Stupňová miera uhla, druhy uhlov. Rozvinuté, tupé, zvislé a nerozvinuté: typy geometrických uhlov

Keď dvaja lúč (A.O. A O.B.) pochádzajú z jedného bodu, potom sa obrazec tvorený týmito lúčmi (spolu s nimi ohraničenou časťou roviny) nazýva uhol

Lúče, ktoré zvierajú uhol, sa nazývajú strany. Bod, z ktorého pochádzajú, je top rohu.

Strany rohu treba si predstaviť ako nekonečne rozšírené zhora.

Rohový zvyčajne sa označuje tromi písmenami, z ktorých stredné je umiestnené na vrcholov, a extrémne sú na niektorých miestach po stranách. Napríklad hovoria „uhol AOB alebo uhol SAI" Ale môžete označiť uhol jedným písmenom umiestneným vo vrchole, ak v tomto vrchole nie sú žiadne iné uhly. Uhol niekedy označíme číslom umiestneným vo vnútri uhla vo vrchole. Písané slovo „uhol“ sa často nahrádza znakom / .

Keď dva lúče vychádzajú z jedného bodov, potom striktne hovoria, že tvoria nie jeden uhol, ale dva uhly.

Tieto dva uhly sú rovnaké, iba ak sú lúče A.O. A O.B. tvoria jeden priamy .

Tento uhol sa nazýva natočený uhol.

Počítajú sa dva uhly rovnaké uhly, ak sa pri prekrývaní dajú kombinovať.

Považujeme za samozrejmé, že vo vnútri akéhokoľvek uhla je možné z jeho vrcholu nakresliť lúč (a iba jeden), ktorý delí tento uhol na polovicu. Takýto lúč sa nazýva osi uhla .

Dva rohy ( A.O.B A BOC) sa volajú priľahlé, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné dve strany sú priamka.

Sakra 1. Sakra 2

Keď dvaja susedný uhol sú rovnaké (obr. 2), potom ich spoločná strana O.B. volal kolmý na priamku A.C., na ktorom ležia ostatné strany.

Ak sú susedné uhly nerovnaké (obr. 1), potom spoločná strana O.B. volal naklonený Komu A.C..

V oboch prípadoch bod O volal základ(kolmé alebo šikmé).

Z ktoréhokoľvek bodu na priamke sa môžete na ktorúkoľvek stranu tejto priamky vrátiť kolmý a to len jeden .

Každý z rovnakých susedných uhlov sa nazýva priamy. Pravý uhol je konštantný hodnotu rovnajúcu sa 90 0 (zvyčajne sa označuje znamienkom d, t.j. začiatočné písmeno francúzskeho slova „droit“ - rovné). V dôsledku toho sa obyčajné uhly porovnávajú vo veľkosti s pravým uhlom.

akýkoľvek rozšírené uhol je 2 d= 180°.

Každý roh ( AOC), menší ako pravý uhol ( AOB) sa nazýva ostrý.

Každý roh ( AOD) väčší priamy sa nazýva hlúpy.

Každý uhol, v závislosti od jeho veľkosti, má svoj vlastný názov:

Typ uhla	Veľkosť v stupňoch	Príklad
Pikantné	Menej ako 90°
Rovno	Rovná sa 90°. Na výkrese je pravý uhol zvyčajne označený symbolom nakresleným z jednej strany uhla na druhú.
Tupý	Viac ako 90°, ale menej ako 180°
Rozšírené	Rovná sa 180° Priamy uhol sa rovná súčtu dvoch pravých uhlov a pravý uhol je polovica priameho uhla.
Konvexné	Viac ako 180°, ale menej ako 360°
Plný	Rovná sa 360°

Tieto dva uhly sa nazývajú priľahlé, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné dve strany tvoria priamku:

Uhly MOP A PON priľahlé, keďže lúč OP- spoločná strana a ďalšie dve strany - OM A ON vytvoriť rovnú čiaru.

Spoločná strana susedných uhlov sa nazýva šikmý až rovný, na ktorom ležia ďalšie dve strany, len v prípade, keď susedné uhly nie sú navzájom rovnaké. Ak sú susedné uhly rovnaké, ich spoločná strana bude rovnaká kolmý.

Súčet susedných uhlov je 180°.

Tieto dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla dopĺňajú strany druhého uhla k rovným čiaram:

Uhly 1 a 3, ako aj uhly 2 a 4 sú vertikálne.

Vertikálne uhly sú rovnaké.

Ukážme, že vertikálne uhly sú rovnaké:

Súčet ∠1 a ∠2 je priamy uhol. A súčet ∠3 a ∠2 je priamy uhol. Takže tieto dve sumy sú rovnaké:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

V tejto rovnosti je vľavo a vpravo identický výraz - ∠2. Rovnosť nebude porušená, ak sa tento výraz vľavo a vpravo vynechá. Potom to dostaneme.

Uhol medzi rovnými čiarami. Kolmé čiary.

Priľahlé a vertikálne uhly a ich vlastnosti. Sektor uhla.

Uhol je geometrický obrazec tvorené dvoma lúčmi vychádzajúcimi z jedného bodu.

Jednotky uhla: radián a stupeň. Stupeň je uhol rovný 1/360 plného uhla. Jeden stupeň je rozdelený na 60 minút (symbol: 1 0 = 60"); jedna minúta je rozdelená na 60 sekúnd (symbol: 1" = 60").

Uhol 90 0 sa nazýva pravý uhol; uhol menší ako 90 0 sa nazýva ostrý; Uhol väčší ako 900 sa nazýva tupý.

Dve priamky sa nazývajú navzájom kolmé, ak pri pretínaní zvierajú pravý uhol, ak sú priamky AB a MK kolmé, označíme to: AB MK.

Dva uhly sa nazývajú susedné, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné dve strany sú pokračovaním jednej druhej. Súčet susedných uhlov je teda 180 0.

Dva uhly so spoločným vrcholom, v ktorých sú strany jedného pokračovaním strán druhého, sa nazývajú zvislé. Vertikálne uhly sú rovnaké.

Osa uhla je lúč, ktorý pretína uhol.

Vlastnosť osi uhla: Každý bod osi uhla je rovnako vzdialený od strán tohto uhla.

Z zápasí s riešením.

1. Nájdite hodnoty susedných uhlov, ak je jeden z nich o 20 0 väčší ako druhý.

Označme jeden z rohov ako X, potom bude druhý rovnaký X+20 0. Keďže uhly susedia, ich súčet je 180 0.

Dostaneme rovnicu X+(X+20 0)= 180 0. Potom 2 X=160 0 , X=80 0 .

80 0 +20 0 =100 0

Odpoveď: 80 0 a 100 0

2. Sú dané dva susedné uhly. jeden z týchto uhlov a druhý tvoria pravý uhol. Nájdite tieto susedné uhly.

Označme jeden z rohov ako X. Keďže uhly susedia, ich súčet je 180 0. Potom sa druhý uhol bude rovnať 180 0 - X.

Urobme rovnicu: X + (180 0 – X) =90 0 .

Vynásobme obe strany rovnice spoločným menovateľom zlomkov 28.

Dostávame: 16 X +7(180 0 – X) = 28,90 0

16X+ 7·180 0 – 7 X= 28,90 0

9X= -7 180 0 + 28 90 0 Vydeľte obe strany rovnice 9.

X= –7,200 + 28,100

X= –140 0 + 280 0

X= 140 0 - prvý uhol, potom druhý sa rovná 180 0 – 140 0 = 40 0.

Odpoveď: 140 0 a 40 0

3. Súčet troch uhlov vytvorených priesečníkom dvoch priamok je o 280 0 väčší ako štvrtý uhol. Nájdite tieto štyri rohy.

Keď sa pretínajú dve priame čiary, vytvoria sa dva páry vertikálnych uhlov. Vertikálne uhly sú navzájom rovnaké.

Nechaj X– veľkosť jedného z uhlov. Potom sa uhol susediaci s ním bude rovnať 180 0 - X. Máme štyri rohy: X, X, 180 0 – X, 180 0 – X.

Urobme rovnicu: X+ X+ (180 0 – X) = (180 0 – X)+ 280 0 .

Dostávame 2 X=280 0 , X=140 0 , 180 0 – 140 0 =40 0

Odpoveď: 140 0, 40 0, 140 0 a 40 0

4. Uhol medzi priamkami a a b sa rovná 17 0 a uhol medzi priamkami a a c sa rovná 33 0

Nájdite uhol medzi priamkami b a c.

potom (b,^c)= 170 + 330 = 500

potom (b,^c)= 330 - 170=160

Odpoveď: 50 0 alebo 16 0

5. Segmenty MR a OK sa pretínajú v bode E. Jeden z uhlov vo vrchole E sa rovná 110º. Nájdite uhol KES, kde EN je osnica uhla REC.

Existujú dve možnosti riešenia problému:

potom Ð KES= 70 0: 2 = 35 0

Uhol je obrazec tvorený dvoma lúčmi vychádzajúcimi z jedného bodu.

Lúče, ktoré zvierajú uhol, sa nazývajú strany uhla a bod, z ktorého vychádzajú, je vrcholom uhla.

Na mojom výkrese sú lúče OB a OS strany uhla, vrchol je bod O a uhol je označený ako: BOS.

Pri písaní uhla napíšte do stredu písmeno, ktoré označuje jeho vrchol. Uhol možno označiť aj jedným písmenom – názvom jeho vrcholu, napr.: uhol O. Slovo „uhol“ sa nahrádza znakom „“.

Napríklad: BOS = O

Ako všetky geometrické tvary, aj uhly sa porovnávajú pomocou prekrývania. Ak je jeden uhol prekrytý druhým a zhodujú sa, potom sú tieto uhly rovnaké.

Napríklad: MRL= AKV

Zo všetkých uhlov môžeme rozlíšiť:

1. Akútne (veľkosť takýchto uhlov je väčšia ako 0, ale menšia ako 90).

2. Rovné (ktorého hodnota je 90).

3. Tupé (veľkosť takýchto uhlov je väčšia ako 90, ale menšia ako 180).

4. Expanded (hodnota ktorej je 180).

Na meranie uhlov sa používa uhlomer.

Mierka uhlomeru je umiestnená na polkruhu. Stred tohto polkruhu je na uhlomere označený pomlčkou. Mierka uhlomeru rozdeľuje polkruh na 180 častí. Lúče ťahané zo stredu polkruhu cez tieto ťahy tvoria 180 uhlov, z ktorých každý sa rovná zlomku rozvinutého uhla. Takéto uhly sa nazývajú stupňa. Stupne sú označené znakom. Každý dielik stupnice uhlomeru sa rovná 1. Okrem dielikov po 1 má uhlomer aj dieliky po 5 a 10.

Uhlomer sa používa aj na konštrukciu uhlov.

Historický odkaz

Od staroveku sa ľudia stretávali s potrebou merať. Koncept stupňa a vzhľad prvých nástrojov na meranie uhlov sú spojené s rozvojom civilizácie v starovekom Babylone, hoci samotné slovo stupeň je latinského pôvodu (stupeň - z latinského gradus - „krok, krok“).

História nezachovala meno vedca, ktorý vynašiel uhlomer - možno v staroveku mal tento nástroj úplne iné meno. Moderný názov pochádza z francúzskeho slova „TRANSPORTER“, čo znamená „niesť“.

Starovekí vedci však robili merania nielen pomocou uhlomeru - koniec koncov, tento nástroj bol nepohodlný na meranie na zemi a riešenie aplikovaných problémov. Totiž aplikované problémy a boli hlavným predmetom záujmu starovekých geometrov. Vynález prvého prístroja, ktorý umožňuje meranie uhlov na zemi, je spojený s menom starogréckeho vedca Herona Alexandrijského (1. storočie pred Kristom). Opísal nástroj „dioptrie“, ktorý umožňuje merať uhly na zemi a riešiť mnohé aplikované problémy.

Môžeme teda hovoriť o vzniku geodézie - systému vied o určovaní tvaru a veľkosti Zeme a o meraniach na zemského povrchu na zobrazenie na plánoch a mapách. Geodézia súvisí s astronómiou, geofyzikou, kozmonautikou, kartografiou atď. a široko sa používa pri navrhovaní a výstavbe stavieb, lodných kanálov a ciest.

V 17. storočí bol vynájdený prístroj na meranie hladiny a v ďalšom storočí anglický mechanik Jesse Ramsden vynašiel teodolit. Dnes je teodolit zložité zariadenie. Mnohé práce (vrátane stavebných) si vyžadujú predbežnú konzultáciu s geodetom pri meraní pomocou teodolitu.

Zlepšenie nástrojov na meranie uhla však zahŕňa viac než len práca na stavbe. Od staroveku ľudia cestovali, učili sa svet. Cestovatelia potrebovali vedieť navigovať vo vesmíre. Po mnoho storočí sa hviezdy stali hlavným referenčným bodom pre cestovateľov. Objavil sa prvý nástroj pre cestovateľov – astroláb. Astroláb (grécky astrolabion, z astron – „hviezda“ a labe – „uchopenie“; latinsky astrolabium) je goniometrické zariadenie, ktoré až do začiatku 18. storočia slúžilo na určovanie polôh svietidiel na oblohe.

Sextant je najpokročilejší prístroj na meranie uhlových súradníc nebeských telies vtedy. Jeho vynález sa pripisuje Isaacovi Newtonovi. Sextant umožnil zmerať zemepisnú šírku aj dĺžku pozorovacieho bodu a to s pomerne vysokou presnosťou. Všimnite si, že existujú aj iné jednotky na meranie uhlov.

Delostrelci musia nielen merať uhly, ale aj rýchlo mentálne premieňať výsledné uhlové hodnoty na lineárne a naopak. Preto je meranie uhlov v stupňoch a minútach pre delostrelcov nepohodlné. Delostrelci prišli s úplne inou mierou uhlov. Táto miera je „tisíciny“ alebo, ako sa to inak nazýva, „delenie uhlomeru“. Na získanie tisíciny je kruh rozdelený na 6000 častí.

V námornej plavbe je zvykom používať ako hlavnú mernú jednotku loxodrom. Námorný loxodrom je určený stredovým uhlom zodpovedajúcim oblúku rovnajúcemu sa 1/32 kruhu. Meteorológia má svoj vlastný loxodrom, ktorý je dvakrát väčší ako more.

Začnime tým, že definujeme, čo je uhol. Po prvé, je to Po druhé, tvoria ho dva lúče, ktoré sa nazývajú strany uhla. Po tretie, vystupujú z jedného bodu, ktorý sa nazýva vrchol uhla. Na základe týchto znakov môžeme vytvoriť definíciu: uhol je geometrický útvar, ktorý pozostáva z dvoch lúčov (strany) vychádzajúcich z jedného bodu (vrcholu).

Sú klasifikované podľa hodnoty stupňa, podľa umiestnenia voči sebe navzájom a vzhľadom na kruh. Začnime s typmi uhlov podľa ich veľkosti.

Je ich viacero druhov. Pozrime sa bližšie na každý typ.

Existujú iba štyri hlavné typy uhlov - rovné, tupé, ostré a priame uhly.

Rovno

Vyzerá to takto:

Jeho miera stupňov je vždy 90 o, inými slovami, pravý uhol je uhol 90 stupňov. Majú ich len také štvoruholníky ako štvorec a obdĺžnik.

Tupý

Vyzerá to takto:

Miera stupňov je vždy väčšia ako 90 o, ale menšia ako 180 o. Možno ho nájsť v štvoruholníkoch, ako je kosoštvorec, ľubovoľný rovnobežník a v mnohouholníkoch.

Pikantné

Vyzerá to takto:

Miera stupňa ostrého uhla je vždy menšia ako 90°. Nachádza sa vo všetkých štvoruholníkoch okrem štvorca a akéhokoľvek rovnobežníka.

Rozšírené

Rozvinutý uhol vyzerá takto:

Nevyskytuje sa v polygónoch, ale nie je o nič menej dôležitá ako všetky ostatné. Priamy uhol je geometrický útvar, ktorého miera stupňov je vždy 180º. Môžete na ňom stavať nakreslením jedného alebo viacerých lúčov z jeho vrcholu v ľubovoľnom smere.

Existuje niekoľko ďalších menších typov uhlov. V školách sa neštudujú, ale je potrebné o ich existencii aspoň vedieť. Existuje iba päť sekundárnych typov uhlov:

1. Nula

Vyzerá to takto:

Už samotný názov uhla naznačuje jeho veľkosť. Jeho vnútorná plocha je 0° a strany ležia na sebe, ako je znázornené na obrázku.

2. Šikmé

Šikmý uhol môže byť priamy uhol, tupý uhol, ostrý uhol alebo rovný uhol. Jeho hlavnou podmienkou je, že by sa nemal rovnať 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Konvexné

Konvexné uhly sú nulové, priame, tupé, ostré a priame uhly. Ako ste už pochopili, miera konvexného uhla je od 0° do 180°.

4. Nekonvexné

Uhly s mierami stupňov od 181° do 359° vrátane nie sú konvexné.

5. Plná

Úplný uhol je 360 stupňov.

Toto sú všetky typy uhlov podľa ich veľkosti. Teraz sa pozrime na ich typy podľa ich umiestnenia v rovine voči sebe navzájom.

1. Dodatočné

Ide o dva ostré uhly tvoriace jednu priamku, t.j. ich súčet je 90 o.

2. Susedný

Susedné uhly sa vytvárajú, ak lúč prechádza cez rozvinutý uhol, alebo skôr cez jeho vrchol, v ľubovoľnom smere. Ich súčet je 180 o.

3. Vertikálne

Vertikálne uhly sa vytvárajú, keď sa pretínajú dve priame čiary. Ich miery sú rovnaké.

Teraz prejdime k typom uhlov umiestnených vzhľadom na kruh. Sú len dve z nich: centrálna a vpísaná.

1. Centrálne

Stredový uhol je uhol s vrcholom v strede kruhu. Jeho miera stupňov sa rovná miere stupňa menšieho oblúka prehnutého stranami.

2. Zapísané

Vpísaný uhol je uhol, ktorého vrchol leží na kružnici a ktorého strany ju pretínajú. Jeho miera stupňov sa rovná polovici oblúka, na ktorom spočíva.

To je všetko pre uhly. Teraz už viete, že okrem tých najznámejších – akútnych, tupých, priamych a nasadených – ich v geometrii existuje mnoho ďalších typov.