Mocninné alebo exponenciálne rovnice. Exponenciálne rovnice
Riešenie exponenciálnych rovníc. Príklady.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Čo sa stalo exponenciálna rovnica? Toto je rovnica, v ktorej sú neznáme (x) a výrazy s nimi ukazovatele niektoré stupne. A len tam! To je dôležité.
Tak tu si príklady exponenciálnych rovníc:
3 x 2 x = 8 x + 3
Poznámka! V základoch stupňov (nižšie) - iba čísla. IN ukazovatele stupne (vyššie) - široká škála výrazov s X. Ak sa náhle X objaví v rovnici niekde inde ako indikátor, napríklad:
toto už bude rovnica zmiešaného typu. Takéto rovnice nemajú jasné pravidlá na ich riešenie. Zatiaľ ich nebudeme zvažovať. Tu sa budeme zaoberať riešenie exponenciálnych rovníc vo svojej najčistejšej forme.
V skutočnosti ani čisté exponenciálne rovnice nie sú vždy vyriešené jasne. Existujú však určité typy exponenciálnych rovníc, ktoré sa dajú a mali by vyriešiť. Toto sú typy, ktoré zvážime.
Riešenie jednoduchých exponenciálnych rovníc.
Najprv poďme vyriešiť niečo úplne základné. Napríklad:
Aj bez akýchkoľvek teórií je jednoduchým výberom jasné, že x = 2. Nič viac, však!? Žiadna iná hodnota X nefunguje. Teraz sa pozrime na riešenie tejto zložitej exponenciálnej rovnice:
čo sme urobili? V skutočnosti sme jednoducho vyhodili rovnaké základy (trojky). Úplne vyhodené. A dobrá správa je, že sme trafili klinec po hlavičke!
V skutočnosti, ak v exponenciálnej rovnici existujú ľavé a pravé rovnakýčísla v ľubovoľných mocninách, tieto čísla možno odstrániť a exponenty vyrovnať. Matematika umožňuje. Zostáva vyriešiť oveľa jednoduchšiu rovnicu. Skvelé, však?)
Pevne si však zapamätajme: Základy môžete odstrániť iba vtedy, keď sú čísla základne vľavo a vpravo v nádhernej izolácii! Bez akýchkoľvek susedov a koeficientov. Povedzme v rovniciach:
2 x +2 x+1 = 2 3, príp
dvojky sa nedajú odstrániť!
No to najdôležitejšie sme zvládli. Ako prejsť od zlých exponenciálnych výrazov k jednoduchším rovniciam.
"To sú časy!" - ty hovoríš. "Kto by dal také primitívne lekcie o testoch a skúškach?"
musim suhlasit. Nikto nebude. Teraz však viete, kam sa zamerať pri riešení zložitých príkladov. Musí sa uviesť do formulára, kde je vľavo a vpravo rovnaké základné číslo. Potom bude všetko jednoduchšie. V skutočnosti je to klasika matematiky. Zoberieme pôvodný príklad a transformujeme ho na požadovaný nás myseľ. Podľa pravidiel matematiky, samozrejme.
Pozrime sa na príklady, ktoré si vyžadujú ďalšie úsilie na ich redukciu na najjednoduchšie. Zavolajme im jednoduché exponenciálne rovnice.
Riešenie jednoduchých exponenciálnych rovníc. Príklady.
Pri riešení exponenciálnych rovníc sú hlavné pravidlá akcie s titulmi. Bez znalosti týchto akcií nebude nič fungovať.
K činom s titulmi treba pridať osobný postreh a vynaliezavosť. Potrebujeme rovnaké základné čísla? V príklade ich teda hľadáme v explicitnej alebo zašifrovanej forme.
Pozrime sa, ako sa to robí v praxi?
Uveďme si príklad:
2 2x - 8x+1 = 0
Prvý ostrý pohľad je na dôvodov. Oni... Sú iní! Dva a osem. Ale je príliš skoro na to, aby sme sa nechali odradiť. Je načase si to pripomenúť
Dva a osem sú príbuzní v stupni.) Je celkom možné napísať:
8 x + 1 = (2 3) x + 1
Ak si spomenieme na vzorec z operácií so stupňami:
(a n) m = a nm,
toto ide super:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)
Pôvodný príklad začal vyzerať takto:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Prenášame 2 3 (x+1) doprava (nikto nezrušil základné operácie matematiky!), dostaneme:
2 2x = 2 3(x+1)
To je prakticky všetko. Odstránenie základov:
Vyriešime toto monštrum a dostaneme
Toto je správna odpoveď.
V tomto príklade nám pomohlo poznať sily dvoch. my identifikované v osmičke je zašifrovaná dvojka. Táto technika (kódovanie spoločných základov pod rôznymi číslami) je veľmi populárna technika v exponenciálnych rovniciach! Áno, a tiež v logaritmoch. Musíte byť schopní rozpoznať mocniny iných čísel v číslach. To je mimoriadne dôležité pre riešenie exponenciálnych rovníc.
Faktom je, že zvýšiť akékoľvek číslo na akúkoľvek moc nie je problém. Vynásobte, dokonca aj na papieri, a je to. Napríklad, ktokoľvek môže zvýšiť 3 na piatu mocninu. 243 vyjde, ak poznáte tabuľku násobenia.) Ale v exponenciálnych rovniciach oveľa častejšie nie je potrebné zvyšovať na mocninu, ale naopak... Zistite aké číslo do akej miery sa skrýva za číslom 243, alebo povedzme 343... Tu vám nepomôže žiadna kalkulačka.
Treba vedieť mocniny niektorých čísel zrakom, nie... Poďme si zacvičiť?
Určte, aké mocniny a aké čísla sú čísla:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Odpovede (samozrejme v neporiadku!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Ak sa pozriete pozorne, môžete vidieť zvláštnu skutočnosť. Odpovedí je podstatne viac ako úloh! No, stáva sa... Napríklad 2 6, 4 3, 8 2 - to je všetko 64.
Predpokladajme, že ste si všimli informácie o znalosti čísel.) Pripomínam tiež, že na riešenie exponenciálnych rovníc používame všetky zásoba matematických vedomostí. Vrátane tých z juniorskej a strednej triedy. Nešiel si rovno na strednú školu, však?)
Napríklad pri riešení exponenciálnych rovníc často pomáha vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek (ahoj 7. ročník!). Pozrime sa na príklad:
3 2x+4 -119x = 210
A opäť, prvý pohľad smeruje k základom! Základy stupňov sú rôzne... Tri a deväť. Ale chceme, aby boli rovnaké. No, v tomto prípade je túžba úplne splnená!) Pretože:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Pri zaobchádzaní s titulmi použite rovnaké pravidlá:
3 2x+4 = 3 2x ·3 4
To je skvelé, môžete si to zapísať:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Z rovnakých dôvodov sme uviedli príklad. Takže, čo bude ďalej!? Nemôžeš vyhodiť trojky... Slepá ulička?
Vôbec nie. Pamätajte na najuniverzálnejšie a najmocnejšie rozhodovacie pravidlo každý matematické úlohy:
Ak neviete, čo potrebujete, urobte, čo môžete!
Pozri, všetko bude fungovať).
Čo je v tejto exponenciálnej rovnici Môcť robiť? Áno, na ľavej strane si to žiada vytiahnuť zo zátvoriek! Celkový multiplikátor 3 2x tomu jasne napovedá. Skúsme a potom uvidíme:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Príklad je stále lepší a lepší!
Pamätáme si, že na odstránenie dôvodov potrebujeme čistý stupeň, bez akýchkoľvek koeficientov. Trápi nás číslo 70. Takže obe strany rovnice vydelíme 70, dostaneme:
Ojoj! Všetko sa zlepšilo!
Toto je konečná odpoveď.
Stáva sa však, že sa dosiahne rolovanie na rovnakom základe, ale ich eliminácia nie je možná. To sa deje v iných typoch exponenciálnych rovníc. Osvojme si tento typ.
Nahradenie premennej pri riešení exponenciálnych rovníc. Príklady.
Poďme vyriešiť rovnicu:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Najprv - ako obvykle. Prejdime k jednej základni. Na dvojku.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Dostaneme rovnicu:
2 2x - 3 2x +2 = 0
A tu sa stretávame. Predchádzajúce techniky nebudú fungovať, bez ohľadu na to, ako sa na to pozeráte. Budeme musieť z nášho arzenálu vytiahnuť ďalšiu účinnú a univerzálnu metódu. Volá sa variabilná náhrada.
Podstata metódy je prekvapivo jednoduchá. Namiesto jednej zložitej ikony (v našom prípade - 2 x) napíšeme inú, jednoduchšiu (napríklad - t). Takáto zdanlivo nezmyselná výmena vedie k úžasným výsledkom!) Všetko sa stáva jasným a zrozumiteľným!
Tak nech
Potom 2 2x = 2 x 2 = (2 x) 2 = t 2
V našej rovnici nahradíme všetky mocniny x za t:
No, svitá vám?) Už ste zabudli na kvadratické rovnice? Riešením cez diskriminant dostaneme:
Tu ide hlavne o to neprestať, ako sa to stáva... Toto ešte nie je odpoveď, potrebujeme x, nie t. Vráťme sa k X, t.j. robíme spätnú výmenu. Najprv pre t 1:
teda
Našiel sa jeden koreň. Hľadáme druhého z t 2:
Hm... 2 x vľavo, 1 vpravo... Problém? Vôbec nie! Stačí si zapamätať (z operácií s mocnosťami áno...), že jednotka je akýkoľvekčíslo na nulovú mocninu. Akýkoľvek. Čokoľvek je potrebné, nainštalujeme. Potrebujeme dvojku. znamená:
To je teraz všetko. Máme 2 korene:
Toto je odpoveď.
O riešenie exponenciálnych rovníc na konci niekedy skončíte s nejakým trápnym výrazom. Typ:
Sedem sa nedá premeniť na dve pomocou jednoduchej sily. Nie sú príbuzní... Ako môžeme byť? Niekto môže byť zmätený... Ale ten, kto si na tejto stránke prečítal tému „Čo je to logaritmus?“ , len sa striedmo usmeje a pevnou rukou zapíše absolútne správnu odpoveď:
Takáto odpoveď nemôže byť v úlohách „B“ na jednotnej štátnej skúške. Vyžaduje sa tam konkrétne číslo. Ale v úlohách „C“ je to jednoduché.
Táto lekcia poskytuje príklady riešenia najbežnejších exponenciálnych rovníc. Zdôraznime hlavné body.
1. V prvom rade sa pozrieme na dôvodov stupňa. Zaujímalo by nás, či je možné ich vyrobiť identické. Skúsme to urobiť aktívnym používaním akcie s titulmi. Nezabudnite, že aj čísla bez x sa dajú previesť na mocniny!
2. Snažíme sa uviesť exponenciálnu rovnicu do tvaru, keď je vľavo a vpravo rovnakýčísla v akejkoľvek mocnine. Používame akcie s titulmi A faktorizácia.Čo sa dá spočítať na čísla, to spočítame.
3. Ak druhý tip nefunguje, skúste použiť variabilnú náhradu. Výsledkom môže byť rovnica, ktorá sa dá ľahko vyriešiť. Najčastejšie - štvorcový. Alebo zlomkové, ktoré sa tiež zmenší na štvorec.
4. Na úspešné vyriešenie exponenciálnych rovníc potrebujete poznať mocniny niektorých čísel zrakom.
Ako obvykle, na konci lekcie ste vyzvaní, aby ste sa trochu rozhodli.) Sami. Od jednoduchých po zložité.
Riešte exponenciálne rovnice:
Ťažšie:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0
Nájdite produkt koreňov:
2 3 + 2 x = 9
Stalo?
Dobre teda najkomplikovanejší príklad(rozhodnuté však v duchu...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Čo je zaujímavejšie? Potom je tu pre vás zlý príklad. Celkom lákavé pre zvýšenú náročnosť. Dovoľte mi naznačiť, že v tomto príklade vás zachráni vynaliezavosť a najuniverzálnejšie pravidlo na riešenie všetkých matematických problémov.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Jednoduchší príklad pre relaxáciu):
9 2 x - 4 3 x = 0
A na dezert. Nájdite súčet koreňov rovnice:
x 3 x - 9 x + 7 3 x - 63 = 0
Áno áno! Toto je rovnica zmiešaného typu! Čo sme v tejto lekcii nezohľadnili. Načo ich zvažovať, treba ich vyriešiť!) Táto lekcia úplne stačí na vyriešenie rovnice. No, potrebujete vynaliezavosť... A nech vám pomôže siedma trieda (toto je nápoveda!).
Odpovede (v neporiadku, oddelené bodkočiarkou):
1; 2; 3; 4; neexistujú žiadne riešenia; 2; -2; -5; 4; 0.
Je všetko úspešné? Skvelé.
Je tu problém? Žiaden problém! Špeciálna sekcia 555 rieši všetky tieto exponenciálne rovnice s podrobnými vysvetleniami. Čo, prečo a prečo. A samozrejme sú tu ďalšie cenné informácie o práci so všetkými druhmi exponenciálnych rovníc. Nielen tieto.)
Posledná zábavná otázka na zváženie. V tejto lekcii sme pracovali s exponenciálnymi rovnicami. Prečo som tu nepovedal ani slovo o ODZ? V rovniciach je to mimochodom veľmi dôležitá vec...
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)
Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.
Nezľaknite sa mojich slov, s touto metódou ste sa stretli už v 7. ročníku, keď ste študovali polynómy.
Ak ste napríklad potrebovali:
Zoskupme: prvý a tretí termín, ako aj druhý a štvrtý.
Je zrejmé, že prvý a tretí sú rozdielom štvorcov:
a druhý a štvrtý majú spoločný faktor tri:
Potom je pôvodný výraz ekvivalentný tomuto:
Kde odvodiť spoločný faktor už nie je ťažké:
teda
Pri riešení exponenciálnych rovníc budeme postupovať približne takto: hľadať medzi pojmami „spoločnosť“ a vyškrtnúť ju zo zátvoriek a potom – nech sa stane čokoľvek, verím, že budeme mať šťastie =))
Príklad č.14
Pravá má ďaleko od mocniny sedem (kontroloval som!) A ľavá nie je o nič lepšia...
Môžete samozrejme „odstrihnúť“ faktor a z druhého obdobia od prvého a potom sa zaoberať tým, čo ste dostali, ale buďme k vám obozretnejší.
Nechcem sa zaoberať zlomkami, ktoré sa nevyhnutne tvoria pri "výbere" , tak to radšej nevyberiem?
Potom nebudem mať žiadne zlomky: ako sa hovorí, vlci sú nakŕmení a ovce sú v bezpečí:
Vypočítajte výraz v zátvorkách.
Kúzlom, magicky sa to ukáže (prekvapivo, aj keď čo iné by sme mali čakať?).
Potom znížime obe strany rovnice o tento faktor. Dostávame: , z.
Tu je komplikovanejší príklad (v skutočnosti dosť):
Aký problém! Nemáme tu spoločnú reč!
Nie je úplne jasné, čo teraz robiť.
Urobme, čo môžeme: najprv presuňte „štvorky“ na jednu stranu a „päťky“ na druhú:
Teraz vyberme „všeobecné“ vľavo a vpravo:
Tak čo teraz?
Aký je prínos takejto hlúpej skupiny? Na prvý pohľad to nie je vôbec vidieť, no pozrime sa hlbšie:
Teraz sa uistíme, že vľavo máme iba výraz c a vpravo všetko ostatné.
Ako to urobíme?
Takto: Obidve strany rovnice najprv vydeľte (takže sa zbavíme exponentu napravo) a potom obe strany vydeľte (takže sa zbavíme číselného faktora naľavo).
Nakoniec dostaneme:
Neuveriteľné!
Na ľavej strane máme výraz a na pravej strane máme jednoduchý výraz.
Potom z toho okamžite vyvodíme záver
Príklad č. 15
Dám jeho stručné riešenie (bez toho, aby som sa veľmi obťažoval vysvetľovaním), pokúste sa sami pochopiť všetky „jemnosti“ riešenia.
Teraz ku konečnému spevneniu pokrytého materiálu.
Samostatné riešenie nasledujúcich 7 problémov (s odpoveďami)
- Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek: Kde:
- Uvedieme prvý výraz v tvare: , vydeľte obe strany a získajte to
- , potom sa pôvodná rovnica pretransformuje do tvaru: No a teraz nápoveda - hľadaj, kde sme už túto rovnicu vyriešili vy a ja!
- Predstavte si, ako, ako, ach, dobre, potom vydeľte obe strany, aby ste dostali najjednoduchšiu exponenciálnu rovnicu.
- Vytiahnite ho zo zátvoriek.
- Vytiahnite ho zo zátvoriek.
EXPONENTÁRNE ROVNICE. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ
Predpokladám, že po prečítaní prvého článku, v ktorom sa hovorilo o čo sú to exponenciálne rovnice a ako ich riešiť, osvojili ste si potrebné minimálne znalosti potrebné na riešenie najjednoduchších príkladov.
Teraz sa pozriem na inú metódu riešenia exponenciálnych rovníc, toto je...
Spôsob zavedenia novej premennej (alebo náhrady)
Rieši „ťažšie“ úlohy na tému exponenciálnych rovníc (a nielen rovníc).
Táto metóda je jednou z najčastejšie používané v praxi. Najprv vám odporúčam oboznámiť sa s témou.
Ako ste už z názvu pochopili, podstatou tejto metódy je zaviesť takú zmenu premennej, že vaša exponenciálna rovnica sa zázračne premení na takú, ktorú môžete ľahko vyriešiť.
Po vyriešení tejto veľmi „zjednodušenej rovnice“ vám zostáva len vykonať „obrátenú náhradu“: to znamená vrátiť sa z vymeneného k vymenenému.
Ilustrujme to, čo sme práve povedali, na veľmi jednoduchom príklade:
Príklad 16. Jednoduchá náhradná metóda
Túto rovnicu je možné vyriešiť pomocou "jednoduchá výmena", ako to matematici hanlivo nazývajú.
V skutočnosti je náhrada tu najzrejmejšia. To musí človek len vidieť
Potom sa pôvodná rovnica zmení na toto:
Ak si dodatočne predstavíte ako, tak je úplne jasné, že je potrebné vymeniť...
Samozrejme, .
Čo sa potom stane pôvodnou rovnicou? Tu je čo:
Jej korene nájdete ľahko aj sami: .
Čo by sme teraz mali robiť?
Je čas vrátiť sa k pôvodnej premennej.
Čo som zabudol spomenúť?
Totiž: pri nahradení určitého stupňa novou premennou (teda pri výmene typu) ma bude zaujímať len pozitívne korene!
Sami si ľahko odpoviete prečo.
Takže vy a ja nemáme záujem, ale druhý koreň je pre nás celkom vhodný:
Odkiaľ potom.
odpoveď:
Ako vidíte, v predchádzajúcom príklade nás o ruky práve žiadal náhradník. Žiaľ, nie vždy to tak je.
Neprejdime však rovno k smutným veciam, ale precvičme si ešte jeden príklad s celkom jednoduchou náhradou
Príklad 17. Jednoduchá náhradná metóda
Je jasné, že s najväčšou pravdepodobnosťou bude potrebné vymeniť (toto je najmenší zo stupňov zahrnutých v našej rovnici).
Pred zavedením náhrady je však potrebné na ňu „pripraviť“ našu rovnicu, a to: , .
Potom môžete nahradiť, v dôsledku toho dostanem nasledujúci výraz:
Oh, hrôza: kubická rovnica s úplne hroznými vzorcami na jej riešenie (dobre, všeobecne povedané).
Ale nezúfajme hneď, ale zamyslime sa nad tým, čo by sme mali robiť.
Navrhnem podvádzanie: vieme, že na to, aby sme dostali „krásnu“ odpoveď, ju musíme dostať vo forme nejakej mocniny trojky (prečo by to bolo, hm?).
Skúsme uhádnuť aspoň jeden koreň našej rovnice (začnem hádať s mocninou troch).
Prvý odhad. Nie koreň. Bohužiaľ a ach...
.
Ľavá strana je rovnaká.
Pravá časť: !
Jedzte! Uhádol prvý koreň. Teraz budú veci jednoduchšie!
Poznáte schému „rohového“ rozdelenia? Samozrejme, že áno, použijete ho, keď delíte jedno číslo druhým.
Málokto však vie, že to isté možno urobiť aj s polynómami.
Existuje jedna úžasná veta:
Aplikujúc na moju situáciu mi to hovorí, že je to bezo zvyšku deliteľné.
Ako prebieha delenie? To je ako:
Pozerám sa, ktorým monomilom by som mal násobiť, aby som dostal
Je jasné, že potom:
Odčítam výsledný výraz od, dostanem:
Teraz, čím sa musím vynásobiť, aby som dostal?
Je jasné, že na, potom dostanem:
a znova odčítajte výsledný výraz od zostávajúceho výrazu:
Posledným krokom je násobenie a odčítanie od zostávajúceho výrazu:
Hurá, delenie sa skončilo! Čo sme nazbierali v súkromí?
Samo o sebe: .
Potom sme dostali nasledujúce rozšírenie pôvodného polynómu:
Poďme vyriešiť druhú rovnicu:
Má korene:
Potom pôvodná rovnica:
má tri korene:
Posledný koreň samozrejme zahodíme, keďže je menší ako nula.
A prvé dva po spätnom nahradení nám dajú dva korene:
odpoveď: ..
Týmto príkladom som ťa nechcel vystrašiť!
Skôr naopak, mojím cieľom bolo ukázať, že sme síce mali celkom jednoduchú náhradu, no napriek tomu to viedlo k pomerne zložitej rovnici, ktorej riešenie si od nás vyžadovalo špeciálne zručnosti.
No nikto nie je voči tomu imúnny. Ale náhrada v v tomto prípade bolo dosť zrejmé.
Príklad č. 18 (s menej zjavnou náhradou)
Vôbec nie je jasné, čo by sme mali robiť: problém je v tom, že v našej rovnici sú dve rôzne bázy a jednu bázu nemožno získať z druhej jej zvýšením na akúkoľvek (rozumnú, prirodzene) mocninu.
Čo však vidíme?
Obe základne sa líšia iba znamienkom a ich súčinom je rozdiel štvorcov rovný jednej:
Definícia:
Čísla, ktoré sú bázami v našom príklade, sú teda konjugované.
V tomto prípade by bol rozumný krok vynásobte obe strany rovnice konjugovaným číslom.
Napríklad na, potom sa ľavá strana rovnice bude rovnať a pravá.
Ak vykonáme substitúciu, naša pôvodná rovnica bude vyzerať takto:
jeho korene, a keď si to pamätáme, dostaneme to.
Odpoveď: ,.
Na vyriešenie väčšiny „školských“ exponenciálnych rovníc spravidla postačuje náhradná metóda.
Ďalšie úlohy vyšší levelťažkosti sú prevzaté z možností jednotnej štátnej skúšky.
Tri úlohy so zvýšenou zložitosťou z variantov jednotnej štátnej skúšky
Ste už dostatočne gramotní na to, aby ste tieto príklady vyriešili sami. Dám len požadovanú náhradu.
- Vyriešte rovnicu:
- Nájdite korene rovnice:
- Vyriešte rovnicu: . Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré patria do segmentu:
A teraz stručné vysvetlenia a odpovede:
Príklad č. 19
Tu nám stačí poznamenať, že...
Potom bude pôvodná rovnica ekvivalentná tejto:
Táto rovnica sa dá vyriešiť nahradením
Ďalšie výpočty urobte sami.
Nakoniec sa vaša úloha zredukuje na riešenie jednoduchých goniometrických úloh (v závislosti od sínusu alebo kosínusu). Na riešenia podobných príkladov sa pozrieme v iných častiach.
Príklad č. 20
Tu sa dokonca zaobídete bez výmeny...
Stačí posunúť subtrahend doprava a reprezentovať obe bázy cez mocniny dvojky: a potom hneď prejsť na kvadratickú rovnicu.
Príklad č.21
Toto je tiež vyriešené pomerne štandardným spôsobom: predstavme si ako.
Potom nahradením dostaneme kvadratickú rovnicu: potom,
Už viete, čo je logaritmus, však? nie? Potom si súrne prečítajte tému!
Prvý koreň zjavne nepatrí do segmentu, ale druhý je nejasný!
To sa však dozvieme už čoskoro!
Odvtedy (toto je vlastnosť logaritmu!)
Odčítaním z oboch strán dostaneme:
Ľavá strana môže byť reprezentovaná ako:
vynásobte obe strany:
možno vynásobiť, potom
Potom porovnaj:
odvtedy:
Potom druhý koreň patrí do požadovaného intervalu
odpoveď:
Ako vidíš, výber koreňov exponenciálnych rovníc si vyžaduje pomerne hlboké znalosti o vlastnostiach logaritmov, preto radím, aby ste boli pri riešení exponenciálnych rovníc čo najopatrnejší.
Ako viete, v matematike je všetko prepojené!
Ako povedal môj učiteľ matematiky: „Matematika, podobne ako história, sa nedá čítať cez noc.
Spravidla všetky Ťažkosti pri riešení problémov so zvýšenou úrovňou zložitosti spočívajú práve vo výbere koreňov rovnice.
Ďalší príklad pre prax...
Príklad 22
Je jasné, že samotná rovnica je vyriešená celkom jednoducho.
Substitúciou zredukujeme našu pôvodnú rovnicu na nasledujúcu:
Najprv sa pozrime na prvý koreň.
Porovnajme a: odvtedy. (vlastnosť logaritmickej funkcie, at).
Potom je jasné, že prvý koreň nepatrí do nášho intervalu.
Teraz druhý koreň: . Je jasné, že (keďže funkcia at je rastúca).
Zostáva porovnávať a...
odvtedy v rovnakom čase.
Týmto spôsobom môžem „vraziť kolík“ medzi a.
Tento kolík je číslo.
Prvý výraz je menší a druhý väčší.
Potom je druhý výraz väčší ako prvý a koreň patrí intervalu.
Odpoveď: .
Nakoniec sa pozrime na ďalší príklad rovnice, kde je substitúcia dosť nezvyčajná.
Príklad č. 23 (Rovnica s neštandardnou náhradou!)
Začnime hneď s tým, čo sa dá urobiť a čo sa v zásade dá urobiť, ale je lepšie to nerobiť.
Všetko si môžete predstaviť cez mocniny tri, dva a šesť.
Kam to vedie?
K ničomu to nepovedie: spleť stupňov, z ktorých niektorých bude dosť ťažké sa zbaviť.
Čo je potom potrebné?
Všimnime si, že a
A čo nám to dá?
A to, že riešenie tohto príkladu môžeme zredukovať na riešenie celkom jednoduchej exponenciálnej rovnice!
Najprv prepíšme našu rovnicu takto:
Teraz vydeľme obe strany výslednej rovnice takto:
Eureka! Teraz môžeme nahradiť, dostaneme:
Teraz je rad na vás, aby ste vyriešili demonštračné problémy a ja k nim dám len krátke komentáre, aby ste nezablúdili! Veľa štastia!
Príklad č. 24
Najťažšie!
Je tak ťažké nájsť tu náhradu! Tento príklad však možno úplne vyriešiť pomocou zvýraznenie celého štvorca.
Na vyriešenie stačí poznamenať, že:
Potom je tu vaša náhrada:
(Upozorňujeme, že tu počas našej výmeny nemôžeme zahodiť záporný koreň!!! Prečo si myslíte?)
Teraz na vyriešenie príkladu musíte vyriešiť iba dve rovnice:
Obe sa dajú vyriešiť „štandardnou náhradou“ (ale tá druhá v jednom príklade!)
Príklad č. 25
2. Všimnite si to a urobte náhradu.
Príklad č. 26
3. Rozložte číslo na koprime faktory a zjednodušte výsledný výraz.
Príklad č. 27
4. Čitateľa a menovateľa zlomku vydeľte (alebo ak chcete) a vykonajte náhradu resp.
Príklad č. 28
5. Všimnite si, že čísla a sú konjugované.
RIEŠENIE EXPONENTÁRNYCH ROVNIC POMOCOU LOGARIFHMOVEJ METÓDY. POKROČILÁ ÚROVEŇ
Okrem toho sa pozrime na iný spôsob - riešenie exponenciálnych rovníc pomocou logaritmickej metódy.
Nemôžem povedať, že riešenie exponenciálnych rovníc pomocou tejto metódy je veľmi populárne, ale v niektorých prípadoch nás len to môže priviesť k správnemu riešeniu našej rovnice.
Obzvlášť často sa používa na riešenie tzv. zmiešané rovnice“: teda tie, kde sa vyskytujú funkcie rôznych typov.
Príklad č. 29
V všeobecný prípad dá sa vyriešiť iba logaritmovaním oboch strán (napríklad k základni), čím sa pôvodná rovnica pretransformuje na nasledovné:
Pozrime sa na nasledujúci príklad:
Je jasné, že podľa ODZ logaritmickej funkcie nás to len zaujíma.
To však nevyplýva len z ODZ logaritmu, ale ešte z jedného dôvodu.
Myslím, že pre vás nebude ťažké uhádnuť, ktorý to je.
Zoberme si logaritmus oboch strán našej rovnice na základňu:
Ako vidíte, logaritmus našej pôvodnej rovnice nás rýchlo priviedol k správnej (a krásnej!) odpovedi.
Precvičme si ešte na jednom príklade.
Príklad č. 30
Ani tu nie je nič zlé: vezmime logaritmus oboch strán rovnice na základňu, potom dostaneme:
Urobme náhradu:
Niečo nám však uniklo! Všimli ste si, kde som urobil chybu? Koniec koncov, potom:
ktorý nespĺňa požiadavku (premýšľajte, odkiaľ pochádza!)
odpoveď:
Skúste si zapísať riešenie exponenciálnych rovníc nižšie:
Teraz porovnajte svoje rozhodnutie s týmto:
Príklad č. 31
Logaritmujme obe strany k základni, berúc do úvahy, že:
(druhý koreň nie je pre nás vhodný z dôvodu výmeny)
Príklad č. 32
Zoberme logaritmy na základňu:
Transformujme výsledný výraz do nasledujúceho tvaru:
EXPONENTÁRNE ROVNICE. STRUČNÝ POPIS A ZÁKLADNÉ VZORCE
Exponenciálna rovnica
Rovnica formulára:
volal najjednoduchšia exponenciálna rovnica.
Vlastnosti stupňov
Prístupy k riešeniu
- Zníženie na rovnaký základ
- Zníženie na rovnaký exponent
- Variabilná náhrada
- Zjednodušenie výrazu a uplatnenie jedného z vyššie uvedených.
Táto lekcia je určená pre tých, ktorí sa práve začínajú učiť exponenciálne rovnice. Ako vždy, začnime definíciou a jednoduchými príkladmi.
Ak čítate túto lekciu, mám podozrenie, že už aspoň minimálne rozumiete najjednoduchším rovniciam – lineárnym a kvadratickým: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ atď. Vedieť vyriešiť takéto konštrukcie je absolútne nevyhnutné, aby sa „nezasekli“ v téme, o ktorej sa teraz bude diskutovať.
Takže exponenciálne rovnice. Uvediem pár príkladov:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Niektoré z nich sa vám môžu zdať zložitejšie, iné sú naopak príliš jednoduché. Všetky však majú jednu dôležitú vlastnosť spoločnú: ich zápis obsahuje exponenciálnu funkciu $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Predstavme si teda definíciu:
Exponenciálna rovnica je každá rovnica obsahujúca exponenciálnu funkciu, t.j. vyjadrenie tvaru $((a)^(x))$. Okrem uvedenej funkcie môžu takéto rovnice obsahovať akékoľvek ďalšie algebraické konštrukcie - polynómy, korene, trigonometriu, logaritmy atď.
Dobre teda. Vyriešili sme definíciu. Teraz otázka znie: ako vyriešiť všetky tieto svinstvá? Odpoveď je jednoduchá aj zložitá.
Začnime dobrou správou: z mojej skúsenosti s vyučovaním mnohých študentov môžem povedať, že väčšina z nich považuje exponenciálne rovnice za oveľa jednoduchšie ako rovnaké logaritmy a ešte viac trigonometriu.
Je tu však zlá správa: pisateľov úloh najrôznejších učebníc a skúšok niekedy zasiahne „inšpirácia“ a ich drogami zapálený mozog začne produkovať také brutálne rovnice, že ich riešenie je problematické nielen pre študentov – dokonca aj pre mnohých učiteľov. zaseknúť sa na takýchto problémoch.
Nehovorme však o smutných veciach. A vráťme sa k tým trom rovniciam, ktoré boli dané na samom začiatku príbehu. Pokúsme sa vyriešiť každý z nich.
Prvá rovnica: $((2)^(x))=4$. No, na akú silu musíte zvýšiť číslo 2, aby ste dostali číslo 4? Pravdepodobne to druhé? Veď $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - a dostali sme správnu číselnú rovnosť, t.j. naozaj $x=2$. Ďakujem, Cap, ale táto rovnica bola taká jednoduchá, že ju dokázala vyriešiť aj moja mačka. :)
Pozrime sa na nasledujúcu rovnicu:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Ale tu je to trochu zložitejšie. Mnoho študentov vie, že $((5)^(2))=25$ je násobilka. Niektorí sa tiež domnievajú, že $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ je v podstate definícia záporných mocnín (podobná vzorcu $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).
Napokon, len pár vyvolených si uvedomuje, že tieto fakty možno skombinovať a priniesť nasledujúci výsledok:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Naša pôvodná rovnica bude teda prepísaná takto:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Šípka doprava ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
Ale toto je už úplne riešiteľné! Naľavo v rovnici je exponenciálna funkcia, napravo v rovnici je exponenciálna funkcia, okrem nich nie je nič iné. Preto môžeme „zahodiť“ základy a hlúpo prirovnať ukazovatele:
Získali sme najjednoduchšiu lineárnu rovnicu, ktorú môže vyriešiť každý študent iba v niekoľkých riadkoch. Dobre, v štyroch riadkoch:
\[\začiatok(zarovnanie)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\koniec (zarovnanie)\]
Ak nerozumiete tomu, čo sa stalo v posledných štyroch riadkoch, vráťte sa k téme „lineárne rovnice“ a zopakujte si ju. Pretože bez jasného porozumenia tejto téme je príliš skoro na to, aby ste sa zaoberali exponenciálnymi rovnicami.
\[((9)^(x))=-3\]
Ako to teda môžeme vyriešiť? Prvá myšlienka: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, takže pôvodnú rovnicu možno prepísať takto:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]
Potom si pamätáme, že pri zvýšení mocniny na mocninu sa exponenty násobia:
\[((\vľavo(((3)^(2)) \vpravo))^(x))=((3)^(2x))\šípka doprava ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\začiatok(zarovnanie)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\koniec (zarovnanie)\]
A za takéto rozhodnutie dostaneme úprimne zaslúženú dvojku. Pretože s vyrovnanosťou Pokémona sme pred trojicu poslali znamienko mínus k sile práve tejto trojky. Ale to nemôžete urobiť. A preto. Pozrite sa na rôzne schopnosti troch:
\[\begin(matica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matica)\]
Pri zostavovaní tejto tabuľky som nič neprevrátil: pozrel som sa na kladné mocniny, záporné mocniny a dokonca aj zlomkové... no, kde je tu aspoň jedno záporné číslo? Je preč! A nemôže byť, pretože exponenciálna funkcia $y=((a)^(x))$ po prvé vždy trvá len kladné hodnoty(nezáleží na tom, koľko vynásobíte jednotku alebo ju vydelíte dvoma, stále to bude kladné číslo) a po druhé, základ takejto funkcie - číslo $a$ - je z definície kladné číslo!
Ako potom vyriešiť rovnicu $((9)^(x))=-3$? Ale v žiadnom prípade: neexistujú žiadne korene. A v tomto zmysle sú exponenciálne rovnice veľmi podobné kvadratickým rovniciam – tiež nemusia existovať žiadne korene. Ale ak v kvadratické rovnice počet koreňov je určený diskriminantom (kladný diskriminant - 2 korene, záporný - bez koreňov), potom v exponenciáli všetko závisí od toho, čo je napravo od znamienka rovnosti.
Sformulujeme teda kľúčový záver: najjednoduchšia exponenciálna rovnica v tvare $((a)^(x))=b$ má koreň práve vtedy, keď $b \gt 0$. Keď poznáte tento jednoduchý fakt, môžete ľahko určiť, či rovnica, ktorá vám bola navrhnutá, má korene alebo nie. Tie. Oplatí sa to vôbec riešiť alebo si hneď zapísať, že tam nie sú korene.
Tieto poznatky nám mnohokrát pomôžu, keď musíme riešiť zložitejšie problémy. Zatiaľ dosť textov – je čas naštudovať si základný algoritmus na riešenie exponenciálnych rovníc.
Ako riešiť exponenciálne rovnice
Takže sformulujme problém. Je potrebné vyriešiť exponenciálnu rovnicu:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]
Podľa „naivného“ algoritmu, ktorý sme použili predtým, je potrebné reprezentovať číslo $b$ ako mocninu čísla $a$:
Navyše, ak je namiesto premennej $x$ akýkoľvek výraz, dostaneme novú rovnicu, ktorá sa už dá vyriešiť. Napríklad:
\[\začiatok(zarovnanie)& ((2)^(x))=8\šípka doprava ((2)^(x))=((2)^(3))\šípka doprava x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Šípka doprava ((3)^(-x))=((3)^(4))\Šípka doprava -x=4\Šípka doprava x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Šípka doprava ((5)^(2x))=((5)^(3))\Šípka doprava 2x=3\Šípka doprava x=\frac(3)( 2). \\\end(zarovnať)\]
A napodiv, táto schéma funguje asi v 90% prípadov. Čo potom so zvyšnými 10%? Zvyšných 10 % sú mierne „schizofrenické“ exponenciálne rovnice tvaru:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
No, na akú silu potrebujete zvýšiť 2, aby ste dostali 3? Najprv? Ale nie: $((2)^(1))=2$ nestačí. Druhý? Ani nie: $((2)^(2))=4$ je príliš veľa. Ktorá potom?
Znalí študenti už zrejme uhádli: v takých prípadoch, keď to nie je možné vyriešiť „krásne“, prichádza na rad „ťažké delostrelectvo“ – logaritmy. Dovoľte mi pripomenúť, že pomocou logaritmov môže byť každé kladné číslo vyjadrené ako mocnina akéhokoľvek iného kladného čísla (okrem jedného):
Pamätáte si tento vzorec? Keď svojim študentom hovorím o logaritmoch, vždy varujem: tento vzorec (ktorý je tiež základnou logaritmickou identitou alebo, ak chcete, definíciou logaritmu) vás bude prenasledovať veľmi dlho a „vyskočí“ vo väčšine prípadov. nečakané miesta. No vynorila sa. Pozrime sa na našu rovnicu a tento vzorec:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]
Ak predpokladáme, že $a=3$ je naše pôvodné číslo napravo a $b=2$ je samotný základ exponenciálnej funkcie, na ktorú tak chceme zredukovať pravú stranu, dostaneme nasledovné:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Šípka doprava ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Šípka doprava x=( (\log )_(2))3. \\\end(zarovnať)\]
Dostali sme trochu zvláštnu odpoveď: $x=((\log )_(2))3$. Pri nejakej inej úlohe by mnohí pri takejto odpovedi pochybovali a začali by svoje riešenie preverovať: čo ak sa niekde vkradla chyba? Ponáhľam sa vás potešiť: nie je tu žiadna chyba a logaritmy v koreňoch exponenciálnych rovníc sú úplne typickou situáciou. Tak si zvykajte. :)
Teraz vyriešme zvyšné dve rovnice analogicky:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Šípka doprava x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Šípka doprava ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Šípka doprava 2x=( (\log )_(4))11\Šípka doprava x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(zarovnať)\]
To je všetko! Mimochodom, posledná odpoveď môže byť napísaná inak:
Do argumentu logaritmu sme zaviedli multiplikátor. Ale nikto nám nebráni pridať tento faktor do základu:
Okrem toho sú všetky tri možnosti správne - je to jednoduché rôzne tvary záznamy rovnakého čísla. Ktorý z nich si vyberiete a zapíšete do tohto riešenia, je len na vás.
Tak sme sa naučili riešiť akékoľvek exponenciálne rovnice v tvare $((a)^(x))=b$, kde čísla $a$ a $b$ sú striktne kladné. Tvrdá realita nášho sveta je však taká jednoduché úlohy stretnete veľmi, veľmi zriedka. Častejšie narazíte na niečo takéto:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(zarovnať)\]
Ako to teda môžeme vyriešiť? Dá sa to vôbec riešiť? A ak áno, ako?
Nerobte paniku. Všetky tieto rovnice sa rýchlo a ľahko zredukujú na jednoduché vzorce, ktoré sme už zvážili. Stačí si zapamätať pár trikov z kurzu algebry. A samozrejme, neexistujú žiadne pravidlá pre prácu s titulmi. O tom všetkom vám teraz poviem. :)
Konverzia exponenciálnych rovníc
Prvá vec, ktorú si treba zapamätať: každá exponenciálna rovnica, bez ohľadu na to, aká môže byť zložitá, musí byť tak či onak zredukovaná na najjednoduchšie rovnice – tie, ktoré sme už uvažovali a ktoré vieme vyriešiť. Inými slovami, schéma riešenia akejkoľvek exponenciálnej rovnice vyzerá takto:
- Zapíšte pôvodnú rovnicu. Napríklad: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Urob nejaké divné sračky. Alebo dokonca nejaké svinstvo s názvom „previesť rovnicu“;
- Na výstupe získajte najjednoduchšie výrazy v tvare $((4)^(x))=4$ alebo niečo podobné. Navyše jedna počiatočná rovnica môže poskytnúť niekoľko takýchto výrazov naraz.
S prvým bodom je všetko jasné - aj moja mačka dokáže napísať rovnicu na papier. Zdá sa, že aj tretí bod je viac-menej jasný – vyššie sme už riešili celú kopu takýchto rovníc.
Ale čo druhý bod? Aké premeny? Premeniť čo na čo? A ako?
Nuž, poďme to zistiť. V prvom rade by som rád poznamenal nasledovné. Všetky exponenciálne rovnice sú rozdelené do dvoch typov:
- Rovnica sa skladá z exponenciálnych funkcií s rovnakým základom. Príklad: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Vzorec obsahuje exponenciálne funkcie s rôznymi základňami. Príklady: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ a $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 USD.
Začnime rovnicami prvého typu – tie sa riešia najjednoduchšie. A pri ich riešení nám pomôže taká technika, ako je zvýraznenie stabilných výrazov.
Izolácia stabilného výrazu
Pozrime sa ešte raz na túto rovnicu:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
čo vidíme? Štyri sú zvýšené v rôznych stupňoch. Ale všetky tieto mocniny sú jednoduché súčty premennej $x$ s inými číslami. Preto je potrebné pamätať na pravidlá pre prácu s titulmi:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(zarovnať)\]
Jednoducho povedané, sčítanie sa dá previesť na súčin mocnín a odčítanie sa dá jednoducho previesť na delenie. Skúsme použiť tieto vzorce na stupne z našej rovnice:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(zarovnať)\]
Prepíšme pôvodnú rovnicu berúc do úvahy túto skutočnosť a potom zhromaždíme všetky výrazy vľavo:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -jedenásť; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(zarovnať)\]
Prvé štyri výrazy obsahujú prvok $((4)^(x))$ – vyberme ho zo zátvorky:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(zarovnať)\]
Zostáva rozdeliť obe strany rovnice zlomkom $-\frac(11)(4)$, t.j. v podstate vynásobte prevráteným zlomkom - $-\frac(4)(11)$. Dostaneme:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(zarovnať)\]
To je všetko! Pôvodnú rovnicu sme zredukovali na najjednoduchšiu formu a dostali konečnú odpoveď.
Zároveň sme v procese riešenia objavili (a dokonca ho vyňali zo zátvorky) spoločný činiteľ $((4)^(x))$ - toto je stabilný výraz. Môže byť označená ako nová premenná, alebo ju môžete jednoducho vyjadriť opatrne a získať odpoveď. V každom prípade je kľúčový princíp riešenia nasledovný:
Nájdite v pôvodnej rovnici stabilný výraz obsahujúci premennú, ktorú možno ľahko odlíšiť od všetkých exponenciálnych funkcií.
Dobrou správou je, že takmer každá exponenciálna rovnica umožňuje izolovať takýto stabilný výraz.
Ale zlou správou je, že tieto výrazy môžu byť dosť zložité a môže byť dosť ťažké ich identifikovať. Pozrime sa teda na ďalší problém:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Možno si teraz niekto položí otázku: „Pasha, si ukameňovaný? Sú tu rôzne základy – 5 a 0,2.“ Ale skúsme previesť výkon na základnú 0,2. Zbavme sa napríklad desatinného zlomku tak, že ho zredukujeme na bežný:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \vpravo))^(-\vľavo(x+1 \vpravo)))=((\vľavo(\frac(1)(5) \vpravo))^(-\vľavo(x+1 \vpravo)) )\]
Ako vidíte, číslo 5 sa predsa len objavilo, aj keď v menovateli. Zároveň bol ukazovateľ prepísaný na negatívny. Teraz si spomeňme na jedno z najdôležitejších pravidiel pre prácu s titulmi:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\šípka doprava ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Tu som, samozrejme, trochu klamal. Pretože pre úplné pochopenie musel byť vzorec na zbavenie sa negatívnych ukazovateľov napísaný takto:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Šípka doprava ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1)) \ vpravo))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
Na druhej strane nám nič nebránilo pracovať len so zlomkami:
\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ vpravo))^(-\vľavo(x+1 \vpravo)))=((5)^(\vľavo(-1 \vpravo)\cdot \vľavo(-\vľavo(x+1 \vpravo) \vpravo) ))=((5)^(x+1))\]
Ale v tomto prípade musíte byť schopní zvýšiť výkon na iný výkon (pripomínam vám: v tomto prípade sa ukazovatele sčítajú). Ale nemusel som zlomky „obracať“ - možno to bude pre niektorých jednoduchšie. :)
V každom prípade bude pôvodná exponenciálna rovnica prepísaná takto:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(zarovnať)\]
Ukazuje sa teda, že pôvodnú rovnicu možno vyriešiť ešte jednoduchšie ako predtým zvažovanú rovnicu: tu ani nemusíte vyberať stabilný výraz - všetko sa zredukovalo samo. Zostáva len pamätať si, že $1=((5)^(0))$, z čoho dostaneme:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(zarovnať)\]
To je riešenie! Dostali sme konečnú odpoveď: $x=-2$. Zároveň by som rád poznamenal jednu techniku, ktorá nám značne zjednodušila všetky výpočty:
V exponenciálnych rovniciach sa určite zbavte desatinných zlomkov a preveďte ich na obyčajné. To vám umožní vidieť rovnaké základy stupňov a výrazne zjednodušiť riešenie.
Prejdime teraz k viacerým zložité rovnice, v ktorom sú rôzne bázy, ktoré nie sú navzájom vôbec redukovateľné pomocou stupňov.
Použitie vlastnosti Stupne
Dovoľte mi pripomenúť, že máme dve obzvlášť drsné rovnice:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(zarovnať)\]
Hlavným problémom je, že nie je jasné, čo dať a na akom základe. Kde sú stabilné výrazy? Kde sú rovnaké dôvody? Nič z toho neexistuje.
Ale skúsme ísť inou cestou. Ak neexistujú žiadne hotové identické základy, môžete sa ich pokúsiť nájsť rozpočítaním existujúcich základov.
Začnime prvou rovnicou:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cbodka 3\šípka doprava ((21)^(3x))=((\vľavo(7\cbodka 3 \vpravo))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(zarovnať)\]
Môžete to však urobiť aj opačne - z čísel 7 a 3 urobte číslo 21. Toto je obzvlášť ľahké urobiť vľavo, pretože ukazovatele oboch stupňov sú rovnaké:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(zarovnať)\]
To je všetko! Vzali ste exponent mimo súčinu a okamžite ste dostali krásnu rovnicu, ktorá sa dá vyriešiť niekoľkými riadkami.
Teraz sa pozrime na druhú rovnicu. Tu je všetko oveľa komplikovanejšie:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
V tomto prípade sa zlomky ukázali ako nezredukovateľné, ale ak by sa niečo dalo znížiť, určite to zredukujte. Často sa objavia zaujímavé dôvody, s ktorými sa už dá pracovať.
Žiaľ, nič zvláštne sa u nás neobjavilo. Vidíme však, že exponenty vľavo v súčine sú opačné:
Dovoľte mi pripomenúť: aby ste sa zbavili znamienka mínus v ukazovateli, stačí zlomok „prehodiť“. No, prepíšme pôvodnú rovnicu:
\[\začiatok(zarovnanie)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(zarovnať)\]
V druhom riadku sme jednoducho vybrali celkový exponent zo súčinu zo zátvorky podľa pravidla $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$ a v tom poslednom jednoducho vynásobili číslo 100 zlomkom.
Teraz si všimnite, že čísla vľavo (v základni) a vpravo sú trochu podobné. Ako? Áno, je to zrejmé: sú to mocnosti rovnakého čísla! Máme:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \vpravo))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \vpravo))^(2)). \\\end(zarovnať)\]
Naša rovnica bude teda prepísaná takto:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\vpravo))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \vpravo))^(3\vľavo(x-1 \vpravo)))=((\vľavo(\frac(10)(3) \vpravo))^(3x-3))\]
V tomto prípade vpravo môžete získať aj stupeň s rovnakým základom, na ktorý stačí zlomok jednoducho „otočiť“:
\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]
Naša rovnica bude mať nakoniec tvar:
\[\začiatok(zarovnanie)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(zarovnať)\]
To je riešenie. Jeho hlavná myšlienka sa scvrkáva na skutočnosť, že aj s z rôznych dôvodov Snažíme sa, hákom alebo zákrutom, zredukovať tieto základy na to isté. Pomáhajú nám v tom elementárne transformácie rovníc a pravidlá pre prácu s mocninami.
Ale aké pravidlá a kedy použiť? Ako chápete, že v jednej rovnici musíte niečím rozdeliť obe strany a v inej musíte vypočítať základ exponenciálnej funkcie?
Odpoveď na túto otázku príde so skúsenosťami. Najprv vyskúšajte svoju ruku jednoduché rovnice, a potom postupne komplikujte úlohy - a veľmi skoro budú vaše schopnosti stačiť na vyriešenie akejkoľvek exponenciálnej rovnice z rovnakej jednotnej štátnej skúšky alebo akejkoľvek samostatnej/testovacej práce.
A aby som vám pomohol v tejto ťažkej úlohe, navrhujem stiahnuť si sadu rovníc z mojej webovej stránky, aby ste ju vyriešili sami. Všetky rovnice majú odpovede, takže sa môžete vždy otestovať.
Vo všeobecnosti vám prajem úspešný tréning. A vidíme sa v ďalšej lekcii – tam rozoberieme naozaj zložité exponenciálne rovnice, kde už vyššie popísané metódy nestačia. A nebude stačiť ani jednoduchý tréning. :)
Späť dopredu
Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.
Typ lekcie
: lekcia o zovšeobecňovaní a komplexnej aplikácii vedomostí, zručností a schopností na tému „Exponenciálne rovnice a metódy ich riešenia“.Ciele lekcie.
Vybavenie:
počítač a multimediálny projektor.Používa sa v triede informačné technológie : metodickú podporu na lekciu - prezentácia v Microsoft Power Point.
Počas vyučovania
Každá zručnosť prichádza s tvrdou prácou
ja Stanovenie cieľa lekcie(Snímka číslo 2 )
V tejto lekcii zhrnieme a zovšeobecníme tému „Exponenciálne rovnice, ich riešenia“. Zoznámime sa s typickými Zadania jednotnej štátnej skúšky rôzne roky na túto tému.
Problémy s riešením exponenciálnych rovníc možno nájsť v ktorejkoľvek časti úloh jednotnej štátnej skúšky. V časti „ IN" Zvyčajne ponúkajú riešenie najjednoduchších exponenciálnych rovníc. V časti „ S " Môžete nájsť zložitejšie exponenciálne rovnice, ktorých riešenie je zvyčajne jednou z etáp dokončenia úlohy.
Napríklad ( Snímka číslo 3 ).
- Jednotná štátna skúška - 2007
Q 4 – Nájdite najväčšiu hodnotu výrazu x y, Kde ( X; pri) – riešenie systému:
Q 1 – Vyriešte rovnice:
A) X 6 3X – 36 6 3X = 0;
b) 4 X +1 + 8 4X= 3.
Q 4 – Nájdite význam výrazu x + y, Kde ( X; pri) – riešenie systému:
- Jednotná štátna skúška - 2010
II. Aktualizácia základných vedomostí. Opakovanie
(Snímky č.4 – 6 prezentácie na lekciu)Zobrazené na obrazovke referenčný sumár teoretický materiál na túto tému.
Diskutuje sa o nasledujúcich problémoch:
- Ako sa nazývajú rovnice orientačné?
- Uveďte hlavné spôsoby ich riešenia. Uveďte príklady ich typov ( Snímka číslo 4 )
- Aká veta sa používa pri riešení jednoduchých exponenciálnych rovníc v tvare: a f(x) = ag(x) ?
- Aké ďalšie metódy riešenia exponenciálnych rovníc existujú? ( Snímka číslo 5 )
(Nezávisle vyriešte navrhované rovnice pre každú metódu a vykonajte autotest pomocou snímky)
- Faktorizačná metóda (založené na vlastnostiach síl s rovnaké dôvody, technika: stupeň s najnižším ukazovateľom je vyňatý zo zátvoriek).
- Metóda delenia (násobenia) exponenciálnym výrazom iným ako nula pri riešení homogénnych exponenciálnych rovníc .
- Poradenstvo:
-
Riešenie rovníc v dvoch pomocou najnovších metód s následnými komentármi
(Snímka číslo 6 ).
. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .
2 2 2х – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,2 (2/5) 2x – 3 (2/5) X - 5 = 0,
t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...
III. Riešenie úloh Jednotnej štátnej skúšky 2010
Žiaci samostatne riešia úlohy navrhnuté na začiatku vyučovacej hodiny na snímke č.3 pomocou návodu na riešenie, skontrolujú si svoj postup pri riešení a odpovede na ne pomocou prezentácie ( Snímka číslo 7). Počas práce sa rozoberajú možnosti a riešenia a upozorňuje sa na možné chyby v riešení.
: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 – 7 x = 36. odpoveď: A) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X– 1 = 0. (Môže sa nahradiť 0,5 = 4 – 0,5)Riešenie. ,
X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …
odpoveď: X= -5/2, X = 1/2.
: 5 5 tg r+ 4 = 5-tg r, v cos r< 0.Pokyny k riešeniu
. 5 5 tg r+ 4 = 5-tg r¦ 5 tg r 0,5 5 2 g r+ 4 5 tg y – 1 = 0. Nech X= 5 tg r , …
5 tg r = -1 (?...), 5 tg y = 1/5.
Keďže tg r= -1 a cos r< 0, teda pri II súradnicová štvrť
odpoveď: pri= 3/4 + 2k, k N.
IV. Tímová práca na predstavenstve
Uvažuje sa o vysokej úrovni výcviku - Snímka číslo 8. Pomocou tejto snímky prebieha dialóg medzi učiteľom a študentmi, ktorý uľahčuje vývoj riešenia.
- Pri akom parametri A rovnica 2 2 X – 3 2 X + A 2 – 4A= 0 má dva korene?Nechaj t= 2 X, Kde t > 0 . Dostaneme t 2 – 3t + (A 2 – 4A) = 0 .
1). Keďže rovnica má dva korene, potom D > 0;
2). Pretože t 1,2 > 0, potom t 1 t 2 > 0, tj A 2 – 4A> 0 (?...).
odpoveď: A(– 0,5; 0) alebo (4; 4,5).
V. Skúšobná práca
(Snímka číslo 9 )Žiaci vystupujú skúšobná práca na papieroch, precvičovanie sebamonitorovania a sebahodnotenia vykonanej práce pomocou prezentácie, udomácnenie sa v téme. Samostatne si určia program na reguláciu a opravu vedomostí na základe chýb v pracovných zošitoch. Listy s vykonanou samostatnou prácou odovzdajú vyučujúcemu na kontrolu.
Podčiarknuté čísla - Základná úroveň, s hviezdičkou – zvýšená zložitosť.
Riešenie a odpovede.
3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,
x = -1.
4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,
3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,
3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,
3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (nesedí),
(3/5) X = 5, x = -1.
VI. Domáca úloha
(Snímka číslo 10 )- Opakujte § 11, 12.
- Z materiálov Jednotnej štátnej skúšky 2008 - 2010 vyberte úlohy k téme a riešte ich.
- Domáce testovacie práce :
