Riešenie zložitých USE rovníc. Úloha jednotnej štátnej skúšky: riešenie jednoduchých rovníc
Rovnice, časť $C$
Rovnosť obsahujúca neznáme číslo, označená písmenom, sa nazýva rovnica. Výraz naľavo od znamienka rovnosti sa nazýva ľavá strana rovnice a výraz napravo sa nazýva pravá strana rovnice.
Schéma riešenia zložitých rovníc:
- Pred riešením rovnice si musíte zapísať jej oblasť prijateľné hodnoty(ODZ).
- Vyriešte rovnicu.
- Zo získaných koreňov rovnice vyberte tie, ktoré spĺňajú ODZ.
ODZ rôznych výrazov (výrazom rozumieme alfanumerický zápis):
1. Výraz v menovateli sa nesmie rovnať nule.
$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$
2. Radikálny výraz nesmie byť negatívny.
$√(g(x)); g(x) ≥ 0 $.
3. Radikálny výraz v menovateli musí byť kladný.
$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0 $
4. Pre logaritmus: sublogaritmický výraz musí byť kladný; základ musí byť pozitívny; Základ sa nemôže rovnať jednej.
$log_(f(x))g(x)\table\(\g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$
Logaritmické rovnice
Logaritmické rovnice sú rovnice v tvare $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, kde $a$ je kladné číslo odlišné od $1$, a rovnice, ktoré sa redukujú na tento tvar.
Na riešenie logaritmických rovníc potrebujete poznať vlastnosti logaritmov: zvážime všetky vlastnosti logaritmov pre $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – akékoľvek reálne číslo.
1. Pre akékoľvek reálne čísla $m$ a $n$ platia rovnosti:
$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$
$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$
$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$
$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$
$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$
$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$
2. Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov s rovnakým základom každého faktora.
$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$
3. Logaritmus podielu sa rovná rozdielu medzi logaritmami čitateľa a menovateľa pri použití rovnakého základu
$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$
4. Pri násobení dvoch logaritmov môžete zameniť ich základy
$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$, ak $a, b, c$ a $d > 0, a≠1, b≠1.$
5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, kde $a, b, c > 0, a≠1$
6. Vzorec na presun na novú základňu
$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$
7. Najmä ak je potrebné zameniť základný a sublogaritmický výraz
$log_(a)b=(1)/(log_(b)a)$
Existuje niekoľko hlavných typov logaritmických rovníc:
Najjednoduchšie logaritmické rovnice: $log_(a)x=b$. Riešenie tohto typu rovnice vyplýva z definície logaritmu, t.j. $x=a^b$ a $x > 0$
Predstavme si obe strany rovnice ako logaritmus na základ $2$
$log_(2)x=log_(2)2^3$
Ak sú logaritmy s rovnakým základom rovnaké, potom sú rovnaké aj sublogaritmické výrazy.
Odpoveď: x $ = 8 $
Rovnice tvaru: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. Pretože základy sú rovnaké, potom dávame rovnítko medzi sublogaritmické výrazy a berieme do úvahy ODZ:
$\table\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, а > 0, а≠1;$
$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$
Pretože základy sú rovnaké, potom dávame rovnítko medzi sublogaritmické výrazy
Presuňme všetky pojmy na ľavú stranu rovnice a predstavme podobné pojmy
Skontrolujme nájdené korene podľa podmienok $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$
Pri dosadzovaní do druhej nerovnosti koreň $x=4$ nespĺňa podmienku, ide teda o cudzí koreň
Odpoveď: $x=-3$
- Variabilná metóda výmeny.
Pri tejto metóde potrebujete:
- Zapíšte si rovnice ODZ.
- Pomocou vlastností logaritmov sa uistite, že rovnice vytvárajú identické logaritmy.
- Nahraďte $log_(a)f(x)$ ľubovoľnou premennou.
- Vyriešte rovnicu pre novú premennú.
- Vráťte sa na krok 3, nahraďte hodnotu premennej a získajte najjednoduchšiu rovnicu v tvare: $log_(a)x=b$
- Vyriešte najjednoduchšiu rovnicu.
- Po nájdení koreňov logaritmickej rovnice ich musíte vložiť do kroku 1 a skontrolovať stav ODZ.
Vyriešte rovnicu $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$
1. Zapíšme si rovnicu ODZ:
$\table\(\ x>0,\text"pretože je pod znamienkom koreňa a logaritmu";\ √x≠1→x≠1;$
2. Urobme logaritmy na základ $2$, na to použijeme pravidlo pre prechod na nový základ v druhom termíne:
$log_(2)√x+(2)/(log_(2)√x)-3=0$
4. Získame zlomkovú racionálnu rovnicu pre premennú t
Zredukujme všetky pojmy na spoločného menovateľa $t$.
$(t^2+2-3t)/(t)=0$
Zlomok sa rovná nule, keď je čitateľ nula a menovateľ nie je nula.
$t^2+2-3t=0$, $t≠0$
5. Vyriešime výsledok kvadratická rovnica podľa Vietovej vety:
6. Vráťme sa ku kroku 3, urobme opačnú substitúciu a získame dve jednoduché logaritmické rovnice:
$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$
Logaritmujeme pravé strany rovníc
$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$
Dajme rovnítko medzi sublogaritmické výrazy
$√x=2$, $√x=4$
Aby sme sa zbavili koreňa, odmocnime obe strany rovnice
$х_1=4$, $х_2= 16$
7. Nahradime korene logaritmickej rovnice v kroku 1 a skontrolujeme podmienku ODZ.
$\(\table\ 4 >0; \4≠1; $
Prvý koreň spĺňa ODZ.
$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ Druhý koreň tiež spĺňa ODZ.
Odpoveď: 4 doláre; 16 dolárov
- Rovnice v tvare $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. Takéto rovnice sa riešia zavedením novej premennej a prechodom na obyčajnú kvadratickú rovnicu. Po nájdení koreňov rovnice sa musia vybrať s prihliadnutím na ODZ.
Zlomkové racionálne rovnice
- Ak je zlomok nula, potom je čitateľ nula a menovateľ nie je nula.
- Ak aspoň jedna časť racionálnej rovnice obsahuje zlomok, potom sa rovnica nazýva zlomkovo-racionálna.
Ak chcete vyriešiť zlomkovú racionálnu rovnicu, musíte:
- Nájdite hodnoty premennej, pri ktorých rovnica nedáva zmysel (ODZ)
- Nájdite spoločného menovateľa zlomkov zahrnutých v rovnici;
- Vynásobte obe strany rovnice spoločným menovateľom;
- Vyriešte výslednú celú rovnicu;
- Vylúčiť z jej koreňov tie, ktoré nespĺňajú podmienku ODZ.
- Ak rovnica obsahuje dva zlomky a čitatelia sú ich rovnakými výrazmi, potom je možné menovateľov priradiť k sebe a výslednú rovnicu je možné vyriešiť bez toho, aby sme venovali pozornosť čitateľom. ALE pri zohľadnení ODZ celej pôvodnej rovnice.
Exponenciálne rovnice
Exponenciálne rovnice sú tie, v ktorých je neznáma obsiahnutá v exponente.
Pri riešení exponenciálnych rovníc sa využívajú vlastnosti mocnín, pripomeňme si niektoré z nich:
1. Pri násobení mocnín s rovnakými základmi zostáva základ rovnaký a exponenty sa sčítavajú.
$a^n·a^m=a^(n+m)$
2. Pri delení stupňov s rovnakými základňami základ zostáva rovnaký a exponenty sa odčítajú
$a^n:a^m=a^(n-m)$
3. Pri zvýšení stupňa na mocninu zostáva základ rovnaký, ale exponenty sa násobia
$(a^n)^m=a^(n∙m)$
4. Pri zvýšení výkonu produktu sa každý faktor zvýši na túto hodnotu
$(a b)^n=a^n b^n$
5. Pri umocnení zlomku na mocninu sa čitateľ a menovateľ zvýši na túto mocninu
$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$
6. Keď sa ktorýkoľvek základ zvýši na nulový exponent, výsledok sa rovná jednej
7. Základ v akomkoľvek zápornom exponente môže byť reprezentovaný ako základ v rovnakom kladnom exponente zmenou polohy základne vzhľadom na ťah zlomku.
$a^(-n)=(1)/(a^n)$
$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$
8. Radikál (koreň) možno znázorniť ako mocninu so zlomkovým exponentom
$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$
Typy exponenciálnych rovníc:
1. Jednoduché exponenciálne rovnice:
a) Tvar $a^(f(x))=a^(g(x))$, kde $a >0, a≠1, x$ nie je známy. Na riešenie takýchto rovníc využívame vlastnosť mocnín: mocniny s rovnakým základom ($a >0, a≠1$) sú rovnaké len vtedy, ak sú ich exponenty rovnaké.
b) Rovnica tvaru $a^(f(x))=b, b>0$
Na vyriešenie takýchto rovníc je potrebné obe strany zobrať logaritmicky k základu $a$
$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$
2. Metóda vyrovnávania základne.
3. Metóda faktorizácie a náhrady premenných.
- Pre túto metódu je v celej rovnici podľa vlastnosti mocničiek potrebné transformovať mocniny do jedného tvaru $a^(f(x))$.
- Vykonajte zmenu premennej $a^(f(x))=t, t > 0$.
- Získame racionálnu rovnicu, ktorú je potrebné vyriešiť faktorizáciou výrazu.
- Robíme spätné substitúcie s prihliadnutím na skutočnosť, že $t >
Vyriešte rovnicu $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$
Pomocou vlastnosti mocnin výraz transformujeme tak, aby sme dostali mocninu 2^x.
$(2^x)^3-(7·(2^x)^2)/(2)+(7·2^x)/(2-1)=0$
Zmeňme premennú $2^x=t; t>0 $
Získame kubickú rovnicu tvaru
$t^3-(7t^2)/(2)+(7t)/(2)-1=0$
Vynásobte celú rovnicu 2 $, aby ste sa zbavili menovateľov
$2t^3-7t^2+7t-2=0$
Rozšírme ľavú stranu rovnice pomocou metódy zoskupenia
$(2t^3-2)-(7t^2-7t)=0$
Vyberme spoločný faktor $ 2 $ z prvej zátvorky a $ 7 t $ z druhej
$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$
Okrem toho v prvej zátvorke vidíme rozdiel vo vzorci kociek
$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$
Súčin je nula, keď je aspoň jeden z faktorov nulový
1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$
Poďme vyriešiť prvú rovnicu
Vyriešme druhú rovnicu cez diskriminant
$D=25-4·2·2=9=3^2$
$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$
$t_3=(5+3)/(4)=2$
$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$
$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$
$x_1=0; x_2 = -1; x_3=1$
Odpoveď: $-1; 0; 1 dolár
4. Metóda prevodu kvadratickej rovnice
- Máme rovnicu v tvare $A·a^(2f(x))+B·a^(f(x))+C=0$, kde $A, B$ a $C$ sú koeficienty.
- Urobíme náhradu $a^(f(x))=t, t > 0$.
- Výsledkom je kvadratická rovnica v tvare $A·t^2+B·t+С=0$. Vyriešime výslednú rovnicu.
- Robíme opačnú substitúciu s prihliadnutím na skutočnosť, že $t > 0$. Dostaneme to najjednoduchšie exponenciálna rovnica$a^(f(x))=t$, vyriešte to a výsledok napíšte ako odpoveď.
Metódy faktorizácie:
- Vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek.
Ak chcete rozdeliť polynóm vyňatím spoločného faktora zo zátvoriek, musíte:
- Určte spoločný faktor.
- Vydeľte ním daný polynóm.
- Zapíšte súčin spoločného činiteľa a výsledného podielu (tento podiel vložte do zátvoriek).
Faktor polynómu: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.
Spoločným faktorom tohto polynómu je $2a$, pretože všetky členy sú deliteľné $2$ a „a“. Ďalej nájdeme kvocient vydelenia pôvodného polynómu „2a“, dostaneme:
10 $a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$
Toto je konečný výsledok faktorizácie.
Používanie skrátených vzorcov na násobenie
1. Druhá mocnina súčtu sa rozloží na druhú mocninu prvého čísla plus dvojnásobok súčinu prvého a druhého čísla a plus druhú mocninu druhého čísla.
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. Druhá mocnina rozdielu sa rozloží na druhú mocninu prvého čísla mínus dvojnásobok súčinu prvého čísla a druhého a plus druhej mocniny druhého čísla.
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
3. Rozdiel druhých mocnín sa rozloží na súčin rozdielu čísel a ich súčtu.
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
4. Kocka súčtu sa rovná tretej mocnine prvého čísla plus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého s druhým číslom plus trojnásobok súčinu prvého štvorcom druhého čísla plus kocky druhého čísla. číslo.
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
5. Kocka rozdielu sa rovná tretej mocnine prvého čísla mínus trojnásobný súčin druhej mocniny prvého čísla druhým číslom plus trojnásobný súčin prvého štvorca druhého čísla a mínus tretia mocnina druhé číslo.
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
6. Súčet kociek sa rovná súčinu súčtu čísel a parciálnej druhej mocniny rozdielu.
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
7. Rozdiel kociek sa rovná súčinu rozdielu čísel a neúplnej druhej mocniny súčtu.
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Metóda zoskupovania
Metódu zoskupovania je vhodné použiť, keď je potrebné faktorizovať polynóm s párnym počtom členov. Pri tejto metóde je potrebné zhromaždiť pojmy do skupín a z každej skupiny vybrať spoločný faktor. Po ich umiestnení do zátvoriek by niekoľko skupín malo dostať identické výrazy, potom túto zátvorku prevezmeme ako spoločný faktor a vynásobíme ju zátvorkou výsledného kvocientu.
Faktor polynóm $2a^3-a^2+4a-2$
Na rozklad tohto polynómu použijeme metódu zoskupovania členov, na to zoskupíme prvé dva a posledné dva členy, pričom je dôležité správne umiestniť znamienko pred druhé zoskupenie, dáme znamienko + a preto píšte pojmy s ich znamienkami v zátvorkách.
$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$
Po odstránení spoločných faktorov sme dostali pár rovnakých zátvoriek. Teraz túto zátvorku vyjmeme ako spoločný faktor.
$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$
Súčin týchto zátvoriek je konečným výsledkom faktorizácie.
Použitie kvadratického trinomického vzorca.
Ak existuje štvorcová trojčlenka v tvare $ax^2+bx+c$, potom ju možno rozšíriť podľa vzorca
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, kde $x_1$ a $x_2$ sú korene kvadratického trinomu
Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.
Zhromažďovanie a používanie osobných údajov
Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.
Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.
Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné údaje zhromažďujeme:
- Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.
Ako používame vaše osobné údaje:
- Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
- Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
- Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
- Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.
Sprístupnenie informácií tretím stranám
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
- V prípade potreby v súlade so zákonom súdne konanie, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných dopytov alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
- V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.
Ochrana osobných údajov
Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.
Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.
Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet ( účtu) Google a prihláste sa: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
ROVNICE V POUŽITÍ V MATEMATICKÝCH PRÍKLADOCH A RIEŠENIACH Kravchenko N.A. Učiteľ matematiky, Stredná škola č. 891, Moskva Vzdelávacia prezentácia na prípravu na Jednotnú štátnu skúšku
OBSAH Abstrakt úlohy Príklad 1 (iracionálna rovnica) Príklad 2 (exponenciálna rovnica) Príklad 3 (iracionálna rovnica) Príklad 4 (zlomkovo-racionálna rovnica) Príklad 5 ( logaritmická rovnica) Príklad 6 (logaritmická rovnica) Príklad 7 (trigonometrická rovnica) Príklad 8 (exponenciálna rovnica) Príklad 9 (iracionálna rovnica) Príklad 10 (logaritmická rovnica)
TYP OTÁZKY: Rovnica. CHARAKTERISTIKA ÚLOHY: Jednoduchá exponenciálna, logaritmická, trigonometrická alebo iracionálna rovnica. KOMENTÁR: Rovnica sa v jednom kroku redukuje na lineárnu alebo kvadratickú (v tomto prípade musí byť v odpovedi uvedený iba jeden z koreňov - väčší alebo menší). Nesprávne odpovede sú spôsobené najmä aritmetickými chybami.
Vyriešte rovnicu. PRÍKLAD 1 Riešenie. Odmocnime to: Ďalej sa dostaneme tam, kde Odpoveď: -2
PRÍKLAD 2 Vyriešte rovnicu. Riešenie. Prejdime na jednu základňu stupňov: Od rovnosti základov prejdeme k rovnosti stupňov: Odkiaľ Odpoveď: 3
PRÍKLAD 3 Vyriešte rovnicu. Riešenie. Uveďme obe strany rovnice na tretiu mocninu: Po elementárnych transformáciách dostaneme: Odpoveď: 23
PRÍKLAD 4 Vyriešte rovnicu. Ak má rovnica viac ako jeden koreň, odpovedzte menším. Riešenie. Rozsah prijateľných hodnôt: x≠10. V tejto oblasti vynásobme menovateľom: Oba korene ležia v ODZ. Menšia je -3. odpoveď: -3
PRÍKLAD 5 Vyriešte rovnicu. Riešenie. Pomocou vzorca dostaneme: Odpoveď: 6
PRÍKLAD 6 Vyriešte rovnicu. Riešenie. Logaritmy dvoch výrazov sú rovnaké, ak sú samotné výrazy rovnaké a zároveň kladné: Kde získame Odpoveď: 6
PRÍKLAD 7 Vyriešte rovnicu. Odpovedzte s najmenším kladným koreňom. Riešenie. Poďme vyriešiť rovnicu:
Hodnoty zodpovedajú veľkým pozitívnym koreňom. Ak k = 1, potom x 1 = 6,5 a x 2 = 8,5. Ak k=0, potom x3=0,5 a x4=2,5. Hodnoty zodpovedajú menším hodnotám koreňov. Najmenšie kladné riešenie je 0,5. Odpoveď: 0,5
PRÍKLAD 8 Vyriešte rovnicu. Riešenie. Zmenšením ľavej a pravej strany rovnice na mocniny 6 dostaneme: Kde to znamená, Odpoveď: 2
PRÍKLAD 9 Vyriešte rovnicu. Riešenie. Umocnením oboch strán rovnice dostaneme: Samozrejme odkiaľ Odpoveď: 5
PRÍKLAD 10 Vyriešte rovnicu. Riešenie. Prepíšme rovnicu tak, aby existoval logaritmus so základňou 4 na oboch stranách: Ďalej je zrejmé, kde Odpoveď: -11
Použitý materiál bol prevzatý zo stránky: http://reshuege.ru Obrázok prevzatý z: http://images.yandex.ru/yandsearch?source=wiz&uinfo=sw-1263-sh-677-fw-1038-fh- 471- PD-1 & p = 3 & text = Rovnice%20Piktures & noreask = 1 & pos = 100 & rpt = simage & lr = 213 & img_url = http%3a%2f%2fwww.presentermedia.com%2flipart%2f003000%2f3804%2fddhaction_emath.
K téme: metodologický vývoj, prezentácie a poznámky
Projektová práca Metodika prípravy študentov na riešenie úloh na témy „Problémy s pohybom“ a „Problémy so zmesami a zliatinami“ zaradené do Jednotnej štátnej skúšky z matematiky.
Dominantnou myšlienkou federálnej zložky štátneho vzdelávacieho štandardu v matematike je intenzívny rozvoj logické myslenie, priestorová predstavivosť, alg...
PREDMETOVÉ ÚLOHY PRI VYUŽITÍ v matematike.
Vývoj a výber úloh na rozvoj vedomostí, zručností a schopností sú veľmi dôležitá úloha. Na dosiahnutie tohto cieľa sa využívajú dva typy problémov – čisto matematické a orientované na prax. Dni...