Základný vzorec difrakčnej mriežky. Difrakčná mriežka

DEFINÍCIA

Difrakčná mriežka- ide o najjednoduchšie spektrálne zariadenie, ktoré pozostáva zo systému štrbín (plochy priehľadné pre svetlo) a nepriehľadných medzier, ktoré sú porovnateľné s vlnovou dĺžkou.

Jednorozmerná difrakčná mriežka pozostáva z rovnobežných štrbín rovnakej šírky, ktoré ležia v rovnakej rovine a sú oddelené medzerami rovnakej šírky, ktoré sú pre svetlo nepriepustné. Za najlepšie sa považujú reflexné difrakčné mriežky. Pozostávajú zo súboru oblastí, ktoré odrážajú svetlo a oblastí, ktoré svetlo rozptyľujú. Tieto mriežky sú leštené kovové platne, na ktoré sa pomocou rezača nanášajú svetlo rozptyľujúce ťahy.

Difrakčný obrazec na mriežke je výsledkom vzájomnej interferencie vĺn vychádzajúcich zo všetkých štrbín. Pomocou difrakčnej mriežky sa realizuje viaclúčová interferencia koherentných lúčov svetla, ktoré prešli difrakciou a pochádzajú zo všetkých štrbín.

Charakteristickým znakom difrakčnej mriežky je jej perióda. Perióda difrakčnej mriežky (d) (jej konštanta) je hodnota rovnajúca sa:

kde a je šírka štrbiny; b je šírka nepriehľadnej oblasti.

Difrakcia jednorozmernou difrakčnou mriežkou

Predpokladajme, že svetelná vlna s dĺžkou 0 dopadá kolmo na rovinu difrakčnej mriežky. Pretože štrbiny mriežky sú umiestnené v rovnakej vzdialenosti od seba, rozdiely v dráhe lúčov () prichádzajúcich z dvoch susedných štrbín pre smer budú rovnaké pre celú uvažovanú difrakčnú mriežku:

Hlavné minimá intenzity sa pozorujú v smeroch určených podmienkami:

Okrem hlavných miním sa v dôsledku vzájomného rušenia svetelných lúčov, ktoré vychádzajú z dvoch štrbín, lúče v niektorých smeroch navzájom rušia. V dôsledku toho vznikajú dodatočné minimá intenzity. Objavujú sa v tých smeroch, kde je rozdiel v dráhe lúčov nepárnym počtom polovičných vĺn. Podmienkou pre dodatočné minimá je vzorec:

kde N je počet štrbín difrakčnej mriežky; — celočíselné hodnoty iné ako 0. Ak má mriežka N štrbín, potom medzi dvoma hlavnými maximami je dodatočné minimum, ktoré oddeľuje sekundárne maximá.

Podmienkou pre hlavné maximá pre difrakčnú mriežku je:

Hodnota sínusu nemôže byť väčšia ako jedna, potom je počet hlavných maxím:

Príklady riešenia problémov na tému „Difrakčná mriežka“

PRÍKLAD 1

Cvičenie Monochromatický lúč svetla s vlnovou dĺžkou θ dopadá na difrakčnú mriežku kolmo na jej povrch. Difrakčný obrazec sa premieta na plochú obrazovku pomocou šošovky. Vzdialenosť medzi dvomi maximami intenzity prvého rádu je l. Aká je konštanta difrakčnej mriežky, ak je šošovka umiestnená v tesnej blízkosti mriežky a vzdialenosť od nej k obrazovke je L. Uvažujme, že


Riešenie Ako základ pre riešenie problému používame vzorec, ktorý dáva do vzťahu konštantu difrakčnej mriežky, vlnovú dĺžku svetla a uhol vychýlenia lúčov, ktorý zodpovedá maximálnemu difrakčnému číslu m:

Podľa podmienok problému, keďže uhol vychýlenia lúčov možno považovať za malý (), predpokladáme, že:

Z obr. 1 vyplýva, že:

Dosadíme výraz (1.3) do vzorca (1.1) a vezmeme do úvahy, že dostaneme:

Z (1.4) vyjadríme obdobie mriežky:
Odpoveď

PRÍKLAD 2

Cvičenie Pomocou podmienok z príkladu 1 a výsledku riešenia nájdite počet maxím, ktoré poskytne daná mriežka.
Riešenie Aby sme určili maximálny uhol vychýlenia svetelných lúčov v našom probléme, nájdeme počet maxím, ktoré môže poskytnúť naša difrakčná mriežka. Na tento účel použijeme vzorec:

kde predpokladáme, že pre . Potom dostaneme:

Difrakčné mriežkové zariadenie je založené na vlastnosti difrakcie. Difrakčná mriežka je súbor veľmi veľkého počtu úzkych štrbín, ktoré sú oddelené nepriehľadnými medzerami.

Celkový pohľad na difrakčnú mriežku je znázornený na nasledujúcom obrázku.

Obdobie mriežky a princíp jej fungovania

Perióda mriežky je súčtom šírky jednej štrbiny a jednej nepriehľadnej medzery. Na označenie sa používa písmeno d. Perióda difrakčnej mriežky často kolíše okolo 10 µm. Pozrime sa, ako funguje difrakčná mriežka a prečo je potrebná.

Na difrakčnú mriežku dopadá rovinná monochromatická vlna. Dĺžka tejto vlny sa rovná λ. Sekundárne zdroje umiestnené v štrbinách mriežky vytvárajú svetelné vlny, ktoré sa budú šíriť všetkými smermi. Budeme hľadať podmienky, za ktorých sa vlny prichádzajúce z rôznych štrbín navzájom posilnia.

Za týmto účelom zvážte šírenie vĺn v ľubovoľnom smere. Nech sú to vlny šíriace sa pod uhlom φ.
Rozdiel v dráhe medzi vlnami sa bude rovnať segmentu AC. Ak je možné do tohto segmentu umiestniť celé číslo vlnových dĺžok, potom sa vlny zo všetkých štrbín budú navzájom prekrývať a navzájom sa posilňovať.

Dĺžku Ac možno zistiť z pravouhlého trojuholníka ABC.

AC = AB*sin(φ) = d*sin(φ).

Môžeme zapísať podmienku pre uhol, pod ktorým budú maximá pozorované:

d*sin(φ) = ±k*λ.

Tu k je akékoľvek kladné celé číslo alebo 0. Množstvo, ktoré určuje poradie spektra.

Za mriežkou je umiestnená zberná šošovka. S jeho pomocou sú zaostrené lúče prebiehajúce paralelne. Ak uhol spĺňa maximálnu podmienku, potom na obrazovke určuje polohu hlavných maxím. Keďže poloha maxima bude závisieť od vlnovej dĺžky, mriežka rozloží biele svetlo na spektrum. To je znázornené na nasledujúcom obrázku.

obrázok

obrázok

Medzi maximom budú intervaly minimálneho osvetlenia. Čím väčší je počet štrbín, tým jasnejšie budú maximá a tým väčšia bude šírka miním.

Na presné určenie vlnovej dĺžky sa používa difrakčná mriežka. Pri známej perióde mriežky je veľmi jednoduché určiť vlnovú dĺžku, stačí zmerať smerový uhol φ na maximum.

Plochá priehľadná difrakčná mriežka je systém paralelných štrbín rovnakej šírky „a“, umiestnených v rovnakej vzdialenosti od seba „b“ a ležiacich v rovnakej rovine. Vyrába sa nanášaním nepriehľadných ťahov na priehľadnú platňu alebo hrubých, rozptylových ťahov na vysokoleštenú kovovú platňu a používa sa v prechádzajúcom alebo odrazenom svetle. Najlepšie v súčasnosti vyrábané difrakčné mriežky obsahujú až 2000 čiar na 1 mm. Lacné kópie takýchto mriežok - repliky - sa vyrábajú na želatíne alebo plaste.

Difrakčný obrazec pri prechode svetla cez difrakčnú mriežku (systém N štrbín) sa výrazne skomplikuje. Kmity prichádzajúce z rôznych štrbín sú koherentné a na nájdenie výslednej amplitúdy a intenzity je potrebné poznať fázové vzťahy medzi nimi. Podmienkou zoslabenia vibrácií z tej istej štrbiny (51) je podmienka zoslabenia vibrácií pre každú štrbinu difrakčnej mriežky. Preto sa nazýva podmienka hlavných miním:

Okrem toho vibrácie jedného slotu interagujú s vibráciami iných slotov. Nájdite podmienku, pri ktorej dochádza k vzájomnému zosilneniu kmitov vychádzajúcich zo všetkých štrbín. Nechajte monochromatické svetlo s vlnovou dĺžkou λ normálne dopadať na difrakčnú mriežku (obrázok 18). Rovnako ako v prípade jednej štrbiny, zo všetkých difrakčných vĺn uvažujeme vlny pohybujúce sa v smere uhla α k normále:


Obrázok 18

Rozdiel optickej dráhy pre vlny vychádzajúce z extrémnych bodov susedných štrbín (na obrázku 18 sú to 1 a 2, 2 a 3, 3 a 4) sa rovná:

, (57)

kde a + b = d je mriežková perióda.

Fázový rozdiel pre rovnaké vlny je určený vzťahom:

. (58)

Na zistenie amplitúdy výsledného kmitania použijeme metódu vektorového diagramu. Rozdeľme každú medzeru na samostatné časti - zóny rovnobežné s okrajmi medzery. Amplitúdu kmitov vytvorených jedným rezom v mieste pozorovania označme ako DA i. Potom sa amplitúda výsledných kmitov z celej medzery bude rovnať:

Keďže všetky štrbiny sú identické a sú osvetlené rovnobežným zväzkom lúčov, v mieste pozorovania sú amplitúdy výsledných kmitov z ostatných štrbín rovnaké, t.j.

Preto sa amplitúda výslednej vibrácie zo všetkých štrbín mriežky rovná ich súčtu:


Fázy výsledných kmitov susedných štrbín sa však líšia o Dj (pozri podmienku (58)), preto sú vektory amplitúdy navzájom umiestnené pod uhlom Dj, ako je znázornené na obrázku 19, a.


Obrázok 19

Maximálna amplitúda bude v prípade, keď sú vektory amplitúdy z každej štrbiny umiestnené pozdĺž jednej priamky (obrázok 19, b), t.j. fázový posun medzi výslednými osciláciami susedných štrbín bude násobkom 2p:

kde m = 0, 1, 2, …

Podmienka (60) je podmienkou pre hlavné maximá. Rozdiel v optickej dráhe sa zapíše takto (pozri (58)):

, (61)

kde m je poradie hlavného maxima, nadobúda rovnaké hodnoty ako v podmienke (60). Najväčšie poradie maxima je určené z podmienky:

.

Amplitúda výsledných kmitov zo všetkých štrbín bude v tomto prípade rovná:

kde A 1 a je amplitúda výsledných kmitov z jednej štrbiny v smere uhla α, N je počet štrbín v mriežke.

Keďže intenzita je úmerná druhej mocnine amplitúdy, intenzita hlavných maxím je úmerná druhej mocnine počtu štrbín:

, (62)

kde I 1 a je intenzita kmitov, ku ktorým došlo tento bod obrazovka z jednej štrbiny.

Podmienka najväčšieho zoslabenia kmitov zo všetkých štrbín, podmienka pre dodatočné minimá, je dodržaná v prípade, keď je amplitúda výsledných kmitov rovná 0, t.j. keď celkový fázový posun oscilácií susedných štrbín je násobkom 2p:

, (63)

a optický rozdiel v dráhe vĺn z krajných bodov susedných štrbín sa rovná:

, (64)

kde n = 1, 2, ..., N – 1, N + 1, …, 2N – 1, 2N + 1, ..., mN – 1, mN + 1, … – poradie dodatočných miním, N – počet prasklín v mriežke,

Za podmienok (63) a (64) nemôže byť n násobkom počtu štrbín, pretože sa potom menia na podmienky hlavných maxím. Z podmienok (63) a (64) vyplýva, že medzi susednými hlavnými maximami je N – 1 dodatočné minimum a N – 2 dodatočné maximá.

Rozloženie intenzity svetla pozorované na obrazovke v ohniskovej rovine šošovky za mriežkou so štyrmi štrbinami je znázornené na obrázku 20. Bodkovaná krivka udáva distribúciu intenzity jednej štrbiny vynásobenú N 2, plná krivka zodpovedá intenzite rozdelenie pre difrakčnú mriežku.


Obrázok 20

V strede obrázku je maximum nultého rádu, napravo a naľavo od neho sú symetricky umiestnené nasledujúce rády maxím. Šírka maxima nultého rádu môže byť určená rovnakým spôsobom ako šírka maxima pre jednu štrbinu (pozri vzťah (56)):

kde α – v v tomto prípade uhol, pri ktorom sa pozoruje prvé dodatočné minimum, t.j.

.

. (65)

Zo vzťahu (65) vyplýva, že čím väčší je celkový počet štrbín v mriežke, tým užšie je maximum. To platí nielen pre hlavné maximum nultého rádu, ale aj pre všetky hlavné a doplnkové maximá.

Niektoré veľké maximá nie sú detekované, pretože sa zhodujú s hlavnými minimami (v tomto prípade s maximom druhého rádu). Pri veľkom počte štrbín v mriežke je intenzita dodatočných maxím taká nízka, že sú prakticky nedetekovateľné a na obrazovke sú pozorované len hlavné maximá, ktorých umiestnenie závisí od mriežkovej konštanty a vlnovej dĺžky mriežky. monochromatické svetlo dopadajúce na mriežku.

Keď je mriežka osvetlená bielym svetlom, namiesto jednotlivých hlavných maxím prvého a vyššieho rádu sa objavia spektrá (obrázok 21).


Obrázok 21

Maximum nultého rádu sa nerozloží na spektrum, pretože pri uhle α = 0 je pozorované maximum pre akúkoľvek vlnovú dĺžku. V spektre každého rádu je maximum pre kratšie vlny pozorované bližšie k nulovému maximu, pre dlhšie - ďalej od neho.

Keď sa poradie spektra zvyšuje, spektrá sa rozširujú.

Schopnosť difrakčnej mriežky rozložiť na ňu dopadajúce nemonochromatické svetlo na spektrum sa vyznačuje uhlovou alebo lineárnou disperziou. Uhlový rozptyl mriežky je charakterizovaný uhlom, o ktorý sa posunie maximum spektrálnej čiary pri zmene vlnovej dĺžky o jedna, t.j.

kde Δα je uhol, o ktorý sa posunie maximum, keď sa vlnová dĺžka spektrálnej čiary zmení o Δλ.

Uhlová disperzia závisí od rádu spektra m a mriežkovej konštanty d:

. (67)

Vzorec (67) sa získal diferenciáciou podmienky hlavného maxima, t.j. (61). Lineárny rozptyl mriežky je určený vzťahom:

kde Dl je vzdialenosť medzi dvoma spektrálnymi čiarami, ktorých vlnové dĺžky sa líšia o Δλ.

Dá sa to ukázať

kde F je ohnisková vzdialenosť šošovky, s ktorou sa pozoruje difrakčný obrazec.

Ďalšou charakteristikou mriežky je jej rozlišovacia schopnosť. Je určená pomerom vlnovej dĺžky v danej oblasti spektra k minimálnemu intervalu vlnových dĺžok rozlíšeným pomocou danej mriežky:

Podľa Rayleighovej podmienky sa dve blízke spektrálne čiary považujú za vyriešené (viditeľné samostatne) (obrázok 22), ak sa maximum jednej zhoduje s najbližším minimom druhej, t.j.

odtiaľto dostaneme:

. (70)

Rozlíšenie závisí od poradia spektra a celkového počtu štrbín v mriežke.

Schopnosť difrakčnej mriežky rozložiť biele svetlo na spektrum umožňuje použiť ju ako rozptylové zariadenie v spektrálnych prístrojoch.


Obrázok 22

Poznaním mriežkovej konštanty a meraním difrakčného uhla je možné určiť spektrálne zloženie žiarenia z neznámeho zdroja žiarenia. V tomto laboratórne práce na určenie vlnovej dĺžky sa používa difrakčná mriežka.

Popis inštalácie

Na presné meranie difrakčných uhlov toto laboratórium používa zariadenie nazývané goniometer. Schematická štruktúra goniometra je znázornená na obrázku 23.

Hlavné časti goniometra: kruh s dielikmi upevnenými na spoločnej osi - číselník, kolimátor, ďalekohľad a stolík s difrakčnou mriežkou.

Kolimátor je navrhnutý tak, aby vytváral paralelný zväzok lúčov. Skladá sa z vonkajšieho tubusu, v ktorom je upevnená šošovka L, a vnútorného tubusu so vstupnou štrbinou S. Šírka štrbiny sa dá nastaviť mikrometrickou skrutkou. Štrbina je umiestnená v ohniskovej rovine šošovky L, takže z kolimátora vychádza paralelný zväzok lúčov.


Obrázok 23

Ďalekohľad sa tiež skladá z dvoch tubusov: vonkajšieho, v ktorom je upevnená šošovka M, a vnútorného, ​​v ktorom je upevnený okulár N. Zámerný závit je umiestnený v ohniskovej rovine šošovky. Ak je prístroj nastavený, je dobre viditeľný zámerný kríž a obraz osvetlenej kolimačnej štrbiny v zornom poli okuláru.

Končatina je rozdelená na 360 stupňov, vzdialenosť medzi stupňovými dielmi je rozdelená na dve časti po 30 minút, t.j. Cena ciferníka je 30 minút. Pre presnejšie meranie uhlov slúži nonius H, ktorý má 30 dielikov, ktorých celková dĺžka je 29 dielikov ciferníka. Preto sa presnosť delenia nónia Dl rovná:

,

pretože ,

kde l je cena dielika číselníka, n je počet dielikov nónia,

c je cena delenia noniusom.

Ak je hodnota dielika stupnice 30 minút a nónius obsahuje 30 dielikov, potom je presnosť delenia nónia rovná jednej minúte.

Uhol goniometra sa meria nasledovne. Zaznamená sa počet celočíselných dielikov na stupnici oproti nule na číselníku (počet sa berie od nuly na číselníku), potom sa vykoná počítanie pozdĺž nóniovej stupnice: vyberie sa delenie nónia, ktoré sa zhoduje s akýmkoľvek dielom číselníka. . Nameraný uhol bude:

, (71)

kde k je počet dielikov na stupnici číselníka;

m je počet dielikov nonie predtým, ako sa dielik presne zhoduje s dielikom číselníkovej stupnice;

l – cena delenia končatín;

Δl – presnosť nónia.

V prípade znázornenom na obrázku 24 je počet dielikov číselníka na 0 nónius 19,5, čo zodpovedá 19 stupňom a 30 minútam.


Obrázok 24

Nula nónia sa nezhoduje s dielikmi ciferníka, piate dielik nónia sa zhoduje. Preto je referenčný uhol 19 stupňov a 35 minút.

Na stôl goniometra je namontovaná difrakčná mriežka tak, že jej rovina smerujúca k ďalekohľadu sa zhoduje s priemerom stola. Stôl goniometra je inštalovaný tak, aby difrakčná mriežka bola kolmá na os kolimátora. Štrbina kolimátora je osvetlená ortuťovou výbojkou.

Ak je ďalekohľad inštalovaný pozdĺž osi kolimátora, potom je v zornom poli viditeľný obraz štrbiny - hlavné maximum nultého rádu. Keď je ďalekohľad posunutý doprava alebo doľava, môžete najskôr vidieť modré, potom zelené a žlté čiary spektra prvého rádu. Pri ďalšom otáčaní ďalekohľadu do jeho zorného poľa sa v rovnakom poradí objavia spektrálne čiary druhého rádu, potom tretieho atď.

Na určenie difrakčného uhla akejkoľvek vlny je potrebné nasmerovať zameriavací závit ďalekohľadu na stred čiary zodpovedajúcej farby vľavo od nulového maxima, upevniť skrutku, ktorá upevňuje polohu tubusu a zmerajte uhol, napríklad b 1, potom po uvoľnení skrutky nasmerujte zameriavací závit ďalekohľadu do stredu čiary rovnakej farby v rovnakom spektrálnom poradí napravo od nulového maxima , Po zaistení skrutky zmerajte uhol b 2. Rozdiel v odčítaní poskytne dvojnásobok difrakčného uhla (obrázok 25) a difrakčný uhol sa bude rovnať:


Obrázok 25

Niektoré zo známych efektov, ktoré potvrdzujú vlnovú povahu svetla, sú difrakcia a interferencia. Ich hlavnou oblasťou použitia je spektroskopia, v ktorej sa difrakčné mriežky používajú na analýzu spektrálneho zloženia elektromagnetického žiarenia. Vzorec, ktorý popisuje polohu hlavných maxím daných touto mriežkou, je diskutovaný v tomto článku.

Pred uvažovaním o odvodení vzorca difrakčnej mriežky sa oplatí oboznámiť sa s javmi, ktoré robia mriežku užitočnou, teda s difrakciou a interferenciou.

Difrakcia je proces zmeny pohybu čela vlny, keď na svojej ceste narazí na nepriehľadnú prekážku, ktorej rozmery sú porovnateľné s vlnovou dĺžkou. Napríklad, ak prejdete cez malý otvor slnečné svetlo, potom na stene možno pozorovať nie malý svetelný bod (čo by sa malo stať, ak by sa svetlo šírilo priamočiaro), ale svetelný bod nejakej veľkosti. Táto skutočnosť naznačuje vlnovú povahu svetla.

Rušenie je ďalším fenoménom, ktorý je typický len pre vlny. Jeho podstata spočíva v superpozícii vĺn na seba. Ak sú oscilácie vĺn z viacerých zdrojov konzistentné (koherentné), potom možno pozorovať stabilný vzor striedania svetlých a tmavých oblastí na obrazovke. Minimá na takomto obrázku sú vysvetlené príchodom vĺn do daného bodu v protifáze (pi a -pi) a maximá sú výsledkom vĺn, ktoré prídu do príslušného bodu v rovnakej fáze (pi a pi).

Oba opísané javy prvýkrát vysvetlil Angličan Thomas Young, keď v roku 1801 študoval difrakciu monochromatického svetla dvomi tenkými štrbinami.

Huygensov-Fresnelov princíp a aproximácie vzdialeného a blízkeho poľa

Matematický popis javov difrakcie a interferencie je netriviálna úloha. Nájdenie jeho presného riešenia si vyžaduje zložité výpočty zahŕňajúce Maxwellovu teóriu elektromagnetických vĺn. Napriek tomu v 20. rokoch 19. storočia Francúz Augustin Fresnel ukázal, že pomocou Huygensových predstáv o sekundárnych zdrojoch vĺn možno tieto javy úspešne popísať. Táto myšlienka viedla k formulácii Huygensovho-Fresnelovho princípu, ktorý je v súčasnosti základom odvodzovania všetkých vzorcov pre difrakciu prekážkami ľubovoľného tvaru.

Napriek tomu aj pomocou Huygensovho-Fresnelovho princípu na vyriešenie problému difrakcie v všeobecný pohľad zlyháva, preto sa pri získavaní vzorcov uchyľujú k niektorým aproximáciám. Hlavná je rovinná vlna. Práve tento priebeh musí dopadnúť na prekážku, aby sa zjednodušilo množstvo matematických výpočtov.

Ďalšia aproximácia spočíva v polohe obrazovky, kde sa difrakčný obrazec premieta vzhľadom na prekážku. Táto poloha je opísaná Fresnelovým číslom. Počíta sa to takto:

Kde a sú geometrické rozmery prekážky (napríklad štrbina alebo kruhový otvor), λ je vlnová dĺžka, D je vzdialenosť medzi clonou a prekážkou. Ak pre konkrétny experiment F<<1 (<0,001), тогда говорят о приближении дальнего поля. Соответствующая ему дифракция носит фамилию Фраунгофера. Если же F>1, potom dôjde k aproximácii blízkeho poľa alebo Fresnelovej difrakcii.

Rozdiel medzi Fraunhoferovou a Fresnelovou difrakciou spočíva v rozdielnych podmienkach pre interferenčný jav v malej a veľkej vzdialenosti od prekážky.

Odvodenie vzorca pre hlavné maximá difrakčnej mriežky, ktoré bude uvedené neskôr v článku, predpokladá Fraunhoferovu difrakciu.

Difrakčná mriežka a jej typy

Táto mriežka je doska zo skla alebo priehľadného plastu s veľkosťou niekoľkých centimetrov, na ktorej sú nanesené nepriehľadné ťahy rovnakej hrúbky. Ťahy sú umiestnené v konštantnej vzdialenosti d od seba. Táto vzdialenosť sa nazýva mriežková perióda. Dve ďalšie dôležité charakteristiky zariadenia sú mriežková konštanta a a počet priehľadných štrbín N. Hodnota a určuje počet štrbín na 1 mm dĺžky, takže je nepriamo úmerná perióde d.

Existujú dva typy difrakčných mriežok:

  • Transparentný, ktorý je popísaný vyššie. Difrakčný obrazec z takejto mriežky vzniká ako výsledok prechodu čela vlny cez ňu.
  • Reflexné. Vyrába sa nanášaním malých drážok na hladký povrch. Difrakcia a interferencia z takejto dosky vznikajú v dôsledku odrazu svetla od vrchov každej drážky.

Bez ohľadu na typ mriežky, myšlienkou jej účinku na vlnoplochu je vytvoriť v nej periodické rušenie. To vedie k vytvoreniu veľkého počtu koherentných zdrojov, ktorých výsledkom interferencie je difrakčný obrazec na obrazovke.

Základný vzorec difrakčnej mriežky

Odvodenie tohto vzorca zahŕňa zváženie závislosti intenzity žiarenia od uhla jeho dopadu na obrazovku. Pri aproximácii vzdialeného poľa sa získa nasledujúci vzorec pre intenzitu I(θ):

I(θ) = Io*(sin(β)/β)2*2, kde

a = pi*d/λ*(sin(θ) - sin(θ 0));

β = pi*a/λ*(sin(θ) - sin(θ 0)).

Vo vzorci je šírka štrbiny difrakčnej mriežky označená symbolom a. Preto je multiplikátor v zátvorkách zodpovedný za difrakciu na jednej štrbine. Hodnota d je perióda difrakčnej mriežky. Vzorec ukazuje, že faktor v hranatých zátvorkách, kde sa toto obdobie objavuje, opisuje interferenciu zo súboru štrbín mriežky.

Pomocou vyššie uvedeného vzorca môžete vypočítať hodnotu intenzity pre akýkoľvek uhol dopadu svetla.

Ak nájdeme hodnotu maxím intenzity I(θ), môžeme dospieť k záveru, že sa objavujú za predpokladu, že α = m*pi, kde m je ľubovoľné celé číslo. Pre podmienku maxima dostaneme:

m*pi = pi*d/λ*(sin(θ m) — sin(θ 0)) =>

sin(θ m) - sin(θ 0) = m*λ/d.

Výsledný výraz sa nazýva vzorec maxima difrakčnej mriežky. Čísla m sú rádom difrakcie.

Iné spôsoby, ako napísať základný vzorec pre mriežku

Všimnite si, že vzorec uvedený v predchádzajúcom odseku obsahuje výraz sin(θ 0). Tu uhol 90 odráža smer dopadu čela svetelnej vlny vzhľadom na rovinu mriežky. Keď čelo padá rovnobežne s touto rovinou, potom θ 0 = 0o. Potom dostaneme výraz pre maximá:

Pretože mriežková konštanta a (nezamieňať so šírkou štrbiny) je nepriamo úmerná d, vyššie uvedený vzorec možno prepísať z hľadiska difrakčnej mriežkovej konštanty ako:

Aby ste sa vyhli chybám pri dosadzovaní konkrétnych čísel λ, a a d do týchto vzorcov, mali by ste vždy používať príslušné jednotky SI.

Koncept uhlového rozptylu mriežky

Túto veličinu budeme označovať písmenom D. Podľa matematickej definície sa zapisuje takto:

Fyzikálny význam uhlovej disperzie D je taký, že ukazuje, o aký uhol dθ m sa posunie maximum pre difrakčný rád m, ak sa dopadajúca vlnová dĺžka zmení o dλ.

Ak použijeme tento výraz na mriežkovú rovnicu, dostaneme vzorec:

Uhlová disperzia difrakčnej mriežky je určená vyššie uvedeným vzorcom. Je vidieť, že hodnota D závisí od rádu m a periódy d.

Čím väčšia je disperzia D, tým vyššie je rozlíšenie danej mriežky.

Rozlíšenie mriežky

Rozlíšenie je chápané ako fyzikálna veličina, ktorá ukazuje, o akú minimálnu hodnotu sa môžu dve vlnové dĺžky líšiť tak, aby sa ich maximá objavili v difrakčnom obrazci oddelene.

Rozlíšenie je určené Rayleighovým kritériom. Hovorí: dve maximá môžu byť oddelené v difrakčnom obrazci, ak je vzdialenosť medzi nimi väčšia ako polovičná šírka každého z nich. Uhlová polovičná šírka maxima pre mriežku je určená vzorcom:

Aθ 1/2 = A/(N*d*cos(0m)).

Rozlíšenie mriežky podľa Rayleighovho kritéria sa rovná:

Δθm >Δθ 1/2 alebo D*Δλ>Δθ 1/2.

Nahradením hodnôt D a Δθ 1/2 dostaneme:

Δλ*m/(d*cos(θm))>λ/(N*d*cos(θm) =>

Aλ > A/(m*N).

Toto je vzorec pre rozlíšenie difrakčnej mriežky. Čím väčší je počet čiar N na platni a čím vyšší je rád difrakcie, tým väčšie je rozlíšenie pre danú vlnovú dĺžku λ.

Difrakčná mriežka v spektroskopii

Znova napíšme základnú rovnicu maxima pre mriežku:

Tu môžete vidieť, že čím dlhšia vlnová dĺžka dopadá na platňu s pruhmi, tým väčšie sú uhly, na obrazovke sa objavia maximá. Inými slovami, ak cez platňu prechádza nemonochromatické svetlo (napríklad biele), potom môžete na obrazovke vidieť vzhľad maximálnych farieb. Počnúc od centrálneho bieleho maxima (difrakcia nultého rádu) sa objavia ďalšie maximá pre kratšie vlnové dĺžky (fialová, modrá) a potom pre dlhšie (oranžová, červená).

Ďalším dôležitým záverom z tohto vzorca je závislosť uhla θ m od difrakčného rádu. Čím väčšie m, tým väčšia hodnota θ m. To znamená, že farebné čiary budú od seba viac oddelené pri maximách pre vysoký rád difrakcie. Táto skutočnosť bola zdôraznená už pri posudzovaní rozlíšenia mriežky (pozri predchádzajúci odsek).

Opísané schopnosti difrakčnej mriežky umožňujú jej využitie na analýzu emisných spektier rôznych svietiacich objektov, vrátane vzdialených hviezd a galaxií.

Príklad riešenia problému

Ukážeme vám, ako použiť vzorec difrakčnej mriežky. Vlnová dĺžka svetla, ktoré dopadá na mriežku, je 550 nm. Je potrebné určiť uhol, pri ktorom dochádza k difrakcii prvého rádu, ak je perióda d 4 µm.

Všetky údaje prevedieme na jednotky SI a dosadíme túto rovnicu:

01 = arcsin(550*10-9/(4*10-6)) = 7,9o.

Ak je obrazovka umiestnená vo vzdialenosti 1 meter od mriežky, potom sa od stredu centrálneho maxima objaví čiara prvého rádu difrakcie pre vlnu 550 nm vo vzdialenosti 13,8 cm, čo zodpovedá uhol 7,9o.

Difrakčná mriežka

Veľmi veľká reflexná difrakčná mriežka.

Difrakčná mriežka- optické zariadenie fungujúce na princípe difrakcie svetla je kombinácia veľké číslo pravidelne rozmiestnené ťahy (štrbiny, výstupky) aplikované na určitý povrch. Prvý opis tohto javu urobil James Gregory, ktorý použil vtáčie perie ako mriežku.

Typy mriežok

  • Reflexné: Ťahy sa aplikujú na zrkadlový (kovový) povrch a pozorovanie sa vykonáva v odrazenom svetle
  • Transparentné: Ťahy sú aplikované na priehľadný povrch (alebo vyrezané vo forme štrbín na nepriehľadnej obrazovke), pozorovanie sa vykonáva v prechádzajúcom svetle.

Popis javu

Takto vyzerá svetlo zo žiarovky, keď prechádza cez priehľadnú difrakčnú mriežku. nulové maximum ( m=0) zodpovedá svetlu prechádzajúcemu cez mriežku bez odchýlky. V dôsledku mriežkovej disperzie v prvej ( m=±1) maximálne možno pozorovať rozklad svetla na spektrum. Uhol vychýlenia sa zvyšuje s vlnovou dĺžkou (od fialovej po červenú)

Predná strana svetelnej vlny je rozdelená mriežkovými tyčami na samostatné lúče koherentného svetla. Tieto lúče podliehajú difrakcii pruhmi a navzájom sa rušia. Keďže každá vlnová dĺžka má svoj vlastný difrakčný uhol, biele svetlo sa rozkladá na spektrum.

Vzorce

Vzdialenosť, cez ktorú sa opakujú čiary na mriežke, sa nazýva perióda difrakčnej mriežky. Určené listom d.

Ak je známy počet úderov ( N), na 1 mm mriežky, potom sa perióda mriežky zistí pomocou vzorca: 0,001 / N

Vzorec difrakčnej mriežky:

d- perióda mriežky, α - maximálny uhol danej farby, k- rád maxima, λ - vlnová dĺžka.

Charakteristika

Jednou z charakteristík difrakčnej mriežky je uhlová disperzia. Predpokladajme, že pod uhlom φ pre vlnovú dĺžku λ a pod uhlom φ+Δφ pre vlnovú dĺžku λ+Δλ pozorujeme maximum nejakého rádu. Uhlový rozptyl mriežky sa nazýva pomer D=Δφ/Δλ. Výraz pre D možno získať diferenciáciou vzorca difrakčnej mriežky

Uhlový rozptyl sa teda zvyšuje s klesajúcou periódou mriežky d a zvýšenie poradia spektra k.

Výroba

Dobré mriežky vyžadujú veľmi vysokú presnosť výroby. Ak je aspoň jeden z mnohých slotov umiestnený s chybou, mriežka bude chybná. Stroj na výrobu roštov je pevne a hlboko zabudovaný do špeciálneho základu. Pred začatím samotnej výroby roštov stroj beží 5-20 hodín na voľnobeh, aby sa stabilizovali všetky jeho komponenty. Rezanie mriežky trvá až 7 dní, aj keď doba zdvihu je 2-3 sekundy.

Aplikácia

Difrakčné mriežky sa používajú v spektrálnych prístrojoch, tiež ako optické snímače lineárnych a uhlových posunov (meracie difrakčné mriežky), polarizátory a filtre infračerveného žiarenia, rozdeľovače lúčov v interferometroch a takzvané „antireflexné“ sklá.

Literatúra

  • Sivukhin D.V. Všeobecný kurz fyzika. - 3. vydanie, stereotypné. - M.: Fizmatlit, MIPT, 2002. - T. IV. Optika. - 792 s. - ISBN 5-9221-0228-1
  • Tarasov K.I., Spektrálne zariadenia, 1968

pozri tiež

  • Fourierova optika

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite si, čo je „Difrakčná mriežka“ v iných slovníkoch:

    Optické zariadenie; súbor veľkého počtu paralelných štrbín v nepriehľadnej obrazovke alebo reflexných zrkadlových pásoch (pruhoch), rovnomerne od seba vzdialených, na ktorých dochádza k difrakcii svetla. Difrakčná mriežka sa rozkladá...... Veľký encyklopedický slovník

    DIFRAKČNÁ MRIEŽKA, doska s rovnobežnými čiarami nanesenými v rovnakých vzdialenostiach od seba (až 1500 na 1 mm), ktorá slúži na získanie SPEKTRA pri DIFRAKCII svetla. Mriežky prevodovky sú priehľadné a obložené... ... Vedecko-technický encyklopedický slovník

    difrakčná mriežka- Zrkadlový povrch s mikroskopickými rovnobežnými čiarami, zariadenie, ktoré oddeľuje (ako hranol) svetlo naň dopadajúce na jednotlivé farby viditeľného spektra. Témy informačných technológií v...

    difrakčná mriežka- difrakcinė gardelė statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Optinis periodinės sandaros įtaisas difrakciniams spektrams gauti. atitikmenys: angl. difrakčná mriežka vok. Beugungsgitter, n; Diffraktionsgitter, n rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

    Optické zariadenie, súbor veľkého počtu paralelných štrbín v nepriehľadnej obrazovke alebo reflexných zrkadlových ťahov (pásov), rovnomerne od seba vzdialených, na ktorých dochádza k difrakcii svetla. DR. rozkladá svetlo dopadajúce na... ... Astronomický slovník

    difrakčná mriežka (v optických komunikačných linkách)- difrakčná mriežka Optický prvok s periodickou štruktúrou, ktorý odráža (alebo prepúšťa) svetlo pod jedným alebo viacerými rôznymi uhlami v závislosti od vlnovej dĺžky. Základ tvoria periodicky sa opakujúce zmeny ukazovateľa... ... Technická príručka prekladateľa

    konkávna spektrálna difrakčná mriežka- Spektrálna difrakčná mriežka vyrobená na konkávnom optickom povrchu. Poznámka Konkávne spektrálne difrakčné mriežky sú dostupné v sférických a asférických typoch. [GOST 27176 86] Témy: optika, optické prístroje a merania... Technická príručka prekladateľa

    hologramová spektrálna difrakčná mriežka- Spektrálna difrakčná mriežka vyrobená záznamom interferenčného obrazca z dvoch alebo viacerých koherentných lúčov na materiál citlivý na žiarenie. [GOST 27176 86] Témy: optika, optické prístroje a merania... Technická príručka prekladateľa

    závitová spektrálna difrakčná mriežka- Spektrálna difrakčná mriežka vyrobená nanášaním pruhov na deliacom stroji. [GOST 27176 86] Témy: optika, optické prístroje a merania... Technická príručka prekladateľa