Vzorce pre logaritmické rovnice. Logaritmické rovnice: riešenia od odborníka

1. Riešenie je štandardné – poďme použiť pravidlo násobenia 1:

Teraz odstránime logaritmy:

Vynásobme krížom krážom:

Vyšetrenie

Pasuje!

Vyšetrenie

A hodí sa to sem! Možno som sa mýlil a korene sú vždy vhodné? Pozrime sa na ďalší príklad!

Príklad č.2

Predstavme si trojku pomocou našej obľúbenej metódy vo formulári

Vľavo a vpravo použijeme vzorec pre súčet logaritmov.

Príklad č.3

Riešenie je podobné ako v predchádzajúcom príklade: Premeňte jednotku vpravo na (dovoľte mi pripomenúť, že - desiatkový logaritmus alebo logaritmus k základni) a vykonajte operácie medzi logaritmami vľavo a vpravo:

Teraz odstránime logaritmy vľavo a vpravo:

\left((x) -2 \right)\left((x) -3 \right)=2

Vyšetrenie:

Opäť platí, že oba logaritmy vľavo nie sú definované, pretože sú prevzaté zo záporných čísel. Potom to nie je koreň.

odvtedy

odpoveď:

Dúfam, že práve uvedené príklady vás navždy odnaučia preskakovať kontroly pri riešení logaritmických rovníc. Je to nevyhnutné!

Logaritmická rovnica s premenlivým základom

Teraz by som sa s vami rád pozrel na iný (trochu zložitejší) typ logaritmických rovníc. Toto budú rovnice s premenlivým základom.

Predtým sme uvažovali len o prípadoch, keď bázy boli konštantné: atď. Ale nič im nebráni v tom, aby boli nejakými funkciami napr.

Ale nezľaknite sa! Ak pri riešení logaritmických nerovností spôsobuje premenlivá základňa dosť nepríjemností, potom Na zložitosť riešenia rovnice to nemá prakticky žiadny vplyv! Veď posúďte sami:

Príklad č.1

Postupujeme ako predtým: na číslo aplikujte metódu „násobiť jedným“:

Potom sa pôvodná rovnica transformuje do tvaru:

prihlásim sa vzorec štvorcového rozdielu:

Vyšetrenie:

Aký záver vyvodíme? Omyl! Číslo nie je koreňom rovnice, pretože základ logaritmu nemôže byť záporné číslo ani rovné jednej!

odpoveď: .

Ako vidíte, v prípade rovníc nie je zásadný rozdiel, či sú naše základy premenlivé alebo nie. V tomto smere môžeme povedať, že rozhodne logaritmická rovnica zvyčajne oveľa jednoduchšie ako riešenie logaritmickej nerovnosti!

Skúsme teraz vyriešiť ďalší „čudný“ príklad.

Príklad č.2

Budeme konať ako vždy - pravú stranu zmeníme na logaritmus, ako je tento zložitý:

Potom bude pôvodná logaritmická rovnica ekvivalentná tejto rovnici (hoci opäť logaritmická)

Túto rovnicu opäť vyriešim pomocou rozdielu štvorcov:

Najprv vyriešme prvý, druhý bude vyriešený približne rovnakým spôsobom:

Použije sa znova "násobenie 1":

Podobne pre druhú rovnicu:

Teraz prichádza zábavná časť: overenie. Začnime prvým koreňom

Základňa "veľkého" logaritmu sa rovná

Preto to nie je koreň.

Pozrime sa na druhé číslo:

toto číslo je koreňom pôvodnej rovnice.

odpoveď:

Zámerne som uviedol pomerne zložitý príklad, aby som vám ukázal, že by ste sa nemali báť veľkých a desivých logaritmov.

Stačí poznať niekoľko vzorcov (ktoré som vám už uviedol vyššie) a môžete nájsť cestu von z každej (takmer) situácie!

Dal som vám základné metódy na riešenie logaritmických rovníc (metódy „bez ozdôb“), ktoré vám umožnia zvládnuť väčšinu príkladov (predovšetkým na jednotnej štátnej skúške).

Teraz je čas ukázať, čo ste sa naučili. Skúste sami vyriešiť nasledovné logaritmické rovnice, a potom s vami výsledky porovnáme.

Sedem príkladov na samostatnú prácu

Techniky diskutované v tejto práci samozrejme nevyčerpávajú všetky možné spôsoby riešenia logaritmických rovníc.

V niektorých prípadoch musíme byť naozaj kreatívni, aby sme našli spôsob, ako nájsť korene zložitej rovnice.

Avšak bez ohľadu na to, aká zložitá je počiatočná rovnica, v dôsledku toho sa zredukuje na rovnicu typu, ktorý sme sa vy a ja práve naučili riešiť!

Odpovede na príklady pre samostatnú prácu

1. Pomerne jednoduchá úloha: použime vlastnosť:

v subtrahend:

Potom dostaneme:

Skontrolujme to:

(Tento prechod som vám už vysvetlil vyššie)

odpoveď: 9

2. Tiež nič nadprirodzené: nechcem deliť, tak presuniem výraz s „mínusom“ doprava: teraz mám desiatkové logaritmy naľavo a napravo a zbavím sa ich:

kontrolujem:

výraz pod znamienkom logaritmu nemôže byť záporný, takže číslo nie je koreňom rovnice.

Vyšetrenie

odpoveď:

Tu musíme urobiť trochu práce: je jasné, že znova použijem (nie je to veľmi užitočné?) vzorec:

Čo musím urobiť pred použitím vzorca na sčítanie logaritmu? Áno, potrebujem sa zbaviť násobilky. Existujú dva spôsoby: prvým je zadať ho priamo do logaritmu pomocou vzorca:

Táto metóda má v zásade právo na existenciu, ale čo je na nej zlé? Je zlé zaoberať sa vyjadrením tvaru („neceločíselný stupeň“ je vždy nepríjemný. Čo iné teda môžeme robiť? Ako sa môžeme takéhoto „neceločíselného stupňa“ zbaviť? Vynásobme našou rovnicou:

Teraz dajme oba faktory do logaritmov:

potom nulu nahradím

A nakoniec dostanem:

Pamätáte si, ako sa volá táto „nemilovaná“ školská formulka? Toto kocka rozdiel! Možno je to jasnejšie?

Dovoľte mi pripomenúť, že rozdiel kociek sa rozkladá takto:

a tu je ešte jeden pre každý prípad:

Vo vzťahu k našej situácii to poskytne:

Prvá rovnica má koreň, ale druhá nemá korene (pozrite sa sami!).

Nechám to na vás, aby ste si to sami overili a ubezpečili sa, že číslo je skutočne koreňom našej rovnice.

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade prepíšeme

Opäť nechcem žiadne odčítanie (a následné delenie), a preto výsledný výraz posuniem doprava:

Teraz odstránim logaritmy vľavo a vpravo:

Dostali sme iracionálnu rovnicu, ktorú, dúfam, už viete vyriešiť. Dovoľte mi pripomenúť, že kvantifikujeme obe strany:

Vašou úlohou je teraz uistiť sa, že to nie je root, ale je.

odpoveď:

Všetko je transparentné: použijeme vzorec pre súčet logaritmov vľavo:

potom odstránime logaritmy na oboch stranách:

Vyšetrenie:

odpoveď: ;

Všetko nemôže byť jednoduchšie: rovnica už bola zredukovaná na najjednoduchšiu formu. Jediné, čo musíme urobiť, je vyrovnať

Skontrolujme to:

Ale keď sa základ logaritmov rovná:

A nie je to koreň.

odpoveď:

Tento príklad som nechal na dezert. Aj keď na tom nie je nič zložité.

Predstavme si nulu ako

Potom to dostaneme ty a ja logaritmická rovnica:

A odstránime prvú „kožu“ - vonkajšie logaritmy.

Predstavme si jednotku ako

Potom bude mať naša rovnica tvar:

Teraz odstránime „druhú kožu“ a dostaneme sa k jadru:

Skontrolujme to:

odpoveď: .

3 METÓDY RIEŠENIA LOGARITMICKÝCH ROVNIC. POKROČILÁ ÚROVEŇ

Teraz, po prečítaní prvého článku o logaritmických rovniciach, ste si osvojili nevyhnutné minimum vedomostí potrebných na riešenie najjednoduchších príkladov.

Teraz môžem prejsť k ďalšej analýze tri metódy riešenie logaritmických rovníc:

spôsob zavedenia novej premennej (alebo náhrady)
logaritmická metóda
spôsob prechodu na nový základ.

Prvá metóda- jedna z najčastejšie používaných v praxi. Rieši väčšinu „ťažkých“ problémov súvisiacich s riešením logaritmických (nielen) rovníc.

Druhá metóda slúži na riešenie zmiešaných exponenciálno-logaritmických rovníc, čím sa problém v konečnom dôsledku redukuje na výber dobrej náhradnej premennej (to znamená na prvú metódu).

Tretia metóda vhodné na riešenie niektorých rovníc, v ktorých sa vyskytujú logaritmy s rôznymi základmi.

Začnem pohľadom na prvý spôsob.

Metóda na zavedenie novej premennej (4 príklady)

Ako ste už z názvu pochopili, podstatou tejto metódy je zaviesť takú zmenu premennej, že vaša logaritmická rovnica sa zázračne premení na takú, ktorú môžete ľahko vyriešiť.

Po vyriešení tejto veľmi „zjednodušenej rovnice“ vám zostáva len urobiť "spätná výmena": teda vrátiť sa z vymeneného k vymenenému.

Ilustrujme to, čo sme práve povedali, na veľmi jednoduchom príklade:

V tomto príklade sa náhrada navrhuje sama! Koniec koncov, je jasné, že ak nahradíme, naša logaritmická rovnica sa zmení na racionálnu:

Môžete to ľahko vyriešiť zmenšením na štvorec:

(aby sa menovateľ náhodne nevynuloval!)

Zjednodušením výsledného výrazu nakoniec dostaneme:

Teraz urobíme opačnú substitúciu: , potom z toho vyplýva a z dostaneme

Teraz, ako predtým, je čas skontrolovať:

Nech je to na začiatku, pretože potom je to pravda!

Teraz je teda všetko správne!

Čísla sú teda koreňmi našej pôvodnej rovnice.

odpoveď: .

Tu je ďalší príklad so zjavnou náhradou:

Vlastne, hneď ho vymeňme

potom sa naša pôvodná logaritmická rovnica zmení na kvadratickú:

Spätná výmena:

Skontrolujte si to sami, uistite sa, že v tomto prípade sú obe čísla, ktoré sme našli, odmocniny.

Myslím, že si pochopil hlavnú myšlienku. Nie je to novinka a vzťahuje sa nielen na logaritmické rovnice.

Ďalšou vecou je, že niekedy je dosť ťažké okamžite „vidieť“ náhradu. To si vyžaduje určité skúsenosti, ktoré sa k vám dostavia po určitom úsilí z vašej strany.

Medzitým si precvičte riešenie nasledujúcich príkladov:

pripravený? Pozrime sa, čo máte:

Najprv vyriešme druhý príklad.

Len vám demonštruje, že nie vždy je možné urobiť náhradu, ako sa hovorí, „hlavou“.

Najprv musíme našu rovnicu trochu transformovať: použiť vzorec pre rozdiel logaritmov v čitateli prvého zlomku a zobrať mocninu v čitateli druhého.

Týmto spôsobom získate:

Teraz je náhrada zrejmá, však? Poďme na to: .

Teraz prinesme zlomky k spoločnému menovateľovi a zjednodušíme.

Potom dostaneme:

Po vyriešení poslednej rovnice nájdete jej korene: kde.

Vykonajte kontrolu sami a uistite sa, že toto sú skutočne korene našej pôvodnej rovnice.

Teraz sa pokúsime vyriešiť tretiu rovnicu.

No v prvom rade je jasné, že nám nezaškodí, ak obe strany rovnice vynásobíme. Nie je to žiadna škoda, ale výhody sú zrejmé.

Teraz urobme náhradu. Uhádli ste, čo nahradíme, však? Je to tak, povedzme. Potom bude mať naša rovnica nasledujúci tvar:

(vyhovujú nám oba korene!)

Teraz obrátená náhrada: , od, od. Naša pôvodná rovnica má až štyri korene! Uistite sa, že získané hodnoty dosadíme do rovnice. Zapíšeme odpoveď:

odpoveď: .

Myslím, že teraz je vám myšlienka nahradenia premennej úplne jasná? Dobre, nezastavme sa pri tom a prejdime k inej metóde riešenia logaritmických rovníc: spôsob prechodu na nový základ.

Spôsob prechodu na nový základ

Zoberme si nasledujúcu rovnicu:

čo vidíme? Tieto dva logaritmy sú údajne navzájom „opačné“. čo musíme urobiť? Všetko je jednoduché: stačí sa uchýliť k jednému z dvoch vzorcov:

V zásade mi nič nebráni použiť ktorýkoľvek z týchto dvoch vzorcov, ale vzhľadom na štruktúru rovnice bude pre mňa pohodlnejšie použiť prvý: v druhom člene sa zbavím variabilnej základne logaritmu. jeho nahradením. Teraz je ľahké vidieť, že úloha bola zredukovaná na predchádzajúcu: výber náhrady. Nahradením dostanem nasledujúcu rovnicu:

Odtiaľ. Jediné, čo musíte urobiť, je dosadiť nájdené čísla do pôvodnej rovnice a uistiť sa, že sú to v skutočnosti korene.

Tu je ďalší príklad, kedy má zmysel prejsť na nový základ:

Ako však môžete ľahko skontrolovať, ak sa vy a ja hneď presunieme na nový základ, neprinesie to požadovaný efekt. Čo musíme v tomto prípade urobiť? Zjednodušme všetko, ako sa len dá, a potom nech sa stane čokoľvek.
Takže to, čo chcem urobiť, je predstaviť si, ako, ako odstrániť tieto mocniny pred logaritmy a tiež odstrániť druhú mocninu X v prvom logaritme. Uvidíme neskôr.

Pamätajte, že môže byť oveľa ťažšie spriateliť sa so základňou ako s výrazom pod logaritmom!

Podľa tohto pravidla nahradím s a s. Potom dostanem:

No a ďalšie kroky už poznáte. Vymeňte a hľadajte korene!

V dôsledku toho nájdete dva korene pôvodnej rovnice:

Je čas ukázať vám, čo ste sa naučili!

Najprv skúste sami vyriešiť nasledujúce (nie najjednoduchšie) príklady:

1. Všetko je tu celkom štandardné: pokúsim sa zredukovať svoju pôvodnú rovnicu na takú, aby bola výmena pohodlná. Čo k tomu potrebujem? Najprv transformujte prvý výraz vľavo (odstráňte štvrtú mocninu z dvoch pred logaritmom) a odstráňte mocninu dvoch zo základu druhého logaritmu. Potom dostanem:

Zostáva len „otočiť“ prvý logaritmus!

\frac(12)(\log_(2)(x))=3((\log )_(2))x

(pre pohodlie som presunul druhý logaritmus z ľavej na pravú stranu rovnice)

Problém je takmer vyriešený: môžete urobiť náhradu. Po redukcii na spoločného menovateľa dostanem nasledujúcu rovnicu:

Po vykonaní spätnej substitúcie nebude pre vás ťažké vypočítať, že:

Uistite sa, že získané hodnoty sú koreňmi našej rovnice.

2. Tu sa tiež pokúsim „napasovať“ svoju rovnicu na prijateľnú náhradu. Ktorý? Možno mi to bude vyhovovať.

Nestrácajme teda čas a začnime sa premieňať!

((\log )_(x))5((x)^(2))\cdot \log \frac(2)(5)x=1

Teraz ho môžete bezpečne vymeniť! Potom s ohľadom na novú premennú dostaneme nasledujúcu rovnicu:

Kde. Opäť platí, že uistenie sa, že obe tieto čísla sú skutočne koreňmi, je ponechané na vás ako cvičenie.

3. Tu nie je ani hneď zrejmé, čo nahradíme. Existuje jedno zlaté pravidlo - Ak neviete, čo robiť, urobte, čo môžete! To je to, čo použijem!

Teraz „otočím“ všetky logaritmy a použijem vzorec rozdielového logaritmu na prvý a logaritmus súčtu na posledné dva:

Tu som tiež použil skutočnosť, že (at) a vlastnosť odobratia mocniny z logaritmu. No a teraz môžeme aplikovať vhodnú náhradu: . Som si istý, že už viete riešiť racionálne rovnice, dokonca aj tento obludný typ. Dovolím si preto hneď zapísať výsledok:

Zostáva vyriešiť dve rovnice: . S metódami riešenia takýchto „takmer najjednoduchších“ rovníc ste sa už oboznámili v predchádzajúcej časti. Takže si hneď zapíšem konečné riešenia:

Uistite sa, že iba dve z týchto čísel sú koreňmi mojej rovnice! Totižto je a hoci to nie je koreň!

Tento príklad je o niečo zložitejší, pokúsim sa ho však vyriešiť bez toho, aby som sa uchýlil k variabilnej náhrade! Urobme to znova, urobme, čo môžeme: najprv môžeme rozšíriť logaritmus vľavo podľa vzorca pre logaritmus pomeru a tiež dať dvojku pred logaritmus do zátvoriek. Nakoniec dostanem:

No, teraz ten istý vzorec, ktorý sme už použili! Takže skrátime pravú stranu! Teraz je tam len dvojka! Presuňme k nemu jeden zľava a nakoniec dostaneme:

Už viete, ako riešiť takéto rovnice. Koreň sa nájde bez ťažkostí a je rovnaký. Pripomínam vám, aby ste to skontrolovali!

No, teraz, ako dúfam, ste sa naučili riešiť pomerne zložité problémy, ktoré nedokážete prekonať „hlavou“! Ale logaritmické rovnice môžu byť ešte zákernejšie! Tu je niekoľko príkladov:

Tu, bohužiaľ, predchádzajúce riešenie neprinesie hmatateľné výsledky. Ako myslíš prečo? Áno, už tu neexistuje žiadna „reciprocita“ logaritmov. Tento najvšeobecnejší prípad sa, samozrejme, dá tiež vyriešiť, ale už používame nasledujúci vzorec:

Tento vzorec sa nestará o to, či máte „opak“ alebo nie. Môžete sa opýtať, prečo si vybrať základňu? Moja odpoveď je, že na tom nezáleží. Odpoveď v konečnom dôsledku nebude závisieť od toho. Tradične sa používa prirodzený alebo desiatkový logaritmus. Aj keď to nie je dôležité. Napríklad použijem desatinné číslo:

Nechať odpoveď v tejto forme je úplná hanba! Najprv to napíšem podľa definície

Teraz je čas použiť: vo vnútri zátvoriek - hlavná logaritmická identita a vonku (do určitej miery) - premeniť pomer na jeden logaritmus: potom konečne dostaneme toto „zvláštne“ odpoveď: .

Ďalšie zjednodušenia, žiaľ, už nemáme k dispozícii.

Poďme spolu skontrolovať:

Správny! Mimochodom, ešte raz si spomeňte, z čoho vyplýva predposledná rovnosť v reťazci!

V zásade sa riešenie tohto príkladu dá zredukovať aj na prechod na logaritmus založený na novej báze, no už by ste sa mali báť toho, čo sa nakoniec stane. Skúsme urobiť niečo rozumnejšie: transformovať ľavú stranu čo najlepšie.

Mimochodom, ako si myslíte, že som dostal posledný rozklad? Správne, použil som vetu o faktorizácii kvadratického trinomu, konkrétne:

Ak sú korene rovnice, potom:

Teraz prepíšem svoju pôvodnú rovnicu do tohto tvaru:

Ale sme celkom schopní vyriešiť takýto problém!

Predstavme si teda náhradu.

Potom bude mať moja počiatočná rovnica tento jednoduchý tvar:

Jeho korene sa rovnajú: , potom

Odkiaľ pochádza táto rovnica? nemá korene.

Všetko, čo musíte urobiť, je skontrolovať!

Skúste sami vyriešiť nasledujúcu rovnicu. Nespěchejte a buďte opatrní, potom bude šťastie na vašej strane!

pripravený? Pozrime sa, čo máme.

V skutočnosti je príklad vyriešený v dvoch krokoch:

1. Transformovať

2. teraz vpravo mám výraz, ktorý sa rovná

Pôvodná rovnica bola teda zredukovaná na najjednoduchšiu:

Test ukazuje, že toto číslo je skutočne koreňom rovnice.

Logaritmická metóda

A nakoniec veľmi stručne rozoberiem metódy riešenia niektorých zmiešaných rovníc. Samozrejme, nezaväzujem sa pokryť všetky zmiešané rovnice, ale ukážem metódy na riešenie tých najjednoduchších.

Napríklad,

Takáto rovnica sa dá vyriešiť pomocou logaritmickej metódy. Všetko, čo musíte urobiť, je vziať logaritmus oboch strán.

Je jasné, že keďže už máme logaritmus na základňu, vezmem logaritmus na rovnaký základ:

Teraz odoberiem silu výrazu vľavo:

a faktorizujte výraz pomocou vzorca rozdielu štvorcov:

Kontrolu máte ako vždy na svedomí.

Skúste sami vyriešiť posledný príklad v tomto článku!

Skontrolujeme: vezmite logaritmus k základu oboch strán rovnice:

Vyberiem stupeň vľavo a rozdelím ho pomocou súčtového vzorca vpravo:

Hádame jeden z koreňov: je to koreň.

V článku o riešení exponenciálnych rovníc som hovoril o tom, ako rozdeliť jeden polynóm „rohom“ druhým.

Tu musíme rozdeliť podľa.

V dôsledku toho dostaneme:

Ak je to možné, vykonajte kontrolu sami (aj keď v tomto prípade, najmä s poslednými dvoma koreňmi, to nebude ľahké).

LOGARITMICKÉ ROVNICE. SUPER ÚROVEŇ

Okrem už prezentovaného materiálu navrhujem, aby sme vy a ja zvážili ďalší spôsob riešenia zmiešaných rovníc obsahujúcich logaritmy, ale tu zvážim rovnice, ktoré nemožno vyriešiť skôr diskutovanou metódou logaritmovania oboch strán. Táto metóda sa nazýva mini-max.

Metóda mini-max

Táto metóda je použiteľná nielen pri riešení zmiešaných rovníc, ale ukazuje sa byť užitočná aj pri riešení niektorých nerovníc.

Najprv teda predstavíme nasledujúce základné definície, ktoré sú potrebné na aplikáciu metódy mini-max.

Jednoduché obrázky ilustrujú tieto definície:

Funkcia na obrázku vľavo monotónne rastie a vpravo monotónne klesá. Teraz prejdime k logaritmickej funkcii, je známe, že platí nasledovné:

Obrázok ukazuje príklady monotónne rastúcej a monotónne klesajúcej logaritmickej funkcie.

Poďme si to popísať priamo mini-max metóda. Myslím, že chápete, z akých slov pochádza tento názov?

Presne tak, zo slov minimum a maximum. Stručne povedané, metóda môže byť reprezentovaná ako:

Naším najdôležitejším cieľom je nájsť práve túto konštantu, aby sme rovnicu ďalej zredukovali na dve jednoduchšie.

Na tento účel môžu byť užitočné vlastnosti monotónnosti logaritmickej funkcie formulovanej vyššie.

Teraz sa pozrime na konkrétne príklady:

1. Pozrime sa najprv na ľavú stranu.

Existuje logaritmus so základňou menej. Čo je to funkcia podľa vyššie formulovanej vety? Znižuje sa to. Zároveň, čo znamená . Na druhej strane, podľa definície koreňa: . Konštanta je teda nájdená a rovná sa. Potom je pôvodná rovnica ekvivalentná systému:

Prvá rovnica má korene a druhá: . Spoločný koreň sa teda rovná a tento koreň bude koreňom pôvodnej rovnice. Pre každý prípad vykonajte kontrolu, aby ste sa uistili.

odpoveď:

Hneď sa zamyslime nad tým, čo sa tu píše?

Mám na mysli všeobecnú štruktúru. Hovorí sa tu, že súčet dvoch štvorcov je nula.

Kedy je to možné?

Iba vtedy, keď sa obe tieto čísla jednotlivo rovnajú nule. Potom prejdime na nasledujúci systém:

Prvá a druhá rovnica nemajú spoločné korene, potom pôvodná rovnica nemá korene.

odpoveď: žiadne riešenia.

Pozrime sa najprv na pravú stranu – je to jednoduchšie. Podľa definície sínusu:

Odkiaľ a potom Preto

Teraz sa vráťme na ľavú stranu: zvážte výraz pod znakom logaritmu:

Snaha nájsť korene rovnice nepovedie k pozitívnemu výsledku. Ale napriek tomu potrebujem tento výraz nejako zhodnotiť. Samozrejme, poznáte metódu ako výber celého štvorca. Použijem to tu.

Keďže ide o rastúcu funkciu, z toho vyplýva. teda

Potom je naša pôvodná rovnica ekvivalentná nasledujúcemu systému:

Neviem, či sa vyznáte v riešení goniometrických rovníc alebo nie, tak to urobím takto: vyriešim prvú rovnicu (má maximálne dva korene) a potom výsledok dosadím do druhy:

(môžete skontrolovať a uistiť sa, že toto číslo je koreňom prvej rovnice systému)

Teraz to dosadím do druhej rovnice:

odpoveď:

Teraz je vám už jasná technika použitia metódy mini-max? Potom skúste sami vyriešiť nasledujúci príklad.

pripravený? Skontrolujme to:

Ľavá strana je súčtom dvoch nezáporných veličín (jednota a modul), a preto ľavá strana nie je menšia ako jedna a rovná sa jednej iba vtedy, keď

Zároveň je na pravej strane modul (čo znamená väčší ako nula) súčinu dvoch kosínusov (čo znamená nie viac ako jeden), potom:

Potom je pôvodná rovnica ekvivalentná systému:

Opäť navrhujem vyriešiť prvú rovnicu a výsledok nahradiť druhou:

Táto rovnica nemá korene.

Potom pôvodná rovnica tiež nemá korene.

Odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH. 6 METÓDY RIEŠENIA LOGARITMICKÝCH ROVNIC

Logaritmická rovnica- rovnica, v ktorej sú neznáme premenné v logaritmoch.

Najjednoduchšia logaritmická rovnica je rovnica tvaru.

Proces riešenia akejkoľvek logaritmickej rovnice spočíva v redukcii logaritmickej rovnice na tvar a prechode od rovnice s logaritmami k rovnici bez nich: .

ODZ pre logaritmickú rovnicu:

Základné metódy riešenia logaritmických rovníc:

1 spôsob. Použitie definície logaritmu:

Metóda 2. Použitie vlastností logaritmu:

Metóda 3. Zavedenie novej premennej (náhrada):

substitúcia nám umožňuje redukovať logaritmickú rovnicu na jednoduchšiu algebraickú rovnicu pre t.

Metóda 4 Prechod na novú základňu:

5 spôsob. Logaritmus:

zoberte logaritmus pravej a ľavej strany rovnice.

6 spôsob. Mini-max:

Teraz chceme počuť váš názor...

Snažili sme sa čo najjednoduchšie a najdôkladnejšie písať o logaritmických rovniciach.

Teraz si na rade ty!

Napíšte, ako hodnotíte náš článok? Páčila sa vám?

Možno už viete, ako riešiť logaritmické rovnice?

Možno máte otázky. Alebo návrhy.

Napíšte o tom do komentárov.

A veľa šťastia na skúškach!

Týmto videom začínam dlhú sériu lekcií o logaritmických rovniciach. Teraz máte pred sebou tri príklady, na základe ktorých sa naučíme riešiť najjednoduchšie problémy, ktoré sa nazývajú - prvoky.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Dovoľte mi pripomenúť, že najjednoduchšia logaritmická rovnica je nasledujúca:

log a f (x) = b

V tomto prípade je dôležité, aby premenná x bola prítomná iba vo vnútri argumentu, teda iba vo funkcii f (x). A čísla a a b sú len čísla a v žiadnom prípade to nie sú funkcie obsahujúce premennú x.

Základné metódy riešenia

Existuje mnoho spôsobov riešenia takýchto štruktúr. Väčšina učiteľov v škole ponúka napríklad túto metódu: Okamžite vyjadrite funkciu f (x) pomocou vzorca f ( x) = a b . To znamená, že keď narazíte na najjednoduchšiu konštrukciu, môžete okamžite prejsť na riešenie bez dodatočných akcií a konštrukcií.

Áno, samozrejme, rozhodnutie bude správne. Problémom tohto vzorca je však väčšina študentov nerozumiem, odkiaľ pochádza a prečo zdvíhame písmeno a na písmeno b.

V dôsledku toho často vidím veľmi nepríjemné chyby, keď sa napríklad tieto písmená zamieňajú. Tento vzorec treba buď pochopiť, alebo napchať a druhý spôsob vedie k chybám v tých najnevhodnejších a najdôležitejších momentoch: pri skúškach, testoch atď.

Preto všetkým svojim študentom navrhujem, aby opustili štandardný školský vzorec a použili druhý prístup na riešenie logaritmických rovníc, ktorý, ako ste už pravdepodobne uhádli z názvu, sa nazýva kanonická forma.

Myšlienka kanonickej formy je jednoduchá. Pozrime sa ešte raz na náš problém: vľavo máme log a a písmenom a myslíme číslo a v žiadnom prípade funkciu obsahujúcu premennú x. V dôsledku toho tento list podlieha všetkým obmedzeniam, ktoré sú uložené na základe logaritmu. menovite:

1 ≠ a > 0

Na druhej strane z tej istej rovnice vidíme, že logaritmus sa musí rovnať číslu b a na toto písmeno nie sú kladené žiadne obmedzenia, pretože môže mať akúkoľvek hodnotu - kladnú aj zápornú. Všetko závisí od toho, aké hodnoty má funkcia f(x).

A tu si pamätáme naše úžasné pravidlo, že akékoľvek číslo b môže byť reprezentované ako logaritmus k základu a od a k mocnine b:

b = log a a b

Ako si zapamätať tento vzorec? Áno, veľmi jednoduché. Napíšme nasledujúcu konštrukciu:

b = b 1 = b log a a

Samozrejme, v tomto prípade vznikajú všetky obmedzenia, ktoré sme si spísali na začiatku. Teraz použijeme základnú vlastnosť logaritmu a predstavme multiplikátor b ako mocninu a. Dostaneme:

b = b 1 = b log a a = log a a b

V dôsledku toho sa pôvodná rovnica prepíše takto:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

To je všetko. Nová funkcia už neobsahuje logaritmus a možno ju vyriešiť pomocou štandardných algebraických techník.

Samozrejme, teraz niekto namietne: prečo bolo vôbec potrebné vymýšľať nejaký kanonický vzorec, prečo robiť dva zbytočné kroky navyše, ak bolo možné okamžite prejsť od pôvodného návrhu ku konečnému vzorcu? Áno, len preto, že väčšina študentov nerozumie, odkiaľ tento vzorec pochádza, a v dôsledku toho pravidelne robia chyby pri jeho aplikácii.

Ale táto postupnosť akcií pozostávajúca z troch krokov vám umožňuje vyriešiť pôvodnú logaritmickú rovnicu, aj keď nerozumiete, odkiaľ pochádza konečný vzorec. Mimochodom, tento záznam sa nazýva kanonický vzorec:

log a f (x) = log a a b

Pohodlie kanonickej formy spočíva aj v tom, že ju možno použiť na riešenie veľmi širokej triedy logaritmických rovníc, a nie len tých najjednoduchších, o ktorých dnes uvažujeme.

Príklady riešení

Teraz sa pozrime na skutočné príklady. Takže, poďme sa rozhodnúť:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Prepíšme to takto:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Mnohí študenti sa ponáhľajú a snažia sa okamžite zvýšiť číslo 0,5 na moc, ktorá nám prišla z pôvodného problému. V skutočnosti, keď ste už dobre vyškolení v riešení takýchto problémov, môžete tento krok okamžite vykonať.

Ak však práve začínate študovať túto tému, je lepšie sa nikam neponáhľať, aby ste sa vyhli útočným chybám. Takže máme kánonickú formu. Máme:

3x − 1 = 0,5 −3

Toto už nie je logaritmická rovnica, ale lineárna vzhľadom na premennú x. Aby sme to vyriešili, pozrime sa najprv na číslo 0,5 na mocninu −3. Všimnite si, že 0,5 je 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Pri riešení logaritmickej rovnice preveďte všetky desatinné zlomky na bežné zlomky.

Prepíšeme a dostaneme:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

To je všetko, dostali sme odpoveď. Prvý problém bol vyriešený.

Druhá úloha

Prejdime k druhej úlohe:

Ako vidíme, táto rovnica už nie je najjednoduchšia. Už len preto, že vľavo je rozdiel a nie jeden logaritmus na jednu základňu.

Preto sa musíme nejako zbaviť tohto rozdielu. V tomto prípade je všetko veľmi jednoduché. Pozrime sa bližšie na základy: vľavo je číslo pod koreňom:

Všeobecné odporúčanie: vo všetkých logaritmických rovniciach sa snažte zbaviť radikálov, t. j. od zápisov s koreňmi a prejsť k mocninným funkciám, jednoducho preto, že exponenty týchto mocnín sa dajú ľahko vyňať zo znamienka logaritmu a v konečnom dôsledku napr. zadanie výrazne zjednodušuje a urýchľuje výpočty. Zapíšme si to takto:

Teraz si spomeňme na pozoruhodnú vlastnosť logaritmu: mocniny možno odvodiť z argumentu, ako aj zo základu. V prípade dôvodov sa stane toto:

log a k b = 1/k loga b

Inými slovami, číslo, ktoré bolo v základnej mocnine, je posunuté dopredu a zároveň prevrátené, to znamená, že sa stáva recipročným číslom. V našom prípade bol základný stupeň 1/2. Preto to môžeme vziať ako 2/1. Dostaneme:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Poznámka: za žiadnych okolností by ste sa v tomto kroku nemali zbaviť logaritmov. Pamätajte na matematiku 4. – 5. ročníka a poradie operácií: najskôr sa vykoná násobenie a až potom sčítanie a odčítanie. V tomto prípade odčítame jeden z tých istých prvkov od 10 prvkov:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Teraz naša rovnica vyzerá tak, ako by mala. Toto je najjednoduchšia konštrukcia a riešime ju pomocou kanonickej formy:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

To je všetko. Druhý problém je vyriešený.

Tretí príklad

Prejdime k tretej úlohe:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Dovoľte mi pripomenúť nasledujúci vzorec:

log b = log 10 b

Ak ste z nejakého dôvodu zmätení zápisom log b, potom pri vykonávaní všetkých výpočtov môžete jednoducho napísať log 10 b. S desiatkovými logaritmami môžete pracovať rovnakým spôsobom ako s ostatnými: zoberte mocniny, sčítajte a reprezentujte ľubovoľné čísla v tvare lg 10.

Práve tieto vlastnosti teraz použijeme na vyriešenie problému, keďže to nie je tá najjednoduchšia, ktorú sme si zapísali na samom začiatku našej hodiny.

Najprv si všimnite, že faktor 2 pred lg 5 možno pridať a stane sa mocninou základu 5. Okrem toho, voľný člen 3 môže byť tiež reprezentovaný ako logaritmus - to je veľmi ľahké zistiť z nášho zápisu.

Posúďte sami: akékoľvek číslo môže byť reprezentované ako log k základni 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Prepíšme pôvodný problém s prihliadnutím na získané zmeny:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25 000

Máme pred sebou opäť kanonickú formu a dostali sme ju bez toho, aby sme prešli fázou transformácie, t. j. najjednoduchšia logaritmická rovnica sa nikde neobjavila.

Presne o tom som hovoril na samom začiatku lekcie. Kanonická forma vám umožňuje riešiť širšiu triedu problémov ako štandardný školský vzorec, ktorý dáva väčšina učiteľov.

No, to je všetko, zbavíme sa znamienka desiatkového logaritmu a získame jednoduchú lineárnu konštrukciu:

x + 3 = 25 000
x = 24 997

Všetky! Problém je vyriešený.

Poznámka k rozsahu

Tu by som chcel urobiť dôležitú poznámku týkajúcu sa rozsahu definície. Určite sa teraz nájdu študenti a učitelia, ktorí povedia: „Keď riešime výrazy pomocou logaritmov, musíme pamätať na to, že argument f (x) musí byť väčší ako nula! V tejto súvislosti vyvstáva logická otázka: prečo sme nepožadovali, aby bola táto nerovnosť uspokojená v žiadnom z uvažovaných problémov?

Neboj sa. V týchto prípadoch sa neobjavia žiadne extra korene. A to je ďalší skvelý trik, ktorý vám umožní urýchliť riešenie. Len vedzte, že ak sa v úlohe premenná x vyskytuje iba na jednom mieste (alebo skôr v jednom argumente jedného logaritmu) a nikde inde sa v našom prípade nevyskytuje premenná x, zapíšte si definičný obor netreba, pretože sa vykoná automaticky.

Posúďte sami: v prvej rovnici sme dostali, že 3x − 1, teda argument by sa mal rovnať 8. To automaticky znamená, že 3x − 1 bude väčšie ako nula.

S rovnakým úspechom môžeme napísať, že v druhom prípade by sa x malo rovnať 5 2, teda určite je väčšie ako nula. A v treťom prípade, kde x + 3 = 25 000, teda opäť zjavne väčšie ako nula. Inými slovami, rozsah je splnený automaticky, ale iba ak sa x vyskytuje iba v argumente iba jedného logaritmu.

To je všetko, čo potrebujete vedieť, aby ste vyriešili najjednoduchšie problémy. Samotné toto pravidlo spolu s pravidlami transformácie vám umožní vyriešiť veľmi širokú triedu problémov.

Ale povedzme si úprimne: na to, aby sme konečne pochopili túto techniku, aby sme sa naučili aplikovať kanonickú formu logaritmickej rovnice, nestačí si len pozrieť jednu video lekciu. Preto si práve teraz stiahnite možnosti nezávislých riešení, ktoré sú priložené k tejto video lekcii a začnite riešiť aspoň jednu z týchto dvoch nezávislých prác.

Zaberie vám to doslova pár minút. Účinok takéhoto tréningu však bude oveľa vyšší, ako keby ste si jednoducho pozreli túto video lekciu.

Dúfam, že vám táto lekcia pomôže pochopiť logaritmické rovnice. Použite kanonickú formu, zjednodušte výrazy pomocou pravidiel pre prácu s logaritmami - a nebudete sa báť žiadnych problémov. To je všetko, čo mám na dnes.

Berúc do úvahy doménu definície

Teraz si povedzme o doméne definície logaritmickej funkcie a o tom, ako to ovplyvňuje riešenie logaritmických rovníc. Zvážte konštrukciu formulára

log a f (x) = b

Takýto výraz sa nazýva najjednoduchší - obsahuje iba jednu funkciu a čísla a a b sú len čísla a v žiadnom prípade nie funkcia, ktorá závisí od premennej x. Dá sa to vyriešiť veľmi jednoducho. Stačí použiť vzorec:

b = log a a b

Tento vzorec je jednou z kľúčových vlastností logaritmu a pri dosadení do nášho pôvodného výrazu dostaneme nasledovné:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Ide o známy vzorec zo školských učebníc. Mnohí študenti budú mať pravdepodobne otázku: keďže v pôvodnom výraze je funkcia f (x) pod znakom log, platia pre ňu nasledujúce obmedzenia:

f(x) > 0

Toto obmedzenie platí, pretože logaritmus záporných čísel neexistuje. Možno by sa teda v dôsledku tohto obmedzenia mala zaviesť kontrola odpovedí? Možno ich treba vložiť do zdroja?

Nie, v najjednoduchších logaritmických rovniciach nie je potrebná dodatočná kontrola. A preto. Pozrite sa na náš konečný vzorec:

f (x) = a b

Faktom je, že číslo a je v každom prípade väčšie ako 0 - túto požiadavku vyžaduje aj logaritmus. Číslo a je základ. V tomto prípade sa na počet b nevzťahujú žiadne obmedzenia. Ale na tom nezáleží, pretože bez ohľadu na to, na akú mocninu zvýšime kladné číslo, na výstupe stále dostaneme kladné číslo. Požiadavka f (x) > 0 je teda splnená automaticky.

Čo naozaj stojí za kontrolu, je doména funkcie pod znakom log. Môžu existovať pomerne zložité štruktúry a určite ich musíte počas procesu riešenia sledovať. Poďme sa pozrieť.

Prvá úloha:

Prvý krok: preveďte zlomok vpravo. Dostaneme:

Zbavíme sa logaritmického znaku a získame obvyklú iracionálnu rovnicu:

Zo získaných koreňov nám vyhovuje iba prvý, keďže druhý koreň je menší ako nula. Jedinou odpoveďou bude číslo 9. To je všetko, problém je vyriešený. Nevyžadujú sa žiadne dodatočné kontroly, aby sa zabezpečilo, že výraz pod logaritmickým znamienkom je väčší ako 0, pretože nie je len väčší ako 0, ale podľa podmienky rovnice je rovný 2. Preto požiadavka „väčší ako nula “ je splnené automaticky.

Prejdime k druhej úlohe:

Tu je všetko po starom. Prepíšeme konštrukciu a nahradíme trojicu:

Zbavíme sa logaritmických znakov a získame iracionálnu rovnicu:

Umocníme obe strany berúc do úvahy obmedzenia a získame:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7 x + 6 = 0

Výslednú rovnicu riešime cez diskriminant:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = -1

x 2 = -6

Ale x = −6 nám nevyhovuje, pretože ak toto číslo dosadíme do našej nerovnosti, dostaneme:

−6 + 4 = −2 < 0

V našom prípade sa vyžaduje, aby bol väčší ako 0 alebo v extrémnych prípadoch rovný. Ale x = −1 nám vyhovuje:

−1 + 4 = 3 > 0

Jedinou odpoveďou v našom prípade bude x = −1. To je riešenie. Vráťme sa na úplný začiatok našich výpočtov.

Hlavným prínosom z tejto lekcie je, že nemusíte kontrolovať obmedzenia funkcie v jednoduchých logaritmických rovniciach. Pretože počas procesu riešenia sú všetky obmedzenia splnené automaticky.

To však v žiadnom prípade neznamená, že môžete na kontrolu úplne zabudnúť. V procese práce na logaritmickej rovnici sa môže dobre zmeniť na iracionálnu, ktorá bude mať svoje vlastné obmedzenia a požiadavky na pravú stranu, čo sme dnes videli na dvoch rôznych príkladoch.

Pokojne riešte takéto problémy a buďte obzvlášť opatrní, ak je v hádke koreň.

Logaritmické rovnice s rôznymi základmi

Pokračujeme v štúdiu logaritmických rovníc a pozrieme sa na ďalšie dve celkom zaujímavé techniky, s ktorými je módne riešiť zložitejšie konštrukcie. Najprv si však pripomeňme, ako sa riešia najjednoduchšie problémy:

log a f (x) = b

V tomto zázname sú a a b čísla a vo funkcii f (x) musí byť prítomná premenná x a iba tam, teda x musí byť iba v argumente. Takéto logaritmické rovnice transformujeme pomocou kanonického tvaru. Ak to chcete urobiť, všimnite si to

b = log a a b

Navyše a b je presne argument. Prepíšme tento výraz takto:

log a f (x) = log a a b

To je presne to, čo sa snažíme dosiahnuť, aby existoval logaritmus na základe a na ľavej aj pravej strane. V tomto prípade môžeme, obrazne povedané, prečiarknuť logaritmické znamienka a z matematického hľadiska môžeme povedať, že argumenty jednoducho dávame na rovnakú úroveň:

f (x) = a b

V dôsledku toho dostaneme nový výraz, ktorý bude oveľa jednoduchšie vyriešiť. Aplikujme toto pravidlo na naše dnešné problémy.

Takže prvý dizajn:

V prvom rade podotýkam, že vpravo je zlomok, ktorého menovateľom je log. Keď uvidíte takýto výraz, je dobré si zapamätať úžasnú vlastnosť logaritmov:

V preklade do ruštiny to znamená, že každý logaritmus môže byť reprezentovaný ako podiel dvoch logaritmov s ľubovoľným základom c. Samozrejme 0< с ≠ 1.

Takže: tento vzorec má jeden úžasný špeciálny prípad, keď sa premenná c rovná premennej b. V tomto prípade dostaneme konštrukciu ako:

Presne túto konštrukciu vidíme zo znamienka vpravo v našej rovnici. Nahradíme túto konštrukciu log a b , dostaneme:

Inými slovami, v porovnaní s pôvodnou úlohou sme vymenili argument a základ logaritmu. Namiesto toho sme museli zlomok obrátiť.

Pripomíname, že akýkoľvek stupeň možno odvodiť od základu podľa nasledujúceho pravidla:

Inými slovami, koeficient k, ktorý je mocninou bázy, je vyjadrený ako prevrátený zlomok. Urobme to ako prevrátený zlomok:

Zlomkový faktor nemôže zostať vpredu, pretože v tomto prípade nebudeme môcť reprezentovať tento zápis ako kanonickú formu (napokon, v kanonickej forme nie je pred druhým logaritmom žiadny ďalší faktor). Preto pridajme zlomok 1/4 k argumentu ako mocninu:

Teraz prirovnáme argumenty, ktorých základy sú rovnaké (a naše základy sú skutočne rovnaké) a napíšeme:

x + 5 = 1

x = -4

To je všetko. Dostali sme odpoveď na prvú logaritmickú rovnicu. Poznámka: v pôvodnom probléme sa premenná x objavuje iba v jednom protokole a objavuje sa v jeho argumente. Preto nie je potrebné kontrolovať doménu a naše číslo x = −4 je skutočne odpoveďou.

Teraz prejdime k druhému výrazu:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Tu budeme musieť okrem bežných logaritmov pracovať s log f (x). Ako vyriešiť takúto rovnicu? Nepripravenému študentovi sa to môže zdať ako náročná úloha, ale v skutočnosti sa všetko dá vyriešiť elementárnym spôsobom.

Pozrime sa bližšie na pojem lg 2 log 2 7. Čo o ňom môžeme povedať? Základy a argumenty log a lg sú rovnaké, a to by malo poskytnúť nejaké nápady. Pripomeňme si ešte raz, ako sa mocniny odoberajú pod znakom logaritmu:

log a b n = nlog a b

Inými slovami, to, čo bolo v argumente mocninou b, sa stáva faktorom pred samotným log. Aplikujme tento vzorec na výraz lg 2 log 2 7. Nezľaknite sa lg 2 – toto je najbežnejší výraz. Môžete to prepísať nasledovne:

Platia preň všetky pravidlá, ktoré platia pre akýkoľvek iný logaritmus. K stupňu argumentu možno pridať najmä faktor vpredu. Poďme si to zapísať:

Žiaci túto akciu veľmi často priamo nevidia, pretože nie je dobré zadávať jeden denník pod znakom druhého. V skutočnosti na tom nie je nič trestné. Okrem toho získame vzorec, ktorý sa dá ľahko vypočítať, ak si pamätáte dôležité pravidlo:

Tento vzorec možno považovať za definíciu aj za jednu z jeho vlastností. V každom prípade, ak konvertujete logaritmickú rovnicu, mali by ste tento vzorec poznať rovnako, ako by ste poznali logaritmickú reprezentáciu akéhokoľvek čísla.

Vráťme sa k našej úlohe. Prepíšeme ho s ohľadom na skutočnosť, že prvý člen napravo od znamienka rovnosti sa bude jednoducho rovnať lg 7. Máme:

lg 56 = lg 7 − 3 lg (x + 4)

Posuňme lg 7 doľava, dostaneme:

lg 56 − lg 7 = −3 lg (x + 4)

Odčítame výrazy vľavo, pretože majú rovnaký základ:

lg (56/7) = -3 lg (x + 4)

Teraz sa pozrime bližšie na rovnicu, ktorú sme dostali. Je to prakticky kanonická forma, ale vpravo je faktor -3. Pridajme to k správnemu argumentu lg:

log 8 = log (x + 4) −3

Pred nami je kanonický tvar logaritmickej rovnice, takže prečiarkneme znamienka lg a zrovnáme argumenty:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

To je všetko! Vyriešili sme druhú logaritmickú rovnicu. V tomto prípade nie sú potrebné žiadne ďalšie kontroly, pretože v pôvodnom probléme bolo x prítomné iba v jednom argumente.

Dovoľte mi ešte raz vymenovať kľúčové body tejto lekcie.

Hlavným vzorcom, ktorý sa vyučuje vo všetkých lekciách na tejto stránke venovaných riešeniu logaritmických rovníc, je kanonická forma. A nezľaknite sa toho, že väčšina školských učebníc vás učí riešiť takéto problémy inak. Tento nástroj funguje veľmi efektívne a umožňuje vám vyriešiť oveľa širšiu triedu problémov ako tie najjednoduchšie, ktoré sme študovali na samom začiatku našej lekcie.

Okrem toho na riešenie logaritmických rovníc bude užitočné poznať základné vlastnosti. menovite:

Vzorec na prechod na jednu základňu a špeciálny prípad, keď obrátime log (toto sa nám veľmi hodilo pri prvom probléme);
Vzorec na sčítanie a odčítanie mocnín zo znamienka logaritmu. Tu sa mnohí študenti zaseknú a nevidia, že vyňatý a zavedený titul môže sám o sebe obsahovať log f (x). Nie je na tom nič zlé. Môžeme zaviesť jeden log podľa znamienka druhého a zároveň výrazne zjednodušiť riešenie úlohy, čo pozorujeme v druhom prípade.

Na záver by som rád dodal, že nie je potrebné v každom z týchto prípadov kontrolovať definičný obor, pretože všade je premenná x prítomná len v jednom znaku log a zároveň je vo svojom argumente. V dôsledku toho sú všetky požiadavky rozsahu splnené automaticky.

Problémy s variabilnou základňou

Dnes sa pozrieme na logaritmické rovnice, ktoré sa mnohým študentom zdajú neštandardné, ak nie úplne neriešiteľné. Hovoríme o výrazoch založených nie na číslach, ale na premenných a dokonca aj na funkciách. Takéto konštrukcie budeme riešiť našou štandardnou technikou, a to cez kanonickú formu.

Najprv si pripomeňme, ako sa riešia najjednoduchšie problémy na základe obyčajných čísel. Takže najjednoduchšia konštrukcia je tzv

log a f (x) = b

Na vyriešenie takýchto problémov môžeme použiť nasledujúci vzorec:

b = log a a b

Prepíšeme náš pôvodný výraz a dostaneme:

log a f (x) = log a a b

Potom zrovnáme argumenty, t.j. napíšeme:

f (x) = a b

Tým sa zbavíme loga a vyriešime obvyklý problém. V tomto prípade budú korene získané z riešenia koreňmi pôvodnej logaritmickej rovnice. Okrem toho záznam, keď sú ľavá aj pravá strana v rovnakom logaritme s rovnakým základom, sa presne nazýva kanonická forma. Práve na takýto rekord sa pokúsime zredukovať dnešné návrhy. Tak, poďme.

Prvá úloha:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Nahraďte 1 logom x − 2 (x − 2) 1 . Stupeň, ktorý pozorujeme v argumente, je v skutočnosti číslo b, ktoré stálo napravo od znamienka rovnosti. Prepíšme teda náš výraz. Dostaneme:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

čo vidíme? Pred nami je kanonická forma logaritmickej rovnice, takže môžeme bezpečne porovnávať argumenty. Dostaneme:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Tým sa ale riešenie nekončí, pretože táto rovnica nie je ekvivalentná tej pôvodnej. Výsledná konštrukcia sa totiž skladá z funkcií, ktoré sú definované na celej číselnej osi a naše pôvodné logaritmy nie sú definované všade a nie vždy.

Preto musíme doménu definície zapísať oddelene. Nedeľme si vlasy a najprv si napíšme všetky požiadavky:

Po prvé, argument každého z logaritmov musí byť väčší ako 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

Po druhé, základňa musí byť nielen väčšia ako 0, ale aj odlišná od 1:

x − 2 ≠ 1

V dôsledku toho dostaneme systém:

Ale nezľaknite sa: pri spracovaní logaritmických rovníc je možné takýto systém výrazne zjednodušiť.

Posúďte sami: na jednej strane sa od nás vyžaduje, aby bola kvadratická funkcia väčšia ako nula, a na druhej strane sa táto kvadratická funkcia rovná určitému lineárnemu výrazu, od ktorého sa tiež vyžaduje, aby bola väčšia ako nula.

V tomto prípade, ak požadujeme, aby x − 2 > 0, tak bude automaticky splnená požiadavka 2x 2 − 13x + 18 > 0. Nerovnosť obsahujúcu kvadratickú funkciu teda môžeme pokojne prečiarknuť. Počet výrazov obsiahnutých v našom systéme sa tak zníži na tri.

Samozrejme, s rovnakým úspechom by sme mohli prečiarknuť lineárnu nerovnosť, teda prečiarknuť x − 2 > 0 a požadovať, aby 2x 2 − 13x + 18 > 0. Ale budete súhlasiť, že riešenie najjednoduchšej lineárnej nerovnosti je oveľa rýchlejšie a jednoduchšie ako kvadratické, dokonca aj za podmienky, že v dôsledku riešenia celého tohto systému dostaneme rovnaké korene.

Vo všeobecnosti sa snažte optimalizovať výpočty vždy, keď je to možné. A v prípade logaritmických rovníc prečiarknite najťažšie nerovnosti.

Prepíšme náš systém:

Tu je systém troch výrazov, z ktorých dva sme už v skutočnosti riešili. Napíšme kvadratickú rovnicu samostatne a vyriešime ju:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Pred nami je redukovaný kvadratický trinom, a preto môžeme použiť Vietove vzorce. Dostaneme:

(x − 5) (x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Teraz sa vrátime do nášho systému a zistíme, že x = 2 nám nevyhovuje, pretože sa od nás vyžaduje, aby x bolo striktne väčšie ako 2.

Ale x = 5 nám úplne vyhovuje: číslo 5 je väčšie ako 2 a zároveň 5 sa nerovná 3. Preto jediným riešením tejto sústavy bude x = 5.

To je všetko, problém je vyriešený vrátane zohľadnenia ODZ. Prejdime k druhej rovnici. Ďalšie zaujímavé a informatívne výpočty nás čakajú tu:

Prvý krok: ako minule, celú túto záležitosť privedieme do kánonickej podoby. Aby sme to dosiahli, môžeme zapísať číslo 9 takto:

Nemusíte sa dotýkať základne koreňom, ale je lepšie transformovať argument. Prejdime od koreňa k mocnine s racionálnym exponentom. Zapíšme si:

Dovoľte mi, aby som neprepísal celú našu veľkú logaritmickú rovnicu, ale hneď dal rovnítko medzi argumenty:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4 x + 3 = 0

Pred nami je novo zredukovaný kvadratický trinom, použime Vietov vzorce a napíšme:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Takže máme korene, ale nikto nám nezaručil, že budú zodpovedať pôvodnej logaritmickej rovnici. Koniec koncov, logovacie znaky ukladajú ďalšie obmedzenia (tu sme mali zapísať systém, ale kvôli ťažkopádnosti celej štruktúry som sa rozhodol vypočítať doménu definície samostatne).

Najprv nezabudnite, že argumenty musia byť väčšie ako 0, konkrétne:

Toto sú požiadavky stanovené rozsahom definície.

Hneď si všimnime, že keďže prvé dva výrazy sústavy dávame na roveň, ktorýkoľvek z nich môžeme prečiarknuť. Prvú prečiarkneme, pretože vyzerá hrozivejšie ako tá druhá.

Okrem toho si všimnite, že riešením druhej a tretej nerovnice budú rovnaké množiny (kocka nejakého čísla je väčšia ako nula, ak je toto číslo samotné väčšie ako nula; podobne s odmocninou tretieho stupňa - tieto nerovnosti sú úplne analogické, takže ich môžeme prečiarknuť).

Ale s treťou nerovnosťou to nebude fungovať. Zbavme sa radikálneho znaku vľavo zdvihnutím oboch častí na kocku. Dostaneme:

Takže dostaneme nasledujúce požiadavky:

− 2 ≠ x > −3

Ktorý z našich koreňov: x 1 = −3 alebo x 2 = −1 spĺňa tieto požiadavky? Je zrejmé, že iba x = −1, pretože x = −3 nespĺňa prvú nerovnosť (keďže naša nerovnosť je prísna). Takže, keď sa vrátime k nášmu problému, dostaneme jeden koreň: x = −1. To je všetko, problém vyriešený.

Ešte raz, kľúčové body tejto úlohy:

Neváhajte použiť a riešiť logaritmické rovnice pomocou kanonickej formy. Študenti, ktorí urobia takýto zápis, namiesto toho, aby sa priamo presunuli od pôvodného problému ku konštrukcii ako log a f (x) = b, robia oveľa menej chýb ako tí, ktorí sa niekam ponáhľajú a preskakujú medzikroky výpočtov;
Len čo sa premenná báza objaví v logaritme, problém prestáva byť tým najjednoduchším. Preto pri jeho riešení je potrebné vziať do úvahy oblasť definície: argumenty musia byť väčšie ako nula a základy musia byť nielen väčšie ako 0, ale nesmú sa rovnať ani 1.

Konečné požiadavky môžu byť aplikované na konečné odpovede rôznymi spôsobmi. Môžete napríklad vyriešiť celý systém obsahujúci všetky požiadavky na doménu definície. Na druhej strane môžete najskôr vyriešiť samotný problém a potom si zapamätať oblasť definície, samostatne ju vypracovať vo forme systému a aplikovať ju na získané korene.

Akú metódu zvoliť pri riešení konkrétnej logaritmickej rovnice je len na vás. V každom prípade bude odpoveď rovnaká.

Logaritmické rovnice. Od jednoduchých po zložité.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Čo je to logaritmická rovnica?

Toto je rovnica s logaritmami. Som prekvapený, však?) Potom to vysvetlím. Toto je rovnica, v ktorej sa nachádzajú neznáme (x) a výrazy s nimi vnútri logaritmov. A len tam! To je dôležité.

Tu je niekoľko príkladov logaritmické rovnice:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x2+3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

No chápeš... )

Poznámka! Najrôznejšie výrazy s X sa nachádzajú výlučne v logaritmoch. Ak sa zrazu niekde v rovnici objaví X vonku, Napríklad:

log 2 x = 3 + x,

toto už bude rovnica zmiešaného typu. Takéto rovnice nemajú jasné pravidlá na ich riešenie. Zatiaľ ich nebudeme zvažovať. Mimochodom, v logaritmoch sú rovnice iba čísla. Napríklad:

Čo môžem povedať? Máte šťastie, ak na to narazíte! Logaritmus s číslami je nejaké číslo. To je všetko. Na vyriešenie takejto rovnice stačí poznať vlastnosti logaritmov. Znalosť špeciálnych pravidiel, techník prispôsobených špeciálne na riešenie logaritmické rovnice, tu sa nevyžaduje.

takže, čo je logaritmická rovnica- prišli sme na to.

Ako riešiť logaritmické rovnice?

Riešenie logaritmické rovnice- vec v skutočnosti nie je veľmi jednoduchá. Takže naša sekcia je štvorka... Vyžaduje sa slušné množstvo vedomostí o všemožných súvisiacich témach. Okrem toho je v týchto rovniciach špeciálna vlastnosť. A táto vlastnosť je taká dôležitá, že ju možno bezpečne nazvať hlavným problémom pri riešení logaritmických rovníc. Tomuto problému sa budeme podrobne venovať v nasledujúcej lekcii.

Zatiaľ sa nebojte. Pôjdeme správnou cestou od jednoduchých po zložité. Pomocou konkrétnych príkladov. Hlavná vec je ponoriť sa do jednoduchých vecí a nebuďte leniví sledovať odkazy, dal som ich tam z nejakého dôvodu ... A všetko vám vyjde. Nevyhnutne.

Začnime najzákladnejšími, najjednoduchšími rovnicami. Na ich vyriešenie je vhodné mať predstavu o logaritme, ale nič viac. Len žiadny nápad logaritmus, prijať rozhodnutie logaritmický rovnice - akosi až trápne... Veľmi odvážne, povedal by som).

Najjednoduchšie logaritmické rovnice.

Toto sú rovnice tvaru:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7x

3. log 7 (50x-1) = 2

Proces riešenia akúkoľvek logaritmickú rovnicu spočíva v prechode z rovnice s logaritmami na rovnicu bez nich. V najjednoduchších rovniciach sa tento prechod uskutočňuje v jednom kroku. Preto sú najjednoduchšie.)

A takéto logaritmické rovnice sú prekvapivo ľahko riešiteľné. Presvedčte sa sami.

Poďme vyriešiť prvý príklad:

log 3 x = log 3 9

Na vyriešenie tohto príkladu nepotrebujete vedieť takmer nič, áno... Čistá intuícia!) Čo potrebujeme najmä nepáči sa vám tento príklad? Čo-čo... Nemám rád logaritmy! Správny. Tak sa ich zbavme. Pozorne sa pozrieme na príklad a vynorí sa v nás prirodzená túžba... Priam neodolateľná! Zoberte a úplne vyhoďte logaritmy. A čo je dobré, je to Môcť robiť! Matematika umožňuje. Logaritmy zmiznú odpoveď je:

Skvelé, však? Toto sa dá (a malo by) robiť vždy. Odstránenie logaritmov týmto spôsobom je jedným z hlavných spôsobov riešenia logaritmických rovníc a nerovností. V matematike sa táto operácia nazýva potenciácia. Samozrejme, na takúto likvidáciu existujú pravidlá, ale je ich málo. Pamätajte:

Logaritmy môžete bez obáv eliminovať, ak majú:

a) rovnaké číselné základy

c) logaritmy zľava doprava sú čisté (bez akýchkoľvek koeficientov) a sú v nádhernej izolácii.

Dovoľte mi objasniť posledný bod. V rovnici, povedzme

log 3 x = 2 log 3 (3x-1)

Logaritmy nemožno odstrániť. Dvaja napravo to nedovoľujú. Koeficient, viete... V príklade

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Je tiež nemožné zosilniť rovnicu. Na ľavej strane nie je žiadny logaritmus. Sú dve.

Stručne povedané, môžete odstrániť logaritmy, ak rovnica vyzerá takto a iba takto:

log a (.....) = log a (.....)

V zátvorke, kde je elipsa, môže byť akékoľvek výrazy. Jednoduché, superkomplexné, všetky druhy. Hocičo. Dôležité je, že po odstránení logaritmov nám ostanú jednoduchšia rovnica. Samozrejme sa predpokladá, že už viete, ako riešiť lineárne, kvadratické, zlomkové, exponenciálne a iné rovnice bez logaritmov.)

Teraz môžete ľahko vyriešiť druhý príklad:

log 7 (2x-3) = log 7x

V skutočnosti je to rozhodnuté v mysli. Zosilňujeme, dostávame:

No, je to veľmi ťažké?) Ako vidíte, logaritmický súčasťou riešenia rovnice je len pri odstraňovaní logaritmov... A potom príde riešenie zostávajúcej rovnice bez nich. Triviálna záležitosť.

Vyriešme tretí príklad:

log 7 (50x-1) = 2

Vidíme, že vľavo je logaritmus:

Pripomeňme si, že tento logaritmus je číslo, na ktoré sa musí zvýšiť základ (t.j. sedem), aby sme získali sublogaritmický výraz, t.j. (50x-1).

Ale toto číslo sú dva! Podľa Eq. To je:

To je v podstate všetko. Logaritmus zmizol, Zostáva neškodná rovnica:

Túto logaritmickú rovnicu sme vyriešili iba na základe významu logaritmu. Je ešte jednoduchšie eliminovať logaritmy?) Súhlasím. Mimochodom, ak urobíte logaritmus z dvoch, môžete tento príklad vyriešiť elimináciou. Z ľubovoľného čísla možno urobiť logaritmus. Navyše tak, ako to potrebujeme. Veľmi užitočná technika pri riešení logaritmických rovníc a (najmä!) nerovníc.

Neviete, ako urobiť logaritmus z čísla!? Je to v poriadku. Časť 555 podrobne popisuje túto techniku. Môžete si ho osvojiť a využiť naplno! Výrazne znižuje počet chýb.

Štvrtá rovnica sa rieši úplne podobným spôsobom (podľa definície):

To je všetko.

Zhrňme si túto lekciu. Pozreli sme sa na riešenie najjednoduchších logaritmických rovníc na príkladoch. Je to veľmi dôležité. A nielen preto, že sa takéto rovnice objavujú v testoch a skúškach. Faktom je, že aj tie najhoršie a najkomplikovanejšie rovnice sú nevyhnutne zredukované na najjednoduchšie!

V skutočnosti sú najjednoduchšie rovnice konečnou časťou riešenia akýkoľvek rovnice. A túto záverečnú časť treba chápať striktne! A ďalej. Túto stránku si určite prečítajte až do konca. Je tam prekvapenie...)

Teraz sa rozhodujeme sami. Poďme sa takpovediac polepšiť...)

Nájdite koreň (alebo súčet koreňov, ak ich je niekoľko) rovníc:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e2+2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Odpovede (samozrejme v neporiadku): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Čo, nie všetko ide? Stáva sa. Nebojte sa! Časť 555 vysvetľuje riešenie všetkých týchto príkladov jasným a podrobným spôsobom. Tam na to určite prídeš. Naučíte sa aj užitočné praktické techniky.

Všetko vyšlo!? Všetky príklady „jeden zostal“?) Gratulujeme!

Je čas odhaliť vám trpkú pravdu. Úspešné vyriešenie týchto príkladov nezaručuje úspech pri riešení všetkých ostatných logaritmických rovníc. Aj tie najjednoduchšie ako tieto. žiaľ.

Faktom je, že riešenie akejkoľvek logaritmickej rovnice (aj tej najzákladnejšej!) pozostáva z dve rovnaké časti. Riešenie rovnice a práca s ODZ. Jednu časť máme zvládnutú – riešenie samotnej rovnice. Nie je to také ťažké správny?

Pre túto lekciu som špeciálne vybral príklady, v ktorých DL žiadnym spôsobom neovplyvňuje odpoveď. Ale nie každý je taký láskavý ako ja, však?...)

Preto je nevyhnutné zvládnuť druhú časť. ODZ. Toto je hlavný problém pri riešení logaritmických rovníc. A nie preto, že je to ťažké - táto časť je ešte jednoduchšia ako prvá. Ale preto, že ľudia na ODZ jednoducho zabúdajú. Alebo nevedia. Alebo obaja). A vypadnú z čista jasna...

V ďalšej lekcii sa budeme zaoberať týmto problémom. Potom sa môžete s istotou rozhodnúť akýkoľvek jednoduché logaritmické rovnice a prístup k celkom solídnym úlohám.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Príprava na záverečný test z matematiky obsahuje dôležitú časť - „Logaritmy“. Úlohy z tejto témy sú nevyhnutne obsiahnuté v Jednotnej štátnej skúške. Skúsenosti z minulých rokov ukazujú, že logaritmické rovnice spôsobovali mnohým školákom ťažkosti. Preto študenti s rôznymi úrovňami výcviku musia pochopiť, ako nájsť správnu odpoveď a rýchlo sa s nimi vyrovnať.

Absolvujte úspešne certifikačný test pomocou vzdelávacieho portálu Shkolkovo!

Pri príprave na Jednotnú štátnu skúšku potrebujú absolventi stredných škôl spoľahlivý zdroj, ktorý poskytuje najúplnejšie a najpresnejšie informácie pre úspešné riešenie testových úloh. Učebnica však nie je vždy po ruke a hľadanie potrebných pravidiel a vzorcov na internete si často vyžaduje čas.

Vzdelávací portál Shkolkovo vám umožňuje pripraviť sa na Jednotnú štátnu skúšku kdekoľvek a kedykoľvek. Naša webová stránka ponúka najpohodlnejší prístup k opakovaniu a asimilácii veľkého množstva informácií o logaritmoch, ako aj o jednej a niekoľkých neznámych. Začnite jednoduchými rovnicami. Ak sa s nimi vyrovnáte bez problémov, prejdite na zložitejšie. Ak máte problém vyriešiť konkrétnu nerovnosť, môžete si ju pridať do obľúbených, aby ste sa k nej mohli vrátiť neskôr.

Vzorce potrebné na dokončenie úlohy, zopakovanie špeciálnych prípadov a metód na výpočet koreňa štandardnej logaritmickej rovnice nájdete v časti „Teoretická pomoc“. Učitelia Shkolkovo zhromaždili, systematizovali a prezentovali všetky materiály potrebné na úspešné absolvovanie v najjednoduchšej a najzrozumiteľnejšej forme.

Aby ste mohli ľahko zvládnuť úlohy akejkoľvek zložitosti, na našom portáli sa môžete zoznámiť s riešením niektorých štandardných logaritmických rovníc. Ak to chcete urobiť, prejdite do časti „Katalógy“. Máme veľké množstvo príkladov vrátane rovníc s profilovou úrovňou Jednotná štátna skúška z matematiky.

Študenti zo škôl z celého Ruska môžu využívať náš portál. Ak chcete začať vyučovanie, jednoducho sa zaregistrujte v systéme a začnite riešiť rovnice. Na konsolidáciu výsledkov vám odporúčame, aby ste sa denne vracali na webovú stránku Shkolkovo.

Ako viete, pri násobení výrazov mocninami sa ich exponenty vždy sčítajú (a b *a c = a b+c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a neskôr, v 8. storočí, vytvoril matematik Virasen tabuľku celočíselných exponentov. Boli to oni, ktorí slúžili na ďalšie objavovanie logaritmov. Príklady využitia tejto funkcie nájdete takmer všade tam, kde si potrebujete zjednodušiť ťažkopádne násobenie jednoduchým sčítaním. Ak strávite 10 minút čítaním tohto článku, vysvetlíme vám, čo sú to logaritmy a ako s nimi pracovať. Jednoduchým a prístupným jazykom.

Definícia v matematike

Logaritmus je vyjadrením nasledujúceho tvaru: log a b=c, teda logaritmus ľubovoľného nezáporného čísla (teda akéhokoľvek kladného) „b“ k základu „a“ sa považuje za mocninu „c“. “, na ktorú musí byť základ „a“ zvýšený, aby sa nakoniec získala hodnota „b“. Analyzujme logaritmus na príkladoch, povedzme, že existuje výraz log 2 8. Ako nájsť odpoveď? Je to veľmi jednoduché, musíte nájsť výkon tak, aby od 2 po požadovaný výkon dostal 8. Po vykonaní niekoľkých výpočtov v hlave dostaneme číslo 3! A to je pravda, pretože 2 ku 3 dáva odpoveď ako 8.

Typy logaritmov

Pre mnohých žiakov a študentov sa táto téma zdá komplikovaná a nepochopiteľná, ale v skutočnosti logaritmy nie sú také strašidelné, hlavnou vecou je pochopiť ich všeobecný význam a zapamätať si ich vlastnosti a niektoré pravidlá. Existujú tri samostatné typy logaritmických výrazov:

Prirodzený logaritmus ln a, kde základom je Eulerovo číslo (e = 2,7).
Desatinné a, kde základ je 10.
Logaritmus ľubovoľného čísla b na základ a>1.

Každá z nich je riešená štandardným spôsobom, vrátane zjednodušenia, redukcie a následnej redukcie na jeden logaritmus pomocou logaritmických viet. Aby ste získali správne hodnoty logaritmov, mali by ste si pamätať ich vlastnosti a postupnosť akcií pri ich riešení.

Pravidlá a určité obmedzenia

V matematike existuje niekoľko pravidiel-obmedzení, ktoré sú akceptované ako axióma, to znamená, že nie sú predmetom diskusie a sú pravdivé. Napríklad nie je možné deliť čísla nulou a je tiež nemožné extrahovať párnu odmocninu záporných čísel. Logaritmy majú tiež svoje pravidlá, podľa ktorých sa ľahko naučíte pracovať aj s dlhými a objemnými logaritmickými výrazmi:

Základ „a“ musí byť vždy väčší ako nula a nie rovný 1, inak výraz stratí svoj význam, pretože „1“ a „0“ sa v akomkoľvek stupni vždy rovnajú svojim hodnotám;
ak a > 0, potom a b > 0, ukáže sa, že „c“ musí byť tiež väčšie ako nula.

Ako vyriešiť logaritmy?

Úlohou je napríklad nájsť odpoveď na rovnicu 10 x = 100. Je to veľmi jednoduché, treba zvoliť mocninu zvýšením čísla desať, na ktoré sa dostaneme 100. To je samozrejme 10 2 = 100.

Teraz si predstavme tento výraz v logaritmickej forme. Dostaneme log 10 100 = 2. Pri riešení logaritmov sa všetky akcie prakticky zbiehajú, aby našli mocninu, do ktorej je potrebné zadať základ logaritmu, aby sme získali dané číslo.

Ak chcete presne určiť hodnotu neznámeho stupňa, musíte sa naučiť pracovať s tabuľkou stupňov. Vyzerá to takto:

Ako vidíte, niektoré exponenty sa dajú uhádnuť intuitívne, ak máte technické myslenie a znalosti násobilky. Pre väčšie hodnoty však budete potrebovať tabuľku výkonu. Využiť ho môžu aj tí, ktorí o zložitých matematických témach nevedia vôbec nič. Ľavý stĺpec obsahuje čísla (základ a), horný riadok čísel je hodnota mocniny c, na ktorú je číslo a umocnené. Na priesečníku bunky obsahujú číselné hodnoty, ktoré sú odpoveďou (a c = b). Zoberme si napríklad úplne prvú bunku s číslom 10 a odmocnime ju, dostaneme hodnotu 100, ktorá je naznačená na priesečníku našich dvoch buniek. Všetko je také jednoduché a ľahké, že to pochopí aj ten najpravdivejší humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje sa, že za určitých podmienok je exponentom logaritmus. Preto akékoľvek matematické numerické výrazy možno zapísať ako logaritmickú rovnosť. Napríklad 3 4 = 81 možno zapísať ako základný 3 logaritmus 81 rovný štyrom (log 3 81 = 4). Pre záporné mocniny sú pravidlá rovnaké: 2 -5 = 1/32 zapíšeme to ako logaritmus, dostaneme log 2 (1/32) = -5. Jednou z najfascinujúcejších častí matematiky je téma „logaritmov“. Na príklady a riešenia rovníc sa pozrieme nižšie, hneď po preštudovaní ich vlastností. Teraz sa pozrime, ako vyzerajú nerovnosti a ako ich odlíšiť od rovníc.

Je uvedený nasledujúci výraz: log 2 (x-1) > 3 - ide o logaritmickú nerovnosť, keďže neznáma hodnota „x“ je pod logaritmickým znamienkom. A tiež vo výraze sa porovnávajú dve veličiny: logaritmus požadovaného čísla so základom dva je väčší ako číslo tri.

Najdôležitejší rozdiel medzi logaritmickými rovnicami a nerovnosťami je v tom, že rovnice s logaritmami (napríklad logaritmus 2 x = √9) zahŕňajú jednu alebo viac konkrétnych číselných hodnôt v odpovedi, zatiaľ čo pri riešení nerovnosti je rozsah prijateľných hodnoty a body sú určené porušovaním tejto funkcie. V dôsledku toho odpoveď nie je jednoduchá množina jednotlivých čísel ako v odpovedi na rovnicu, ale súvislý rad alebo množina čísel.

Základné vety o logaritmoch

Pri riešení primitívnych úloh hľadania hodnôt logaritmu nemusia byť jeho vlastnosti známe. Pokiaľ však ide o logaritmické rovnice alebo nerovnice, v prvom rade je potrebné jasne pochopiť a prakticky aplikovať všetky základné vlastnosti logaritmov. Na príklady rovníc sa pozrieme neskôr, najprv sa pozrime na každú vlastnosť podrobnejšie.

Hlavná identita vyzerá takto: a logaB =B. Platí len vtedy, keď a je väčšie ako 0, nerovná sa jednej a B je väčšie ako nula.
Logaritmus súčinu môže byť vyjadrený v nasledujúcom vzorci: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tomto prípade je povinná podmienka: d, s 1 a s 2 > 0; a≠1. Tento logaritmický vzorec môžete dokázať príkladmi a riešením. Nech log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, potom a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupne ), a potom podľa definície: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, čo bolo potrebné dokázať.
Logaritmus kvocientu vyzerá takto: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Veta vo forme vzorca má tento tvar: log a q b n = n/q log a b.

Tento vzorec sa nazýva „vlastnosť stupňa logaritmu“. Pripomína vlastnosti bežných stupňov a nie je to prekvapujúce, pretože celá matematika je založená na prirodzených postulátoch. Pozrime sa na dôkaz.

Nech log a b = t, ukáže sa a t =b. Ak obe časti zdvihneme na mocninu m: a tn = b n ;

ale keďže a tn = (a q) nt/q = b n, preto log a q b n = (n*t)/t, potom log a q b n = n/q log a b. Veta bola dokázaná.

Príklady problémov a nerovností

Najbežnejšími typmi problémov na logaritmoch sú príklady rovníc a nerovníc. Nachádzajú sa takmer vo všetkých problémových knihách a sú tiež povinnou súčasťou skúšok z matematiky. Ak chcete vstúpiť na univerzitu alebo zložiť prijímacie skúšky z matematiky, musíte vedieť, ako správne riešiť takéto úlohy.

Bohužiaľ neexistuje jednotný plán alebo schéma na riešenie a určenie neznámej hodnoty logaritmu, ale na každú matematickú nerovnosť alebo logaritmickú rovnicu možno použiť určité pravidlá. V prvom rade by ste mali zistiť, či je možné výraz zjednodušiť alebo zredukovať na všeobecnú formu. Dlhé logaritmické výrazy môžete zjednodušiť, ak správne použijete ich vlastnosti. Poďme sa s nimi rýchlo zoznámiť.

Pri riešení logaritmických rovníc musíme určiť, aký typ logaritmu máme: vzorový výraz môže obsahovať prirodzený logaritmus alebo desiatkový.

Tu sú príklady ln100, ln1026. Ich riešenie sa scvrkáva na skutočnosť, že potrebujú určiť výkon, s ktorým bude základňa 10 rovná 100 a 1026. Ak chcete vyriešiť prirodzené logaritmy, musíte použiť logaritmické identity alebo ich vlastnosti. Pozrime sa na príklady riešenia logaritmických problémov rôznych typov.

Ako používať logaritmické vzorce: s príkladmi a riešeniami

Pozrime sa teda na príklady použitia základných teorémov o logaritmoch.

Vlastnosť logaritmu súčinu sa dá využiť v úlohách, kde je potrebné rozložiť veľkú hodnotu čísla b na jednoduchšie faktory. Napríklad log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpoveď je 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - ako vidíte, pomocou štvrtej vlastnosti logaritmickej mocniny sa nám podarilo vyriešiť zdanlivo zložitý a neriešiteľný výraz. Stačí vypočítať základ a potom odobrať hodnoty exponentov zo znamienka logaritmu.

Úlohy z jednotnej štátnej skúšky

Logaritmy sa často vyskytujú pri prijímacích skúškach, najmä veľa logaritmických problémov pri Jednotnej štátnej skúške (štátna skúška pre všetkých absolventov škôl). Tieto úlohy sa zvyčajne nachádzajú nielen v časti A (najjednoduchšia testovacia časť skúšky), ale aj v časti C (najzložitejšie a najobsiahlejšie úlohy). Skúška vyžaduje presnú a dokonalú znalosť témy „Prirodzené logaritmy“.

Príklady a riešenia problémov sú prevzaté z oficiálnych verzií jednotnej štátnej skúšky. Pozrime sa, ako sa takéto úlohy riešia.

Daný log 2 (2x-1) = 4. Riešenie:
prepíšme výraz, trochu ho zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2, podľa definície logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4, teda 2x = 17; x = 8,5.

Najlepšie je zredukovať všetky logaritmy na rovnaký základ, aby riešenie nebolo ťažkopádne a mätúce.
Všetky výrazy pod logaritmickým znamienkom sú označené ako kladné, preto keď exponent výrazu, ktorý je pod logaritmickým znamienkom a jeho základ sa vyberie ako násobiteľ, výraz zostávajúci pod logaritmom musí byť kladný.