Polynómy. Faktorizácia polynómu: metódy, príklady

V predchádzajúcej lekcii sme študovali násobenie polynómu monomom. Napríklad súčin jednočlenu a a polynómu b + c nájdeme takto:

a(b + c) = ab + bc

V niektorých prípadoch je však vhodnejšie vykonať inverznú operáciu, ktorú možno nazvať odstránením spoločného faktora zo zátvoriek:

ab + bc = a(b + c)

Napríklad musíme vypočítať hodnotu polynómu ab + bc pre hodnoty premenných a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8. Ak ich dosadíme priamo do výrazu, dostaneme

ab + bc = 15,6 * 7,2 + 15,6 * 2,8

ab + bc = a(b + c) = 15,6 * (7,2 + 2,8) = 15,6 * 10 = 156

IN v tomto prípade polynóm ab + bc sme reprezentovali ako súčin dvoch faktorov: a a b + c. Táto akcia sa nazýva faktorizácia polynómu.

Okrem toho každý z faktorov, do ktorých je polynóm expandovaný, môže byť zase polynóm alebo monomiál.

Zoberme si polynóm 14ab - 63b 2. Každý z jeho základných monomilov môže byť reprezentovaný ako produkt:

Je vidieť, že oba polynómy majú spoločný faktor 7b. To znamená, že ho možno vyňať zo zátvoriek:

14ab – 63b 2 = 7b*2a – 7b*9b = 7b(2a-9b)

Či je multiplikátor správne umiestnený mimo držiakov, môžete skontrolovať opačným postupom – otvorením držiakov:

7b(2a – 9b) = 7b*2a – 7b*9b = 14ab – 63b 2

Je dôležité pochopiť, že polynóm môže byť často rozšírený niekoľkými spôsobmi, napríklad:

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

Zvyčajne sa snažia extrahovať, zhruba povedané, „najväčší“ monomiál. To znamená, že rozšíria polynóm, takže zo zostávajúceho polynómu sa už nedá nič vybrať. Takže počas rozkladu

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

v zátvorkách zostáva súčet monomílov, ktoré majú spoločný faktor c. Ak to vezmeme aj von, v zátvorkách nezostanú žiadne spoločné faktory:

b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

Pozrime sa podrobnejšie na to, ako nájsť spoločné faktory monomilov. Rozložme súčet

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10

Pozostáva z troch termínov. Najprv sa pozrime na číselné kurzy pred nimi. Sú to 8, 12 a 16. V 3. hodine 6. ročníka sa preberala téma GCD a algoritmus na jeho nájdenie. Toto je najväčší spoločný deliteľ. Takmer vždy ho nájdete ústne. Číselný koeficient spoločného multiplikátora bude presne GCD číselných koeficientov členov polynómu. V tomto prípade je číslo 4.

Ďalej sa pozrieme na stupne týchto premenných. Spoločným faktorom je, že písmená musia mať minimálne právomoci, ktoré sa vyskytujú v podmienkach. Takže premenná a v polynóme má stupne 3, 2 a 4 (minimálne 2), takže spoločný faktor bude a 2. Premenná b má minimálny stupeň 3, takže spoločný faktor bude b 3:

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)

V dôsledku toho zostávajúce členy 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 nemajú ani jednu spoločnú písmenovú premennú a ich koeficienty 2, 3 a 4 nemajú spoločných deliteľov.

Zo zátvoriek je možné vyňať nielen monoméry, ale aj polynómy. Napríklad:

x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)

Ešte jeden príklad. Je potrebné rozšíriť výraz

5t (8r. - 3x) + 2s (3x - 8r.)

Riešenie. Pripomeňme, že znamienko mínus obráti znamienka v zátvorkách, takže

-(8r - 3x) = -8r + 3x = 3x - 8r

To znamená, že môžeme nahradiť (3x - 8y) s - (8y - 3x):

5t (8r - 3x) + 2s (3x - 8r) = 5t (8r - 3x) + 2*(-1)s(8r - 3x) = (8r - 3x)(5t - 2s)

Odpoveď: (8r - 3x)(5t - 2s).

Pamätajte, že subtrahend a minuend je možné zameniť zmenou znamienka pred zátvorkami:

(a - b) = - (b - a)

Platí to aj naopak: znamienko mínus, ktoré je už pred zátvorkami, je možné odstrániť súčasným prehozením subtrahendu a minuendu:

Táto technika sa často používa pri riešení problémov.

Metóda zoskupovania

Uvažujme o ďalšom spôsobe faktorizácie polynómu, ktorý pomáha rozšíriť polynóm. Nech je nejaký výraz

ab - 5a + bc - 5c

Nie je možné odvodiť faktor spoločný pre všetky štyri monomiály. Tento polynóm si však môžete predstaviť ako súčet dvoch polynómov a v každom z nich vytiahnite premennú zo zátvoriek:

ab - 5a + bc - 5c = (ab - 5a) + (bc - 5c) = a(b - 5) + c(b - 5)

Teraz môžeme odvodiť výraz b - 5:

a(b – 5) + c(b – 5) = (b – 5)(a + c)

Prvý termín sme „zoskupili“ s druhým a tretí so štvrtým. Preto sa opísaná metóda nazýva metóda zoskupovania.

Príklad. Rozviňme polynóm 6xy + ab- 2bx- 3ay.

Riešenie. Zoskupenie 1. a 2. termínu nie je možné, pretože nemajú spoločný faktor. Preto vymeňme monomily:

6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x(3y - b) + a(b - 3y)

Rozdiely 3y - b a b - 3y sa líšia len v poradí premenných. V jednej zo zátvoriek ho možno zmeniť posunutím znamienka mínus zo zátvoriek:

(b - 3r) = - (3r - b)

Použime túto náhradu:

2x(3r - b) + a(b - 3r) = 2x(3r - b) - a(3r - b) = (3r - b)(2x - a)

V dôsledku toho sme získali identitu:

6xy + ab - 2bx - 3ay = (3r - b)(2x - a)

Odpoveď: (3r - b)(2x - a)

Môžete zoskupiť nielen dva, ale vo všeobecnosti ľubovoľný počet výrazov. Napríklad v polynóme

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z

môžeme zoskupiť prvé tri a posledné 3 monomiály:

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2(x - 3y + z) = (x + 2)(x - 3r + z)

Teraz sa pozrime na úlohu so zvýšenou zložitosťou

Príklad. Rozviňte kvadratický trinom x 2 - 8x +15.

Riešenie. Tento polynóm pozostáva len z 3 monomov, a preto, ako sa zdá, zoskupenie nebude možné. Môžete však vykonať nasledujúcu náhradu:

Potom môže byť pôvodný trojčlen reprezentovaný takto:

x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15

Poďme zoskupiť výrazy:

x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x (x - 3) - 5 (x - 3) = (x - 5) (x - 3)

Odpoveď: (x - 5) (x - 3).

Samozrejme, nie je ľahké uhádnuť náhradu - 8x = - 3x - 5x vo vyššie uvedenom príklade. Ukážme inú líniu uvažovania. Musíme rozšíriť polynóm druhého stupňa. Ako si pamätáme, pri násobení polynómov sa ich mocniny sčítavajú. To znamená, že aj keď dokážeme rozdeliť kvadratický trinóm na dva faktory, ukáže sa, že ide o dva polynómy 1. stupňa. Napíšme súčin dvoch polynómov prvého stupňa, ktorých vodiace koeficienty sú rovné 1:

(x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab

Tu označujeme a a b ako nejaké ľubovoľné čísla. Aby sa tento súčin rovnal pôvodnej trojčlenke x 2 - 8x +15, je potrebné zvoliť vhodné koeficienty pre premenné:

Pomocou výberu môžeme určiť, že túto podmienku spĺňajú čísla a = - 3 a b = - 5. Potom

(x - 3) (x - 5) = x 2 * 8x + 15

ktoré možno vidieť otvorením zátvoriek.

Pre jednoduchosť sme uvažovali iba o prípade, keď vynásobené polynómy 1. stupňa majú vodiace koeficienty rovné 1. Mohli by sa však rovnať napríklad 0,5 a 2. V tomto prípade by expanzia vyzerala trochu inak:

x 2 * 8x + 15 = (2x - 6) (0,5x - 2,5)

Ak však vyberieme koeficient 2 z prvej zátvorky a vynásobíme ho druhou, dostaneme pôvodnú expanziu:

(2x - 6) (0,5x - 2,5) = (x - 3) * 2 * (0,5x - 2,5) = (x - 3) (x - 5)

V uvažovanom príklade sme kvadratický trinóm rozšírili na dva polynómy prvého stupňa. V budúcnosti to budeme musieť robiť často. Za zmienku však stojí, že niektoré kvadratické trinómy, napr.

je nemožné rozložiť týmto spôsobom na súčin polynómov. To sa preukáže neskôr.

Aplikácia faktoringových polynómov

Faktorizácia polynómu môže uľahčiť niektoré operácie. Nech je potrebné vypočítať hodnotu výrazu

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

Vyberme číslo 2 a stupeň každého termínu sa zníži o jeden:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)

Označme sumu

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

pre x. Potom možno vyššie napísanú rovnosť prepísať:

x + 2 9 = 2 (1 + x)

Máme rovnicu, vyriešme ju (pozri lekciu rovnice):

x + 2 9 = 2 (1 + x)

x + 2 9 = 2 + 2x

2x - x = 2 9 - 2

x = 512 - 2 = 510

Teraz vyjadrime množstvo, ktoré hľadáme, pomocou x:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

Pri riešení tohto problému sme zvýšili číslo 2 iba na 9. mocninu a všetky ostatné operácie umocňovania boli z výpočtov eliminované súčiniteľom polynómu. Podobne môžete vytvoriť vzorec výpočtu pre ďalšie podobné sumy.

Teraz vypočítajme hodnotu výrazu

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890

81 4 - 9 7 + 3 12

je deliteľné 73. Všimnite si, že čísla 9 a 81 sú mocniny troch:

81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4

Keď to vieme, urobme náhradu v pôvodnom výraze:

81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12

Vyberieme 3 12:

3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73

Súčin 3 12 ,73 je deliteľný 73 (keďže je ním deliteľný jeden z faktorov), preto sa týmto číslom delí aj výraz 81 4 - 9 7 + 3 12.

Na preukázanie totožnosti možno použiť faktoring. Dokážme napríklad rovnosť

(a 2 + 3a) 2 + 2 (a 2 + 3a) = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)

Aby sme vyriešili identitu, transformujeme ľavú stranu rovnosti odstránením spoločného faktora:

(a 2 + 3a) 2 + 2 (a 2 + 3a) = (a 2 + 3a) (a 2 + 3a) + 2 (a 2 + 3a) = (a 2 + 3a) (a 2 + 3a + 2 )

(a 2 + 3a) (a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a) (a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a) ((a 2 + 2a) + (a + 2 ) = (a 2 + 3a) (a (a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a) (a + 1) (a + 2) = a (a + 3) (a + z )(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Ešte jeden príklad. Dokážme, že pre všetky hodnoty premenných x a y je výraz

(x - y) (x + y) - 2x (x - y)

nie je kladné číslo.

Riešenie. Vyberme spoločný činiteľ x - y:

(x - y) (x + y) - 2x (x - y) = (x - y) (x + y - 2x) = (x - y) (y - x)

Upozorňujeme, že sme získali súčin dvoch podobných dvojčlenov, ktoré sa líšia iba v poradí písmen x a y. Ak by sme vymenili premenné v jednej zo zátvoriek, dostali by sme súčin dvoch rovnakých výrazov, teda štvorec. Ak však chcete zameniť x a y, musíte pred zátvorku umiestniť znamienko mínus:

(x - y) = -(y - x)

Potom môžeme napísať:

(x - y) (y - x) = -(y - x) (y - x) = -(y - x) 2

Ako viete, druhá mocnina akéhokoľvek čísla je väčšia alebo rovná nule. To platí aj pre výraz (y - x) 2. Ak je pred výrazom mínus, potom musí byť menšie alebo rovné nule, to znamená, že to nie je kladné číslo.

Polynomické rozšírenie pomáha riešiť niektoré rovnice. Používa sa nasledujúce vyhlásenie:

Ak jedna časť rovnice obsahuje nulu a druhá je súčinom faktorov, potom by sa každý z nich mal rovnať nule.

Príklad. Vyriešte rovnicu (s - 1) (s + 1) = 0.

Riešenie. Na ľavej strane je napísaný súčin jednočlenov s - 1 a s + 1 a na pravej strane nula. Preto sa nula musí rovnať buď s - 1 alebo s + 1:

(s - 1) (s + 1) = 0

s - 1 = 0 alebo s + 1 = 0

s = 1 alebo s = -1

Každá z dvoch získaných hodnôt premennej s je koreňom rovnice, to znamená, že má dva korene.

Odpoveď: -1; 1.

Príklad. Vyriešte rovnicu 5w 2 - 15w = 0.

Riešenie. Vezmime si 5w:

Opäť je práca napísaná na ľavej strane a nula na pravej strane. Pokračujme v riešení:

5w = 0 alebo (w - 3) = 0

w = 0 alebo w = 3

Odpoveď: 0; 3.

Príklad. Nájdite korene rovnice k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0.

Riešenie. Poďme zoskupiť výrazy:

k3 - 8k2 + 3k-24 = 0

(k3 - 8k2) + (3k-24) = 0

k2 (k - 8) + 3 (k - 8) = 0

(k3 + 3) (k - 8) = 0

k2 + 3 = 0 alebo k - 8 = 0

k2 = -3 alebo k = 8

Všimnite si, že rovnica k 2 = - 3 nemá riešenie, pretože žiadne druhé číslo nie je menšie ako nula. Preto je jediným koreňom pôvodnej rovnice k = 8.

Príklad. Nájdite korene rovnice

(2u - 5) (u + 3) = 7u + 21

Riešenie: Presuňte všetky výrazy na ľavú stranu a potom ich zoskupte:

(2u - 5) (u + 3) = 7u + 21

(2u - 5) (u + 3) - 7u - 21 = 0

(2u - 5) (u + 3) - 7 (u + 3) = 0

(2u - 5 - 7) (u + 3) = 0

(2u - 12) (u + 3) = 0

2u - 12 = 0 alebo u + 3 = 0

u = 6 alebo u = -3

Odpoveď: - 3; 6.

Príklad. Vyriešte rovnicu

(t 2 - 5 t) 2 = 30 t - 6 t 2

(t 2 - 5 t) 2 = 30 t - 6 t 2

(t2 - 5t) 2 - (30t - 6t2) = 0

(t2 – 5t)(t2 – 5t) + 6(t2 – 5t) = 0

(t2 - 5t) (t2 - 5t + 6) = 0

t2 - 5t = 0 alebo t2 - 5t + 6 = 0

t = 0 alebo t - 5 = 0

t = 0 alebo t = 5

Teraz prejdime k druhej rovnici. Opäť tu máme kvadratickú trojčlenku. Ak ho chcete zahrnúť do faktorov pomocou metódy zoskupovania, musíte ho prezentovať ako súčet 4 výrazov. Ak vykonáte náhradu - 5t = - 2t - 3t, môžete výrazy ďalej zoskupiť:

t2 - 5t + 6 = 0

t2 - 2t - 3t + 6 = 0

t(t-2)-3(t-2) = 0

(t - 3) (t - 2) = 0

T-3 = 0 alebo t-2 = 0

t = 3 alebo t = 2

V dôsledku toho sme zistili, že pôvodná rovnica má 4 korene.

Na faktorizáciu polynómov sme použili vzorce na násobenie, zoskupovanie a skrátené násobenie. Niekedy je možné faktorizovať polynóm použitím niekoľkých metód za sebou. V tomto prípade by transformácia mala začať, ak je to možné, odstránením spoločného činiteľa zo zátvoriek.

Príklad 1 Vynásobme polynóm 10a 3 - 40a.

Riešenie:Členy tohto polynómu majú spoločný faktor 10a. Vyberme tento faktor zo zátvoriek:

10a 3 - 40a = 10a (a 2 - 4).

Faktorizácia môže pokračovať aplikáciou vzorca rozdielu štvorcov na výraz a 2 - 4. Výsledkom je, že ako faktory získame polynómy nižších stupňov.

10a(a 2 - 4) = 10a (a + 2) (a - 2).

10a 3 - 40a = 10a (a + 2) (a - 2).

Príklad 2 Vynásobme polynóm

ab 3 - 3b 3 + ab 2 r. - 3b 2 r.

Riešenie: Najprv vyberme spoločný faktor b2 zo zátvoriek:

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - 3b 2 y = b 2 (ab - 3b + ay - 3y).

Skúsme teraz vynásobiť polynóm

ab - 3b + ау - 3у.

Zoskupenie prvého termínu s druhým a tretieho so štvrtým, máme

ab - 3b + ay - 3 = b (a - 3) + y (a - 3) = (a - 3) (b + y).

Konečne sa dostávame

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - 3b 2 y = b 2 (a - 3) (b + y).

Príklad 3 Vynásobme polynóm a 2 - 4ax - 9 + 4x 2.

Riešenie: Zoskupme prvý, druhý a štvrtý člen polynómu. Získame trojčlenku a 2 - 4ax + 4x 2, ktorú môžeme vyjadriť ako druhú mocninu rozdielu. Preto

a 2 - 4x - 9 + 4x 2 = (a 2 - 4x + 4x 2) - 9 = (a - 2x) 2 - 9.

Výsledný výraz možno rozložiť pomocou vzorca rozdielu štvorcov:

(a - 2x) 2 - 9 = (a - 2x) 2 - 3 2 = (a - 2x - 3) (a - 2x + 3).

teda

a 2 - 4x - 9 + 4x 2 = (a - 2x - 3) (a - 2x + 3).

Všimnite si, že pri faktorizácii polynómu máme na mysli jeho reprezentáciu ako súčin niekoľkých polynómov, v ktorých aspoň dva faktory sú polynómy nenulového stupňa (to znamená, že to nie sú čísla).

Nie každý polynóm môže byť faktorizovaný. Napríklad nie je možné rozdeliť polynómy x 2 + 1, 4x 2 - 2x + 1 atď.

Pozrime sa na príklad použitia faktorizácie na zjednodušenie výpočtov pomocou kalkulačky.

Príklad 4. Pomocou kalkulačky zistíme hodnotu polynómu bx 3 + 2x 2 - 7x + 4 pri x = 1,2.

Riešenie: Ak vykonáte akcie v akceptovanom poradí, budete musieť najprv nájsť hodnoty výrazov x 3 5, x 2 2 a 7x, zapísať výsledky na papier alebo ich vložiť do pamäte kalkulačky a potom pokračovať sčítanie a odčítanie. Požadovaný výsledok však možno získať oveľa jednoduchšie, ak tento polynóm transformujeme takto:

bx 3 + 2x 2 - 7x + 4 = (5x 2 + 2x - 7)x + 4 = ((5x + 2)x - 7)x + 4.

Po vykonaní výpočtov pre x = 1,2 zistíme, že hodnota polynómu je 7,12.

Cvičenia

Testovacie otázky a úlohy

1. Uveďte príklad celočíselného výrazu a neceločíselného výrazu.
2. Aké akcie sa musia vykonať a v akom poradí sa má reprezentovať celočíselný výraz 4x (3 - x) 2 + (x 2 - 4) (x + 4) ako polynóm?
3. Aké metódy faktorizácie polynómov poznáte?

Cieľ lekcie:  rozvoj zručností pri rozkladaní polynómu rôznymi spôsobmi;  kultivovať presnosť, vytrvalosť, tvrdú prácu a schopnosť pracovať vo dvojici. Vybavenie: multimediálny projektor, PC, učebné materiály. Plán lekcie: 1. Organizovanie času; 2. Kontrola domácich úloh; 3. Ústna práca; 4. Štúdium nového materiálu; 5. Telesná výchova; 6. Konsolidácia študovaného materiálu; 7. Práca vo dvojiciach; 8. domáca úloha; 9. Zhrnutie. Postup lekcie: 1. Organizačný moment. Zamerajte študentov na vyučovaciu hodinu. Vzdelávanie nespočíva v množstve vedomostí, ale v úplnom pochopení a šikovnej aplikácii všetkého, čo viete. (Georg Hegel) 2. Kontrola domácich úloh. Rozbor úloh, ktorých riešenie mali žiaci problém. 3.Ústna práca.  faktorizujte: 1) 2) 3) ; 4).  Spojte výrazy v ľavom a pravom stĺpci: a. 1. b. 2. c. 3. d. 4. d. 5. .  Riešte rovnice: 1. 2. 3. 4. Preštudujte si nový materiál. Na faktorizáciu polynómov sme použili vzorce na násobenie, zoskupovanie a skrátené násobenie. Niekedy je možné faktorizovať polynóm použitím niekoľkých metód za sebou. Transformácia by mala začať, ak je to možné, odstránením spoločného faktora zo zátvoriek. Na úspešné vyriešenie takýchto príkladov sa dnes pokúsime vypracovať plán ich dôslednej aplikácie.

150 000₽ cenový fond 11 čestných dokumentov Osvedčenie o uverejnení v médiách

Sekcie: Matematika

Typ lekcie:

• podľa spôsobu doručenia - workshopová lekcia;
• na didaktické účely - lekcia aplikácie vedomostí a zručností.

Cieľ: rozvíjať schopnosť faktorizovať polynóm.

Úlohy:

• Didaktický: systematizovať, rozširovať a prehlbovať vedomosti, študentské zručnosti, aplikovať rôzne metódy faktorizácie polynómu. Rozvinúť schopnosť aplikovať polynomiálnu faktorizáciu prostredníctvom kombinácie rôzne techniky. Implementujte vedomosti a zručnosti na tému: „Faktoring polynómu“ na dokončenie úloh na základnej úrovni aj úloh so zvýšenou zložitosťou.
• Vývojový: rozvíjať duševnú aktivitu prostredníctvom riešenia rôznych typov problémov, naučiť sa nachádzať a analyzovať najracionálnejšie metódy riešenia, prispievať k formovaniu schopnosti zovšeobecňovať skúmané skutočnosti, jasne a jasne vyjadrovať svoje myšlienky.
• Vzdelávacie: rozvíjať zručnosti samostatnej a tímovej práce, schopnosti sebaovládania.

Pracovné metódy:

• verbálny;
• vizuálne;
• praktické.

Vybavenie lekcie: interaktívna tabuľa alebo spätný projektor, tabuľky so skrátenými násobilkami, návody, písomky pre prácu v skupinách.

Štruktúra lekcie:

1. Organizovanie času. 1 minúta
2. Formulovanie témy, účelu a cieľov praktickej hodiny. 2 minúty
3. Kontrola domácich úloh. 4 minúty
4. Aktualizácia základných vedomostí a zručností žiakov. 12 minút
5. Minúta telesnej výchovy. 2 minúty
6. Návod, ako splniť úlohy workshopu. 2 minúty
7. Vykonávanie úloh v skupinách. 15 minút
8. Kontrola a diskusia o úlohách. Analýza práce. 3 minúty
9. Stanovenie domácich úloh. 1 minúta
10. Rezervovať pracovné miesta. 3 minúty

Počas vyučovania

1. Organizačný moment

Učiteľ kontroluje pripravenosť triedy a žiakov na vyučovaciu hodinu.

2. Formulovanie témy, účelu a cieľov workshopovej hodiny

• Správa o záverečnej lekcii na danú tému.
• Motivácia vzdelávacie aktivityštudentov.
• Formulovanie cieľa a stanovenie cieľov hodiny (spolu so študentmi).

3. Kontrola domácich úloh

Na tabuli sú príklady riešení domácich úloh č. 943 (a, c); Č. 945 (c, d). Vzorky vyrobili žiaci triedy. (Táto skupina študentov bola identifikovaná na predchádzajúcej hodine; svoje rozhodnutie formalizovali počas prestávky). Študenti sa pripravujú na „obhajovanie“ riešení.

učiteľ:

Kontroluje prítomnosť domácich úloh v zošitoch žiakov.

Vyzýva študentov triedy, aby odpovedali na otázku: „Aké ťažkosti spôsobilo splnenie úlohy?

Ponúka kontrolu vášho riešenia pomocou riešenia na tabuli.

Vyzýva študentov na tabuli, aby odpovedali na otázky, ktoré majú študenti na mieste pri kontrole pomocou vzoriek.

Komentuje odpovede študentov, dopĺňa odpovede a objasňuje (ak je to potrebné).

Sumarizuje plnenie domácich úloh.

študenti:

Súčasnosť domáca úloha učiteľovi.

Vymieňajú si zošity (vo dvojiciach) a navzájom sa kontrolujú.

Odpovedzte na otázky učiteľa.

Skontrolujte svoje riešenie pomocou vzoriek.

Vystupujú ako oponenti, robia doplnky, opravy, zapisujú si iný spôsob, ak sa spôsob riešenia v zošite líši od spôsobu na tabuli.

Požiadajte študentov a učiteľa o potrebné vysvetlenia.

Nájdite spôsoby, ako overiť získané výsledky.

Podieľať sa na hodnotení kvality úloh vykonávaných na rade.

4. Aktualizácia základných vedomostí a zručností žiakov

1. Ústna práca

učiteľ:

Odpovedz na otázku:

1. Čo to znamená faktorizovať polynóm?
2. Koľko metód rozkladu poznáte?
3. Ako sa volajú?
4. Ktorý je najbežnejší?

2. Na tabuľu sú napísané mnohočleny:

1. 14x 3 – 14x 5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2x – y 2

4. x 3 – 3 x – 2

učiteľ vyzve študentov, aby vynásobili polynómy č. 1-3:

• Možnosť I – použitím spoločného faktora;
• Možnosť II – použitie skrátených vzorcov na násobenie;
• Možnosť III - metódou zoskupovania.

Jeden študent je požiadaný, aby vynásobil polynóm č. 4 (individuálna úloha so zvýšenou náročnosťou, úloha je spracovaná vo formáte A 4). Potom sa na tabuli objaví vzorové riešenie úloh č.1-3 (vyučujúci), vzorové riešenie úlohy č.4 (žiak).

3. Zahrejte sa

Učiteľ dáva pokyny, aby zohľadnil a vybral písmeno spojené so správnou odpoveďou. Sčítaním písmen získate meno najväčšieho matematika 17. storočia, ktorý výrazne prispel k rozvoju teórie riešenia rovníc. (Descartes)

5. Hodina telesnej výchovy Žiakom sa čítajú výroky. Ak je tvrdenie pravdivé, študenti by mali zdvihnúť ruky, a ak je nepravdivé, sadnúť si za lavice. (Príloha 2)

6. Inštrukcie, ako splniť úlohy workshopu.

Zapnuté interaktívna tabuľa alebo samostatný plagát s tabuľkou s návodom.

Pri faktorizácii polynómu je potrebné dodržať nasledujúce poradie:

1. dajte spoločný činiteľ zo zátvoriek (ak nejaký existuje);

2. použiť skrátené vzorce násobenia (ak je to možné);

3. použiť metódu zoskupovania;

4. skontrolujte výsledok získaný násobením.

učiteľ:

Prezentuje pokyny študentom (zameriava sa na krok 4).

Ponúka dokončenie workshopových úloh v skupinách.

Rozdáva skupinám pracovný list, listy s uhlíkovým papierom na prípravu úloh do zošitov a ich následnú kontrolu.

Nastaví čas na prácu v skupinách a prácu v zošitoch.

Študenti:

Prečítaj inštrukcie.

Učitelia pozorne počúvajú.

Sedenie v skupinách (4-5 osôb).

Príprava na praktickú prácu.

7. Plnenie úloh v skupinách

Pracovné listy s úlohami pre skupiny. (príloha 3)

učiteľ:

Riadi samostatná práca v skupinách.

Hodnotí schopnosť žiakov samostatne pracovať, schopnosť pracovať v skupine a kvalitu spracovania pracovných listov.

Študenti:

Dokončite úlohy na hárkoch uhlíkového papiera, ktoré sú súčasťou pracovného zošita.

Diskutujte o spôsoboch, ako robiť racionálne rozhodnutia.

Pripravte si zo skupiny pracovný list.

Pripravte sa na obhajobu dokončenej práce.

8. Kontrola a diskusia o dokončení úlohy

Odpovede na interaktívnej tabuli.

učiteľ:

Zhromažďuje kópie rozhodnutí.

Spravuje vykazovanie študentov na pracovných listoch.

Ponúka sebahodnotenie vašej práce, porovnávanie odpovedí zo zošitov, pracovných listov a ukážok na tabuli.

Pripomína mi kritériá pre udeľovanie známok za prácu a za účasť na jej realizácii.

Poskytuje objasnenie vznikajúcich problémov týkajúcich sa rozhodnutia alebo sebahodnotenia.

Sumarizuje prvé výsledky praktickej práce a reflexie.

Zhrnie (spolu so študentmi) vyučovaciu hodinu.

Hovorí sa v ňom, že konečné výsledky budú zhrnuté po kontrole kópií prác vypracovaných študentmi.

Študenti:

Kópie odovzdajte učiteľovi.

Pracovné listy sú pripevnené k tabuli.

Správa o ukončení prác.

Vykonávať samovyšetrenie a sebahodnotenie pracovného výkonu.

9. Stanovenie domácich úloh

Na tabuľu sa napíše domáca úloha: č. 1016 (a, b); 1017 (c, d); č. 1021 (g,d,f)*

učiteľ:

Ponúkne zapísať si povinnú časť zadania domov.

Uvádza komentár k jeho implementácii.

Vyzýva pripravenejších študentov, aby si zapísali č. 1021 (g, e, f) *.

Povie vám, aby ste sa pripravili na ďalšiu lekciu s prehľadom

Sekcie: Matematika

Typ lekcie:

• podľa spôsobu doručenia - workshopová lekcia;
• na didaktické účely - lekcia aplikácie vedomostí a zručností.

Cieľ: rozvíjať schopnosť faktorizovať polynóm.

Úlohy:

• Didaktický: systematizovať, rozširovať a prehlbovať vedomosti a zručnosti žiakov, aplikovať rôzne metódy faktorizácie polynómu. Rozvíjať schopnosť používať faktorizáciu polynómu kombináciou rôznych techník. Implementujte vedomosti a zručnosti na tému: „Faktoring polynómu“ na dokončenie úloh na základnej úrovni aj úloh so zvýšenou zložitosťou.
• Vývojový: rozvíjať duševnú aktivitu prostredníctvom riešenia rôznych typov problémov, naučiť sa nachádzať a analyzovať najracionálnejšie metódy riešenia, prispievať k formovaniu schopnosti zovšeobecňovať skúmané skutočnosti, jasne a jasne vyjadrovať svoje myšlienky.
• Vzdelávacie: rozvíjať zručnosti samostatnej a tímovej práce, schopnosti sebaovládania.

Pracovné metódy:

• verbálny;
• vizuálne;
• praktické.

Vybavenie lekcie: interaktívna tabuľa alebo spätný projektor, tabuľky so skrátenými násobilkami, návody, písomky pre prácu v skupinách.

Štruktúra lekcie:

1. Organizovanie času. 1 minúta
2. Formulovanie témy, účelu a cieľov praktickej hodiny. 2 minúty
3. Kontrola domácich úloh. 4 minúty
4. Aktualizácia základných vedomostí a zručností žiakov. 12 minút
5. Minúta telesnej výchovy. 2 minúty
6. Návod, ako splniť úlohy workshopu. 2 minúty
7. Vykonávanie úloh v skupinách. 15 minút
8. Kontrola a diskusia o úlohách. Analýza práce. 3 minúty
9. Stanovenie domácich úloh. 1 minúta
10. Rezervovať pracovné miesta. 3 minúty

Počas vyučovania

1. Organizačný moment

Učiteľ kontroluje pripravenosť triedy a žiakov na vyučovaciu hodinu.

2. Formulovanie témy, účelu a cieľov workshopovej hodiny

• Správa o záverečnej lekcii na danú tému.
• Motivácia k učebným aktivitám žiakov.
• Formulovanie cieľa a stanovenie cieľov hodiny (spolu so študentmi).

3. Kontrola domácich úloh

Na tabuli sú príklady riešení domácich úloh č. 943 (a, c); Č. 945 (c, d). Vzorky vyrobili žiaci triedy. (Táto skupina študentov bola identifikovaná na predchádzajúcej hodine; svoje rozhodnutie formalizovali počas prestávky). Študenti sa pripravujú na „obhajovanie“ riešení.

učiteľ:

Kontroluje prítomnosť domácich úloh v zošitoch žiakov.

Vyzýva študentov triedy, aby odpovedali na otázku: „Aké ťažkosti spôsobilo splnenie úlohy?

Ponúka kontrolu vášho riešenia pomocou riešenia na tabuli.

Vyzýva študentov na tabuli, aby odpovedali na otázky, ktoré majú študenti na mieste pri kontrole pomocou vzoriek.

Komentuje odpovede študentov, dopĺňa odpovede a objasňuje (ak je to potrebné).

Sumarizuje plnenie domácich úloh.

študenti:

Predložte domácu úlohu učiteľovi.

Vymieňajú si zošity (vo dvojiciach) a navzájom sa kontrolujú.

Odpovedzte na otázky učiteľa.

Skontrolujte svoje riešenie pomocou vzoriek.

Vystupujú ako oponenti, robia doplnky, opravy, zapisujú si iný spôsob, ak sa spôsob riešenia v zošite líši od spôsobu na tabuli.

Požiadajte študentov a učiteľa o potrebné vysvetlenia.

Nájdite spôsoby, ako overiť získané výsledky.

Podieľať sa na hodnotení kvality úloh vykonávaných na rade.

4. Aktualizácia základných vedomostí a zručností žiakov

1. Ústna práca

učiteľ:

Odpovedz na otázku:

1. Čo to znamená faktorizovať polynóm?
2. Koľko metód rozkladu poznáte?
3. Ako sa volajú?
4. Ktorý je najbežnejší?

2. Na tabuľu sú napísané mnohočleny:

1. 14x 3 – 14x 5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2x – y 2

4. x 3 – 3 x – 2

učiteľ vyzve študentov, aby vynásobili polynómy č. 1-3:

• Možnosť I – použitím spoločného faktora;
• Možnosť II – použitie skrátených vzorcov na násobenie;
• Možnosť III - metódou zoskupovania.

Jeden študent je požiadaný, aby vynásobil polynóm č. 4 (individuálna úloha so zvýšenou náročnosťou, úloha je spracovaná vo formáte A 4). Potom sa na tabuli objaví vzorové riešenie úloh č.1-3 (vyučujúci), vzorové riešenie úlohy č.4 (žiak).

3. Zahrejte sa

Učiteľ dáva pokyny, aby zohľadnil a vybral písmeno spojené so správnou odpoveďou. Sčítaním písmen získate meno najväčšieho matematika 17. storočia, ktorý výrazne prispel k rozvoju teórie riešenia rovníc. (Descartes)

5. Hodina telesnej výchovy Žiakom sa čítajú výroky. Ak je tvrdenie pravdivé, študenti by mali zdvihnúť ruky, a ak je nepravdivé, sadnúť si za lavice. (Príloha 2)

6. Inštrukcie, ako splniť úlohy workshopu.

Na interaktívnej tabuli je tabuľka s návodom alebo samostatný plagát.

Pri faktorizácii polynómu je potrebné dodržať nasledujúce poradie:

1. dajte spoločný činiteľ zo zátvoriek (ak nejaký existuje);

2. použiť skrátené vzorce násobenia (ak je to možné);

3. použiť metódu zoskupovania;

4. skontrolujte výsledok získaný násobením.

učiteľ:

Prezentuje pokyny študentom (zameriava sa na krok 4).

Ponúka dokončenie workshopových úloh v skupinách.

Rozdáva skupinám pracovný list, listy s uhlíkovým papierom na prípravu úloh do zošitov a ich následnú kontrolu.

Nastaví čas na prácu v skupinách a prácu v zošitoch.

Študenti:

Prečítaj inštrukcie.

Učitelia pozorne počúvajú.

Sedenie v skupinách (4-5 osôb).

Príprava na praktickú prácu.

7. Plnenie úloh v skupinách

Pracovné listy s úlohami pre skupiny. (príloha 3)

učiteľ:

Zvláda samostatnú prácu v skupinách.

Hodnotí schopnosť žiakov samostatne pracovať, schopnosť pracovať v skupine a kvalitu spracovania pracovných listov.

Študenti:

Dokončite úlohy na hárkoch uhlíkového papiera, ktoré sú súčasťou pracovného zošita.

Diskutujte o spôsoboch, ako robiť racionálne rozhodnutia.

Pripravte si zo skupiny pracovný list.

Pripravte sa na obhajobu dokončenej práce.

8. Kontrola a diskusia o dokončení úlohy

Odpovede na interaktívnej tabuli.

učiteľ:

Zhromažďuje kópie rozhodnutí.

Spravuje vykazovanie študentov na pracovných listoch.

Ponúka sebahodnotenie vašej práce, porovnávanie odpovedí zo zošitov, pracovných listov a ukážok na tabuli.

Pripomína mi kritériá pre udeľovanie známok za prácu a za účasť na jej realizácii.

Poskytuje objasnenie vznikajúcich problémov týkajúcich sa rozhodnutia alebo sebahodnotenia.

Sumarizuje prvé výsledky praktickej práce a reflexie.

Zhrnie (spolu so študentmi) vyučovaciu hodinu.

Hovorí sa v ňom, že konečné výsledky budú zhrnuté po kontrole kópií prác vypracovaných študentmi.

Študenti:

Kópie odovzdajte učiteľovi.

Pracovné listy sú pripevnené k tabuli.

Správa o ukončení prác.

Vykonávať samovyšetrenie a sebahodnotenie pracovného výkonu.

9. Stanovenie domácich úloh

Na tabuľu sa napíše domáca úloha: č. 1016 (a, b); 1017 (c, d); č. 1021 (g,d,f)*

učiteľ:

Ponúkne zapísať si povinnú časť zadania domov.

Uvádza komentár k jeho implementácii.

Vyzýva pripravenejších študentov, aby si zapísali č. 1021 (g, e, f) *.

Povie vám, aby ste sa pripravili na ďalšiu lekciu s prehľadom