Témou tohto čísla je priraďovanie afinných transformácií v maticovom tvare. Táto téma je v podstate zhrnutím všetkého, čo bolo povedané skôr.

Definícia.Rovinná transformácia sa nazýva afinný, Ak

• je to jedna k jednej;
• obraz akejkoľvek priamky je priamka.

Transformácia sa nazýva jeden na jedného, Ak

• rôzne body smerujú k rôznym;
• ku každému bodu patrí nejaký bod.

Homogénne súradnice

Ak vezmeme do úvahy paralelný prenos, ukáže sa, že matica 2x2 už na jeho definovanie nestačí. Dá sa to však špecifikovať pomocou matice 3x3. Vzniká otázka, kde získať tretiu súradnicu dvojrozmerného bodu?

Definícia.Homogénne súradnice - súradnice, ktoré majú vlastnosť, že objekt, ktorý definujú, sa nemení, keď sú všetky súradnice vynásobené rovnakým číslom.

Súradnice homogénneho vektora(x, y) je trojica čísel(x", y", h), kde x = x"/h, y = y"/h, ah - nejaké skutočné číslo (prípad, keď h = 0 je špeciálny).

PoznámkaTieto súradnice vám neumožňujú jednoznačne určiť bod v rovine. Napríklad,(1, 1, 1) a (2, 2, 2) nastaviť rovnaký bod(1, 1) . Odporúča sa vziať súpravu(x, y, 1) , ktorý bude popisovať všetky body roviny.

Transformačná matica pre homogénne súradnice má veľkosť 3x3. Uvažujme o niektorých transformáciách v homogénnych súradniciach.

Kompresia/napnutie

Táto transformácia vynásobí zodpovedajúce bodové súradnice axiálnymi faktormi mierky:(x, y) -> (a x * x, a y * y) . Transformačná matica bude napísaná takto:

[a x 0 0]

Kde x - axiálne roztiahnutie X,

a y - axiálne roztiahnutie r.

PoznámkaJe možné poznamenať, že pri záporných hodnotách koeficientov kompresie / predĺženia dochádza k odrazu vzhľadom na zodpovedajúce osi. Tento prípad môže byť zahrnutý do tejto transformácie, alebo môže byť vyňatý ako samostatný s tým, že škálovacie faktory nadobúdajú iba kladné hodnoty.

Otočte sa

Rotačná matica 2x2 bola podrobne diskutovaná skôr. Teraz je doplnený riadkom a stĺpcom:

[-sin(phi)cos(phi) 0]

Poznámka Pri uhle phi = n táto matica definuje stredovú symetriu okolo počiatku, čo je špeciálny prípad rotácie. Všimnite si, že túto symetriu možno definovať pomocou transformácie squash/stretch (s prihliadnutím na negatívne faktory škálovania).

Paralelný prenos

Pôvodný vektor (x, y) prechádza do (x + t x, y + t y) . Transformačná matica bude napísaná takto:

[ 1 0 0]

[t x t y 1]

Reflexia

Ako je uvedené v poznámke o transformácii squash/streč, odrazy sa získajú takto:

[-10 0]

odraz okolo osi x

odraz okolo osi r

Všeobecný pohľad na afinnú transformáciu

Matica 3x3, ktorej posledný stĺpec je (0 0 1) T definuje afinnú transformáciu roviny:

[ * * 0]

[ * * 0]

[ * * 1]

Podľa jednej z vlastností možno afinnú transformáciu zapísať ako:

f (x) = x * R + t,

kde R – invertibilná matica 2 x2 a t – ľubovoľný vektor. V homogénnych súradniciach to bude zapísané takto:

[R 1,1 R 1,2 0]

[R 2,1 R 2,2 0]

[ t x t y 1 ]

Ak vynásobíme riadkový vektor touto maticou, dostaneme výsledok transformácie:

[ xy1 ] *[ R 1,1 R 1,2 0 ]

[R 2,1 R 2,2 0]

[ t x t y 1 ]

[ x’y’1 ]+[ t x t y 1 ]

V tomto prípade [ x ’ y ’ ] = R ** [ x y ]

PoznámkaZvedavý čitateľ si už položil otázku: aký význam má determinant matice R? Pri afinnej transformácii sa plochy všetkých obrazcov zmenia na | R |. (Môžete to striktne dokázať z matematického hľadiska, ale táto skutočnosť je tu uvedená bez dôkazu.)

To. afinná transformácia je reprezentovaná ako zloženie nejakej transformácie špecifikovanej maticou R a paralelný prenos. Pozrime sa podrobnejšie na povahu tejto matrice a príležitosti, ktoré nám dáva.

Matrix R definuje nový základ roviny. Tie. vektor(1, 0) prejde na (R 1,1, R 1,2), vektor (0, 1) prejde na (R 2,1, R 2,2 ). Novým základom sú riadky matice R.

Príklad.

Pri odraze okolo osi y , základný vektor pozdĺž osi y sa zachová a pozdĺž osi x sa stane(-10). To. matica R bude vyzerať takto:

Teraz je zrejmé, že okrem vyššie uvedených transformácií môžete pomocou afinnej transformácie získať skosenie:

Vyššie uvedené poskytuje základné informácie o takom mocnom nástroji, akým je afinná transformácia. Zostáva veľa otázok: ktorá podtrieda afinných transformácií zachováva uhly medzi priamymi čiarami? Ako môžeme reprezentovať afinnú transformáciu ako zloženie niekoľkých podtried? Ako nastaviť zložitejšie transformácie, napríklad osovú súmernosť vzhľadom na ľubovoľnú priamku?

Odpovede na tieto otázky a podrobnejšia diskusia o afinnej transformácii budú uvedené samostatne ako časť kurzu teoretickej geometrie.

Zastavme sa pri praktickej realizácii afinnej transformácie vo forme demonštračného programu. Možnosti aplikácie, ktorá demonštruje otáčanie roviny pomocou myši, sú pridané k funkciám paralelného prekladu po stlačení klávesu CTRL .

Pretože Tento článok je posledný v tejto časti, kód ukážkovej aplikácie musí byť vhodný. Pokúsme sa zistiť, aké bloky sú potrebné v grafickej aplikácii, a zároveň sa pozrieť na to, ako sú implementované v tomto programe:

• blok, v ktorom sa vytvára okno a spracovávajú správy operačný systém, implementovaný v súbore emain. cpp
• grafický engine, ktorý vykresľuje obrázky, trieda Motor
• vrstva potrebná na prevod logických súradníc na súradnice okna a naopak, trieda Výrez
• objekt zodpovedný za reakciu na akcie používateľa, trieda Akcia

Nižšie uvedený príklad implementuje tieto funkčné bloky s podrobnými komentármi.

Na začiatok: na čom je založená metóda riešenia pomocou afinných transformácií?

Je potrebný krátky teoretický materiál pre študentov.

Informujeme vás, že súradnicový systém nemusí byť pravouhlý. Ak vyberiete 3 body v rovine, ktoré neležia na rovnakej priamke, potom budú definovať afinný súradnicový systém a bod a vektory tvoria afinný rámec (základ).

Definícia 1. Nech sú dva afinné rámce a špecifikované v rovinách a , resp. Zobrazenie roviny do roviny sa nazýva afinné zobrazenie rovín, ak pri tomto mapovaní bod so súradnicami v súradnicovom systéme (ráme) smeruje k bodu s rovnakými súradnicami v súradnicovom systéme (rámci).

Vlastnosti afinných transformácií:

1) Podľa vlastností súradníc je afinná transformácia mapovanie jednej ku jednej rovine do roviny:

Každý bod má obrázok a iba jeden;

Rôzne body majú rôzne obrázky;

Každý bod v rozsahu hodnôt má inverzný obraz.

2) Keďže afinné zobrazenie zachováva súradnice bodov, zachováva rovnice obrázkov. Z toho vyplýva, že priamka sa mení na priamku.

3) Transformácia inverzná k afinnej je opäť afinná transformácia.

4) Body, ktoré neležia na tej istej priamke, idú do bodov, ktoré neležia na tej istej priamke, a teda pretínajúce sa priamky - do priesečníkov a rovnobežné priamky - do rovnobežných.

5) Pri afinných transformáciách sú zachované pomery dĺžok segmentov ležiacich na jednej alebo rovnobežnej priamke.

6) Zachované sú aj pomery plôch polygónov.

7) Nie nevyhnutne uložené pomery dĺžok úsečiek nerovnobežných priamok, uhlov.

Poznámka 1: Ak sú A, B, C tri body roviny, ktoré neležia na tej istej priamke, a sú to tri ďalšie body, ktoré neležia na tej istej priamke, potom existuje len jedna afinná transformácia, ktorá má body A, B, C do bodov .

Poznámka 2: Paralelné premietanie je afinná transformácia roviny na rovinu. Mimochodom, táto téma „Paralelný dizajn“ je prítomná v školskej učebnici geometrie 10-11 (2000) od L. S. Atanasyana v prílohe 1. Tento materiál sa používa hlavne pri výučbe zobrazovania priestorových útvarov v rovine.

Aby sme si predstavili, čo dokážu afinné transformácie, pozrime sa na obrázky. Pre študentov je najlepšie názorne demonštrovať aplikáciu afinných transformácií na abstraktný predmet a až potom prejsť ku geometrickým útvarom.

Špeciálnym prípadom afinných transformácií sú podobnosť, homoteita a pohybová transformácia. Pohyby sú paralelné preklady, obraty, rôzne symetrie a ich kombinácie. Ďalším dôležitým prípadom afinných transformácií je expanzia a kompresia vzhľadom na priamku. Na obrázku 2<Рисунок 2>sú zobrazené rôzne pohyby roviny s nakresleným domom. A na obrázku 3 a 4<Рисунок 3> <Рисунок 4>sú znázornené rôzne afinné transformácie tejto roviny (paralelná projekcia).

A tu na ďalšom obrázku<Рисунок 5>možno vysvetliť podstatu metódy.

Ak stojíte pred úlohou vypočítať nejaké pomery alebo proporcie na skreslenom výkrese, napríklad: nájsť pomer dĺžky uší k dĺžke chvosta, potom môžete tento pomer nájsť na pohodlnejšom výkrese (neskreslenom ), čo je oveľa jednoduchšie a nájdené riešenie bude zodpovedať zahrnutiu skreslenej kresby. Ale nemôžete hľadať pomer napríklad dĺžky uší k hrúbke zajaca, pretože Ide o segmenty nerovnobežných priamych čiar.

Teraz prejdime ku geometrickým tvarom. Ako im môže táto metóda fungovať?

Zvyčajne sa problém dá vyriešiť metódou afinných transformácií, ak potrebujete nájsť pomer dĺžok, pomer plôch, dokázať rovnobežnosť alebo, že body patria k tej istej priamke. Okrem toho by vyhlásenie o probléme nemalo obsahovať údaje, ktoré sa nezachovajú pri afinných transformáciách.

Vlastnosti obrazcov sa nazývajú afinné, ak sú zachované pod afinnými zobrazeniami. Napríklad buďte medián trojuholníka je afinná vlastnosť(stred strany ide do stredu pod afinným mapovaním), ale ak ide o os, nie.

Podstata metódy riešenia geometrických úloh.

Pri riešení problémov s afinnými vlastnosťami je často vhodné prejsť pomocou afinných transformácií k jednoduchším obrazcom, napríklad k pravidelnému trojuholníku. A potom pomocou inverznej afinnej transformácie preneste výsledný výsledok na požadovanú hodnotu.

Na začiatok môžete vyriešiť známy problém priesečníka stredov trojuholníka.

Úloha 1. Dokážte, že stredy ľubovoľného trojuholníka sa pretínajú v jednom bode a sú rozdelené v pomere 2:1, počítajúc od vrcholu.<Рисунок 6>

Riešenie (podľa algoritmu).

Nech je daný trojuholník ABC. 1) Skontrolujeme afinné vlastnosti obrazca. Trojuholník (podľa poznámky 1) je afinný útvar, byť medián je tiež afinná vlastnosť a pomery dĺžok segmentov sú tiež zachované pri afinnom zobrazení.

2) To znamená, že môžeme prejsť na pohodlnejší obrazec – rovnostranný trojuholník.

3) Vezmite rovnostranný trojuholník. Tento trojuholník má stredy , sa pretínajú v jednom bode (ako sú výšky alebo osi rovnostranného trojuholníka) a sú delené týmto bodom v pomere 2:1, počítajúc od vrcholu. Vskutku, a. A postoj z pravouhlého trojuholníka. znamená, .

4) Definujme afinné zobrazenie, ktoré vezme trojuholník do trojuholníka ABC. Pri tomto zobrazení stredy trojuholníka idú do stredníc trojuholníka ABC a ich priesečník prechádza do priesečníka ich obrazov a delí stredy ľubovoľného trojuholníka ABC v pomere 2:1, počítané od vrchol.

5) Tvrdenie bolo dokázané pre ľubovoľný trojuholník.

Úloha 2. Dokážte, že v akomkoľvek lichobežníku ležia stredy základní, priesečník uhlopriečok a priesečník predĺžení bočných strán na tej istej priamke.

Nech je daný lichobežník ABCD, v ktorom M a N sú stredy základní, Q je priesečník uhlopriečok, O je priesečník predĺžení strán.<Рисунок 7>

1) Skontrolujeme afinné vlastnosti obrazca. Lichobežník je afinný útvar (keďže sa lichobežník mení na lichobežník), príslušnosť bodov k tej istej priamke je afinnou vlastnosťou. Podmienka aj otázka problému teda patria do afinnej triedy problémov. To znamená, že možno použiť metódu afinných transformácií.

2) Vezmite ľubovoľný rovnoramenný trojuholník. Existuje afinné mapovanie, ktoré preberá body A do , B do a O do . Pri tomto afinnom mapovaní je na segmente bod - obraz bodu D a na segmente - bod (obraz bodu C). Lichobežník je rovnostranný.

3) Nebude ťažké dokázať formulovaný problém pre rovnoramenný lichobežník (a viac ako jedným spôsobom).

4) Keď sme teda dokázali, že body , , , ležia na tej istej priamke, aplikujeme vlastnosť afinných máp (mapa inverzná k afinnej je opäť afinná mapa) a preto body O, M, Q, N tiež ležia na rovnakej línii lichobežníka ABCD .

5) Preukázaná skutočnosť platí aj pre ľubovoľný lichobežník.

Poznámka. Štvoruholníky sú afinne ekvivalentné práve vtedy, ak ich priesečník uhlopriečok rozdeľuje v rovnakom pomere.

Úloha 3 (z diagnostickej práce na príprave na Jednotnú štátnu skúšku 2010). Cez bod O ležiaci v trojuholníku ABC sú nakreslené tri priame čiary rovnobežné so všetkými stranami trojuholníka. V dôsledku toho sa trojuholník rozdelil na 3 trojuholníky a 3 rovnobežníky. Je známe, že plochy výsledných trojuholníkov sú rovné 1; 2.25 a 4. Nájdite súčet plôch výsledných rovnobežníkov(úloha z diagnostickej práce na príprave na Jednotnú štátnu skúšku - 2010)

Ale tento problém sa dá ľahko vyriešiť pomocou afinných transformácií.

Úloha 4 (stereometrické). Dokážte, že uhlopriečka rovnobežnostena prechádza cez priesečníky stredníc trojuholníkov a je týmito bodmi rozdelený na tri rovnaké segmenty.

Toto je číslo 372 z Atanasyanovej učebnice (11. ročník). Učebnica podáva jeho riešenie vektorovou metódou. Ale už v 10. ročníku môžete použiť metódu afinných transformácií riešením tejto úlohy na kocke.

V tejto úlohe pomocou afinných transformácií dokážeme rovnosť troch segmentov.

1) Overme si afinné vlastnosti obrazca a podmienky problému. Afinný obraz akéhokoľvek rovnobežnostena môže byť kocka. Rozdelenie segmentu v danom vzťahu je afinnou vlastnosťou.

2) Uvažujme kocku s rovnakým názvom , v ktorom uhlopriečka prechádza cez priesečníky stredníc trojuholníkov a .<Рисунок 10>

3) Dokážme, že uhlopriečka je týmito bodmi rozdelená na tri rovnaké časti.

4) Existuje afinné zobrazenie, ktoré transformuje kocku na ľubovoľný hranol. To znamená, že tento problém bude platiť pre ľubovoľný rovnobežnosten.

5) Zovšeobecnenia. Ktoré vlastnosti dokázané na kocke sa zachovajú pre ľubovoľný hranol a ktoré nie (diskutovať so študentmi).

Napríklad: rovnobežnosť rovín a vzťah zostane zachovaná, uhlopriečka k rovinám nebude kolmá, pravidelné trojuholníky nebudú zachované, rovnako ako stred pravidelného trojuholníka, pôjde do priesečníka mediány.

Už v 10. ročníku teda môžete so žiakmi zovšeobecniť ľubovoľné obrazce pomocou vlastností afinných zobrazení.

Pozreli sme sa na úlohy na úrovni softvéru a teraz sa pozrieme na úlohy na pokročilej úrovni.

Tu je problém, ktorý tento rok predstavili žiaci 11. ročníka na olympiáde. Nikto sa s tým, žiaľ, nevyrovnal. Pozrime sa, ako nám to pomôže vyriešiť metóda afinných transformácií.

Úloha 5 (Olympiáda 11. ročník). Trojuholníková pyramída je rozdelená rovinou tak, že stredy bočných stien sú rozdelené priesečníkmi v pomeroch 2:1, 3:1 a 4:1, počítané od vrcholu pyramídy. V akom pomere, počítajúc od vrcholu pyramídy, sú zlomené bočné rebrá?(Z materiálov Bauman MSTU). Odpoveď: 12:7, 12:5, 12:1

A budeme uvažovať o riešení pomocou afinných transformácií.

1) Problém sa týka ľubovoľnej pyramídy, v ktorej sú nakreslené mediány (a byť mediánom je afinná vlastnosť), proporcionálne segmenty sú brané na mediáne (s afinnou transformáciou pomery dĺžok segmentov ležiacich na rovnakej priamke sú zachované). To znamená, že tento problém možno vyriešiť za „pohodlnú“ pyramídu a potom pomocou afinnej transformácie preniesť výsledok na ľubovoľnú.

2) Vyriešme problém pre pyramídu, ktorej tri rovinné uhly na vrchole sú rovné. Novú pyramídu umiestnime do pravouhlého súradnicového systému OXYZ.<Рисунок 11>

3) Nakreslíme stred na jednu z plôch. a sú stredovými čiarami trojuholníka AOB. Ide o to . Potom súradnice bodu K alebo, berúc do úvahy, že stredy sú OA a OB, v tomto poradí, K .Na druhú stranu nakreslíme medián. Označme na ňom bod M tak, že . Podobne nájdeme súradnice M alebo M .Nakoniec bod N leží na strednej a , potom N alebo N .

Takže: K alebo k , M alebo M

N alebo N

Pri analýze zvolíme vhodné číselné súradnice pre body A(40;0;0), B(0;15;0), C(0;0;24).

Rovina (MNK) pretína okraje pyramídy v určitých bodoch. Najprv nájdime súradnice bodu (x; 0; 0). Bod (KMN), ak sú také, že povedzme (sú to vektory). Zapíšme si súradnice vektorov (15; -5; 1), (16; 1; -8), (x; -5; -8). Potom platí nasledujúci systém rovníc . Poďme to vyriešiť: vynásobíme druhú rovnicu číslom 8, dostaneme .Ďalej, pridaním druhého a tretieho, máme . Kde nájdeme x? .

Musíme si nájsť vzťah
. To znamená, že bod delí hranu OA v pomere 12:1. Výpočty sú tiež slušné, ale pochopiteľné. Podobne môžeme nájsť vzťahy pre ďalšie dve strany.

Po vyriešení problému na „pohodlnej“ pyramíde, berúc do úvahy, že existuje afinná transformácia, ktorá transformuje túto pyramídu na ľubovoľnú, prenesieme výsledok do ľubovoľnej pyramídy.

Ak by podmienky tohto problému naznačovali „pohodlnú“ pyramídu, pravdepodobne by sa niektorý zo študentov aspoň pokúsil problém vyriešiť.Metóda afinných transformácií umožňuje zredukovať ťažké fakty na jednoduchý dôkaz.

Dokážte napríklad nasledovné úloha 6: Nech sú dva trojuholníky ABC dané v tej istej rovine. Priamky prechádzajúce príslušnými vrcholmi týchto trojuholníkov sa pretínajú v jednom bode S. Ak sa priamky obsahujúce zodpovedajúce strany týchto trojuholníkov pretínajú v pároch, potom priesečníky ležia na tej istej priamke.. A aby sme dokázali, že tri body patria jednej priamke, zostrojíme priesečník rovín ABC a (keďže dve roviny sa pretínajú pozdĺž priamky).

Konštrukcia.1) , 2) , 3)

Na priesečníku rovín sú tri body, preto ležia na rovnakej priamke. Tento problém (Desarguesova veta) bol dokázaný.

V pokračovaní tejto aplikácie afinných transformácií (riešiacich priestorový problém ako planimetrický) môžeme uvažovať o ďalšom zaujímavom probléme.

Úloha(Sorosova olympiáda)

Dané sú tri lúče v rovine a tri body A, B, C. Zostrojte trojuholník s vrcholmi na týchto lúčoch, ktorých strany prechádzajú bodmi A, B, C (pomocou jedného pravítka).

To znamená, že obrázok by mal byť niečo také.<Рисунок 13>

Tento obrázok budeme považovať za afinný obraz (pod nejakým afinným mapovaním) pyramídy XOYZ na rovinu. Vrcholy pyramídy ležia na súradnicových osiach a body A, B, C sú body v súradnicových rovinách. Potom je úlohou zostrojiť priesečníky roviny (ABC) so súradnicovými rovinami. Samozrejme, existuje spôsob konštrukcie pomocou kompasu a pravítka, ale nepotrebujeme ho. Takže bez kompasu.

Závery.

Takže vám bola predstavená metóda riešenia problémov pomocou afinných transformácií. Poďme si to zhrnúť.

• Metóda vám umožňuje prejsť od zložitejšieho k jednoduchšiemu procesu riešenia.
• Má všeobecný charakter.
• Má širokú škálu aplikácií, a to aj v príbuzných oblastiach.
• Umožňuje integrovať rôzne časti matematiky.
• Pochopenie a aplikácia tejto metódy rozvíja u študentov konštruktívny prístup k riešeniu problémov a kritické myslenie.

Literatúra

1. Geometria: Učebnica pre 10-11 ročníkov všeobecných vzdelávacích inštitúcií/L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev a kol.- M.: Vzdelávanie, 2007.
2. I. Kushnir „Matematická encyklopédia“. Astarte. Kyjev.1995.
3. R. Hartshorne „Základy projektívnej geometrie“. Vydavateľstvo „Mir“. Moskva.1970.

Vlastnosti afinnej transformácie

1. Obraz rovnobežných čiar sú rovnobežné čiary.

Dôkaz protirečením. Predpokladajme, že obrazom rovnobežiek l a m sú priamky l" a m" pretínajúce sa v bode A" (obr. 8). V dôsledku transformácie jedna ku jednej má bod inverzný obraz, ktorý označujeme A. Ale keďže A"єl", potom Aєl . Podobne ako Аєm. To odporuje rovnobežnosti priamok l a m.

2. Počas afinnej transformácie sa zachová vzťah medzi dvoma segmentmi umiestnenými na tej istej čiare: (obr. 9)

Podľa definície afinnej transformácie:

3. Pri afinnej transformácii sa zachová vzťah paralelných segmentov.

Dané: AB||CD. Podľa vlastnosti 2 bude tiež A"B"||C"D" (obr. 10)

Potrebujeme dokázať:

Aby sme to dokázali, urobme AC, potom DL||AC. Zostrojme tiež A"C" a D"L"||A"C". Vlastnosťou 2, priamka DL prechádza do D"L" a teda . Teraz podľa definície: . Ale AL=CD, A"L"=C"L", takže odtiaľto okamžite dostaneme to, čo potrebujeme.

4. Počas afinnej transformácie sa uhol a pomer ľubovoľných úsečiek vo všeobecnosti nezachová, pretože akýkoľvek trojuholník môže byť transformovaný na akýkoľvek iný. Preto sa výška a stred trojuholníka zvyčajne transformujú na iné čiary a stred sa zmení na stred, pretože stred segmentu sa zmení na stred.

5. Afinnou transformáciou prechádza rovnobežník do rovnobežníka, lichobežník do lichobežníka.

Ekvivalentné čísla

Podobne ako pri koncepte rovnosti a podobnosti obrazcov sa zavádza koncept ich afinnej ekvivalencie.

O obrázku F1 sa hovorí, že je afinne ekvivalentný k obrázku F2, ak sa F1 môže transformovať na F2 afinnou transformáciou.

Správnosť tejto definície vyplýva zo skutočnosti, že afinné transformácie tvoria grupu, a preto tu zavedená afinná ekvivalencia má tranzitivitu, reflexivitu a symetriu.

Všimnime si niektoré triedy afinne ekvivalentných obrazcov.

1). Všetky trojuholníky sú afinne ekvivalentné (vyplýva z hlavnej vety).

2). Všetky rovnobežníky sú afinne ekvivalentné.

3). Pre afinnú ekvivalenciu lichobežníkov je potrebné a postačujúce, aby ich základne boli proporcionálne.

Perspektívne-afinná korešpondencia dvoch rovín

Predpokladajme, že dve roviny w a w" sa pretínajú pozdĺž priamky xx (obr. 1). Definujme nejakú priamku l pretínajúcu obe roviny. Označme ľubovoľný bod A na rovine w a premietnime ho na rovinu w “, nakreslením priamky cez A rovnobežnú s l. Nech premietajúca priamka pretína rovinu w" v bode A". Bod A" možno považovať za priemet bodu A do roviny w". Takéto premietanie sa nazýva rovnobežné a určuje sa zadaním priamky l.

Zo samotnej konštrukcie priemetu A" bodu A je zrejmé, že bod A možno považovať za priemet bodu A" do roviny w. Paralelné premietanie je teda aparát, ktorý má absolútne rovnakú hodnotu vo vzťahu k obom rovinám w a w". Každému bodu (A) prvej roviny priraďuje presne definovaný bod (A") druhej roviny a naopak. Získame párovú korešpondenciu bodov rovín w a w." Táto korešpondencia je jedna k jednej, t.j. každý bod jednej roviny zodpovedá jedinečnému bodu druhej roviny a naopak.

Korešpondencia medzi rovinami w a w, stanovená pomocou paralelnej projekcie, sa nazýva perspektívne afinné alebo súvisiace.

Ak vezmeme do úvahy proces prechodu z jednej z týchto rovín (napríklad w) do inej roviny (w"), v ktorej každý bod (A) jednej roviny (w) prechádza do zodpovedajúceho bodu (A") inej roviny rovina (w"), ako jednostranná, sa potom nazýva premena roviny (w) na rovinu (w") - V tomto prípade sa bod A nazýva inverzný obraz a bod A" je jeho obrazom. .

Premietnutím rovnobežnej roviny w na rovinu w" vykonáme perspektívno-afinnú transformáciu roviny w na rovinu w" .

Súbor všetkých bodov roviny w môžeme nazvať aj poľom bodov w a hovoríme o premene poľa bodov w na pole bodov w."

Dajme si za úlohu študovať vlastnosti perspektívno-afinnej korešpondencie rovín.

Zaoberme sa najskôr otázkou dvojitých alebo pevných bodov našej korešpondencie, teda takých bodov, ktoré sa zhodujú s ich zodpovedajúcimi bodmi. Keďže každý dvojitý bod musí patriť do jednej aj druhej roviny, musia ležať na priesečníku xx rovín w a w." Na druhej strane je zrejmé, že každý bod na priamke xx je dvojitým bodom, pretože zodpovedá sebe samej. Priamka sa nazýva os korešpondencie.Podľa predchádzajúcej os korešpondencie možno definovať ako miesto dvojitých bodov.

Priamka v jednej rovine teda zodpovedá priamke v druhej rovine. Táto vlastnosť perspektívne afinnej korešpondencie sa nazýva kolinearita. Na základe samotnej definície rovnobežného priemetu obrazca ako geometrického miesta priemetov všetkých bodov tohto obrazca, každý bod ležiaci na priamke vždy zodpovedá bodu ležiacemu na príslušnej priamke. Preto vzájomná príslušnosť bodu a priamky na jednej rovine znamená vzájomnú príslušnosť zodpovedajúcich prvkov na druhej.

2. Ďalšia vlastnosť perspektívno-afinnej korešpondencie sa týka tzv jednoduchý vzťah tri body na priamke.

Uvažujme tri body A, B, C ležiace na tej istej priamke (obrázok 1). Jednoduchý pomer bodov A, B, C je určený vzorcom:

geometrická transformácia afinná korešpondencia

V tomto vzorci sa body A a B považujú za hlavné (alebo základné) a bod C sa považuje za deliaci. Jednoduchý pomer (ABC) je pomer dĺžok tých segmentov, ktoré tvorí deliaci bod s hlavnými. Ak bod C leží mimo segmentu A B, potom oba segmenty AC a BC smerujú rovnako, a preto je v tomto prípade jednoduchý pomer (ABC) kladný. V prípade, že deliaci bod C je medzi A a B, jednoduchý pomer (ABC) je záporný.

Na obrázku 1 je to vidieť body A, B, Z roviny w zodpovedajú body A, B, C roviny w. Keďže premietané priamky AA, BB, SS sú rovnobežné, budeme mať:

alebo (ABC) = (A"B"C").

Prichádzame k záveru, že v perspektívno-afinnej korešpondencii je jednoduchý pomer troch bodov na priamke jednej roviny vždy rovný jednoduchému pomeru troch zodpovedajúcich bodov druhej roviny.

3. Skôr ako prejdeme k úvahám o ďalších vlastnostiach perspektívno-afinnej korešpondencie, zastavme sa pri otázke možného umiestnenia zodpovedajúcich rovín w a w" v priestore.

Doteraz sme predpokladali, že tieto roviny sa nezhodujú a pretínajú sa pozdĺž priamky xx, aby sme vytvorili perspektívne afinitnú korešpondenciu diskutovanú vyššie prostredníctvom paralelnej projekcie. Po vytvorení takejto zhody by bolo možné uviesť obe roviny do zhody otočením ktorejkoľvek z nich okolo osi xx. V tomto prípade všetky geometrické obrázky umiestnené v jednej a druhej rovine neprechádzajú žiadnou zmenou. V dôsledku toho, ako v akomkoľvek momente rotácie roviny, tak aj keď je kombinovaná s druhou rovinou, nie je porušená predtým stanovená perspektívne afinitná korešpondencia.

Priame čiary spájajúce zodpovedajúce body, ako AA, BB, SS“,..., zostávajú rovnobežné v akejkoľvek polohe rotačnej roviny, ako aj po jej zarovnaní so stacionárnou rovinou. že každé dve zo spomínaných priamych čiar (napríklad AA" a BB") ležia vždy v tej istej rovine, ktorá je definovaná dvojicou pretínajúcich sa priamok (AB a A"B") a po stranách sú odrezané proporcionálne segmenty uhla, pretože (ABX) = (A"B"X). Pri spojení rovín w a w" sa ukáže, že premietajúce priame čiary (AA, BB",...) ležia v rovine vytvorenej z dvoch zhodných roviny w a w“ (obr. 2).

Obzvlášť zaujímavý je pre nás prípad kombinovanej polohy rovín, pretože v tomto prípade môžeme použiť plochý výkres zobrazujúci zistenú korešpondenciu bez skreslenia.

V prípade zarovnania možno každý bod (dvojitej) roviny považovať za patriaci do roviny w alebo w" a v závislosti od toho ho označiť veľké písmeno bez mŕtvice alebo s mŕtvicou. Máme teda transformáciu roviny do seba a jej počiatočný stav (rovinu pred transformáciou) označíme písmenom w a nový stav (rovinu po transformácii) označíme písmenom w.“

Všimnite si, že po spojení rovín os korešpondencie xx prestáva byť priesečníkom týchto rovín, ale zachováva si druhú definíciu ako geometrické umiestnenie dvojitých alebo pevných bodov.

4. Teraz by sme mohli opustiť priestorový aparát (paralelná projekcia), ktorý nám slúžil na vytvorenie perspektívno-afinnej korešpondencie medzi dvoma rovinami, a určiť tú druhú pre dvojitú rovinu bez prechodu do priestoru. Za týmto účelom dokážeme nasledujúci predpoklad: Perspektívna afinná transformácia roviny do seba je úplne určená osou (xx) a dvojicou zodpovedajúcich bodov (A, A“).

Dôkaz. Nech je uvedená os xx a dvojica zodpovedajúcich bodov (AA) perspektívno-afinnej transformácie (obr. 3) Dokážme, že pre akýkoľvek bod v rovine je možné zostrojiť presne definovaný a jedinečný zodpovedajúci bod B“.

Nakreslíme priamku AB. Nech X je bod jeho priesečníka s osou xx. Keďže bod X zodpovedá sám sebe (ako leží na osi), potom priamka AX zodpovedá priamke A"X. Napokon bod B" musí ležať na priamke A"X a premietajúcej priamke BB", rovnobežnej s A A To nám umožňuje zostaviť požadovaný bod B." Dát bolo teda dosť a príslušný bod B“ predstavuje jediné riešenie.

Všimnite si, že perspektívne afinná korešpondencia bude skutočne realizovaná, pretože naznačená konštrukcia nemôže viesť k rozporu. To sa dá ľahko overiť zmenšením konštrukcie na paralelné premietacie zariadenie.

V skutočnosti, ak ohneme kresbu 3 pozdĺž priamky xx tak, že roviny w a w" zvierajú dvojstenný uhol, potom sa všetky vyčnievajúce priamky (priame čiary spájajúce zodpovedajúce body, napríklad BB") ukážu ako rovnobežné. k priamke AA" (kvôli proporcionalite segmentov). V dôsledku toho možno korešpondenciu, ktorú sme skonštruovali, považovať za výsledok rovnobežnej projekcie.

Poznámka. Ak by sme na obrázku 3 priradili bod B k rovine w a označili sme ho C, potom by nás zostrojenie zodpovedajúceho bodu priviedlo k bodu C, ktorý, ako je zrejmé z obrázku 3, sa nie vždy zhoduje s B." preukázať, že nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou takejto zhody, t. j. nezávislosti perspektívne afinnej korešpondencie od toho, či je bod priradený k tej či onej rovine, je rozdeliť úsečku A A" na polovicu v priesečníku os xx.

Preto je v tomto prípade korešpondencia šikmá alebo priama symetria (vzhľadom na os xx).

5. Pri ďalšom štúdiu perspektívno-afinnej korešpondencie sa budeme opierať o vlastnosti stanovené vyššie: 1) kolinearita a 2) rovnosť jednoduchých vzťahov trojíc zodpovedajúcich bodov.

Všimnite si, že v perspektívno-afinných transformáciách tieto vlastnosti vyjadrujú nemennosť alebo nemennosť pojmu priamka a koncepcie jednoduchého vzťahu troch bodov priamky.

Z týchto vlastností možno odvodiť celý rad ďalších „invariantov“ perspektívno-afinnej transformácie, ktoré teda už nie sú nezávislé. Najprv dokážme nemennosť rovnobežnosti priamok. Predpokladajme, že v rovine w máme dve priamky a a b, ktoré v rovine w" zodpovedajú priamkam a" a b". Predpokladajme, že priamky a a b sú rovnobežné (a || b). Dokážme že "|| b". Aplikujme dôkaz kontradikciou. Predpokladajme, že sa priamky a" a b" pretínajú a priesečník označme písmenom M" (obr. 4). Potom, v dôsledku vzájomnej zhody rovín w a w, bod M zodpovedá rovine w. Bod M na rovine w zodpovedá bodu M na rovine w. Bod M musí patriť ako priamke a, tak aj priamka b. V dôsledku toho je M priesečník priamok a a b. Dostávame sa teda k rozporu. Predpoklad, že sa priamky a" a b" pretínajú, je nemožný. Preto a" || b".

Paralelnosť čiar je teda invariantnou vlastnosťou perspektívno-afinnej transformácie.

Spojme B s D a narysujme priamku CF || cez C. DВ. V rovine w" bude priamka СF zodpovedať priamke С"F" D"В" (v dôsledku nemennosti rovnobežnosti), a preto bude bod F zodpovedať bodu F". Keď vieme, že jednoduchý vzťah troch bodov je invariantný, môžeme napísať:

Dostávame sa teda k rovnosti:

Ten ukazuje, že vzťah dvoch paralelných segmentov je invariantom perspektívne afinitnej korešpondencie.

Ak segmenty AB a CD ležia na rovnakej priamke (obr. 6), potom je ich vzťah invariantný aj v perspektívno-afinnej korešpondencii. Nech je PQ ľubovoľný segment rovnobežný s priamkou AB. Potom máme:

6. Prejdime k zváženiu oblastí zodpovedajúcich obrázkov. Dokážme nasledujúcu lemu: Vzdialenosti dvoch zodpovedajúcich bodov (A, A") k osi korešpondencie (xx) sú v konštantnom pomere, nezávisle od výberu dvojice zodpovedajúcich bodov. Dôkaz. Predpokladajme, že body A a B zodpovedajú bodom A" a B" (obr. 7) Sklopením kolmic z týchto bodov na os xx získame ich vzdialenosti od osi. Vzdialenosti budú vždy považované za kladné, bez ohľadu na smer kolmíc.

Môžeme napísať:

Ale ako vidno z nákresu:

Výsledná rovnosť dokazuje vyššie sformulovanú lemu.

Označme konštantný pomer vzdialeností zodpovedajúcich bodov k. Dokážme nasledujúcu vetu.

Pomer plôch dvoch zodpovedajúcich trojuholníkov je konštantný a rovný.

Dôkaz vety sa delí na tieto prípady:

1. Trojuholníky majú spoločnú stranu na osi xx.

Takéto trojuholníky sú znázornené na obrázku 8. Pomer ich plôch bude vyjadrený takto:

2. Trojuholníky majú spoločný vrchol na osi xx.

Toto sú dva trojuholníky na obrázku 9. Zodpovedajúce strany BC a BC týchto trojuholníkov sa musia pretínať na osi xx (v bode X). Posudzovaný prípad sa redukuje na predchádzajúci. V skutočnosti, na základe predchádzajúceho, môžeme napísať:

Preto budeme mať:

3. Všeobecný prípad dva zodpovedajúce trojuholníky.

Majme dva zodpovedajúce trojuholníky ABC a A"B"C na výkrese 10. Uvažujme jeden z týchto trojuholníkov, napríklad ABC. Oblasť tohto trojuholníka môže byť znázornená nasledovne:

Všetky trojuholníky na pravej strane tejto rovnosti sa týkajú dvoch už uvažovaných prípadov, a preto, ak na ne použijeme osvedčenú vetu, môžeme prepísať rovnosť zistenú vyššie takto:

teda

7. Vlastnosť, ktorú sme odvodili z plôch dvoch zodpovedajúcich trojuholníkov, možno jednoducho rozšíriť na prípad zodpovedajúcich mnohouholníkov. V skutočnosti môže byť každý mnohouholník rozdelený na niekoľko trojuholníkov a plocha mnohouholníka je vyjadrená súčtom plôch trojuholníkov, z ktorých sa skladá.

Pre zodpovedajúci mnohouholník získame podobné rozdelenie na trojuholníky. Ak označíme plochy dvoch zodpovedajúcich mnohouholníkov písmenami S a S“ a plochy dvoch zodpovedajúcich zložkových trojuholníkov písmenami, potom môžeme písať:

Pretože okrem toho pre oblasti zodpovedajúcich trojuholníkov máme:

Tak dostaneme:

Nakoniec môžeme zovšeobecniť vetu o plošnom vzťahu na prípad dvoch oblastí ohraničených zodpovedajúcimi krivkami ľubovoľného tvaru.

Označme oblasti ohraničené dvoma zodpovedajúcimi krivkami a. Vpíšme mnohouholník do krivky ohraničujúcej oblasť a označme oblasť tohto mnohouholníka písmenom S. Zväčšíme počet strán vpísaného mnohouholníka do nekonečna, za predpokladu, že každá strana smeruje k nule, potom získať:

Pre oblasť budeme mať podobný proces: ,

kde S“ označuje oblasť mnohouholníka zodpovedajúcu mnohouholníku S. Keďže počas celého procesu (zmeny mnohouholníkov), podľa vyššie dokázanej vety, musia mať:

potom prechod na limit dáva =k.

teda

Výsledná vlastnosť môže byť reprezentovaná ako invariant perspektívno-afinnej korešpondencie.

V skutočnosti označme a oblasti ohraničené dvoma krivkami ľubovoľného tvaru a " a " - oblasti ohraničené zodpovedajúcimi krivkami, potom, podľa toho, čo bolo dokázané, budeme mať:

alebo preskupením stredných členov podielu:

ktoré možno vyjadriť slovami: pomer ľubovoľných dvoch oblastí sa v perspektívno-afinnej korešpondencii nemení (je invariantný).

Všeobecná afinná zhoda

Perspektívne afinný vzťah medzi dvoma rovinami možno získať pomocou paralelnej projekcie.

Uvažujme teraz o zhode dvoch rovín vytvorených opakovaným použitím rovnobežného premietania. Takže na obrázku 11 je rovina w premietnutá rovnobežne s priamkou l na rovinu w." Táto rovina je premietnutá rovnobežne s priamkou l" na rovinu w. Nakoniec je táto rovina premietnutá rovnobežne s priamkou l" na rovinu w. " Tak sa vytvorí zhoda medzi rovinami w a w"", v ktorých body A,B,C prvá rovina zodpovedá bodom A"", B"", C" druhej. Dá sa ľahko overiť, že táto korešpondencia nemusí byť rovnobežnou projekciou, ale zároveň má invariantné vlastnosti perspektívno-afinnej korešpondencie. . Korešpondencia rovín w a w"" je v skutočnosti reťazou po sebe nasledujúcich rovnobežných projekcií. Keďže každá takáto projekcia zachováva kolinearitu a jednoduchý vzťah troch bodov, potom by výsledná zhoda rovín w a w""" mala samozrejme majú rovnaké vlastnosti.

To isté možno povedať o ostatných invariantných vlastnostiach uvažovaných v prípade perspektívno-afinnej korešpondencie, ktorá sa teda ukáže ako špeciálny prípad, keď sú čiary spájajúce zodpovedajúce body navzájom rovnobežné:

Práve z tohto dôvodu sa takáto korešpondencia nazýva perspektívne afinná.

Korešpondencia rovín w a w""" sa nazýva afinná. K tomuto konceptu sme dospeli pomocou reťazca perspektívno-afinných transformácií (alebo rovnobežných projekcií). Ak každú z nich označíme písmenami P, P, P" a výslednú transformáciu písmenom A môžeme znázorniť afinnú transformáciu A nasledujúcim symbolickým vzorcom:

A = P * P" * P",

v ktorých je pravá strana „produktom“ perspektívno-afinných transformácií, teda výsledkom ich sekvenčnej aplikácie.

Rovnaké uvažovanie by sa dalo uskutočniť bez opustenia jednej roviny, na čo stačí uvažovať o reťazci perspektívne afinných premien roviny do seba. Každá z transformácií môže byť špecifikovaná osou a dvojicou zodpovedajúcich bodov. Takže napríklad na výkrese 12 je prvá transformácia P špecifikovaná osou xx a dvojicou (A, A"); druhá P" - osou a dvojicou (A", A"); tretie P" - os x "x" a dvojica (A" "A""). Vo výslednej transformácii A zodpovedá bodu A bodu A". Rovnaký výkres znázorňuje konštrukciu bodu B"" , čo zodpovedá bodu B.

Vyššie uvedené ukazuje, že transformácie získané pomocou reťazca paralelných projekcií (alebo perspektívne afinných transformácií) majú vlastnosti kolinearity a zachovania jednoduchého vzťahu troch bodov.

UDC 004,932

Kudrina M.A., Murzin A.V.

Federálna štátna rozpočtová vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania „Samara State Aerospace University pomenovaná po Ak. S. P. Korolev (národná výskumná univerzita)“, Samara, Rusko

AFINNÉ TRANSFORMÁCIE OBJEKTOV V POČÍTAČOVEJ GRAFII

Jednou z typických úloh, ktoré je potrebné riešiť pomocou rastrovej grafiky, je transformácia celého obrazu ako celku a jeho jednotlivých fragmentov, ako napríklad: pohyb, rotácia okolo daného stredu, zmena lineárne rozmery a tak ďalej.

Tento problém je vyriešený pomocou afinných transformácií.

Afinné transformácie môžu byť veľmi užitočné v nasledujúcich situáciách:

1. Komponovať plochý obraz alebo trojrozmernú scénu usporiadaním prvkov rovnakého typu, ich kopírovaním, transformovaním a presúvaním na rôzne miesta v obraze. Napríklad na vytvorenie symetrických objektov, ako je snehová vločka. Môžete vyvolať jeden motív a následne vytvoriť obraz celého objektu odrazom, otáčaním a posúvaním tohto motívu.

2. Prezerať si trojrozmerné predmety z rôznych uhlov pohľadu. V takom prípade môžete fixovať polohu kamery a otáčať scénu, alebo naopak, nechať scénu bez pohybu a pohybovať kamerou okolo nej. Takéto manipulácie sa môžu uskutočňovať pomocou trojrozmerných afinných transformácií.

3. Premietať trojrozmerné objekty na rovinu a zobrazovať scénu v okne. Takže napríklad pre axonometrickú projekciu sa používa postupnosť dvoch otočení projekčnej roviny a pre zobrazenie v okne sa používa kombinácia mierky a translácie.

Afinné transformácie v rovine sú všeobecne opísané nasledujúcimi vzorcami:

J X = Ax + By + C, . Program umožňuje automatizovať proces zostavovania testovacích úloh.

LITERATÚRA

1. Porev V. N. Počítačová grafika. - Petrohrad: BHV-Petersburg, 2002. - 432 s. : chorý.

2. Kopec F. Otvorená GL. Programovanie počítačovej grafiky. Pre profesionálov. - Petrohrad: Peter,

2002. - 1088 s.: ill. ISBN 5-318-00219-6

3. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Vytyagov A.A., Ionov D.O. Vývoj systému dištančného vzdelávania pre kurz „Počítačová grafika“ s využitím Moodle: Zborník príspevkov z medzinárodného sympózia Spoľahlivosť a kvalita. 2010. T. I. P. 165.

4. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Degtyareva O.A. Certifikačný pedagogický merací materiál pre kurz "Počítačová grafika" // Spoľahlivosť a kvalita 2008. Zborník medzinár. sympóziu. Penza, 2008, s. 162-163.

5. Kudrina M.A. Využitie certifikačných a pedagogických meracích materiálov pre kurz

"Počítačová grafika" vo vzdelávacom procese"//Vzdelávanie - investície do úspechu: Vedecké materiály -

Afinná transformácia je taká, ktorá zachováva rovnobežnosť čiar, ale nie nevyhnutne uhly alebo dĺžky.
V počítačovej grafike sa všetko, čo patrí do dvojrozmerného prípadu, zvyčajne označuje symbolom 2D (2-dimension). Predpokladajme, že v rovine je zavedený priamočiary súradnicový systém. Potom je každému bodu M priradená usporiadaná dvojica čísel (x, y) jeho súradníc (obr. 1).

Vyššie uvedené vzorce možno uvažovať dvoma spôsobmi: buď sa bod zachová a súradnicový systém sa zmení, pričom ľubovoľný bod M zostane rovnaký, zmenia sa len jeho súradnice (x, y) (x*, y*), resp. bod sa zmení a súradnicový systém sa v tomto prípade zachová. V tomto prípade vzorce definujú zobrazenie, ktoré vezme ľubovoľný bod M(x, y) do bodu M*(x*, y*), ktorého súradnice sú definované v rovnakom súradnicovom systéme. V budúcnosti budeme vzorce interpretovať spravidla tak, že body roviny sú transformované v danom systéme priamočiarych súradníc.
Pri afinných transformáciách roviny zohráva osobitnú úlohu niekoľko dôležitých špeciálnych prípadov, ktoré majú dobre sledovateľné geometrické charakteristiky. Pri štúdiu geometrického významu číselných koeficientov vo vzorcoch pre tieto prípady je vhodné predpokladať, že daný súradnicový systém je pravouhlý kartézsky.
Najčastejšie používané techniky počítačovej grafiky sú: preklad, zmena mierky, rotácia, odraz. Algebraické výrazy a obrázky vysvetľujúce tieto transformácie sú zhrnuté v tabuľke 1.

Afinné transformácie v rovine

Transferom rozumieme posunutie výstupných primitív do rovnakého vektora.
Zmena mierky je zväčšenie alebo zmenšenie celého obrázka alebo jeho časti. Pri zmene mierky sa súradnice obrazových bodov vynásobia určitým číslom.
Rotácia označuje rotáciu výstupných primitív okolo danej osi. (V rovine kreslenia dochádza k rotácii okolo bodu.)
Odraz sa vzťahuje na získanie zrkadlového obrazu obrazu vzhľadom na jednu z osí (napríklad X).
Výber týchto štyroch špeciálnych prípadov je určený dvoma okolnosťami:
1. Každá z vyššie uvedených transformácií má jednoduchý a jasný geometrický význam (konštantné čísla obsiahnuté vo vyššie uvedených vzorcoch sú tiež obdarené geometrickým významom).
2. Ako sa ukázalo v priebehu analytickej geometrie, každá transformácia tvaru (*) môže byť vždy reprezentovaná ako postupné vykonávanie (superpozícia) najjednoduchších transformácií tvaru A, B, C a D (alebo ich častí). transformácie).
Platí teda nasledujúca dôležitá vlastnosť afinných transformácií roviny: akékoľvek zobrazenie tvaru (*) možno opísať pomocou zobrazení špecifikovaných vzorcami A, B, C a D.
Pre efektívne využitie Pre tieto známe vzorce v úlohách počítačovej grafiky je vhodnejší ich maticový zápis.
Na spojenie týchto transformácií sa zavedú homogénne súradnice. Homogénne súradnice bodu sú ľubovoľné trojice súčasne nenulových čísel x1, x2, x3, ktoré súvisia s danými číslami x a y nasledujúcimi vzťahmi:

Potom bod M(x, y) zapíšeme ako M(hX, hY, h), kde h 0 je mierkový faktor. Dvojrozmerné karteziánske súradnice možno nájsť ako

V projektívnej geometrii sa tieto súradnice zavádzajú na odstránenie neistôt, ktoré vznikajú pri špecifikácii nekonečne vzdialených (nevlastných) prvkov. Homogénne súradnice možno interpretovať ako vnorenie roviny meranej faktorom h do roviny Z= h v trojrozmernom priestore.
Body v homogénnych súradniciach sú zapísané v trojprvkových riadkových vektoroch. Transformačné matice musia mať veľkosť 3x3.
Pomocou trojíc homogénnych súradníc a matíc tretieho rádu možno opísať akúkoľvek afinnú transformáciu roviny.
V skutočnosti, za predpokladu, že h = 1, porovnajme dve položky: tú, ktorá je označená symbolom (*) a nasledujúcu maticovú:

Teraz môžete použiť kompozíciu transformácií s použitím jedného výsledku namiesto série transformácií nasledujúcich za sebou. Môžete napríklad rozdeliť zložitý problém na niekoľko jednoduchých. Otáčanie bodu A okolo ľubovoľného bodu B možno rozdeliť do troch úloh:
prevod, v ktorom B = 0 (kde 0 je počiatok);
otočiť;
spätný prenos, pri ktorom sa bod B vráti na svoje miesto atď.
Zloženie je najviac všeobecný pohľad z operácií T, D, R, M má maticu:

Horná časť 2x2 je kombinovaná matica rotácie a mierky a tx a ty popisujú celkový posun.
Načrtnuté základné transformácie sú nasledovné:
rolovanie posúvanie okna na vykresľovacej ploche (ak je pohyb obmedzený len na smer nahor a nadol, potom sa to nazýva vertikálne posúvanie);

priblížiť postupná zmena mierky obrazu;
salto dynamický obraz výstupných primitív rotujúcich okolo určitej osi, ktorých orientácia sa plynule mení v priestore;
panvicu postupný prenos obrazu na vytvorenie vizuálneho vnemu pohybu.