Lineárny stav napätia. Rovinný napäťový stav, rovinná deformácia Všeobecný prípad rovinného napäťového stavu
Ak sú všetky vektory napätia rovnobežné s tou istou rovinou, stav napätia sa nazýva rovinný (obr. 1). V opačnom prípade: stav napätia je plochý, ak je jedno z troch hlavných napätí nulové.
Obrázok 1.
Rovinný napäťový stav sa realizuje v doske zaťaženej po jej obryse silami, ktorých výslednice sa nachádzajú v jej strednej rovine (stredná rovina je rovina deliaca hrúbku dosky na polovicu).
Smery napätia na obr. 1 sa považujú za pozitívne. Uhol α je kladný, ak je vynesený od osi x k osi y. Na stránke s normálnym n:
Normálne napätie σ n je kladné, ak je ťahové. Kladné napätie je znázornené na obr. 1. Znamenkové pravidlo pre vzorec (1) je rovnaké ako pre napätia podľa vzorca (1).
Tu uvedené pravidlo o značkách platí pre naklonené plošiny. V článku "Stav objemového stresu" bolo formulované znamienkové pravidlo pre zložky napätia v bode, t.j. pre napätia v oblastiach kolmých na súradnicové osi. Toto znakové pravidlo je akceptované v teórii elasticity.
Hlavné napätia v oblastiach kolmých na rovinu napätia:
(Keďže sa tu uvažujú iba dve hlavné napätia, označujú sa σ 1 a σ 2, hoci sa môže ukázať, že σ 2<0, т. е. σ 2 не будет средним из трех главных напряжений). Угол α 1 составляемый нормалью к первой главной площадке с осью х, находится из равенства:
Tieto napätia pôsobia na oblasti umiestnené pod uhlom 45° k prvej a druhej hlavnej oblasti.
Ak majú hlavné napätia σ 1 a σ 2 rovnaké znamienko, potom najväčšie tangenciálne napätie pôsobí na oblasť ležiacu pod uhlom 45° k rovine napätia (rovina xy). V tomto prípade:
V stene nosníka (tu máme na mysli pravidelný nosník, nie nosník-stenu), keď je ohýbaný silami, sa realizuje špeciálny prípad rovinného napätého stavu. V stenách nosníka je jedno z normálových napätí σ y rovné nule. V tomto prípade sa napätia získajú podľa vzorcov (1), (2) a (4), ak do týchto vzorcov dáme σ y =0. Poloha prvej hlavnej plošiny je určená vzorcom (3).
DVOJSMERNÉ NAPÁJANIE(Obrázok 2).
Základy teórie pružnosti
Prednáška 4
Rovinný problém teórie pružnosti
Snímka 2
V teórii elasticity existuje veľká trieda problémov, ktoré sú dôležité v zmysle praktických aplikácií a zároveň umožňujú výrazné zjednodušenia matematickej stránky riešenia. Zjednodušenie spočíva v tom, že pri týchto úlohách je možné jednu zo súradnicových osí telesa, napríklad os z, zahodiť a všetky javy považovať za prebiehajúce v jednej súradnicovej rovine x0y zaťažovaného telesa. V tomto prípade budú napätia, deformácie a posuny funkciami dvoch súradníc - x a y.
Problém uvažovaný v dvoch súradniciach sa nazýva rovinný problém teórie pružnosti.
Pod pojmom " rovinný problém teórie pružnosti„skombinujte dva fyzikálne odlišné problémy, čo vedie k veľmi podobným matematickým závislostiam:
1) problém rovinného deformovaného stavu (rovinná deformácia);
2) problém rovinného napäťového stavu.
Tieto problémy sú najčastejšie charakterizované výrazným rozdielom medzi jednou geometrickou veľkosťou a dvoma ďalšími veľkosťami uvažovaných telies: veľká dĺžka v prvom prípade a malá hrúbka v druhom prípade.
Rovinné napätie
Deformácia sa nazýva plochá, ak pohyby všetkých bodov telesa môžu prebiehať len v dvoch smeroch v jednej rovine a nezávisia od súradnice kolmice k tejto rovine, t.j.
u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4,1)
Rovinná deformácia nastáva u dlhých hranolových alebo valcových telies s osou rovnobežnou s osou z, pozdĺž ktorej pôsobí zaťaženie pozdĺž bočnej plochy, kolmej na túto os a nemennej veľkosti pozdĺž nej.
Príkladom rovinnej deformácie je napäťovo-deformačný stav, ku ktorému dochádza v dlhej rovnej hrádzi a dlhom oblúku podzemného tunela (obr. 4.1).
Obrázok – 4.1. V telese hrádze a streche podzemného tunela dochádza k rovinnej deformácii
Snímka 3
Dosadením zložiek vektora posunutia (4.1) do Cauchyho vzorcov (2.14), (2.15) dostaneme:
(4.2)
Neprítomnosť lineárnych deformácií v smere osi z vedie k vzniku normálových napätí σ z. Zo vzorca Hookovho zákona (3.2) pre deformáciu ε z vyplýva, že
z čoho dostaneme výraz pre napätie σ z:
(4.3)
Nahradením tohto vzťahu do prvých dvoch vzorcov Hookovho zákona zistíme:
(4.4)
Snímka 4
Z analýzy vzorcov (4.2) − (4.4) a (3.2) tiež vyplýva, že
Tým sa podstatne zjednodušujú základné rovnice trojrozmernej teórie pružnosti v prípade rovinnej deformácie.
Z troch diferenciálnych rovníc Navierovej rovnováhy (2.2) zostali iba dve rovnice:
(4.5)
a tretí sa mení na identitu.
Keďže smer kosínus je všade na bočnej ploche n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, potom z troch podmienok na povrchu (2.4) zostávajú iba dve rovnice:
(4.6)
kde l, m sú smerové kosínusy vonkajšej normály v k povrchu obrysu;
X, Y, X v,Y v– zložky objemových síl a intenzity vonkajších plošných zaťažení na osiach x a y, resp.
Snímka 5
Šesť Cauchyho rovníc (2.14), (2.15) je zredukovaných na tri:
(4.7)
Zo šiestich rovníc kontinuity pre Saint-Venantove deformácie (2.17), (2.18) zostáva jedna rovnica:
(4.8)
a zvyšok sa zmení na identity.
Zo šiestich vzorcov Hookovho zákona (3.2), berúc do úvahy (4.2), (4.4), zostávajú tri vzorce:
V týchto vzťahoch boli zavedené nové elastické konštanty pre tradičnú formu teórie pružnosti:
Snímka 6
Rovinný stresový stav
Stav rovinného napätia nastáva, keď je dĺžka toho istého hranolového telesa malá v porovnaní s ostatnými dvoma rozmermi. V tomto prípade sa nazýva hrúbka. Napätia v tele pôsobia iba v dvoch smeroch v rovine súradníc xOy a nezávisia od súradnice z. Príkladom takéhoto telesa je tenká doska hrúbky h, zaťažená pozdĺž bočnej plochy (rebra) silami rovnobežnými s rovinou dosky a rovnomerne rozloženými po celej jej hrúbke (obr. 4.2).
Obrázok 4.2 – Tenká doska a na ňu pôsobiace zaťaženia
V tomto prípade sú možné aj zjednodušenia podobné tým v probléme rovinnej deformácie. Zložky tenzora napätia σ z, τ xz, τ yz v oboch rovinách dosky sú rovné nule. Keďže doska je tenká, môžeme predpokladať, že sa vo vnútri dosky rovnajú nule. Potom bude napätý stav určený len zložkami σ x, σ y, τ xy, ktoré nezávisia od súradnice z, t.j. nemenia sa pozdĺž hrúbky dosky, ale sú funkciami iba x a y .
V tenkej doske teda vzniká nasledujúci stav napätia:
Snímka 7
Vo vzťahu k napätiam sa rovinný stav napätia líši od rovinného pretvorenia podľa podmienok
Okrem toho zo vzorca Hookovho zákona (3.2), berúc do úvahy (4.10), pre lineárnu deformáciu ε z dostaneme, že sa nerovná nule:
V dôsledku toho budú základne dosky zakrivené, pretože sa objavia posuny 
pozdĺž osi z.
Za týchto predpokladov si základné rovnice rovinnej deformácie: diferenciálne rovnice rovnováhy (4.5), pomery na povrchu (4.6), Cauchyho rovnice (4.7) a rovnice spojitosti deformácie (4.8) zachovávajú rovnaký tvar v úlohe rovinného napäťového stavu. .
Vzorce Hookovho zákona budú mať nasledujúcu formu:
Vzorce (4.11) sa líšia od vzorcov (4.9) Hookovho zákona pre rovinnú deformáciu iba v hodnotách elastických konštánt: E a E 1 , v A v 1 .
Snímka 8
V obrátenej forme bude Hookov zákon napísaný takto:
(4.12)
Takže pri riešení týchto dvoch problémov (rovinná deformácia a rovinný stav napätia) môžete použiť rovnaké rovnice a spojiť úlohy do jednej rovinnej úlohy teórie pružnosti.
V rovinnom probléme teórie elasticity je osem neznámych:
– dve zložky vektora posunutia u av;
– tri zložky tenzora napätia σ x, σ y, τ xy;
– tri zložky tenzora deformácie ε x, ε y, γ xy.
Na vyriešenie problému sa používa osem rovníc:
– dve rovnice diferenciálnej rovnováhy (4.5);
– tri Cauchyho rovnice (4.7);
– tri vzorce Hookovho zákona (4.9) alebo (4.11).
Výsledné deformácie musia navyše spĺňať rovnicu spojitosti deformácií (4.8) a na povrchu telesa musia byť splnené podmienky rovnováhy (4.6) medzi vnútornými napätiami a intenzitami vonkajšieho plošného zaťaženia X. v,Y v.
Rovinný stresový stav (σ z = 0; 0)
Plochá doska je zaťažená vo svojej rovine (obr. 2.13, a). Jeho hrúbka δ je v porovnaní s rozmermi a a c veľmi malá. Ak v ktoromkoľvek bode dosky vyberiete prvok s rozmermi dх, dy a δ, potom sa na jeho plochách objavia napätia σ x, σ y, τ xy a τ yx (obr. 2.13, b).
Na bočných plochách tohto prvku nie sú žiadne napätia: σ z = 0; τ zx = 0; τ zy = 0 a máme rovinný napätý stav telesa, to znamená, že dve rovnobežné steny nekonečne malého prvku izolované v ktoromkoľvek bode telesa sú bez napätia. Napätia σ x, σ y, τ xy a τ yx sú rovnomerne rozložené po celej hrúbke dosky.
Obrázok 2.13 – Schéma určenia rovinného napätia
V stave rovinného napätia sa hrúbka dosky mení v každom bode. Deformácia v smere osi Z podľa Hookovho zákona sa rovná:
Hrúbka dosky sa v každom bode v dôsledku priečnej deformácie mení o hodnotu δ = z δ = - (σ x + σ y).
Rovinné napätie(z = 0; σ z 0)
Máme veľmi dlhé valcové telo, rovnomerne zaťažené po celej dĺžke (obr. 2.14, a). Poďme toto teleso v duchu rozobrať na samostatné vrstvy s hrúbkou δ=1. Ak by tieto vrstvy boli v rovinnom napätom stave, potom by sa hrúbka v každom bode dosky zmenila o hodnotu Δδ. Ale v dôsledku opozície susedných vrstiev je to nemožné, preto sa každá vrstva deformuje za podmienok (obr. 2.14, b), kde je akoby vložená medzi dva absolútne pevné povrchy, ktoré násilne zabezpečujú podmienky s nemennou hrúbkou vrstvy
Δδ = 0. V tomto prípade dochádza k pohybu vo všetkých bodoch tela iba v rovnobežných rovinách XY (pozri obr. 2.14, b). Keďže neexistujú žiadne pohyby W, U, V vzhľadom na os Z, máme:
Obrázok 2.14 – Schéma určenia rovinnej deformácie
Toto je rovinná deformácia. Podľa Hookovho zákona máme:
Z = (σz - μσ x - μσ y) / E = 0.
V miestach, kde by mala doska zhrubnúť, vzniknú tlakové napätia σ z a v miestach možného stenčenia - ťahové napätia σ z (obr. 2.14, c) V oboch prípadoch
STRETOVÝ STAV PLOCHY
Prednáška 15
Príkladom konštrukcie, ktorej všetky body sú v rovinne namáhanom stave, je tenká doska zaťažená na koncoch silami, ktoré ležia v jej rovine. Keďže bočné plochy dosky sú bez napätia, vzhľadom na malú hrúbku dosky môžeme predpokladať, že vo vnútri dosky na plochách rovnobežných s jej povrchom sú napätia zanedbateľne malé. Podobná situácia vzniká napríklad pri zaťažení hriadeľov a nosníkov s tenkostenným profilom.
Vo všeobecnom prípade, keď hovoríme o rovinnom napätí, nemáme na mysli celú konštrukciu, ale iba uvažovaný bod jej prvku. Znakom, že stav napätia v danom bode je plochý, je prítomnosť platformy, ktorá ním prechádza, na ktorej nie sú žiadne napätia. Týmito bodmi budú najmä body na vonkajšom povrchu karosérie, ktoré nie sú zaťažené, čo je vo väčšine prípadov nebezpečné. Preto je pochopiteľné, že pozornosť sa venuje analýze tohto typu stresového stavu.
Pri zobrazení elementárneho kvádra v napnutom stave stačí ukázať jednu z jeho nezaťažených plôch zarovnajúc ju s rovinou výkresu (obr. 15.1), potom sa zaťažené plochy elementu zarovnajú s hranicami zobrazená oblasť. V tomto prípade zostáva notačný systém pre napätia a pravidlá znakov rovnaké - zložky stavu napätia zobrazené na obrázku sú pozitívne. Berúc do úvahy zákon párovania tangenciálnych napätí
t xy = t yx, rovinný napäťový stav (PSS) popisujú tri nezávislé zložky - s X, s y, t xy. .
NAPÄTIE NA NAKLONENÝCH PLOŠINÁCH V ROVINNOM STRESovom STAVE
Vyberme si z prvku znázorneného na obr. 15.1, trojuholníkový hranol, ktorý ho mentálne prerežeme šikmým rezom kolmým na rovinu výkresu xOy. Poloha rampy a súvisiacich osí X 1 , r 1 sa nastaví pomocou uhla a, ktorý sa bude považovať za kladný, keď sa osi otáčajú proti smeru hodinových ručičiek.
Pokiaľ ide o všeobecný prípad opísaný vyššie, znázornený na obr. 15.2, napätia možno považovať za pôsobiace v jednom bode, ale na rôzne orientované plochy. Napätia na naklonenej plošine nájdeme z rovnovážneho stavu hranola a vyjadríme ich pomocou daných napätí s X, s y, t xy na plochách zhodných so súradnicovými rovinami. Označme oblasť naklonenej tváre dA, potom sa oblasti súradnicových plôch nájdu takto:
dAx = dA cos a ,
dA y = dA hriech a .
Premietnime sily pôsobiace na plochy hranola na os X 1 a y 1:
Zníženie spoločným faktorom dA a po vykonaní elementárnych transformácií dostaneme
Ak to vezmeme do úvahy
výrazy (15.1) môžu mať nasledujúcu konečnú podobu:
Na obr. 15.3 je spolu s pôvodným znázornený nekonečne malý prvok orientovaný pozdĺž osí X 1 ,y 1. Zdôrazňuje na svojich plochách kolmých na os X 1 sú určené vzorcami (15.2). Nájsť normálne napätie na ploche kolmej na os r 1, je mimoriadne dôležité nahradiť hodnotu a + 90° namiesto uhla a:
Tangenciálne napätia v rotovanom súradnicovom systéme X 1 r 1 dodržiavať zákon o párovaní, t.j.
Súčet normálových napätí, ako je známe z analýzy stavu objemového napätia, je jedným z jeho invariantov a musí zostať konštantný pri výmene jedného súradnicového systému za iný. To možno ľahko overiť pridaním normálových napätí určených zo vzorcov (15.2), (15.3):
HLAVNÉ STRESY
Predtým sme zistili, že oblasti, kde nie sú žiadne šmykové napätia, sa nazývajú hlavné oblasti a napätia na nich sa nazývajú hlavné napätia. V rovinnom stave napätia je vopred známa poloha jedného z hlavných miest - miesta, na ktorom nie sú žiadne napätia, ᴛ.ᴇ. v kombinácii s rovinou kreslenia (pozri obr. 15.1). Nájdite hlavné platformy kolmo na ňu. Aby sme to dosiahli, nastavíme tangenciálne napätie rovné nule v (15.1), z ktorého získame
Uhol a 0 ukazuje smer normály k hlavnému miestu, príp hlavný smer, v súvislosti s tým je tzv hlavný uhol. Keďže tangens dvojitého uhla je periodická funkcia s periódou p/2, tak uhol
a 0 + p/2 je tiež hlavný uhol. Existujú však celkovo tri hlavné platformy a všetky sú navzájom kolmé. Jedinou výnimkou je prípad, keď neexistujú tri hlavné oblasti, ale nekonečný počet - napríklad pri všestrannej kompresii, keď je hlavný zvolený smer a napätia sú rovnaké vo všetkých oblastiach prechádzajúcich bodom. .
Stojí za to povedať, že na nájdenie hlavných napätí môžete použiť prvý zo vzorcov (15.2), pričom namiesto uhla a postupne nahradíte hodnoty a 0 a
Tu sa berie do úvahy, že
Goniometrické funkcie môžeme z výrazov (15.5) eliminovať, ak použijeme známu rovnosť
A tiež vziať do úvahy vzorec (15.4). Potom dostaneme
Znamienko plus vo vzorci zodpovedá jednému z hlavných napätí, znamienko mínus druhému. Po ich výpočte môžete použiť akceptovanú notáciu pre hlavné napätia s 1, s 2, s 3, berúc do úvahy, že s 1 je algebraicky najväčšie a s 3 je algebraicky najmenšie napätie. Inými slovami, ak sa oba hlavné prízvuky zistené z výrazov (15.6) ukážu ako pozitívne, dostaneme
Ak sú obe napätia záporné, budeme mať
Nakoniec, ak výraz (15.6) udáva hodnoty napätia s rôznymi znamienkami, potom budú hlavné napätia rovnaké
NAJVYŠŠIE HODNOTY NORMÁLNEHO A VZDUCHOVÉHO STRESU
Ak mentálne otáčate osi X 1 r 1 as nimi spojený prvok (pozri obr. 15.3), napätia na jeho plochách sa zmenia a pri určitej hodnote uhla a dosiahne normálové napätie maximum. Keďže súčet normálových napätí na vzájomne kolmých plochách zostáva konštantný, napätie bude momentálne najmenšie.
Ak chcete nájsť túto pozíciu lokalít, musíte preskúmať výraz pre extrém, pričom ho beriete do úvahy ako funkciu argumentu a:
Porovnaním výrazu v zátvorkách s (15.2) dospejeme k záveru, že tangenciálne napätia sú v požadovaných miestach rovné nule. Normálne napätia však dosahujú extrémne hodnoty práve na hlavných miestach.
Aby sme našli najväčšie tangenciálne napätie, berieme hlavné oblasti ako počiatočné, pričom osi zarovnávame X A r s hlavnými smermi. Vzorce (15.1), v ktorých sa teraz uhol a bude merať zo smeru s 1, budú mať tvar:
Z posledného výrazu vyplýva, že tangenciálne napätia dosahujú najväčšie hodnoty na plochách otočených k hlavným o 45°, keď
sin 2a = ±1. Ich maximálna hodnota sa rovná
Všimnite si, že vzorec (15.8) platí aj v prípade, keď
GRAFICKÉ ZOBRAZENIE PLOCHÉHO STRESOVÉHO STAVU. KRUHY MORA
Vzorce (15.7), ktoré určujú napätia na ploche otočenej o určitý uhol α vzhľadom na hlavný uhol, majú jasnú geometrickú interpretáciu. Za predpokladu, že obe hlavné napätia sú kladné, zavedieme nasledujúcu notáciu:
Potom výrazy (15.7) nadobudnú úplne rozpoznateľný tvar parametrickej rovnice kruhu v súradniciach σ a τ:
Index „α“ v zápise zdôrazňuje, že napätia sa nachádzajú na mieste otočenom k originálu pod daným uhlom. Rozsah A určuje polohu stredu kružnice na osi σ; polomer kruhu je R. Na obr. 15.5 sa kruhový diagram napätia tradične nazýva Mohrov kruh, pomenovaný podľa slávneho nemeckého vedca Otta Mohra (1835 - 1918 ᴦ.ᴦ.), ktorý ho navrhol. Smer zvislej osi sa volí s prihliadnutím na znamienko τ a v (15.10). Každá hodnota uhla α zodpovedá reprezentačnému bodu K (σ α, τ α ) na kružnici, ktorej súradnice sa rovnajú napätiam na rotovanej ploche. Vzájomne kolmé plošiny, v ktorých sa uhol natočenia líši o 90˚, zodpovedajú bodom K A K“ ležiace na opačných koncoch priemeru.
Tu sa berie do úvahy, že
pretože vzorce (15.2) a (15.7), keď sa uhol zmení o 90 0, dávajú znamienko šmykového napätia v otočenom súradnicovom systéme, v ktorom jedna z osí je zhodná s pôvodnou osou a druhá je v opačnom smere (Obr. 15.5)
Ak hlavné lokality slúžia ako počiatočné lokality, ᴛ.ᴇ. hodnoty σ 1 a σ 2 sú známe, Mohrova kružnica sa dá ľahko zostrojiť pomocou bodov 1 a 2. Lúč nakreslený zo stredu kružnice pod uhlom 2a k vodorovnej osi, v priesečníku s kružnicou , poskytne reprezentujúci bod, ktorého súradnice sa rovnajú požadovaným napätiam na rotovanej ploche. V tomto prípade je vhodnejšie použiť takzvaný pól kruhu, smerujúci lúč z neho pod uhlom a. Zo zrejmého vzťahu medzi polomerom a priemerom kruhu, pól, označený na výkrese písmenom A, sa v tomto prípade zhoduje s bodom 2. Vo všeobecnom prípade sa pól nachádza v priesečníku normál s pôvodnými miestami. Ak počiatočné oblasti nie sú hlavné, Mohrov kruh sa skonštruuje takto: reprezentujúce body sú vynesené na rovine σ - t K (σ X,t xy) A K’(σ r,-t xy), ktoré zodpovedajú vertikálnym a horizontálnym počiatočným oblastiam. Spojením bodov priamky nájdeme stred kružnice v priesečníku s osou σ, po ktorej sa zostrojí samotný koláčový graf. Priesečník kružnice s vodorovnou osou poskytne hodnotu hlavných napätí a polomer sa bude rovnať najväčšiemu šmykovému napätiu. Na obr. Obrázok 15.7 ukazuje Mohrov kruh zostavený z počiatočných miest, ktoré nie sú hlavné. Poliak A je v priesečníku normál s pôvodnými podložkami K.A. A K’A. Ray A.M., nakreslený od pólu pod uhlom a k vodorovnej osi, v priesečníku s kružnicou bude predstavovať bod M(σ a ,t a), ktorých súradnice predstavujú pre nás napätia v oblasti záujmu. Lúče ťahané od pólu k bodom 1 a 2 budú ukazovať hlavné uhly a 0 a a 0 +90 0. Mohrove kružnice sú však vhodným grafickým nástrojom na analýzu rovinného napätia.
b) Napätie na okraji prvku otočeného o 45 0 nájdeme podľa (15.1)
Normálne napätie na kolmej ploche
(a = 45 0 + 90 0) sa bude rovnať
c) Najväčšie tangenciálne napätia nájdeme pomocou (15.8)
2. Grafické riešenie.
Zostrojme Mohrovu kružnicu pomocou reprezentujúcich bodov K(160,40) a K’ (60, -40)
Kruhová tyč A nájdeme na priesečníku normál k pôvodným oblastiam.
Kružnica bude pretínať vodorovnú os v bodoch 1 a 2. Bod 1 zodpovedá hlavnému napätiu σ 1 = 174 MPa, bod 2 zodpovedá hodnote hlavného napätia σ 2 = 46 MPa. Lúč vedený od žrde A cez body 1 a 2, ukáže hodnotu hlavných uhlov. Napätia na mieste, otočené o 45 0 k pôvodnému, sa rovnajú súradniciam reprezentujúceho bodu M, ktorý sa nachádza v priesečníku kružnice s lúčom vytiahnutým z pólu A pod uhlom 45°. Ako vidíme, grafické riešenie problému analýzy stavu napätia sa zhoduje s tým analytickým.
V rovinnom stave napätia v jednej z oblastí prechádzajúcich uvažovaným bodom sú tangenciálne a normálové napätia rovné nule. Skombinujme túto plochu s rovinou výkresu a vyberieme z telesa v blízkosti tohto bodu nekonečne malý (elementárny) trojuholníkový hranol, ktorého bočné plochy sú kolmé na rovinu výkresu a výšku (v smere kolmom na výkres rovina) sa rovná základniam hranola sú pravouhlé trojuholníky (obr. 2.3, a).
Aplikujme na vybraný hranol rovnaké napätia, aké naň pôsobili pred jeho oddelením od telesa. Vzhľadom na to, že všetky rozmery zvoleného hranola sú nekonečne malé, tangenciálne a normálové napätia pozdĺž jeho bočných plôch možno považovať za rovnomerne rozložené a rovné napätiam v oblastiach prebiehajúcich rovnobežne s jeho plochami.
Vyberme si súradnicový systém zarovnaním osí a y (v rovine výkresu) s plochami hranola (obr. 2.3, a). Označme napätia rovnobežné s osou u a osou y.
Označujeme normálové napätia pozdĺž bočnej plochy hranola nakloneného pod uhlom a k ploche, pozdĺž ktorej pôsobia napätia
Prijmime nasledujúce znamenie. Normálne napätie v ťahu je pozitívne a normálne napätie v tlaku je negatívne. Tangenciálne napätie pozdĺž bočnej steny hranola je kladné, ak vektor, ktorý ho predstavuje, má tendenciu otáčať hranol v smere hodinových ručičiek vzhľadom na akýkoľvek bod ležiaci na vnútornej normále k tejto ploche. Uhol a je kladný, ak sa plocha hranola (pozdĺž ktorej pôsobí napätie) otočí o tento uhol proti smeru hodinových ručičiek, aby sa zarovnala s plochou (pozdĺž ktorej pôsobí napätie). Na obr. 2.3 a všetky napätia, ako aj uhol a sú kladné.
Vynásobením každého z napätí plochou plochy, na ktorú pôsobí, získame systém sústredených síl Tu a Ta pôsobiacich v ťažiskách zodpovedajúcich plôch (obr. 2.3, b):
Tieto sily musia spĺňať všetky rovnovážne rovnice, pretože hranol oddelený od telesa je v rovnováhe.
Vytvorme nasledujúce rovnice rovnováhy:
Sily nie sú zahrnuté v rovnici (4.3), pretože ich akčné línie prechádzajú bodom (začiatkom súradnicového systému).
Dosadením výrazov a Т z rovnosti (1.3) do rovnice (4.3) dostaneme
V dôsledku toho sú šmykové napätia pozdĺž dvoch vzájomne kolmých oblastí rovnaké v absolútnej hodnote a opačné v znamienku. Tento vzťah medzi sa nazýva zákon tangentného párovania napätia.
Zo zákona o párovaní tangenciálnych napätí vyplýva, že v dvoch vzájomne kolmých oblastiach smerujú tangenciálne napätia buď k priesečníku týchto oblastí (obr. 3.3, a) alebo preč od nej (obr. 3.3, b).
Dosadme do rovníc (2.3) a (3.3) silové výrazy z rovníc (1.3):
Znížme tieto rovnice o , berúc do úvahy, že (pozri obr. 2.3, a):
Teraz ho nahraďme [pozri. vzorec (5.3)]:
Vzorce (6.3) a (7.3) umožňujú určiť hodnoty normálových a šmykových napätí v ľubovoľných oblastiach prechádzajúcich daným bodom, ak sú známe napätia v akýchkoľvek dvoch navzájom kolmých oblastiach, ktoré ním prechádzajú.
Pomocou vzorca (6.3) určíme súčet normálových napätí v dvoch vzájomne kolmých oblastiach, z ktorých pre jednu sa uhol a pre druhú rovná a
to znamená, že súčet hodnôt normálových napätí v dvoch vzájomne kolmých oblastiach je konštantná hodnota. V dôsledku toho, ak v jednej z týchto oblastí majú normálové napätia maximálnu hodnotu, potom v druhej majú minimálnu hodnotu.
Pri skúmaní napätého stavu sa najprv určia napätia pozdĺž troch vzájomne kolmých oblastí prechádzajúcich bodom uvažovaného telesa.
Ak sa ukáže, že jedna z týchto oblastí je bez stresu, potom je stresový stav plochý. Nekonečne malý prvok v tvare rovnobežnostena, oddelený od tela uvedenými tromi oblasťami a tromi ďalšími rovnobežnými s nimi, je znázornený na obr. 4.3, s. Zvyčajne sa zobrazuje ako obdĺžnik (alebo štvorec), ktorý je priemetom prvku na rovinu zhodnú s oblasťou bez napätia (obr. 4.3b). Stačí uviesť hodnoty napätia na dvoch vzájomne kolmých bočných plochách rovnobežnostena.
Ak je potrebné zobraziť napätia vznikajúce nie v jednej dvojici vzájomne kolmých oblastí prechádzajúcich daným bodom, ale vo viacerých, potom je možné znázorniť zodpovedajúce obdĺžniky (alebo štvorce), ako je znázornené napríklad na obr. 4,3, c.
Z napätí v dvoch vzájomne kolmých oblastiach možno vypočítať [pomocou vzorcov (6.3) a (7.3)] napätia v ľubovoľných oblastiach; preto obrázok (napríklad 4.3, b, c), ktorý znázorňuje tieto napätia, možno považovať za obraz napätého stavu v bode.
Akýkoľvek stav napätia možno považovať za súčet viacerých stavov napätia (princíp superpozície napätia). Napríklad stresový stav znázornený na obr. 5.3, a, možno považovať za súčet stavov napätia znázornených na obr. 5,3, b, c.
