Neriešiteľné úlohy: Navier-Stokesove rovnice, Hodgeova hypotéza, Riemannova hypotéza. Výzvy tisícročia

Pre celé čísla n väčšie ako 2 nemá rovnica x n + y n = z n žiadne nenulové riešenia v prirodzených číslach.

Určite si pamätáte zo školských čias Pytagorova veta: Druhá mocnina prepony pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu druhých mocnín nôh. Možno si pamätáte aj klasický pravouhlý trojuholník so stranami, ktorých dĺžky sú v pomere 3 : 4 : 5. Pytagorova veta preň vyzerá takto:

Toto je príklad riešenia zovšeobecnenej Pytagorovej rovnice v nenulových celých číslach s n = 2. Veľká teoréma Fermat (tiež nazývaný Fermatova posledná veta a Fermatova posledná veta) uvádza, že pre hodnoty n> 2 rovnice tvaru x n + y n = z n nemajú žiadne nenulové riešenia v prirodzených číslach.

História Fermatovej poslednej vety je veľmi zaujímavá a poučná, a to nielen pre matematikov. Pierre de Fermat prispel k rozvoju širokej škály oblastí matematiky, ale najviac jeho vedecké dedičstvo bol publikovaný až posmrtne. Faktom je, že matematika bola pre Fermata niečo ako hobby a nie profesionálna práca. Korešpondoval s poprednými matematikmi svojej doby, ale neusiloval sa o publikovanie svojej práce. Vedecké práce Farma sa nachádza najmä vo forme súkromnej korešpondencie a útržkovitých poznámok, často napísaných na okrajoch rôznych kníh. Nachádza sa na okraji (druhého zväzku starogréckej „Aritmetiky“ Diofanta. - Poznámka prekladateľ) Krátko po smrti matematika potomkovia objavili formuláciu slávnej vety a doslovu:

« Našiel som o tom skutočne úžasný dôkaz, ale tieto polia sú na to príliš úzke».

Bohužiaľ, Fermat sa zrejme nikdy neobťažoval zapísať „zázračný dôkaz“, ktorý našiel, a potomkovia ho neúspešne hľadali viac ako tri storočia. Zo všetkého Fermatovho roztrúseného vedeckého dedičstva, ktoré obsahuje mnoho prekvapivých vyhlásení, to bola Veľká veta, ktorá tvrdošijne odmietala vyriešiť.

Kto sa pokúšal dokázať Fermatovu poslednú vetu, je márne! Ďalší veľký francúzsky matematik René Descartes (1596 – 1650) nazval Fermata „chvastúňom“ a anglický matematik John Wallis (1616 – 1703) ho nazval „prekliatym Francúzom“. Sám Fermat však pre tento prípad stále zanechal dôkaz svojej vety n= 4. S dôkazom pre n= 3 vyriešil veľký švajčiarsko-ruský matematik 18. storočia Leonhard Euler (1707 – 83), po ktorom nedokázal nájsť dôkazy pre n> 4, žartom navrhol, aby Fermatov dom prehľadali, aby našli kľúč k strateným dôkazom. V 19. storočí nové metódy v teórii čísel umožnili dokázať tvrdenie pre mnohé celé čísla do 200, ale opäť nie pre všetky.

V roku 1908 bola za vyriešenie tohto problému stanovená cena 100 000 nemeckých mariek. Výherný fond odkázal nemecký priemyselník Paul Wolfskehl, ktorý sa podľa legendy chystal spáchať samovraždu, no bol tak unesený Fermatovou poslednou vetou, že si umieranie rozmyslel. S príchodom sčítacích strojov a potom počítačov sa hodnota bar n začala stúpať stále vyššie - na 617 do začiatku druhej svetovej vojny, na 4001 v roku 1954, na 125 000 v roku 1976. Koncom 20. storočia boli najvýkonnejšie počítače vo vojenských laboratóriách v Los Alamos (Nové Mexiko, USA) naprogramované na riešenie Fermatovho problému na pozadí (podobne ako režim šetriča obrazovky osobného počítača). Bolo teda možné ukázať, že teorém platí pre neuveriteľne veľké hodnoty x, y, z A n, ale to nemôže slúžiť ako prísny dôkaz, pretože niektorá z nasledujúcich hodnôt n alebo trojice prirodzených čísel by mohli vyvrátiť vetu ako celok.

Napokon v roku 1994 anglický matematik Andrew John Wiles (nar. 1953), pôsobiaci v Princetone, publikoval dôkaz Fermatovej poslednej vety, ktorý bol po určitých úpravách považovaný za komplexný. Dôkaz zabral viac ako sto strán časopisu a bol založený na použití moderného aparátu vyššej matematiky, ktorý nebol vyvinutý vo Fermatovej ére. Čo teda Fermat myslel tým, že nechal na okraji knihy odkaz, že našiel dôkaz? Väčšina matematikov, s ktorými som hovoril na túto tému, poukázala na to, že v priebehu storočí bolo nesprávnych dôkazov Fermatovej poslednej vety viac než dosť a že s najväčšou pravdepodobnosťou sám Fermat našiel podobný dôkaz, ale nedokázal rozpoznať chybu. v ňom. Je však možné, že ešte stále existuje nejaký krátky a elegantný dôkaz Fermatovej poslednej vety, ktorý ešte nikto nenašiel. S istotou sa dá povedať len jedna vec: dnes s istotou vieme, že teorém je pravdivý. Myslím si, že väčšina matematikov by bezvýhradne súhlasila s Andrewom Wilesom, ktorý o svojom dôkaze poznamenal: „Teraz je moja myseľ konečne pokojná.“

Pierre Fermat, ktorý čítal „Aritmetiku“ Diofanta Alexandrijského a uvažoval o jej problémoch, mal vo zvyku zapisovať výsledky svojich úvah vo forme krátkych komentárov na okraje knihy. Proti ôsmemu Diofantovmu problému na okraji knihy Fermat napísal: „ Naopak, nie je možné rozložiť ani kocku na dve kocky, ani bikvadrát na dva bikvadráty a vo všeobecnosti žiadnu mocninu väčšiu ako druhú mocninu na dve mocniny s rovnakým exponentom. Objavil som o tom skutočne úžasný dôkaz, ale tieto polia sú na to príliš úzke» / E.T. Bell „Tvorcovia matematiky“. M., 1979, str/. Dávam do pozornosti elementárny dôkaz Fermatovej vety, ktorému rozumie každý stredoškolák, ktorý sa zaujíma o matematiku.

Porovnajme Fermatov komentár k Diofantovmu problému s modernou formuláciou poslednej Fermatovej vety, ktorá má tvar rovnice.
« Rovnica

x n + y n = z n(kde n je celé číslo väčšie ako dva)

nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach»

Komentár je v logickej súvislosti s úlohou, podobne ako logická súvislosť predikátu s podmetom. To, čo tvrdí Diofantov problém, naopak tvrdí Fermatov komentár.

Fermatov komentár možno interpretovať takto: ak kvadratická rovnica s tromi neznámymi má nekonečný počet riešení na množine všetkých trojíc pytagorovských čísel, potom naopak rovnica s tromi neznámymi s mocninou väčšou ako druhá mocnina

V rovnici jej súvislosti s Diofantovým problémom nie je ani len náznak. Jeho tvrdenie vyžaduje dôkaz, ale neexistuje žiadna podmienka, z ktorej by vyplývalo, že nemá riešenia v kladných celých číslach.

Možnosti na dokázanie mi známej rovnice sa scvrkli na nasledujúci algoritmus.

  1. Za jej záver sa berie rovnica Fermatovej vety, ktorej platnosť sa overuje dôkazom.
  2. Rovnaká rovnica sa nazýva originálny rovnica, z ktorej musí vychádzať jej dôkaz.

V dôsledku toho sa vytvorila tautológia: „ Ak rovnica nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach, potom nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach„Dôkaz tautológie je zjavne nesprávny a nemá žiadny význam. Dokazuje to však protirečenie.

  • Vychádza sa z predpokladu, ktorý je opakom toho, čo uvádza rovnica, ktorú je potrebné dokázať. Nemalo by to byť v rozpore s pôvodnou rovnicou, ale je. Nemá zmysel dokazovať to, čo sa prijíma bez dôkazu, a akceptovať bez dôkazu to, čo je potrebné dokázať.
  • Na základe prijatého predpokladu sa vykonajú absolútne správne matematické operácie a akcie, aby sa dokázalo, že je v rozpore s pôvodnou rovnicou a je nepravdivá.

Preto už 370 rokov zostáva dokázať rovnicu Fermatovej poslednej vety nerealizovateľným snom pre špecialistov a nadšencov matematiky.

Vzal som rovnicu ako záver vety a ôsmy Diofantov problém a jeho rovnicu ako podmienku vety.


„Ak rovnica x2 + y2 = z2 (1) má nekonečný počet riešení na množine všetkých trojíc pytagorovských čísel, potom, naopak, rovnica x n + y n = z n , Kde n > 2 (2) nemá žiadne riešenia na množine kladných celých čísel.”

Dôkaz.

A) Každý vie, že rovnica (1) má nekonečný počet riešení na množine všetkých trojíc pytagorovských čísel. Dokážme, že ani jedna trojica pytagorovských čísel, ktorá je riešením rovnice (1), nie je riešením rovnice (2).

Na základe zákona o reverzibilite rovnosti vymeníme strany rovnice (1). Pytagorove čísla (z, x, y) možno interpretovať ako dĺžky strán pravouhlého trojuholníka a štvorcov (x2, y2, z2) možno interpretovať ako plochu štvorcov postavenú na jej prepone a nohách.

Vynásobme plochy druhých mocnín rovnice (1) ľubovoľnou výškou h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

Rovnicu (3) možno interpretovať ako zhodnosť objemu rovnobežnostena so súčtom objemov dvoch rovnobežnostenov.

Nechajte výšku troch rovnobežnostenov h = z :

z3 = x2z + y2z (4)

Objem kocky je rozložený na dva objemy dvoch rovnobežnostenov. Objem kocky necháme nezmenený a výšku prvého rovnobežnostena znížime na X a znížte výšku druhého rovnobežnostena na r . Objem kocky je väčší ako súčet objemov dvoch kociek:

z3 > x 3 + y3 (5)

Na množine trojíc pytagorovských čísel ( x, y, z ) pri n=3 nemôže existovať žiadne riešenie rovnice (2). V dôsledku toho na množine všetkých trojíc pytagorovských čísel nie je možné rozložiť kocku na dve kocky.

Nech v rovnici (3) výška troch rovnobežnostenov h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y2 z 2 (6)

Objem rovnobežnostena sa rozloží na súčet objemov dvoch rovnobežnostenov.
Ľavú stranu rovnice (6) necháme nezmenenú. Na jeho pravej strane výška z 2 znížiť na X v prvom termíne a predtým o 2 v druhom volebnom období.

Rovnica (6) sa zmenila na nerovnosť:

Objem rovnobežnostena sa rozloží na dva objemy dvoch rovnobežnostenov.

Ľavú stranu rovnice (8) necháme nezmenenú.
Na pravej strane výška zn-2 znížiť na xn-2 v prvom termíne a znížiť na y n-2 v druhom volebnom období. Rovnica (8) sa stáva nerovnosťou:

z n > x n + y n (9)

Na množine trojíc pytagorovských čísel nemôže existovať jediné riešenie rovnice (2).

Následne na množine všetkých trojíc pytagorovských čísel pre všetkých n > 2 rovnica (2) nemá riešenia.

Podarilo sa získať „naozaj zázračný dôkaz“, ale len pre trojičky Pytagorove čísla. Toto je nedostatok dôkazov a dôvod odmietnutia P. Fermatu od neho.

B) Dokážme, že rovnica (2) nemá riešenia na množine trojíc nepytagorovských čísel, ktorá predstavuje rodinu ľubovoľnej trojice pytagorovských čísel z = 13, x = 12, y = 5 a rodinu ľubovoľnej trojice kladných celých čísel z = 21, x = 19, y = 16

Obidve trojice čísel sú členmi ich rodín:

(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) (10)
(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) (11)

Počet členov rodiny (10) a (11) sa rovná polovici súčinu 13 x 12 a 21 x 20, teda 78 a 210.

Každý člen rodiny (10) obsahuje z = 13 a premenné X A pri 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

Každý člen rodiny (11) obsahuje z = 21 a premenné X A pri , ktoré nadobúdajú celočíselné hodnoty 21 > x > 0 , 21 > y > 0 . Premenné postupne klesajú o 1 .

Trojice čísel postupnosti (10) a (11) možno znázorniť ako postupnosť nerovností tretieho stupňa:

13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

a vo forme nerovností štvrtého stupňa:

13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Správnosť každej nerovnosti sa overuje zvýšením čísel na tretiu a štvrtú mocninu.

Kocka väčšieho čísla sa nedá rozložiť na dve kocky menších čísel. Je buď menšia alebo väčšia ako súčet kociek dvoch menších čísel.

Bikvadratiku väčšieho čísla nemožno rozložiť na dva bikvadraty menších čísel. Je buď menšia, alebo väčšia ako súčet dvojkvadrátov menších čísel.

Keď sa exponent zvyšuje, všetky nerovnosti, okrem ľavej extrémnej nerovnosti, majú rovnaký význam:

Všetky majú rovnaký význam: mocnina väčšieho čísla je väčšia ako súčet mocnin menších dvoch čísel s rovnakým exponentom:

13n > 12 n + 12 n; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n (12)
21 n > 20 n + 20 n; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n (13)

Ľavý krajný člen postupností (12) (13) predstavuje najslabšiu nerovnosť. Jeho správnosť určuje správnosť všetkých nasledujúcich nerovností postupnosti (12) pre n > 8 a sekvencia (13) at n > 14 .

Medzi nimi nemôže byť žiadna rovnosť. Ľubovoľná trojica kladných celých čísel (21,19,16) nie je riešením rovnice (2) poslednej Fermatovej vety. Ak ľubovoľná trojica kladných celých čísel nie je riešením rovnice, potom rovnica nemá riešenia na množine kladných celých čísel, čo bolo potrebné dokázať.

S) Fermatov komentár k Diophantovmu problému uvádza, že je nemožné rozložiť “ vo všeobecnosti žiadna mocnina nie je väčšia ako štvorec, dve mocniny s rovnakým exponentom».

Bozk stupeň väčší ako štvorec sa v skutočnosti nedá rozložiť na dva stupne s rovnakým exponentom. Žiadne bozky stupeň väčší ako štvorec možno rozložiť na dve mocniny s rovnakým exponentom.

Ľubovoľná trojica kladných celých čísel (z, x, y) môže patriť do rodiny, ktorej každý člen pozostáva z konštantného čísla z a o dve čísla menšie z . Každý člen rodiny môže byť reprezentovaný vo forme nerovnosti a všetky výsledné nerovnosti môžu byť reprezentované vo forme postupnosti nerovností:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n (14)

Postupnosť nerovností (14) začína nerovnosťami pre ktoré na ľavej strane je menšia ako pravá strana, ale končí nerovnosťami, pri ktorých je pravá strana menšia ako ľavá. S rastúcim exponentom n > 2 zvyšuje sa počet nerovností na pravej strane postupnosti (14). S exponentom n = k všetky nerovnosti na ľavej strane postupnosti menia svoj význam a nadobúdajú význam nerovností na pravej strane nerovností postupnosti (14). V dôsledku zvýšenia exponentu všetkých nerovností sa ľavá strana ukáže byť väčšia ako pravá:

zk > (z-1) k + (z-1) k; zk > (z-1) k + (z-2) k;…; zk > 2 k + 1 k; z k > 1 k + 1 k (15)

S ďalším zvýšením exponentu n>k žiadna z nerovností nemení svoj význam a mení sa na rovnosť. Na tomto základe možno tvrdiť, že ľubovoľná ľubovoľne zvolená trojica kladných celých čísel (z, x, y) pri n > 2 , z > x , z > y

V ľubovoľne zvolenej trojici kladných celých čísel z môže byť ľubovoľne veľké prirodzené číslo. Pre všetky prirodzené čísla, ktoré nie sú väčšie ako z , Fermatova posledná veta je dokázaná.

D) Bez ohľadu na to, aké veľké je číslo z , v prirodzenom rade čísel je pred ním veľká, ale konečná množina celých čísel a za ňou nekonečná množina celých čísel.

Dokážme, že celá nekonečná množina prirodzených čísel je veľká z , tvoria trojice čísel, ktoré nie sú riešením rovnice Fermatovej poslednej vety, napríklad ľubovoľná trojica kladných celých čísel (z + 1, x, y) , kde z + 1 > x A z + 1 > y pre všetky hodnoty exponentu n > 2 nie je riešením rovnice Fermatovej poslednej vety.

Náhodne vybraná trojica kladných celých čísel (z + 1, x, y) môže patriť do rodiny trojíc čísel, z ktorých každý člen pozostáva z konštantného čísla z+1 a dve čísla X A pri , nadobúdajúce iné hodnoty, menšie z+1 . Členovia rodiny môžu byť zastúpení vo forme nerovností, v ktorých je konštantná ľavá strana menšia alebo väčšia ako pravá strana. Nerovnosti môžu byť usporiadané vo forme postupnosti nerovností:

S ďalším zvýšením exponentu n>k do nekonečna žiadna z nerovníc postupnosti (17) nemení svoj význam a mení sa na rovnosť. V postupnosti (16) sa nerovnosť vytvorila z ľubovoľne zvolenej trojice kladných celých čísel (z + 1, x, y) , môže byť umiestnený na jeho pravej strane vo formulári (z + 1) n > x n + y n alebo byť na jeho ľavej strane vo formulári (z+1)n< x n + y n .

V každom prípade trojnásobok kladných celých čísel (z + 1, x, y) pri n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y v postupnosti (16) predstavuje nerovnosť a nemôže predstavovať rovnosť, to znamená, že nemôže predstavovať riešenie rovnice poslednej Fermatovej vety.

Je ľahké a jednoduché pochopiť pôvod postupnosti mocenských nerovností (16), v ktorých posledná nerovnosť na ľavej strane a prvá nerovnosť na pravej strane sú nerovnosti opačného významu. Naopak, pre školákov, stredoškolákov a stredoškolákov nie je ľahké a ťažké pochopiť, ako sa zo sekvencie nerovností (17) tvorí postupnosť nerovností (16), v ktorej majú všetky nerovnosti rovnaký význam. .

V postupnosti (16), zvýšenie celočíselného stupňa nerovností o 1 jednotku zmení poslednú nerovnosť na ľavej strane na prvú nerovnosť opačného zmyslu na pravej strane. Počet nerovností na ľavej strane postupnosti teda klesá a počet nerovností na pravej strane stúpa. Medzi poslednou a prvou mocenskou nerovnosťou opačného významu je nevyhnutne mocenská rovnosť. Jeho stupeň nemôže byť celé číslo, pretože medzi dvoma po sebe idúcimi prirodzenými číslami ležia iba necelé čísla. Mocninnú rovnosť neceločíselného stupňa podľa podmienok vety nemožno považovať za riešenie rovnice (1).

Ak v postupnosti (16) pokračujeme v zvyšovaní stupňa o 1 jednotku, tak sa posledná nerovnosť jej ľavej strany zmení na prvú nerovnosť opačného významu pravej strany. V dôsledku toho nezostanú ľavostranné nerovnosti a zostanú len pravostranné nerovnosti, čo bude sled narastajúcich mocenských nerovností (17). Ďalšie zvýšenie ich celočíselnej mocniny o 1 jednotku len posilní jej mocninné nerovnosti a kategoricky vylučuje možnosť rovnosti celočíselnej mocniny.

Vo všeobecnosti teda nemožno žiadnu celočíselnú mocninu prirodzeného čísla (z+1) postupnosti mocninných nerovností (17) rozložiť na dve celočíselné mocniny s rovnakým exponentom. Preto rovnica (1) nemá riešenia na nekonečnej množine prirodzených čísel, čo bolo potrebné dokázať.

V dôsledku toho je posledná Fermatova veta dokázaná ako celok:

  • v časti A) pre všetky trojčatá (z, x, y) Pytagorove čísla (Fermatov objav je skutočne úžasným dôkazom),
  • v časti B) pre všetkých členov rodiny akejkoľvek trojky (z, x, y) Pytagorove čísla,
  • v časti C) pre všetky trojice čísel (z, x, y) , nie veľké čísla z
  • v časti D) pre všetky trojice čísel (z, x, y) prirodzený rad čísel.

Zmeny vykonané 09.05.2010

Ktoré vety môžu a nemôžu byť dokázané protirečením?

Vysvetľujúci slovník matematických pojmov definuje dôkaz protirečením vety, opak opačnej vety.

„Dôkaz kontradikciou je metóda dokazovania vety (výroku), ktorá spočíva v dokazovaní nie samotnej vety, ale jej ekvivalentnej (ekvivalentnej) vety. Dôkaz kontradikciou sa používa vždy, keď je ťažké dokázať priamu vetu, ale ľahšie dokázať opačnú vetu. Pri dôkaze kontradikciou sa záver vety nahradí jej negáciou a uvažovaním sa dospeje k negácii podmienok, t.j. k rozporu, k opaku (opaku toho, čo je dané; táto redukcia na absurditu dokazuje vetu."

Dôkaz protirečením sa v matematike veľmi často používa. Dôkaz kontradikciou je založený na zákone vylúčeného stredu, ktorý spočíva v tom, že z dvoch výrokov (výrokov) A a A (negácia A) je jeden pravdivý a druhý nepravdivý.“/Výkladový slovník matematických pojmov: Príručka pre učiteľov/O. V. Manturov [atď.]; upravil V. A. Ditkina.- M.: Školstvo, 1965.- 539 s.: ill.-C.112/.

Nebolo by lepšie otvorene vyhlásiť, že metóda dôkazu protirečením nie je matematická metóda, hoci sa v matematike používa, že je to metóda logická a patrí do logiky. Je prijateľné povedať, že dôkaz protirečením sa „používa vždy, keď je ťažké dokázať priamu vetu“, keď sa v skutočnosti používa vtedy a len vtedy, keď neexistuje žiadna náhrada?

Osobitnú pozornosť si zasluhuje aj charakterizácia vzájomného vzťahu priamych a inverzných viet. „Obrátená veta pre danú vetu (alebo k danej vete) je veta, v ktorej podmienkou je záver a záver je podmienkou danej vety. Táto veta vo vzťahu k opačnej vete sa nazýva priama veta (pôvodná). Obrátená veta na opačnú vetu bude zároveň danou vetou; preto sa priama a konverzná veta nazývajú vzájomne inverzné. Ak platí priama (daná) veta, potom nie vždy platí aj opačná veta. Napríklad, ak je štvoruholník kosoštvorec, potom jeho uhlopriečky sú navzájom kolmé (priama veta). Ak sú uhlopriečky v štvoruholníku navzájom kolmé, potom je štvoruholník kosoštvorec - to je nepravda, t. j. opačná veta je nepravdivá."/Výkladový slovník matematických pojmov: Príručka pre učiteľov/O. V. Manturov [atď.]; upravil V. A. Ditkina.- M.: Školstvo, 1965.- 539 s.: ill.-C.261 /.

Táto charakteristika vzťahu medzi priamou a inverznou vetou nezohľadňuje skutočnosť, že podmienka priamej vety je akceptovaná ako daná, bez dôkazu, takže jej správnosť nie je zaručená. Podmienka inverznej vety nie je prijatá ako daná, pretože je záverom dokázanej priamej vety. Jeho správnosť je potvrdená dôkazom priamej vety. Tento podstatný logický rozdiel v podmienkach priamej a inverznej vety sa ukazuje ako rozhodujúci v otázke, ktoré vety možno a ktoré nemožno dokázať logickou metódou protirečením.

Predpokladajme, že máme na mysli priamu vetu, ktorú možno dokázať pomocou bežnej matematickej metódy, ale je to ťažké. Poďme to sformulovať všeobecný pohľad V krátka forma Takže: od A by mal E . Symbol A má význam danej podmienky vety, prijatej bez dôkazu. Symbol E dôležitý je záver vety, ktorý treba dokázať.

Priamu vetu dokážeme kontradikciou, logické metóda. Logická metóda sa používa na dokázanie vety, ktorá má nie matematické stav, a logické stave. Dá sa získať, ak je splnená matematická podmienka vety od A by mal E , doplnok s presne opačnou podmienkou od A nerob to E .

Výsledkom bola logická protichodná podmienka novej vety, ktorá obsahovala dve časti: od A by mal E A od A nerob to E . Výsledná podmienka novej vety zodpovedá logickému zákonu vylúčeného stredu a zodpovedá dôkazu vety protirečením.

Jedna časť odporujúcej podmienky je podľa zákona nepravdivá, druhá časť je pravdivá a tretia je vylúčená. Dôkaz kontradikciou má za úlohu a účel presne určiť, ktorá časť z dvoch častí podmienky vety je nepravdivá. Po určení nepravdivej časti podmienky sa určí, že druhá časť je pravdivá a tretia sa vylúči.

Podľa výkladového slovníka matematických pojmov "Dôkaz je uvažovanie, počas ktorého sa zistí pravdivosť alebo nepravdivosť akéhokoľvek tvrdenia (úsudku, tvrdenia, vety)". Dôkaz protirečením existuje zdôvodnenie, počas ktorého sa zisťuje nepravdivosť(absurdnosť) záveru vyplývajúceho z falošný podmienky vety, ktorá sa má dokázať.

Vzhľadom na to: od A by mal E a od A nerob to E .

dokázať: od A by mal E .

Dôkaz: Logická podmienka vety obsahuje rozpor, ktorý si vyžaduje jej vyriešenie. Rozpor podmienky musí nájsť svoje riešenie v dôkaze a jeho výsledku. Výsledok sa ukáže ako nepravdivý s bezchybným a bezchybným uvažovaním. Dôvodom nesprávneho záveru v logicky správnej úvahe môže byť iba protichodná podmienka: od A by mal E A od A nerob to E .

Neexistuje žiadny tieň pochybností, že jedna časť podmienky je nepravdivá a druhá v tomto prípade je pravdivá. Obe časti podmienky majú rovnaký pôvod, sú akceptované ako údaje, predpokladané, rovnako možné, rovnako prípustné atď. V rámci logického uvažovania nebol objavený jediný logický znak, ktorý by odlišoval jednu časť podmienky od druhej. . Preto v rovnakej miere môže byť od A by mal E a možno od A nerob to E . Vyhlásenie od A by mal E Možno falošný, potom vyhlásenie od A nerob to E bude pravda. Vyhlásenie od A nerob to E môže byť nepravdivé, potom vyhlásenie od A by mal E bude pravda.

V dôsledku toho nie je možné dokázať priamu vetu protirečením.

Teraz dokážeme rovnakú priamu vetu pomocou bežnej matematickej metódy.

Vzhľadom na to: A .

dokázať: od A by mal E .

Dôkaz.

1. Od A by mal B

2. Od B by mal IN (podľa predtým dokázanej vety)).

3. Od IN by mal G (podľa predtým dokázanej vety).

4. Od G by mal D (podľa predtým dokázanej vety).

5. Od D by mal E (podľa predtým dokázanej vety).

Na základe zákona prechodnosti, od A by mal E . Priama veta sa dokazuje obvyklou metódou.

Nech má dokázaná priama veta správnu inverznú vetu: od E by mal A .

Dokážme to obvyklým matematický metóda. Dôkaz opačnej vety možno vyjadriť v symbolickej forme ako algoritmus matematických operácií.

Vzhľadom na to: E

dokázať: od E by mal A .

Dôkaz.

1. Od E by mal D

2. Od D by mal G (podľa predtým osvedčenej opačnej vety).

3. Od G by mal IN (podľa predtým osvedčenej opačnej vety).

4. Od IN nerob to B (opačná veta nie je pravdivá). Preto od B nerob to A .

V tejto situácii nemá zmysel pokračovať v matematickom dokazovaní opačnej vety. Dôvod tejto situácie je logický. Nesprávna konverzná veta sa nedá ničím nahradiť. Preto nie je možné dokázať túto konverznú vetu pomocou bežnej matematickej metódy. Všetka nádej je dokázať túto inverznú vetu protirečením.

Aby sme ju dokázali protirečením, je potrebné nahradiť jej matematickú podmienku logickou protirečivou podmienkou, ktorá vo svojom význame obsahuje dve časti – nepravdivú a pravdivú.

Konverzná veta uvádza: od E nerob to A . Jej stav E , z ktorého vyplýva záver A , je výsledkom dokazovania priamej vety pomocou bežnej matematickej metódy. Túto podmienku je potrebné zachovať a doplniť o vyhlásenie od E by mal A . V dôsledku sčítania dostaneme protirečivú podmienku novej inverznej vety: od E by mal A A od E nerob to A . Na základe toho logicky protirečivá podmienka, opačná veta sa dá dokázať pomocou správnej logické len a len zdôvodnenie, logické metóda protirečením. Pri dokazovaní kontradikciou sú akékoľvek matematické akcie a operácie podriadené logickým, a preto sa nepočítajú.

V prvej časti rozporuplné tvrdenie od E by mal A stave E bol dokázaný dôkazom priamej vety. V druhej časti od E nerob to A stave E bol predpokladaný a prijatý bez dôkazu. Jeden z nich je nepravdivý a druhý pravdivý. Musíte dokázať, ktorý z nich je falošný.

Dokazujeme to správne logické uvažovanie a zistí, že jeho výsledkom je falošný, absurdný záver. Dôvodom nesprávneho logického záveru je protichodná logická podmienka vety, ktorá obsahuje dve časti – nepravdivú a pravdivú. Nepravdivou časťou môže byť iba vyhlásenie od E nerob to A , v ktorom E bol prijatý bez dôkazu. To je to, čo ho odlišuje od E Vyhlásenia od E by mal A , čo je dokázané dôkazom priamej vety.

Preto je tvrdenie pravdivé: od E by mal A , čo bolo potrebné dokázať.

Záver: logickou metódou sa protirečením dokazuje len inverzná veta, ktorá má priamu vetu dokázanú matematickou metódou a ktorú nemožno dokázať matematickou metódou.

Získaný záver nadobúda mimoriadny význam vo vzťahu k metóde dôkazu protirečením veľkej Fermatovej vety. Drvivá väčšina pokusov dokázať to nie je založená na bežnej matematickej metóde, ale na logickej metóde dôkazu kontradikciou. Výnimkou nie je ani Wilesov dôkaz Fermatovej poslednej vety.

Dmitrij Abrarov v článku „Fermatova veta: Fenomén Wilesových dôkazov“ publikoval komentár k Wilesovmu dôkazu Fermatovej poslednej vety. Podľa Abrarova Wiles dokazuje poslednú Fermatovu vetu pomocou pozoruhodného objavu nemeckého matematika Gerharda Freya (nar. 1944), ktorý spojil potenciálne riešenie Fermatovej rovnice x n + y n = z n , Kde n > 2 , s inou, úplne inou rovnicou. Táto nová rovnica je daná špeciálnou krivkou (nazývanou Freyova eliptická krivka). Freyova krivka je daná veľmi jednoduchou rovnicou:
.

„Bol to Frey, kto porovnával s každým rozhodnutím (a, b, c) Fermatova rovnica, teda čísla vyhovujúce vzťahu a n + b n = c n, vyššie uvedená krivka. V tomto prípade by nasledovala posledná Fermatova veta."(Citácia: Abrarov D. „Fermatova veta: fenomén Wilesových dôkazov“)

Inými slovami, Gerhard Frey navrhol rovnicu Fermatovej poslednej vety x n + y n = z n , Kde n > 2 , má riešenia v kladných celých číslach. Tieto isté riešenia sú podľa Freyovho predpokladu riešeniami jeho rovnice
y2 + x (x - an) (y + b n) = 0 , ktorá je daná jej eliptickou krivkou.

Andrew Wiles prijal tento pozoruhodný objav Freya a s jeho pomocou matematický metóda dokázala, že tento nález, teda Freyova eliptická krivka, neexistuje. Neexistuje teda rovnica a jej riešenia, ktoré sú dané neexistujúcou eliptickou krivkou.Preto mal Wiles prijať záver, že neexistuje rovnica poslednej Fermatovej vety a samotnej Fermatovej vety. Prijíma však skromnejší záver, že rovnica Fermatovej poslednej vety nemá riešenia v kladných celých číslach.

Nevyvrátiteľným faktom môže byť, že Wiles prijal predpoklad, ktorý má presne opačný význam, ako uvádza Fermatova veľká veta. Zaväzuje Wilesa, aby dokázal poslednú Fermatovu vetu protirečením. Nasledujme jeho príklad a uvidíme, čo z tohto príkladu vyplýva.

Posledná Fermatova veta hovorí, že rovnica x n + y n = z n , Kde n > 2 , nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach.

Podľa logickej metódy dôkazu protirečením sa toto tvrdenie zachová, akceptuje sa ako dané bez dôkazu a potom sa doplní opačným tvrdením: rovnica x n + y n = z n , Kde n > 2 , má riešenia v kladných celých číslach.

Predpokladané vyhlásenie sa tiež akceptuje ako dané, bez dôkazu. Obidva výroky, uvažované z hľadiska základných zákonov logiky, sú rovnako platné, rovnako platné a rovnako možné. Správnym uvažovaním je potrebné určiť, ktoré z nich je nepravdivé, aby sa potom určilo, že druhé tvrdenie je pravdivé.

Správna úvaha končí nepravdivým, absurdným záverom, ktorého logickým dôvodom môže byť len protichodná podmienka dokazovanej vety, ktorá obsahuje dve časti priamo opačného významu. Boli logickým dôvodom absurdného záveru, výsledkom dôkazu protirečením.

Pri logicky správnej úvahe sa však nenašiel jediný znak, podľa ktorého by sa dalo určiť, ktoré konkrétne tvrdenie je nepravdivé. Môže to byť výrok: rovnica x n + y n = z n , Kde n > 2 , má riešenia v kladných celých číslach. Na rovnakom základe by to mohlo byť nasledujúce tvrdenie: rovnica x n + y n = z n , Kde n > 2 , nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach.

V dôsledku úvah možno vyvodiť iba jeden záver: Fermatovu poslednú vetu nemožno dokázať protirečením.

Bolo by to úplne iné, keby posledná Fermatova veta bola inverzná veta, ktorá má priamu vetu dokázanú bežnou matematickou metódou. V tomto prípade by sa to dalo dokázať protirečením. A keďže ide o priamu vetu, jej dôkaz by nemal byť založený na logickej metóde dôkazu protirečením, ale na bežnej matematickej metóde.

Podľa D. Abrarova najznámejší z moderných ruských matematikov, akademik V. I. Arnold, reagoval na Wilesov dôkaz „aktívne skepticky“. Akademik uviedol: „toto nie je skutočná matematika – skutočná matematika je geometrická a má silné spojenie s fyzikou.“ (Citát: Abrarov D. „Fermatova veta: fenomén Wilesových dôkazov.“ Akademikov výrok vyjadruje samotnú podstatu Wilesov nematematický dôkaz poslednej Fermatovej vety.

Protirečením nie je možné dokázať ani to, že rovnica poslednej Fermatovej vety nemá riešenia, ani že má riešenia. Wilesova chyba nie je matematická, ale logická – použitie dôkazu protirečením tam, kde jeho použitie nedáva zmysel a veľká Fermatova veta nedokazuje.

Fermatovu poslednú vetu nemožno dokázať ani pomocou bežnej matematickej metódy, ak dáva: rovnicu x n + y n = z n , Kde n > 2 , nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach, a ak v ňom chcete dokázať: rovnicu x n + y n = z n , Kde n > 2 , nemá žiadne riešenia v kladných celých číslach. V tejto forme neexistuje teorém, ale tautológia bez významu.

Poznámka. Môj dôkaz o BTF bol prediskutovaný na jednom z fór. Jeden z účastníkov Trotilu, odborník na teóriu čísel, urobil toto autoritatívne vyhlásenie s názvom: „Krátke prerozprávanie toho, čo urobil Mirgorodsky. Citujem to doslovne:

« A. Dokázal, že ak z2 = x 2 + y , To z n > x n + y n . To je známy a celkom zrejmý fakt.

IN. Zobral dve trojky – pytagorejskú a nepytagorejskú a jednoduchým hľadaním ukázal, že pre konkrétnu, špecifickú rodinu trojíc (78 a 210 kusov) je BTF (a len pre ňu) splnený.

S. A potom autor vynechal fakt, že od < v neskoršom rozsahu sa to môže ukázať = , nie len > . Jednoduchý protipríklad – prechod n=1 V n=2 v pytagorejskej trojke.

D. Tento bod neprispieva k dôkazu BTF ničím významným. Záver: BTF nebolo dokázané.”

Jeho záver zvážim bod po bode.

A. Dokazuje BTF pre celú nekonečnú množinu trojíc pytagorovských čísel. Dokázané geometrickou metódou, ktorú, ako verím, som neobjavil ja, ale znovuobjavil. A objavil to, ako verím, sám P. Fermat. Fermat to mohol mať na mysli, keď napísal:

"Našiel som o tom skutočne úžasný dôkaz, ale tieto polia sú na to príliš úzke." Tento môj predpoklad vychádza z toho, že v diofantínskom probléme, proti ktorému Fermat písal na margo knihy, hovoríme o riešeniach diofantínskej rovnice, čo sú trojice pytagorovských čísel.

Nekonečná množina trojíc Pytagorových čísel je riešením Diophateovej rovnice a naopak, vo Fermatovej vete žiadne z riešení nemôže byť riešením rovnice Fermatovej vety. A Fermatov skutočne úžasný dôkaz s týmto faktom priamo súvisí. Fermat mohol neskôr rozšíriť svoju vetu na množinu všetkých prirodzených čísel. Na množine všetkých prirodzených čísel BTF nepatrí do „množiny výnimočne krásnych viet“. Toto je moja domnienka, ktorú nemožno dokázať ani vyvrátiť. Dá sa prijať alebo odmietnuť.

IN. Na tomto mieste dokazujem, že je splnená ako rodina ľubovoľne prevzatej pytagorejskej trojky čísel, tak aj rodina ľubovoľne prevzatej nepytagorejskej trojky BTF čísel.Toto je nevyhnutný, no nepostačujúci a medzičlánok v mojom dokazovaní BTF. . Príklady, ktoré som zobral na rodinu trojice pytagorejských čísel a rodinu trojky nepytagorovských čísel, majú význam konkrétnych príkladov, ktoré predpokladajú a nevylučujú existenciu podobných iných príkladov.

Trotilovo tvrdenie, že „jednoduchým hľadaním som ukázal, že pre konkrétnu, špecifickú rodinu trojíc (78 a 210 kusov) je BTF splnená (a len pre ňu), je nepodložené. Nemôže vyvrátiť skutočnosť, že môžem rovnako ľahko vziať ďalšie príklady pytagorovských a nepytagorovských trojíc, aby som získal špecifickú určitú rodinu jednej a druhej trojice.

Nech vezmem akýkoľvek pár trojíc, overenie ich vhodnosti na vyriešenie problému sa dá podľa môjho názoru vykonať iba metódou „jednoduchého sčítania“. Iný spôsob nepoznám a nepotrebujem ho. Ak sa to Trotilovi nepáčilo, mal navrhnúť inú metódu, čo však nerobí. Bez toho, aby sme na oplátku niečo ponúkli, je nesprávne odsudzovať „jednoduchú prehnanosť“, ktorá je v tomto prípade nenahraditeľná.

S. som vynechal = medzi< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z2 = x 2 + y (1), v ktorom je stupeň n > 2 — celý kladné číslo. Z rovnosti medzi nerovnosťami to vyplýva povinné zváženie rovnice (1) pre neceločíselné stupne n > 2 . Trotil, počítanie povinnéúvahy o rovnosti medzi nerovnosťami vlastne zvažuje nevyhnutné v dôkaze BTF, zohľadnenie rovnice (1) s nie celý hodnotu stupňa n > 2 . Urobil som to pre seba a našiel som rovnicu (1). nie celý hodnotu stupňa n > 2 má riešenie troch čísel: z, (z-1), (z-1) pre neceločíselný exponent.

Záujem o matematiku sa u Fermata prejavil akosi nečakane a v dosť zrelom veku. V roku 1629 sa mu do rúk dostal latinský preklad Pappusovho diela, obsahujúci stručný súhrn Apolloniových výsledkov o vlastnostiach kužeľosečiek. Fermat, polyglot, odborník na právo a antickú filológiu, sa zrazu podujme úplne obnoviť smer uvažovania slávneho vedca. S rovnakým úspechom sa moderný právnik môže pokúsiť nezávisle reprodukovať všetky dôkazy z monografie z problémov, povedzme, algebraickej topológie. Nemysliteľný podnik je však korunovaný úspechom. Navyše, keď sa ponorí do geometrických konštrukcií staroveku, urobí úžasný objav: na nájdenie maxima a minima plôch postáv nie sú potrebné dômyselné kresby. Vždy je možné zostrojiť a vyriešiť nejakú jednoduchú algebraickú rovnicu, ktorej korene určujú extrém. Prišiel s algoritmom, ktorý sa stal základom diferenciálneho počtu.

Rýchlo sa pohol ďalej. Našiel dostatočné podmienky pre existenciu maxím, naučil sa určovať inflexné body a nakreslil dotyčnice ku všetkým známym krivkám druhého a tretieho rádu. Ešte pár rokov a nájde novú čisto algebraickú metódu na hľadanie kvadratút pre paraboly a hyperboly ľubovoľného rádu (t. j. integrály funkcií tvaru y p = Cx q A y p x q = C), vypočítava plochy, objemy, momenty zotrvačnosti rotačných telies. Bol to skutočný prielom. Keď to Fermat cíti, začína hľadať komunikáciu s vtedajšími matematickými autoritami. Je sebavedomý a túži po uznaní.

V roku 1636 napísal svoj prvý list svojmu reverendovi Marinovi Mersennovi: „Svätý otec! Som vám nesmierne vďačný za česť, ktorú ste mi preukázali tým, že ste mi dali nádej, že sa budeme môcť porozprávať písomne; ...Veľmi rád sa od vás dozviem o všetkých nových pojednaniach a knihách o matematike, ktoré sa objavili za posledných päť alebo šesť rokov. ...Našiel som aj mnoho analytických metód na rôzne úlohy, numerické aj geometrické, na riešenie ktorých Vietov rozbor nestačí. O toto všetko sa s vami podelím, kedykoľvek budete chcieť, a bez akejkoľvek arogancie, od ktorej som slobodnejší a vzdialenejší ako ktorýkoľvek iný človek na svete.“

Kto je otec Mersenne? Ide o františkánskeho mnícha, vedca so skromným talentom a pozoruhodného organizátora, ktorý 30 rokov viedol parížsky matematický krúžok, ktorý sa stal skutočným centrom francúzskej vedy. Následne sa kruh Mersenne dekrétom Ľudovíta XIV. premenil na Parížsku akadémiu vied. Mersenne neúnavne viedol rozsiahlu korešpondenciu a jeho cela v kláštore Rádu minimov na Kráľovskom námestí bola akousi „poštou pre všetkých vedcov Európy, od Galilea po Hobbesa“. Korešpondencia potom nahradila vedecké časopisy, ktoré sa objavili oveľa neskôr. Stretnutia v Mersenne's sa konali každý týždeň. Jadro kruhu tvorili najbrilantnejší prírodovedci tej doby: Robertville, Pascal otec, Desargues, Midorge, Hardy a samozrejme slávny a všeobecne uznávaný Descartes. René du Perron Descartes (Cartesius), šľachtický plášť, dva rodinné majetky, zakladateľ kartezianizmu, „otec“ analytickej geometrie, jeden zo zakladateľov novej matematiky, ako aj Mersennov priateľ a spolužiak na jezuitskom kolégiu. Tento úžasný muž sa stane pre Fermatu nočnou morou.

Mersenne považoval Fermatove výsledky za dostatočne zaujímavé na to, aby predstavil provinciála svojmu elitnému klubu. Farma okamžite začala korešpondenciu s mnohými členmi kruhu a bola doslova bombardovaná listami od samotného Mersenna. Okrem toho posiela na posúdenie učeným ľuďom hotové rukopisy: „Úvod do plochých a pevných miest“ a o rok neskôr – „Metóda hľadania maxím a miním“ a „Odpovede na otázky B. Cavalieriho“. To, čo Fermat vysvetlil, bolo úplne nové, no nevznikla žiadna senzácia. Súčasníci sa netriasli. Rozumeli málo, ale našli jasné náznaky, že Fermat si požičal myšlienku maximalizačného algoritmu z pojednania Johannesa Keplera so zábavným názvom „Nová stereometria vínnych sudov“. V Keplerovom uvažovaní skutočne existujú frázy ako „Objem postavy je najväčší, ak na oboch stranách miesta najväčšej hodnoty je pokles spočiatku necitlivý“. Ale myšlienka malého prírastku funkcie blízko extrému nebola vôbec vo vzduchu. Najlepšie analytické mysle tej doby neboli pripravené manipulovať s malými množstvami. Faktom je, že v tom čase bola algebra považovaná za druh aritmetiky, to znamená matematiku druhej triedy, primitívny nástroj po ruke, vyvinutý pre potreby základnej praxe („len obchodníci dobre počítajú“). Tradícia predpisovala dodržiavanie čisto geometrických metód dokazovania, siahajúcich až do starovekej matematiky. Fermat bol prvý, kto si uvedomil, že nekonečne malé množstvá možno pridávať a zmenšovať, ale je dosť ťažké ich znázorniť vo forme segmentov.

Trvalo takmer storočie, kým Jean d'Alembert vo svojej slávnej Encyklopédii priznal: „Fermat bol vynálezcom nového kalkulu. Práve u neho nachádzame prvú aplikáciu diferenciálov na nájdenie dotyčníc.“ IN koniec XVIII storočia sa Joseph Louis Comte de Lagrange vyjadril ešte jasnejšie: „Ale geometri – Fermatovi súčasníci – nerozumeli tomuto novému druhu kalkulu. Videli len špeciálne prípady. A tento vynález, ktorý sa objavil krátko pred Descartovou geometriou, zostal bezvýsledný štyridsať rokov.“ Lagrange odkazuje na rok 1674, kedy boli publikované prednášky Isaaca Barrowa, ktoré podrobne pokrývajú Fermatovu metódu.

Okrem iného sa rýchlo ukázalo, že Fermat viac inklinoval k formulovaniu nových problémov ako k pokornému riešeniu problémov, ktoré navrhli merači. V ére duelov bola výmena úloh medzi odborníkmi všeobecne akceptovaná ako forma objasňovania problémov spojených s podriadenosťou. Fermat však zjavne nepozná medze. Každý z jeho listov je výzvou obsahujúcou desiatky zložitých nevyriešených problémov a na tie najneočakávanejšie témy. Tu je príklad jeho štýlu (adresovaný Frenicle de Bessy): „Položka, aký je najmenší štvorec, ktorý po zmenšení o 109 a pripočítaní o jeden dá štvorec? Ak mi nepošleš všeobecné riešenie, potom pošlite podiel pre tieto dve čísla, ktorý som zvolil malý, aby som vás príliš nezmiatol. Keď dostanem vašu odpoveď, navrhnem vám ďalšie veci. Bez väčších výhrad je jasné, že môj návrh vyžaduje hľadanie celých čísel, pretože v prípade zlomkových čísel by k cieľu mohol dospieť najmenší aritmetik.“ Fermat sa často opakoval, viackrát formuloval tie isté otázky a otvorene blafoval a tvrdil, že na navrhovaný problém má nezvyčajne elegantné riešenie. Vyskytlo sa aj niekoľko priamych chýb. Niektoré z nich si všimli už súčasníci a niektoré zákerné výroky zavádzali čitateľov po stáročia.

Kruh Mersenne reagoval adekvátne. Len Robertville, jediný člen krúžku, ktorý mal problémy so svojím pôvodom, zachováva priateľský tón listov. Dobrý pastier otec Mersenne sa snažil uvažovať s „drzým Toulouse“. Fermat sa však nemieni ospravedlňovať: „Ctihodný otec! Píšete mi, že predloženie mojich nemožných problémov rozhnevalo a schladilo pánov Saint-Martina a Frenicla a že to bol dôvod zastavenia ich listov. Chcem im však namietať, že to, čo sa na prvý pohľad zdá nemožné, v skutočnosti tak nie je a že existuje veľa problémov, ktoré, ako povedal Archimedes ... “ atď.

Fermat je však neúprimný. Práve Freniclesovi poslal problém nájsť pravouhlý trojuholník s celočíselnými stranami, ktorých plocha sa rovná štvorcu celého čísla. Poslal som to, hoci som vedel, že problém zjavne nemá riešenie.

Descartes zaujal najnepriateľskejšiu pozíciu voči Fermatovi. V jeho liste Mersennovi z roku 1938 čítame: „keďže som sa dozvedel, že ide o toho istého muža, ktorý sa mi predtým snažil vyvrátiť dioptriu, a keďže ste ma informovali, že to poslal po prečítaní mojej geometrie“ a prekvapene, že som to neurobil. nájsť to isté, teda (ako mám dôvod si to vykladať) poslal s cieľom vstúpiť do súperenia a ukázať, že v tomto vie viac ako ja, a keďže aj z vašich listov som sa dozvedel, že má povesť veľmi dobre informovaného geometra, potom sa považujem za povinný mu odpovedať." Descartes neskôr slávnostne označil svoju odpoveď za „malý proces matematiky proti pánovi Fermatovi“.

Je ľahké pochopiť, čo pobúrilo významného vedca. Po prvé, vo Fermatovom uvažovaní sa neustále objavujú súradnicové osi a reprezentácia čísel segmentmi - technika, ktorú Descartes komplexne rozvíja vo svojej práve publikovanej „Geometrii“. Fermat prichádza k myšlienke nahradiť výkresy výpočtami úplne nezávisle, v niektorých ohľadoch je dokonca konzistentnejší ako Descartes. Po druhé, Fermat brilantne demonštruje účinnosť svojej metódy hľadania miním na príklade problému najkratšej dráhy svetelného lúča, objasňuje a dopĺňa Descarta jeho „dioptrikou“.

Prednosti Descarta ako mysliteľa a inovátora sú obrovské, ale otvorme si modernú „matematickú encyklopédiu“ a pozrime sa na zoznam výrazov spojených s jeho menom: „karteziánske súradnice“ (Leibniz, 1692), „karteziánsky list“, „karteziánsky ovály“. Žiadny z jeho argumentov sa nezapísal do histórie ako „Descartesova veta“. Descartes je predovšetkým ideológ: je zakladateľom filozofickej školy, tvorí pojmy, zdokonaľuje systém písmenových symbolov, ale jeho tvorivé dedičstvo obsahuje málo nových špecifických techník. Naproti tomu Pierre Fermat píše málo, ale z akéhokoľvek dôvodu dokáže vymyslieť množstvo dômyselných matematických trikov (pozri tiež „Fermatova veta“, „Fermatov princíp“, „Fermatova metóda nekonečného zostupu“). Asi na seba celkom oprávnene žiarli. Kolízia bola nevyhnutná. S jezuitským sprostredkovaním z Mersenne vypukla vojna, ktorá trvala dva roky. Ukázalo sa však, že Mersenne tu bol ešte pred históriou: krutý boj dvoch titánov, ich intenzívne, mierne povedané, polemiky prispeli k pochopeniu kľúčových pojmov matematickej analýzy.

Fermat ako prvý stráca záujem o diskusiu. Zrejme sa vysvetlil priamo Descartesovi a už nikdy viac neurazil svojho protivníka. V jednom z nich najnovšie diela„Syntéza pre lom“, rukopis, ktorý poslal de la Chambre, si Fermat prostredníctvom slova pamätá „najučenejšieho Descarta“ a všetkými možnými spôsobmi zdôrazňuje svoju prioritu v otázkach optiky. Medzitým to bol tento rukopis, ktorý obsahoval opis slávneho „Fermatovho princípu“, ktorý poskytuje komplexné vysvetlenie zákonov odrazu a lomu svetla. Prikyvovanie Descartovi v práci tejto úrovne bolo úplne zbytočné.

Čo sa stalo? Prečo sa Fermat, odložiac svoju pýchu, rozhodol pre zmierenie? Pri čítaní Fermatových listov z tých rokov (1638 - 1640) možno predpokladať najjednoduchšiu vec: v tomto období sa jeho vedecké záujmy dramaticky zmenili. Opúšťa módnu cykloidu, prestáva sa zaujímať o tangenty a oblasti a na dlhých 20 rokov zabúda na svoju metódu hľadania maxima. S obrovskými zásluhami na spojitej matematike sa Fermat úplne ponoril do diskrétnej matematiky a nechal odporcom odporné geometrické kresby. Jeho novou vášňou sa stávajú čísla. V skutočnosti celá „Teória čísel“ ako samostatná matematická disciplína vďačí za svoj vznik výlučne životu a dielu Fermata.

<…>Po Fermatovej smrti vydal jeho syn Samuel v roku 1670 výtlačok „Aritmetiky“ patriacej jeho otcovi pod názvom „Šesť kníh aritmetiky Alexandrijského Diofanta s komentármi L. G. Bacheta a poznámkami P. de Fermata, senátora z Toulouse“. Kniha obsahovala aj niektoré Descartove listy a úplný text diela Jacquesa de Biglyho „Nový objav v umení analýzy“ napísaný na základe Fermatových listov. Publikácia mala neuveriteľný úspech. Pred užasnutými odborníkmi sa otvoril nevídaný jasný svet. Neočakávanosť, a čo je najdôležitejšie, dostupnosť, demokracia Fermatových výsledkov teoretických čísiel viedla k mnohým napodobňovaniu. V tom čase málokto chápal, ako sa počíta plocha paraboly, ale každý študent mohol pochopiť formuláciu Fermatovej poslednej vety. Začal sa skutočný hon na vedcove neznáme a stratené listy. Do konca 17. stor. Každé jeho nájdené slovo bolo publikované a znovu publikované. Ale turbulentná história vývoja Fermatových myšlienok sa len začala.

Takže Fermatova posledná veta (často nazývaná posledná Fermatova veta), ktorú v roku 1637 sformuloval vynikajúci francúzsky matematik Pierre Fermat, je svojou podstatou veľmi jednoduchá a zrozumiteľná pre každého so stredoškolským vzdelaním. Hovorí, že vzorec a na mocninu n + b na mocninu n = c na n nemá prirodzené (teda nie zlomkové) riešenia pre n > 2. Všetko sa zdá jednoduché a jasné, ale najlepší matematici aj obyčajní amatéri zápasili s hľadaním riešenia viac ako tri a pol storočia.


Prečo je taká slávna? Teraz zistíme...



Existuje veľa overených, neoverených a ešte neoverených teorémov? Ide o to, že Fermatova posledná veta predstavuje najväčší kontrast medzi jednoduchosťou formulácie a zložitosťou dôkazu. Fermatova posledná veta je neskutočne ťažký problém a predsa jej formuláciu pochopí každý s 5. ročníkom strednej školy, no dôkazu nerozumie ani každý profesionálny matematik. Ani vo fyzike, ani v chémii, ani v biológii, ani v matematike neexistuje jediný problém, ktorý by sa dal sformulovať tak jednoducho, no zostal tak dlho nevyriešený. 2. Z čoho pozostáva?

Začnime pytagorovými nohavicami. Znenie je naozaj jednoduché – na prvý pohľad. Ako vieme z detstva, „pytagorejské nohavice sú rovnaké na všetkých stranách“. Problém vyzerá tak jednoducho, pretože bol založený na matematickom tvrdení, ktoré každý pozná – Pytagorovej vete: v akomkoľvek pravouhlom trojuholníku sa štvorec postavený na prepone rovná súčtu štvorcov postavených na nohách.

V 5. storočí pred Kr. Pytagoras založil pytagorejské bratstvo. Pythagorejci okrem iného študovali celočíselné trojice spĺňajúce rovnosť x²+y²=z². Dokázali, že existuje nekonečne veľa pytagorovských trojíc a získali všeobecné vzorce aby som ich našiel. Pravdepodobne sa snažili hľadať C a vyššie stupne. Pytagorejci presvedčení, že to nefungovalo, zanechali svoje zbytočné pokusy. Členovia bratstva boli viac filozofi a estéti ako matematici.


To znamená, že je ľahké vybrať množinu čísel, ktoré dokonale spĺňajú rovnosť x²+y²=z²

Počnúc od 3, 4, 5 - skutočne, mladší študent chápe, že 9 + 16 = 25.

Alebo 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Skvelé.

A tak ďalej. Čo ak vezmeme podobnú rovnicu x³+y³=z³? Možno existujú aj také čísla?




A tak ďalej (obr. 1).

Takže sa ukazuje, že NIE SÚ. Tu začína trik. Jednoduchosť je zjavná, pretože je ťažké dokázať nie prítomnosť niečoho, ale naopak jeho neprítomnosť. Keď potrebujete dokázať, že existuje riešenie, môžete a mali by ste ho jednoducho predložiť.

Dokazovanie absencie je ťažšie: niekto napríklad hovorí: taká a taká rovnica nemá riešenia. Dať ho do mláky? jednoduché: bam - a tu to je, riešenie! (dať riešenie). A to je všetko, súper je porazený. Ako dokázať absenciu?

Povedzte: „Nenašiel som také riešenia“? Alebo ste možno nevyzerali dobre? Čo ak existujú, len veľmi veľké, veľmi veľké, takže ani supervýkonný počítač stále nemá dostatok sily? Toto je ťažké.

Vizuálne sa to dá ukázať takto: ak vezmete dva štvorce vhodnej veľkosti a rozložíte ich na jednotkové štvorce, potom z tohto zväzku jednotkových štvorcov získate tretí štvorec (obr. 2):


Ale urobme to isté s tretím rozmerom (obr. 3) – nefunguje to. Nie je dostatok kociek alebo zostali ďalšie:





Ale francúzsky matematik Pierre de Fermat zo 17. storočia nadšene študoval všeobecnú rovnicu x n + y n = z n . A nakoniec som dospel k záveru: pre n>2 neexistujú celočíselné riešenia. Fermatov dôkaz je nenávratne stratený. Rukopisy horia! Zostáva len jeho poznámka v Diophantus's Arithmetic: „Našiel som skutočne úžasný dôkaz tohto tvrdenia, ale okraje sú príliš úzke na to, aby ho obsiahli.

Veta bez dôkazu sa v skutočnosti nazýva hypotéza. Ale Fermat má povesť, že nikdy nerobí chyby. Ak aj nezanechal dôkaz o výpovedi, následne sa to potvrdilo. Navyše Fermat dokázal svoju tézu pre n=4. Tak sa hypotéza francúzskeho matematika zapísala do histórie ako Fermatova posledná veta.

Po Fermatovi pracovali také veľké mysle ako Leonhard Euler na hľadaní dôkazu (v roku 1770 navrhol riešenie pre n = 3),

Adrien Legendre a Johann Dirichlet (títo vedci spoločne našli dôkaz pre n = 5 v roku 1825), Gabriel Lamé (ktorý našiel dôkaz pre n = 7) a mnohí ďalší. V polovici 80. rokov minulého storočia bolo jasné, že vedecký svet je na ceste ku konečnému riešeniu Fermatovej poslednej vety, ale až v roku 1993 matematici videli a uverili, že tristoročná epopeja o hľadaní dôkazu poslednej Fermatovej vety bol prakticky koniec.

Ľahko sa ukáže, že stačí dokázať Fermatovu vetu len pre jednoduché n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Pre kompozit n zostáva dôkaz platný. Ale prvočísel je nekonečne veľa...

V roku 1825 pomocou metódy Sophie Germainovej, matematičky, Dirichlet a Legendre nezávisle dokázali vetu pre n=5. V roku 1839 tou istou metódou ukázal Francúz Gabriel Lame pravdivosť vety pre n=7. Postupne bola veta dokázaná pre takmer všetkých n menej ako sto.


Napokon, nemecký matematik Ernst Kummer v brilantnej štúdii ukázal, že teorém vo všeobecnosti nie je možné dokázať pomocou metód matematiky 19. storočia. Cena Francúzskej akadémie vied, založená v roku 1847 za dôkaz Fermatovej vety, zostala neudelená.

V roku 1907 sa bohatý nemecký priemyselník Paul Wolfskehl rozhodol vziať si život kvôli neopätovanej láske. Ako správny Nemec stanovil dátum a čas samovraždy: presne o polnoci. Posledný deň urobil závet a napísal listy priateľom a príbuzným. Veci sa skončili pred polnocou. Treba povedať, že Pavla zaujímala matematika. Keďže nemal nič iné na práci, odišiel do knižnice a začal čítať Kummerov slávny článok. Zrazu sa mu zdalo, že sa Kummer vo svojich úvahách pomýlil. Wolfskel začal túto časť článku analyzovať s ceruzkou v rukách. Polnoc prešla, nastalo ráno. Medzera v dôkaze bola vyplnená. A samotný dôvod samovraždy teraz vyzeral úplne smiešne. Pavol roztrhol listy na rozlúčku a prepísal závet.

Čoskoro zomrel prirodzenou smrťou. Dediči boli poriadne prekvapení: 100 000 mariek (viac ako 1 000 000 súčasných libier šterlingov) bolo prevedených na účet kráľovského úradu. vedeckej spoločnosti Göttingen, ktorý v tom istom roku vyhlásil súťaž o cenu Wolfskehl. Osoba, ktorá dokázala Fermatovu vetu, získala 100 000 bodov. Za vyvrátenie vety nebol udelený ani fenig...

Väčšina profesionálnych matematikov považovala hľadanie dôkazu Fermatovej poslednej vety za beznádejnú úlohu a rezolútne odmietli strácať čas takýmto zbytočným cvičením. Ale amatéri sa bavili. Niekoľko týždňov po oznámení zasiahla univerzitu v Göttingene lavína „dôkazov“. Profesor E.M. Landau, ktorého zodpovednosťou bolo analyzovať zaslané dôkazy, rozdal svojim študentom karty:


Drahá. . . . . . . .

Ďakujem, že ste mi poslali rukopis s dôkazom Fermatovej poslednej vety. Prvá chyba je na strane ... v riadku... . Kvôli tomu stráca celý dôkaz svoju platnosť.
Profesor E. M. Landau











V roku 1963 Paul Cohen, opierajúc sa o Gödelove zistenia, dokázal neriešiteľnosť jedného z dvadsiatich troch Hilbertových problémov – hypotézy kontinua. Čo ak je nerozhodnuteľná aj Fermatova posledná veta?! Skutoční fanatici Veľkej vety však vôbec neboli sklamaní. Nástup počítačov zrazu dal matematikom novú metódu dokazovania. Po druhej svetovej vojne tímy programátorov a matematikov dokázali Fermatovu poslednú vetu pre všetky hodnoty n do 500, potom do 1 000 a neskôr do 10 000.

V 80. rokoch Samuel Wagstaff zvýšil limit na 25 000 a v 90. rokoch matematici vyhlásili, že Fermatova posledná veta platí pre všetky hodnoty n až do 4 miliónov. Ale ak odpočítate čo i len bilión biliónov od nekonečna, nezmenší sa. Matematikov nepresvedčí štatistika. Dokázať Veľkú vetu znamenalo dokázať ju pre VŠETKÝCH n ísť do nekonečna.




V roku 1954 začali dvaja mladí japonskí priatelia matematici skúmať modulárne formy. Tieto formuláre generujú série čísel, z ktorých každé má svoj vlastný rad. Taniyama náhodou porovnal tieto série so sériami generovanými eliptickými rovnicami. Zhodovali sa! Ale modulárne formy sú geometrické objekty a eliptické rovnice sú algebraické. Medzi tak rôzne predmety nikdy nenašiel spojenie.

Po starostlivom testovaní však priatelia predložili hypotézu: každá eliptická rovnica má dvojča - modulárnu formu a naopak. Bola to táto hypotéza, ktorá sa stala základom celého smeru v matematike, ale kým sa nepreukázala hypotéza Taniyama-Shimura, celá budova sa mohla kedykoľvek zrútiť.

V roku 1984 Gerhard Frey ukázal, že riešenie Fermatovej rovnice, ak existuje, môže byť zahrnuté do nejakej eliptickej rovnice. O dva roky neskôr profesor Ken Ribet dokázal, že táto hypotetická rovnica nemôže mať v modulárnom svete obdobu. Odteraz bola Fermatova posledná veta neoddeliteľne spojená s domnienkou Taniyama-Shimura. Po preukázaní, že každá eliptická krivka je modulárna, sme dospeli k záveru, že neexistuje žiadna eliptická rovnica s riešením Fermatovej rovnice a Fermatova posledná veta by bola okamžite dokázaná. Ale tridsať rokov nebolo možné dokázať hypotézu Taniyama-Shimura a nádej na úspech bola čoraz menšia.

V roku 1963, keď mal len desať rokov, bol Andrew Wiles už fascinovaný matematikou. Keď sa dozvedel o Veľkej vete, uvedomil si, že sa jej nemôže vzdať. Ako školák, študent a postgraduálny študent sa na túto úlohu pripravoval.

Keď sa Wiles dozvedel o zisteniach Kena Ribeta, vrhol sa strmhlav do dokazovania Taniyama-Shimurovej domnienky. Rozhodol sa pracovať v úplnej izolácii a utajení. "Uvedomil som si, že všetko, čo má niečo spoločné s Fermatovou poslednou vetou, vzbudzuje príliš veľký záujem... Príliš veľa divákov očividne zasahuje do dosiahnutia cieľa." Sedem rokov tvrdej práce sa vyplatilo; Wiles konečne dokončil dôkaz dohadu Taniyama-Shimura.

V roku 1993 anglický matematik Andrew Wiles predstavil svetu svoj dôkaz Fermatovej poslednej vety (Wiles čítal svoj senzačný článok na konferencii v Inštitúte Sira Isaaca Newtona v Cambridge.), práca na ktorej trvala viac ako sedem rokov.







Zatiaľ čo humbuk v tlači pokračoval, začala sa vážna práca na overovaní dôkazov. Každý dôkaz musí byť dôkladne preskúmaný predtým, ako sa dôkaz môže považovať za prísny a presný. Wiles strávil nepokojné leto čakaním na spätnú väzbu od recenzentov v nádeji, že sa mu podarí získať ich súhlas. Koncom augusta znalci rozsudok zistili ako nedostatočne odôvodnený.

Ukázalo sa, že toto rozhodnutie obsahuje hrubú chybu, hoci vo všeobecnosti je správne. Wiles sa nevzdal, zavolal si na pomoc slávneho špecialistu na teóriu čísel Richarda Taylora a už v roku 1994 zverejnili opravený a rozšírený dôkaz vety. Najúžasnejšie je, že táto práca zabrala až 130 (!) strán v matematickom časopise „Annals of Mathematics“. Ani tam sa však príbeh neskončil – definitívny bod sa dosiahol až v nasledujúcom roku 1995, keď bola zverejnená konečná a z matematického hľadiska „ideálna“ verzia dôkazu.

„...pol minúty po začiatku slávnostnej večere pri príležitosti jej narodenín som Nadyi odovzdal rukopis úplného dôkazu“ (Andrew Wales). Ešte som nepovedal, že matematici sú zvláštni ľudia?






Tentoraz o dôkazoch nebolo pochýb. Dva články boli podrobené najstarostlivejšej analýze a boli publikované v máji 1995 v Annals of Mathematics.

Od toho momentu prešlo veľa času, no v spoločnosti stále panuje názor, že Fermat’s Last Theorem je neriešiteľný. Ale aj tí, ktorí vedia o nájdenom dôkaze, pokračujú v práci týmto smerom – málokto je spokojný s tým, že Veľká veta vyžaduje riešenie na 130 stranách!

Preto sa teraz úsilie mnohých matematikov (väčšinou amatérov, nie profesionálnych vedcov) vrhá do hľadania jednoduchého a výstižného dôkazu, no táto cesta s najväčšou pravdepodobnosťou nikam nevedie...

Neriešiteľné úlohy je 7 zaujímavých matematických úloh. Každý z nich bol naraz navrhnutý slávnymi vedcami, zvyčajne vo forme hypotéz. Už mnoho desaťročí si matematici na celom svete lámu hlavu, aby ich vyriešili. Tí, ktorí uspejú, dostanú odmenu jeden milión amerických dolárov, ktorú ponúka Clay Institute.

Clay Institute

Toto je názov súkromnej neziskovej organizácie so sídlom v Cambridge v štáte Massachusetts. V roku 1998 ju založili harvardský matematik A. Jaffee a podnikateľ L. Clay. Cieľom ústavu je popularizovať a rozvíjať matematické poznatky. Na dosiahnutie tohto cieľa organizácia udeľuje ocenenia vedcom a sponzorom sľubným výskumom.

Na začiatku 21. storočia Clay Mathematics Institute ponúkol cenu tým, ktorí vyriešili problémy známe ako najťažšie neriešiteľné problémy, pričom jeho zoznam nazval Problémy tisícročnej ceny. Z Hilbertovho zoznamu sa do nej dostala len Riemannova hypotéza.

Výzvy tisícročia

Zoznam Clay Institute pôvodne obsahoval:

  • hypotéza Hodgeovho cyklu;
  • rovnice kvantovej Yang-Millsovej teórie;
  • Poincarého domnienka;
  • problém rovnosti tried P a NP;
  • Riemannova hypotéza;
  • o existencii a plynulosti jeho riešení;
  • Problém Birch-Swinnerton-Dyer.

Tieto otvorené matematické problémy sú veľmi zaujímavé, pretože môžu mať mnoho praktických implementácií.

Čo dokázal Grigorij Perelman

V roku 1900 slávny vedec-filozof Henri Poincaré navrhol, že každý jednoducho pripojený kompaktný trojrozmerný rozvod bez hraníc je homeomorfný na trojrozmernú guľu. Jej dôkaz je v všeobecný prípad storočia sa nenašiel. Len v rokoch 2002-2003 publikoval petrohradský matematik G. Perelman množstvo článkov riešiacich Poincarého problém. Vyvolali efekt výbuchu bomby. V roku 2010 bola hypotéza Poincarého vylúčená zo zoznamu „Nevyriešených problémov“ Clay Institute a samotnému Perelmanovi bola ponúknutá značná odmena, ktorá mu prináleží, čo tento odmietol bez vysvetlenia dôvodov svojho rozhodnutia.

Najzrozumiteľnejšie vysvetlenie toho, čo dokázal ruský matematik dokázať, možno poskytnúť predstavou, že na šišku (torus) natiahnu gumený kotúč a potom sa pokúsia potiahnuť okraje jeho kruhu do jedného bodu. Je zrejmé, že to nie je možné. Iná vec je, ak tento experiment vykonávate s loptou. V tomto prípade sa zdá, že trojrozmerná guľa, ktorá je výsledkom disku, ktorého obvod bol pritiahnutý do bodu hypotetickou šnúrou, bude v chápaní trojrozmerná. obyčajný človek, ale z matematického hľadiska dvojrozmerné.

Poincaré navrhol, že trojrozmerná guľa je jediným trojrozmerným „objektom“, ktorého povrch môže byť stiahnutý do jedného bodu, a Perelman to dokázal. Zoznam „neriešiteľných problémov“ teda dnes pozostáva zo 6 problémov.

Yang-Millsova teória

Tento matematický problém navrhli jeho autori v roku 1954. Vedecká formulácia teórie je nasledovná: pre akúkoľvek jednoduchú kompaktnú meranú skupinu existuje kvantová priestorová teória vytvorená Yangom a Millsom a zároveň má nulový hmotnostný defekt.

Ak hovoríme jazykom zrozumiteľným pre bežného človeka, interakcie medzi prírodnými objektmi (častice, telesá, vlny atď.) sú rozdelené do 4 typov: elektromagnetické, gravitačné, slabé a silné. Fyzici sa dlhé roky pokúšali vytvoriť všeobecnú teóriu poľa. Musí sa stať nástrojom na vysvetlenie všetkých týchto interakcií. Yang-Millsova teória je matematický jazyk, pomocou ktorého je možné opísať 3 zo 4 hlavných prírodných síl. Neplatí pre gravitáciu. Preto nemožno predpokladať, že Youngovi a Millsovi sa podarilo vytvoriť teóriu poľa.

Navyše, nelinearita navrhovaných rovníc spôsobuje, že je extrémne ťažké ich vyriešiť. Pre malé väzbové konštanty ich možno približne vyriešiť vo forme poruchových teórií. Zatiaľ však nie je jasné, ako je možné tieto rovnice vyriešiť pomocou silnej väzby.

Navier-Stokesove rovnice

Tieto výrazy popisujú procesy, ako sú prúdenie vzduchu, prúdenie tekutín a turbulencia. Pre niektoré špeciálne prípady už boli nájdené analytické riešenia Navier-Stokesovej rovnice, ale zatiaľ sa to nikomu nepodarilo pre všeobecný prípad. Numerické modelovanie pre konkrétne hodnoty rýchlosti, hustoty, tlaku, času a tak ďalej umožňuje dosiahnuť vynikajúce výsledky. Ostáva nám len dúfať, že sa niekomu podarí aplikovať Navier-Stokesove rovnice v opačnom smere, teda vypočítať pomocou nich parametre, alebo dokázať, že neexistuje žiadna metóda riešenia.

Problém Birch-Swinnerton-Dyer

Do kategórie „Nevyriešené problémy“ patrí aj hypotéza, ktorú navrhli anglickí vedci z University of Cambridge. Dokonca pred 2300 rokmi dal staroveký grécky vedec Euclid úplný popis riešení rovnice x2 + y2 = z2.

Ak pre každé prvočíslo spočítame počet bodov na krivke modulo it, dostaneme nekonečnú množinu celých čísel. Ak to konkrétne „nalepíte“ do 1 funkcie komplexnej premennej, dostanete funkciu Hasse-Weil zeta pre krivku tretieho rádu, označovanú písmenom L. Obsahuje informácie o modulovom správaní všetkých prvočísel naraz. .

Brian Birch a Peter Swinnerton-Dyer navrhli domnienku týkajúcu sa eliptických kriviek. Podľa nej štruktúra a množstvo množiny jej racionálnych riešení súvisí so správaním L-funkcie v jednotke. Neoverené pri tento moment Birch-Swinnerton-Dyerova domnienka závisí od popisu algebraických rovníc 3. stupňa a je jediná relatívne jednoduchá všeobecným spôsobom výpočet poradia eliptických kriviek.

Aby sme pochopili praktický význam tohto problému, stačí povedať, že v modernej kryptografii eliptických kriviek je založená celá trieda asymetrických systémov a domáce štandardy digitálneho podpisu sú založené na ich použití.

Rovnosť tried p a np

Ak je zvyšok problémov tisícročia čisto matematický, potom tento súvisí so súčasnou teóriou algoritmov. Problém týkajúci sa rovnosti tried p a np, známy aj ako Cook-Lewinov problém, možno formulovať jasným jazykom nasledovne. Predpokladajme, že kladná odpoveď na určitú otázku sa dá skontrolovať dostatočne rýchlo, teda v polynomiálnom čase (PT). Je potom správne povedať, že odpoveď na ňu sa dá nájsť pomerne rýchlo? Znie to ešte jednoduchšie: naozaj nie je ťažšie nájsť riešenie problému, ako ho nájsť? Ak sa niekedy preukáže rovnosť tried p a np, potom všetky výberové problémy možno vyriešiť pomocou PV. V súčasnosti mnohí odborníci pochybujú o pravdivosti tohto tvrdenia, hoci nevedia dokázať opak.

Riemannova hypotéza

Do roku 1859 nebol identifikovaný žiadny vzor, ​​ktorý by popisoval, ako sú prvočísla rozdelené medzi prirodzené čísla. Možno to bolo spôsobené tým, že veda sa zaoberala inými problémami. V polovici 19. storočia sa však situácia zmenila a stali sa jednými z najrelevantnejších, ktoré matematika začala študovať.

Riemannova hypotéza, ktorá sa objavila v tomto období, je predpokladom, že v distribúcii prvočísel existuje určitý vzor.

Dnes mnohí moderní vedci veria, že ak sa to preukáže, mnohé základné princípy modernej kryptografie, ktoré tvoria základ väčšiny mechanizmov elektronického obchodu, budú musieť byť prehodnotené.

Podľa Riemannovej hypotézy sa charakter rozloženia prvočísel môže výrazne líšiť od toho, čo sa v súčasnosti predpokladá. Faktom je, že doteraz nebol objavený žiadny systém v rozdeľovaní prvočísel. Napríklad je tu problém „dvojičiek“, medzi ktorými je rozdiel 2. Tieto čísla sú 11 a 13, 29. Ostatné prvočísla tvoria zhluky. Sú to 101, 103, 107 atď. Vedci už dlho predpokladajú, že takéto zhluky existujú medzi veľmi veľkými prvočíslami. Ak sa nájdu, sila moderných krypto kľúčov bude spochybnená.

Dohad Hodgeovho cyklu

Tento stále nevyriešený problém bol sformulovaný v roku 1941. Hodgeova hypotéza naznačuje možnosť aproximácie tvaru akéhokoľvek objektu „zlepením“ jednoduchých telies vyššej dimenzie. Táto metóda je známa a úspešne používaná už pomerne dlho. Nie je však známe, do akej miery je možné vykonať zjednodušenie.

Teraz viete, aké neriešiteľné problémy momentálne existujú. Sú predmetom výskumu tisícok vedcov po celom svete. Ostáva nám len dúfať, že budú v blízkej dobe vyriešené a ich praktické využitie pomôže ľudstvu vstúpiť do novej etapy technologického rozvoja.