Riešte skúšobné rovnice. Iracionálne rovnice

Video kurz „Získaj A“ obsahuje všetky témy potrebné pre úspech zloženie jednotnej štátnej skúšky v matematike za 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie Základnej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s 90-100 bodmi, musíte časť 1 vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na Jednotnú štátnu skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a nezaobíde sa bez nich ani 100-bodový študent, ani študent humanitných vied.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, úskalia a tajomstvá Jednotnej štátnej skúšky. Všetky aktuálne úlohy 1. časti z FIPI Task Bank boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám Jednotnej štátnej skúšky 2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky úloh jednotnej štátnej skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh jednotnej štátnej skúšky. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Jasné vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklad pre riešenie zložitých problémov 2. časti jednotnej štátnej skúšky.

Dnes si precvičíme zručnosť riešenia úlohy 5 Jednotnej štátnej skúšky - nájdite koreň rovnice. Hľadajme koreň rovnice. Pozrime sa na príklady riešenia tohto typu úloh. Najprv si však pripomeňme, čo znamená nájsť koreň rovnice?

To znamená nájsť číslo zašifrované pod x, ktoré dosadíme na miesto x a naša rovnica bude skutočná rovnosť.

Napríklad 3x=9 je rovnica a 3 . 3=9 je už skutočná rovnosť. Teda v v tomto prípade, namiesto x sme dosadili číslo 3 - dostali sme správny výraz alebo rovnosť, to znamená, že sme rovnicu vyriešili, teda našli sme dané číslo x = 3, čím sa rovnica zmení na správnu rovnosť.

To je to, čo urobíme - nájdeme koreň rovnice.

Úloha 1 - nájdite koreň rovnice 2 1-4x =32

Toto exponenciálna rovnica. Rieši sa to takto: je potrebné, aby vľavo aj vpravo od znamienka „rovná sa“ bol stupeň s rovnakým základom.

Na ľavej strane máme základňu stupňa 2 a na pravej strane nie je žiadny stupeň. Ale vieme, že 32 je 2 ku piatej mocnine. To znamená, 32 = 2 5

Naša rovnica teda bude vyzerať takto: 2 1-4x = 2 5

Naľavo a napravo sú naše exponenty rovnaké, čo znamená, že na to, aby sme mali rovnosť, musia byť rovnaké aj exponenty:

Dostaneme obyčajná rovnica. Riešime obvyklým spôsobom - všetky neznáme necháme vľavo a známe presunieme doprava, dostaneme:

Skontrolujeme: 2 1-4(-1) =32

Našli sme koreň rovnice. Odpoveď: x=-1.

Nájdite koreň rovnice sami v nasledujúcich úlohách:

b) 21-3x = 128

Úloha 2 - nájdite koreň rovnice

Rovnicu riešime podobným spôsobom – zmenšením ľavej a pravej strany rovnice na rovnaký mocninový základ. V našom prípade - na základňu stupňa 2.

Používame nasledujúcu vlastnosť stupňa:

Pomocou tejto vlastnosti dostaneme pre pravú stranu našej rovnice:

Ak sú základy stupňa rovnaké, potom sú exponenty rovnaké:

Odpoveď: x=9.

Urobme kontrolu - dosaďte zistenú hodnotu x do pôvodnej rovnice - ak dostaneme správnu rovnosť, tak sme rovnicu vyriešili správne.

Koreň rovnice sme našli správne.

Úloha 3 - nájdite koreň rovnice

Všimnite si, že vpravo máme 1/8 a 1/8 je

Potom bude naša rovnica napísaná takto:

Ak sú základy stupňa rovnaké, potom sú exponenty rovnaké, dostaneme jednoduchú rovnicu:

Odpoveď: x=5. Vykonajte kontrolu sami.

Úloha 4 - nájdite koreň rovnice log 3 (15)=log 3 2

Táto rovnica sa dá vyriešiť rovnakým spôsobom ako exponenciálna. Potrebujeme, aby základy logaritmov naľavo a napravo od znamienka rovnosti boli rovnaké. Teraz sú rovnaké, čo znamená, že dávame rovnítko medzi tie výrazy, ktoré sú pod znakom logaritmov:

Odpoveď: x=13

Úloha 5 - nájdite koreň rovnice log 3 (3-x)=3

Číslo 3 je log 3 27. Aby bolo jasné, pod dolným indexom pod znamienkom logaritmu je číslo, ktoré je umocnené, v našom prípade 3, pod znamienkom logaritmu je číslo, ktoré sa získalo pri umocnení - toto je 27 a samotný logaritmus je exponent, na ktorý sa musí zvýšiť 3, aby sa získalo 27.

Pozri sa na obrázok:

Akékoľvek číslo teda možno zapísať ako logaritmus. V tomto prípade je veľmi vhodné zapísať číslo 3 ako logaritmus so základom 3. Dostaneme:

log 3 (3-x) = log 3 27

Základy logaritmov sú rovnaké, čo znamená, že čísla pod logaritmickým znamienkom sú rovnaké:

Skontrolujme to:

log3(3-(-24))=log3 27

log 3 (3+24)= log 3 27

log 3 27=log 3 27

Odpoveď: x=-24.

Nájdite koreň rovnice. Úloha 6.

log 2 (x+3)=log 2 (3x-15)

Kontrola: denník 2 (9+3)= denník 2 (27-15)

log 2 12=log 2 12

Odpoveď: x=9.

Nájdite koreň rovnice. Úloha 7.

log 2 (14-2x) = 2 log 2 3

log 2 (14-2x) = log 2 3 2

Kontrola: log 2 (14-5)=2 log 2 3

log 2 9 = 2 log 2 3

log 2 3 2 = 2 log 2 3

2log 2 3=2log 2 3

Odpoveď: x = 2,5

Pripravte sa na Jednotnú štátnu skúšku a Jednotnú štátnu skúšku – pozrite si predchádzajúce témy a.

Rovnice, časť $C$

Rovnosť obsahujúca neznáme číslo, označená písmenom, sa nazýva rovnica. Výraz naľavo od znamienka rovnosti sa nazýva ľavá strana rovnice a výraz napravo sa nazýva pravá strana rovnice.

Schéma riešenia zložitých rovníc:

  1. Pred riešením rovnice si musíte zapísať jej oblasť prijateľné hodnoty(ODZ).
  2. Vyriešte rovnicu.
  3. Zo získaných koreňov rovnice vyberte tie, ktoré spĺňajú ODZ.

ODZ rôznych výrazov (výrazom rozumieme alfanumerický zápis):

1. Výraz v menovateli sa nesmie rovnať nule.

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. Radikálny výraz nesmie byť negatívny.

$√(g(x)); g(x) ≥ 0 $.

3. Radikálny výraz v menovateli musí byť kladný.

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0 $

4. Pre logaritmus: sublogaritmický výraz musí byť kladný; základ musí byť pozitívny; Základ sa nemôže rovnať jednej.

$log_(f(x))g(x)\table\(\g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Logaritmické rovnice

Logaritmické rovnice sú rovnice v tvare $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, kde $a$ je kladné číslo odlišné od $1$, a rovnice, ktoré sa redukujú na tento tvar.

Na riešenie logaritmických rovníc potrebujete poznať vlastnosti logaritmov: zvážime všetky vlastnosti logaritmov pre $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – akékoľvek reálne číslo.

1. Pre akékoľvek reálne čísla $m$ a $n$ platia rovnosti:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov s rovnakým základom každého faktora.

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. Logaritmus podielu sa rovná rozdielu medzi logaritmami čitateľa a menovateľa pri použití rovnakého základu

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. Pri násobení dvoch logaritmov môžete zameniť ich základy

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$, ak $a, b, c$ a $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, kde $a, b, c > 0, a≠1$

6. Vzorec na presun na novú základňu

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. Najmä ak je potrebné zameniť základný a sublogaritmický výraz

$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$

Existuje niekoľko hlavných typov logaritmických rovníc:

Najjednoduchšie logaritmické rovnice: $log_(a)x=b$. Riešenie tohto typu rovnice vyplýva z definície logaritmu, t.j. $x=a^b$ a $x > 0$

Predstavme si obe strany rovnice ako logaritmus na základ $2$

$log_(2)x=log_(2)2^3$

Ak sú logaritmy s rovnakým základom rovnaké, potom sú rovnaké aj sublogaritmické výrazy.

Odpoveď: x $ = 8 $

Rovnice tvaru: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. Pretože základy sú rovnaké, potom dávame rovnítko medzi sublogaritmické výrazy a berieme do úvahy ODZ:

$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, а > 0, а≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

Pretože základy sú rovnaké, potom dávame rovnítko medzi sublogaritmické výrazy

Presuňme všetky pojmy na ľavú stranu rovnice a predstavme podobné pojmy

Skontrolujme nájdené korene podľa podmienok $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

Pri dosadzovaní do druhej nerovnosti koreň $x=4$ nespĺňa podmienku, ide teda o cudzí koreň

Odpoveď: $x=-3$

  • Variabilná metóda výmeny.

Pri tejto metóde potrebujete:

  1. Zapíšte si rovnice ODZ.
  2. Pomocou vlastností logaritmov sa uistite, že rovnice vytvárajú identické logaritmy.
  3. Nahraďte $log_(a)f(x)$ ľubovoľnou premennou.
  4. Vyriešte rovnicu pre novú premennú.
  5. Vráťte sa na krok 3, nahraďte hodnotu premennej a získajte najjednoduchšiu rovnicu v tvare: $log_(a)x=b$
  6. Vyriešte najjednoduchšiu rovnicu.
  7. Po nájdení koreňov logaritmická rovnica je potrebné ich dať do odseku 1 a skontrolovať stav ODZ.

Vyriešte rovnicu $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. Zapíšme si rovnicu ODZ:

$\table\(\ x>0,\text"pretože je pod znamienkom koreňa a logaritmu";\ √x≠1→x≠1;$

2. Urobme logaritmy na základ $2$, na to použijeme pravidlo pre prechod na nový základ v druhom termíne:

$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$

4. Získame zlomkovú racionálnu rovnicu pre premennú t

Zredukujme všetky pojmy na spoločného menovateľa $t$.

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

Zlomok sa rovná nule, keď je čitateľ nula a menovateľ nie je nula.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Vyriešime výsledok kvadratická rovnica podľa Vietovej vety:

6. Vráťme sa ku kroku 3, urobme opačnú substitúciu a získame dve jednoduché logaritmické rovnice:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

Logaritmujeme pravé strany rovníc

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

Dajme rovnítko medzi sublogaritmické výrazy

$√x=2$, $√x=4$

Aby sme sa zbavili koreňa, odmocnime obe strany rovnice

$х_1=4$, $х_2= 16$

7. Nahradime korene logaritmickej rovnice v kroku 1 a skontrolujeme podmienku ODZ.

$\(\table\ 4 >0; \4≠1; $

Prvý koreň spĺňa ODZ.

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ Druhý koreň tiež spĺňa ODZ.

Odpoveď: 4 doláre; 16 dolárov

  • Rovnice v tvare $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. Takéto rovnice sa riešia zavedením novej premennej a prechodom na obyčajnú kvadratickú rovnicu. Po nájdení koreňov rovnice sa musia vybrať s prihliadnutím na ODZ.

Zlomkové racionálne rovnice

  • Ak je zlomok nula, potom je čitateľ nula a menovateľ nie je nula.
  • Ak aspoň jedna časť racionálnej rovnice obsahuje zlomok, potom sa rovnica nazýva zlomkovo-racionálna.

Ak chcete vyriešiť zlomkovú racionálnu rovnicu, musíte:

  1. Nájdite hodnoty premennej, pri ktorých rovnica nedáva zmysel (ODZ)
  2. Nájdite spoločného menovateľa zlomkov zahrnutých v rovnici;
  3. Vynásobte obe strany rovnice spoločným menovateľom;
  4. Vyriešte výslednú celú rovnicu;
  5. Vylúčiť z jej koreňov tie, ktoré nespĺňajú podmienku ODZ.
  • Ak rovnica obsahuje dva zlomky a čitatelia sú ich rovnakými výrazmi, potom je možné menovateľov priradiť k sebe a výslednú rovnicu je možné vyriešiť bez toho, aby sme venovali pozornosť čitateľom. ALE pri zohľadnení ODZ celej pôvodnej rovnice.

Exponenciálne rovnice

Exponenciálne rovnice sú tie, v ktorých je neznáma obsiahnutá v exponente.

Pri riešení exponenciálnych rovníc sa využívajú vlastnosti mocnín, pripomeňme si niektoré z nich:

1. Pri násobení mocnín s rovnakými základmi zostáva základ rovnaký a exponenty sa sčítavajú.

$a^n·a^m=a^(n+m)$

2. Pri delení stupňov s rovnakými základmi zostáva základ rovnaký a exponenty sa odčítajú

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. Pri zvýšení stupňa na mocninu zostáva základ rovnaký, ale exponenty sa násobia

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. Pri zvýšení výkonu produktu sa každý faktor zvýši na túto hodnotu

$(a b)^n=a^n b^n$

5. Pri umocnení zlomku na mocninu sa čitateľ a menovateľ zvýši na túto mocninu

$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$

6. Keď sa ktorýkoľvek základ zvýši na nulový exponent, výsledok sa rovná jednej

7. Základ v akomkoľvek zápornom exponente môže byť reprezentovaný ako základ v rovnakom kladnom exponente zmenou polohy základne vzhľadom na ťah zlomku.

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. Radikál (koreň) možno znázorniť ako mocninu so zlomkovým exponentom

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Typy exponenciálnych rovníc:

1. Jednoduché exponenciálne rovnice:

a) Tvar $a^(f(x))=a^(g(x))$, kde $a >0, a≠1, x$ nie je známy. Na riešenie takýchto rovníc využívame vlastnosť mocnín: mocniny s rovnakým základom ($a >0, a≠1$) sú rovnaké len vtedy, ak sú ich exponenty rovnaké.

b) Rovnica tvaru $a^(f(x))=b, b>0$

Na vyriešenie takýchto rovníc je potrebné obe strany zobrať logaritmicky k základu $a$

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. Metóda vyrovnávania základne.

3. Metóda faktorizácie a náhrady premenných.

  • Pre túto metódu je v celej rovnici podľa vlastnosti mocničiek potrebné transformovať mocniny do jedného tvaru $a^(f(x))$.
  • Vykonajte zmenu premennej $a^(f(x))=t, t > 0$.
  • Získame racionálnu rovnicu, ktorú je potrebné vyriešiť faktorizáciou výrazu.
  • Robíme spätné substitúcie s prihliadnutím na skutočnosť, že $t >

Vyriešte rovnicu $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

Pomocou vlastnosti mocnin výraz transformujeme tak, aby sme dostali mocninu 2^x.

$(2^x)^3-(7·(2^x)^2)/(2)+(7·2^x)/(2-1)=0$

Zmeňme premennú $2^x=t; t>0 $

Získame kubickú rovnicu tvaru

$t^3-(7t^2)/(2)+(7t)/(2)-1=0$

Vynásobte celú rovnicu 2 $, aby ste sa zbavili menovateľov

$2t^3-7t^2+7t-2=0$

Rozšírme ľavú stranu rovnice pomocou metódy zoskupenia

$(2t^3-2)-(7t^2-7t)=0$

Vyberme spoločný faktor $ 2 $ z prvej zátvorky a $ 7 t $ z druhej

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

Okrem toho v prvej zátvorke vidíme rozdiel vo vzorci kociek

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

Súčin je nula, keď je aspoň jeden z faktorov nulový

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

Poďme vyriešiť prvú rovnicu

Vyriešme druhú rovnicu cez diskriminant

$D=25-4·2·2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2 = -1; x_3=1$

Odpoveď: $-1; 0; 1 dolár

4. Metóda prevodu kvadratickej rovnice

  • Máme rovnicu v tvare $A·a^(2f(x))+B·a^(f(x))+C=0$, kde $A, B$ a $C$ sú koeficienty.
  • Urobíme náhradu $a^(f(x))=t, t > 0$.
  • Výsledkom je kvadratická rovnica v tvare $A·t^2+B·t+С=0$. Vyriešime výslednú rovnicu.
  • Robíme opačnú substitúciu s prihliadnutím na skutočnosť, že $t > 0$. Dostaneme najjednoduchšiu exponenciálnu rovnicu $a^(f(x))=t$, vyriešime ju a výsledok zapíšeme ako odpoveď.

Faktorizačné metódy:

  • Vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek.

Ak chcete rozdeliť polynóm vyňatím spoločného faktora zo zátvoriek, musíte:

  1. Určte spoločný faktor.
  2. Vydeľte ním daný polynóm.
  3. Zapíšte súčin spoločného činiteľa a výsledného podielu (tento podiel vložte do zátvoriek).

Faktor polynómu: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.

Spoločným faktorom tohto polynómu je $2a$, pretože všetky členy sú deliteľné $2$ a „a“. Ďalej nájdeme kvocient vydelenia pôvodného polynómu „2a“, dostaneme:

10 $a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

Toto je konečný výsledok faktorizácie.

Používanie skrátených vzorcov na násobenie

1. Druhá mocnina súčtu sa rozloží na druhú mocninu prvého čísla plus dvojnásobok súčinu prvého a druhého čísla a plus druhú mocninu druhého čísla.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. Druhá mocnina rozdielu sa rozloží na druhú mocninu prvého čísla mínus dvojnásobok súčinu prvého čísla a druhého a plus druhej mocniny druhého čísla.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. Rozdiel druhých mocnín sa rozloží na súčin rozdielu čísel a ich súčtu.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. Kocka súčtu sa rovná tretej mocnine prvého čísla plus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého s druhým číslom plus trojnásobok súčinu prvého štvorcom druhého čísla plus kocky druhého čísla. číslo.

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. Kocka rozdielu sa rovná tretej mocnine prvého čísla mínus trojnásobný súčin druhej mocniny prvého čísla druhým číslom plus trojnásobný súčin prvého štvorca druhého čísla a mínus tretia mocnina druhé číslo.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. Súčet kociek sa rovná súčinu súčtu čísel a parciálnej druhej mocniny rozdielu.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. Rozdiel kociek sa rovná súčinu rozdielu čísel a neúplnej druhej mocniny súčtu.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Metóda zoskupovania

Metódu zoskupovania je vhodné použiť, keď je potrebné faktorizovať polynóm s párnym počtom členov. Pri tejto metóde je potrebné zhromaždiť pojmy do skupín a z každej skupiny vybrať spoločný faktor. Po ich umiestnení do zátvoriek by niekoľko skupín malo dostať identické výrazy, potom túto zátvorku prevezmeme ako spoločný faktor a vynásobíme ju zátvorkou výsledného kvocientu.

Faktor polynóm $2a^3-a^2+4a-2$

Na rozklad tohto polynómu použijeme metódu zoskupovania členov, na to zoskupíme prvé dva a posledné dva členy, pričom je dôležité správne umiestniť znamienko pred druhé zoskupenie, dáme znamienko + a preto píšte pojmy s ich znamienkami v zátvorkách.

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

Po odstránení spoločných faktorov sme dostali pár rovnakých zátvoriek. Teraz túto zátvorku vyjmeme ako spoločný faktor.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Súčin týchto zátvoriek je konečným výsledkom faktorizácie.

Použitie kvadratického trinomického vzorca.

Ak existuje štvorcová trojčlenka v tvare $ax^2+bx+c$, potom ju možno rozšíriť podľa vzorca

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, kde $x_1$ a $x_2$ sú korene kvadratického trinomu