kladnú celú mocninu, musíme exponent vydeliť o 4 a stavať i na mocninu, ktorej exponent sa rovná zvyšku delenia.

Príklad 5: Vypočítajte: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

b) Umocnenie komplexného čísla na kladné celé číslo sa vykonáva podľa pravidla pre umocnenie dvojčlenu na zodpovedajúcu mocninu, pretože ide o špeciálny prípad násobenia rovnakých komplexných faktorov.

Príklad 6: Vypočítajte: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Komplexné čísla

Imaginárny A komplexné čísla. Úsečka a ordináta

komplexné číslo. Konjugujte komplexné čísla.

Operácie s komplexnými číslami. Geometrické

reprezentácia komplexných čísel. Komplexná rovina.

Modul a argument komplexného čísla. Trigonometrické

forma komplexného čísla. Operácie s komplexom

čísla v trigonometrickom tvare. Moivreov vzorec.

Základné informácie o imaginárny A komplexné čísla sú uvedené v časti „Imaginárne a komplexné čísla“. Potreba týchto čísel nového typu vznikla pri riešení kvadratických rovníc pre daný prípadD< 0 (здесь D– diskriminant kvadratickej rovnice). Tieto čísla dlho nenašli fyzické uplatnenie, a preto sa nazývali „imaginárne“ čísla. Teraz sú však veľmi široko používané v rôznych oblastiach fyziky.

a technológie: elektrotechnika, hydro- a aerodynamika, teória pružnosti atď.

Komplexné čísla sú napísané v tvare:a+bi. Tu a A b – reálne čísla , A i – pomyselná jednotka, t.j. e. i 2 = –1. číslo a volal úsečka, a b – súradnicakomplexné čísloa + bi.Dve komplexné číslaa+bi A a–bi sa volajú konjugovať komplexné čísla.

Hlavné dohody:

1. Reálne čísloAmožno napísať aj vo formekomplexné číslo:a + 0 i alebo a – 0 i. Napríklad záznamy 5 + 0i a 5-0 iznamená rovnaké číslo 5 .

2. Komplexné číslo 0 + bivolal čisto imaginárne číslo. Záznambiznamená to isté ako 0 + bi.

3. Dve komplexné číslaa+bi Ac + disa považujú za rovnaké, aka = c A b = d. Inak komplexné čísla nie sú rovnaké.

Doplnenie. Súčet komplexných čísela+bi A c + disa nazýva komplexné číslo (a+c ) + (b+d ) i.teda pri pridávaní komplexné čísla, ich úsečky a ordináty sa pridávajú samostatne.

Táto definícia zodpovedá pravidlám pre operácie s obyčajnými polynómami.

Odčítanie. Rozdiel dvoch komplexných čísela+bi(zmenšené) a c + di(subtrahend) sa nazýva komplexné číslo (a–c ) + (b–d ) i.

teda Pri odčítaní dvoch komplexných čísel sa ich úsečky a ordináty odčítajú oddelene.

Násobenie. Súčin komplexných čísela+bi A c + di sa nazýva komplexné číslo:

(ac–bd ) + (ad+bc ) i.Táto definícia vyplýva z dvoch požiadaviek:

1) čísla a+bi A c + ditreba násobiť ako algebraicky dvojčlenky,

2) číslo imá hlavnú vlastnosť:i 2 = – 1.

PRÍKLAD ( a+ bi )(a–bi) = a 2 +b 2 . teda práca

dve konjugované komplexné čísla sa rovnajú skutočným

kladné číslo.

divízie. Rozdeľte komplexné čísloa+bi (deliteľné) inýmc + di(delič) - znamená nájsť tretie čísloe + f i(chat), ktorý pri vynásobení deliteľomc + divýsledkom je dividendaa + bi.

Ak deliteľ nie je nula, delenie je vždy možné.

PRÍKLAD Nájsť (8 +i ) : (2 – 3 i) .

Riešenie. Prepíšme tento pomer ako zlomok:

Vynásobte jeho čitateľa a menovateľa 2 + 3i

A Po vykonaní všetkých transformácií dostaneme:

Geometrické znázornenie komplexných čísel. Reálne čísla sú reprezentované bodmi na číselnej osi:

Tu je pointa Aznamená číslo –3, bodkaB– číslo 2 a O- nula. Naproti tomu komplexné čísla sú reprezentované bodmi na súradnicovej rovine. Na tento účel volíme pravouhlé (karteziánske) súradnice s rovnakými mierkami na oboch osiach. Potom komplexné čísloa+bi bude reprezentovaný bodkou P s osou x a a súradnica b (pozri obrázok). Tento súradnicový systém je tzv komplexná rovina .

modul komplexné číslo je dĺžka vektoraOP, ktoré predstavuje komplexné číslo na súradnici ( obsiahly) lietadlo. Modul komplexného číslaa+bi označené | a+bi| alebo list r