Формулы логарифмических уравнений. Логарифмические уравнения: решения от эксперта

1. Решение стандартно - воспользуемся правилом умножения на 1 :

Теперь удаляем логарифмы:

Перемножим крест-накрест:

Проверка

Подходит!

Проверка

И здесь подходит! Может, я ошибся, и корни вообще всегда подходят? Давай посмотрим на следующий пример!

Пример № 2

Тройку нашим любимым методом представим в виде

Слева и справа воспользуемся формулой для суммы логарифмов.

Пример №3

Решение аналогично уже рассмотренному ранее примеру: Единицу справа давай превратим в (я напомню, что - десятичный логарифм, или логарифм по основанию), и произведем действия между логарифмами слева и справа:

теперь уберем логарифмы слева и справа:

\left({x} -2 \right)\left({x} -3 \right)=2

Проверка:

Опять оба логарифма слева не определены, так как они берутся от отрицательных чисел. Тогда не является корнем.

так как, то

Ответ:

Я надеюсь, что только что приведенные примеры навсегда отучат тебя пропускать проверку при решении логарифмических уравнений. Она необходима!

Логарифмическое уравнение с переменным основанием

Теперь я бы хотел рассмотреть с тобой еще один (чуть более сложный) вид логарифмических уравнений. Это будут уравнения с переменным основанием.

До этого же мы рассматривали только случаи, когда основания были постоянными: и т. д. Но ничто не мешает им быть некоторыми функциями от, например и т. д.

Но не стоит пугаться! Если при решении логарифмических неравенств переменное основание доставляет довольно много неудобств, то на сложности решения уравнения это практически никак не сказывается! Суди сам:

Пример №1

Действуем как и раньше: применяем метод «умножь на единицу» к числу:

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

Применю формулу разности квадратов:

Проверка:

Какой делаем вывод? Неверно! Число не является корнем уравнения, поскольку основание логарифма не может быть отрицательным числом или равняться единице!

Ответ: .

Как видишь, в случае уравнений нет никакой принципиальной разницы, переменные у нас основания или нет. В этом плане можно сказать, что решить логарифмическое уравнение как правило намного проще, чем решить логарифмическое неравенство!

Давай теперь попробуем решить еще один «странный» пример.

Пример №2

Будем действовать как всегда - превратим правую часть в логарифм, вот такой хитрый:

Тогда исходное логарифмическое уравнение будет равносильно вот такому уравнению (правда снова логарифмическому)

Данное уравнение я буду решать снова по разности квадратов:

Давай решим вначале первое, второе будет решаться примерно так же:

Снова воспользуюсь «умножением на 1» :

Аналогично для второго уравнения:

Теперь самое интересное: проверка. Начнем с первого корня

Основание «большого» логарифма равно

Поэтому не является корнем.

Проверим второе число:

то число является корнем исходного уравнения.

Ответ:

Я намеренно привел достаточно сложный пример, чтобы показать тебе, что не стоит пугаться больших и страшных логарифмов.

Достаточно знать несколько формул (которые я уже привел тебе выше) и из любой (практически) ситуации можно найти выход!

Ну вот, я привел тебе основные методы решения логарифмических уравнений (методы «без изысков»), которые позволят тебе справиться с большинством примеров (в первую очередь на ЕГЭ).

Теперь пришло твое время показать, чему ты научился. Попробуй самостоятельно решить следующие логарифмические уравнения , а затем мы с тобой сверим результат.

Семь примеров для самостоятельной работы

Рассмотренные в этой работы приемы, конечно, не исчерпывают всевозможные способы решения логарифмических уравнений.

В некоторых случаях нам нужно очень «извернуться», чтобы придумать способ найти корни у каверзного уравнения.

Однако, каким бы сложным не было начальное уравнение, в результате оно сведется к уравнению того вида, которые мы с тобой только что научились решать!

Ответы на примеры для самостоятельную работу

1. Достаточно простая задачка: воспользуемся свойством:

в вычитаемом:

Тогда мы получим:

Делаем проверку:

(этот переход я уже объяснял тебе выше)

Ответ: 9

2. Тоже ничего сверхъестественного: неохота мне делить, поэтому я перенесу слагаемое с «минусом» вправо: теперь слева и справа у меня стоят десятичные логарифмы, и я от них избавляюсь:

Делаю проверку:

выражение под знаком логарифма не может быть отрицательным, поэтому число не является корнем уравнения.

Проверка

Ответ:

Здесь нужно немного поработать: ясно, что, снова воспользуюсь (не правда ли очень полезной?) формулой:

Что мне нужно сделать, прежде чем применить формулу сложения логарифмов? Да, мне нужно избавиться от множителя. Есть два пути: первый - в лоб занести его в логарифм по формуле:

В принципе, этот метод имеет право на существование, но что в нем плохо? Плохо иметь дело с выражением вида (всегда неприятна «нецелая степень». Так что можно сделать еще? Как можно избавиться от такой «нецелости»? Давай домножим на наше уравнение:

Ну вот, а теперь давай занесем оба множителя в логарифмы:

тогда я заменю ноль на

И окончательно получу:

Помнишь, как называется эта «нелюбимая» школьная формула? Это разность кубов! Может, так более понятно?

Напомню тебе, что разность кубов вот так раскладывается на множители:

и вот еще на всякий случай:

Применительно к нашей ситуации это даст:

Первое уравнение имеет корень, а второе корней не имеет (убедись сам!).

Предоставляю тебе самостоятельно сделать проверку и убедиться, что число на самом деле является корнем нашего уравнения.

Как и в предыдущем примере перепишем

Я опять не хочу никаких вычитаний (и последующих делений) и поэтому перенесу полученное выражение вправо:

Теперь убираю логарифмы слева и справа:

Мы получили иррациональное уравнение, которое, как я надеюсь, ты уже умеешь решать. Я лишь напомню, что мы возводим обе стороны в квадрат:

Твоя задача теперь - убедиться, что не является корнем, а - является.

Ответ:

Все прозрачно: применяем формулу суммы логарифмов слева:

тогда убираем логарифмы с двух сторон:

Проверка:

Ответ: ;

Все проще некуда: уравнение уже приведено к простейшему виду. Нам осталось только приравнять

Делаем проверку:

А вот при основание у логарифмов равно:

И не является корнем.

Ответ:

Этот пример я оставил нам на десерт. Хотя в нем тоже нет ничего очень уж сложного.

Ноль представим как

Тогда мы с тобой получим вот такое логарифмическое уравнение :

И мы снимаем первую «шкурку» - внешние логарифмы.

Единицу представим как

Тогда наше уравнение примет вид:

Теперь мы снимаем «вторую шкурку» и добираемся до сердцевины:

Делаем проверку:

Ответ: .

3 МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

Теперь, после ознакомления с первой статьей по логарифмическим уравнениям, ты овладел необходимым минимумом знаний, необходимых для решения простейших примеров.

Теперь я могу перейти к разбору еще трех методов решения логарифмических уравнений:

метод введения новой переменной (или замены)
метод логарифмирования
метод перехода к новому основанию.

Первый метод - один из наиболее часто употребляемых на практике. Им решается большинство «трудных» задач, связанных с решением логарифмических (и не только) уравнений.

Второй метод служит для решения смешанных показательно-логарифмических уравнений, в конечном счете сводя задачу к выбору хорошей замены переменной (то есть к первому методу).

Третий метод пригоден для решения некоторых уравнений, в которых встречаются логарифмы с разными основаниями.

Я начну с рассмотрения первого метода.

Метод введения новой переменной (4 примера)

Как ты уже понял из названия, суть этого метода - ввести такую замену переменной, что твое логарифмическое уравнение чудесным образом преобразится в такое, которое ты уже с легкостью можешь решить.

Все что тебе останется после решения этого самого «упрощенного уравнения» - это сделать «обратную замену» : то есть вернуться от замененного к заменяемому.

Давай проиллюстрируем только что сказанное на очень простом примере:

В этом примере замена прямо напрашивается сама собой! Ведь ясно, что если мы заменим на, то наше логарифмическое уравнение превратится в рациональное:

Его ты без проблем решишь, сведя к квадратному:

(дабы знаменатель не обнулился ненароком!)

Упрощая полученное выражение, мы окончательно получим:

Теперь делаем обратную замену: , тогда из следует, что, а из получим

Теперь, как и раньше, пришла очередь проверки:

Пусть вначале, так как, то, верно!

Теперь, тогда, все верно!

Таким образом, числа и являются корнями нашего исходного уравнения.

Ответ: .

Вот еще один пример с очевидной заменой:

В самом деле, сразу же давай заменим

тогда наше исходное логарифмическое уравнение превратится в квадратное:

Обратная замена:

Проверку проведи самостоятельно, убедись, что в данном случае оба найденных нами числа являются корнями.

Мне кажется, что основную идею ты уловил. Она не нова и распространяется не только на логарифмические уравнения.

Другое дело, что иногда довольно сложно сразу «увидеть» замену. Здесь требуется некоторый опыт, который придет к тебе после некоторых усилий с твоей стороны.

А пока что потренируйся в решении следующих примеров:

Готов? Давай проверим, что у тебя получилось:

Вначале решим второй пример.

Он как раз демонстрирует тебе, что не всегда замену удается сделать, что говорится, «в лоб».

Прежде нам нужно немного преобразовать наше уравнение: применить формулу разности логарифмов в числителе первой дроби, и вынести степень в числителе второй.

Сделав это, ты получишь:

Теперь замена стала очевидной, не так ли? Давай сделаем ее: .

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и упростим.

Тогда мы получим:

Решив последнее уравнение, ты найдешь его корни: откуда.

Самостоятельно сделай проверку и удостоверься в том, что и в самом деле являются корнями нашего первоначального уравнения.

Теперь давай попробуем решить третье уравнение.

Ну, во-первых, ясно, что нам не повредит домножить обе части уравнения на. Вреда никакого, а польза - очевидна.

Теперь сделаем замену. Ты ведь догадался о том, что мы будем заменять? Верно, положим, . Тогда наше уравнение примет вот такой вид:

(оба корня нам подходят!)

Теперь обратная замена: , откуда, откуда. Наше исходное уравнение имеет сразу аж четыре корня! Убедись в этом, подставим полученные значения в уравнение. Записываем ответ:

Ответ: .

Я так думаю, что теперь идея замены переменной тебе полностью ясна? Хорошо, тогда не будем останавливаться на достигнутом и перейдем к еще одному методу решения логарифмических уравнений: методу перехода к новому основанию.

Метод перехода к новому основанию

Давай рассмотрим следующее уравнение:

Что мы видим? Два логарифма будто бы «противоположны» друг другу. Что нужно делать? Все легко: нам достаточно прибегнуть к одной из двух формул:

В принципе, мне ничего не мешает воспользоваться любой из этих двух формул, но из-за структуры уравнения, мне удобнее будет применить первую: я избавлюсь от переменного основания логарифма во втором слагаемом, заменив его на. Теперь легко заметить, что задача свелась к предыдущей: к выбору замены. Заменив, я получу следующее уравнение:

Отсюда. Тебе осталось подставить найденные числа в исходное уравнение и убедиться, что они в самом деле являются корнями.

Вот еще один пример, в котором разумно будет перейти к новому основанию:

Однако, как ты можешь легко проверить, если мы с тобой перейдем к новому основанию сразу, это не даст должного эффекта. Что нам нужно сделать в этом случае? А давай все упростим донельзя, а дальше будь что будет.
Вот, что я хочу сделать: представить, как, как, вынести эти степени перед логарифмами, а также вынести квадрат у икса в первом логарифме. Дальше уже посмотрим.

Запомни, с основанием бывает намного сложнее подружиться, чем с выражением, стоящим под знаком логарифма!

Следуя этому правилу, я заменю на и на. Тогда я получу:

Ну а дальнейшие шаги тебе уже знакомы. Заменяй и ищи корни!

В результате ты отыщешь два корня исходного уравнения:

Пришла пора тебе показать, чему ты научился!

Постарайся вначале самостоятельно решить следующие (не самые легкие) примеры:

1. Здесь все достаточно стандартно: я буду стараться свести мое исходное уравнение к такому, чтобы была удобна замена. Что мне для этого потребуется? Во-первых, преобразовать первое выражение слева (вынести четвертую степень двойки перед логарифмом) и вынести степень двойки из основания второго логарифма. Тогда я получу:

Осталось всего ничего: «перевернуть» первый логарифм!

\frac{12}{\log_{2}{x}}=3{{\log }_{2}}x

(для удобства я перенес второй логарифм слева в правую часть уравнения)

Задача почти решена: можно сделать замену. После приведения к общему знаменателю я получу следующее уравнение:

Сделав обратную замену, тебе не составит труда сосчитать, что:

Убедись, что полученные значения являются корнями нашего уравнения.

2. Здесь я тоже буду стараться «подогнать» мое уравнение под приемлемую замену. Какую же? Пожалуй, мне подойдет.

Так давай не будем терять времени и приступим к преобразованиям!

{{\log }_{x}}5{{x}^{2}}\cdot \log \frac{2}{5}x=1

Ну вот, теперь можно смело заменять! Тогда, уже относительно новой переменной, мы получим следующее уравнение:

Откуда. Опять-таки, удостовериться, что оба эти числа являются в самом деле корнями, предоставляется тебе в качестве упражнения.

3. Здесь сразу даже не совсем очевидно, что мы будем заменять. Есть одно золотое правило - не знаешь, что делать - делай то, что можно! Вот им я и воспользуюсь!

Теперь я «переверну» все логарифмы и применю к первому - формулу логарифма разности, а к двум последним - логарифм суммы:

Здесь я также пользовался тем, что (при) и свойством вынесения степени из логарифма. Ну вот, теперь нам можно применить подходящую замену: . Я уверен, что ты уже умеешь решать рациональные уравнения, даже вот такого монструозного типа. Поэтому я позволю себе сразу записать результат:

Осталось решить два уравнения: . С методами решения таких «почти простейших» уравнений, ты уже ознакомился в предыдущем разделе. Таким образом, я сразу запишу окончательные решения:

Убедись, что только два из этих чисел - корни моего уравнения! А именно - это и, в то время как корнем не является!

Этот примерчик позаковырестее, однако, я постараюсь решить его вообще не прибегая к замене переменной! Давай опять, будем делать, что можно: а можно для начала разложить логарифм слева по формуле для логарифма отношения, а также вынести двойку вперед у логарифма в скобках. В итоге у меня получится:

Ну а теперь та самая формула, которую мы уже применяли! Так как, то сократим правую часть! Теперь там вообще просто стоит двойка! Перенесем к ней слева единицу, окончательно получим:

Как решать такие уравнения, ты уже знаешь. Корень находится без труда, и он равен. Напоминаю тебе о проверке!

Ну вот, теперь ты, как я надеюсь, научился решать достаточно сложные задачи, которые « в лоб» не одолеешь! Но логарифмические уравнения бывают еще более коварными! Вот например такие:

Здесь уже, увы, предыдущий способ решения не даст ощутимых результатов. Как ты думаешь, почему? Да, никакой «обратности» логарифмов здесь уже не наблюдается. Этот наиболее общий случай, конечно, тоже поддается решению, но мы уже применяем вот такую формулу:

Уж этой формуле все равно, имеется у вас «противоположность» или нет. Ты можешь спросить, а чему выбирать основание? Мой ответ - это не имеет никакого значения. Ответ в итоге не будет зависеть от этого. Традиционно используют либо натуральный, либо десятичный логарифм. Хотя это и не принципиально. Я, например, буду применять десятичный:

Отставлять ответ в таком виде - форменное безобразие! Давайте я вначале запишу по определению, что

Теперь пришло время воспользоваться: внутри скобок - основным логарифмическим тождеством, а снаружи (в степени) - превратить отношение в один логарифм: , тогда окончательно получим вот такой «странный» ответ: .

Дальнейшие упрощения, увы, нам уже недоступны.

Давай сделаем проверку вместе:

Верно! Кстати, еще раз вспомни, из чего следует предпоследнее равенство в цепочке!

В принципе, решение этого примера тоже можно свести к переходу к логарифму по новому основанию, только тебя должно уже пугать то, что получится в итоге. Давай попробуем поступить разумнее: как можно лучше преобразуем левую часть.

Кстати, а как по-твоему я получил последнее разложение? Верно, я применил теорему о разложении квадратного трехчлена на множители, а именно:

Если, - корни уравнения, то:

Ну вот, теперь я перепишу мое исходное уравнение вот в таком виде:

А вот решить такую задачу нам уже вполне по силам!

Так как, то введем замену.

Тогда мое исходное уравнение примет вот такой простой вид:

Его корни равны: , тогда

Откуда - данное уравнение корней не имеет.

Тебе осталось сделать проверку!

Следующее уравнение попробуй решить самостоятельно. Не торопись и будь внимателен, тогда удача будет на твоей стороне!

Готов? Давай посмотрим, что у нас получилось.

На самом деле, пример решается в два действия:

1. Преобразуем

2. теперь справа у меня стоит выражение, которое равно

Таким образом, исходное уравнение свелось к простейшему:

Проверка говорит о том, что данное число в самом деле является корнем уравнения.

Метод логарифмирования

Ну и напоследок я очень кратко остановлюсь на методах решения некоторых смешанных уравнений. Само собой, я не берусь охватить все смешанные уравнения, а покажу приемы решения самых простых.

Например,

Такое уравнение может быть решено методом логарифмирования. Все, что тебе нужно сделать, это взять логарифм от обеих частей.

Ясно, что поскольку у нас уже есть логарифм по основанию, то логарифмировать я буду по тому же основанию:

Теперь я вынесу степень из выражения слева:

и разложу выражение на множители по формуле разности квадратов:

Проверка как всегда на твоей совести.

Последний пример данной статьи попробуй решить самостоятельно!

Проверяем: берем логарифм по основанию от обеих частей уравнения:

Выношу степень слева и раскалываю по формуле суммы справа:

Угадываем один из корней: является корнем.

В статье, посвященной решению показательных уравнений, я рассказывал о том, как делить один многочлен «уголком» на другой.

Здесь нам понадобится поделить на.

В итоге мы получим:

Проверку проведи, по-возможности, сам (хотя в данном случае, особенно с последними двумя корнями, она будет непростой).

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. СУПЕР УРОВЕНЬ

В дополнение к уже изложенному материалу, я предлагаю нам с тобой рассмотреть еще один способ решения смешанных уравнений, содержащих логарифмы, однако здесь я буду рассматривать такие уравнения, которые не могут быть решены рассмотренным ранее методом логарифмирования обеих частей . Данный способ имеет название мини-максного.

Мини-максный метод

Данный метод применим не только при решении смешанных уравнений, но также оказывается полезным при решении некоторых неравенств.

Итак, вначале введем следующие основные определения, которые необходимы для применения мини-максного метода.

Простые рисунки иллюстрируют эти определения:

Функция на рисунке слева - монотонно возрастающая, а справа - монотонно убывающая. Теперь обратимся к логарифмической функции, известно, что выполняется следующая:

На рисунке приведены примеры монотонно возрастающей и монотонно убывающей логарифмической функции.

Опишем непосредственно сам мини-максный метод . Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название?

Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:

Наша самая главная цель - это найти вот эту самую константу, чтобы далее свести уравнение к двум более простым.

Для этого могут быть полезны свойства монотонности логарифмической функции, сформулированные выше.

Теперь давай рассмотрим конкретные примеры:

1. Вначале рассмотрим левую часть.

Там стоит логарифм с основанием меньше. По теореме, сформулированной выше, какой оказывается функция? Она убывает. При этом, а значит, . С другой стороны, по определению корня: . Таким образом, константа найдена и равна. Тогда исходное уравнение равносильно системе:

Первое уравнение имеет корни, а второе: . Таким образом, общий корень равен, и данный корень будет корнем исходного уравнения. На всякий случай сделай проверку, чтобы убедиться в этом.

Ответ:

Давай сразу задумаемся, что здесь написано?

Я имею в виду общую структуру. Здесь сказано, что сумма двух квадратов равна нулю.

Когда это возможно?

Только тогда, когда оба этих числа по отдельности равны нулю. Тогда перейдем к следующей системе:

Общих корней у первого и второго уравнений нет, тогда и исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: нет решений.

Давай вначале рассмотрим правую часть - она попроще. По определению синуса:

Откуда, и тогда Поэтому

Теперь вернемся к левой части: рассмотрим выражение, стоящее под знаком логарифма:

Попытка найти корни у уравнения не приведет к положительному результату. Но тем не менее, мне надо как-то это выражение оценить. Ты, конечно, знаешь такой метод, как выделение полного квадрата . Его я здесь и применю.

Так как - функция возрастающая, то из cледует, что. Таким образом,

Тогда наше исходное уравнение равносильно следующей системе:

Я не знаю, знаком ты или нет с решением тригонометрических уравнений, поэтому я сделаю так: решу первое уравнение (оно имеет максимум два корня), а потом результат подставлю во второе:

(можешь сделать проверку и убедиться, что это число является корнем первого уравнения системы)

Теперь я подставлю его во второе уравнение:

Ответ:

Ну как, теперь тебе стала ясна техника применения мини-максного метода? Тогда постарайся решить следующий пример самостоятельно.

Готов? Давай проверим:

Левая часть - сумма двух неотрицательных величин (единицы и модуля) а потому, левая часть не меньше единицы, причем она равна единице только тогда, когда

В то же время правая часть - это модуль (значит, больше нуля) произведения двух косинусов (значит не более единицы), тогда:

Тогда исходное уравнение равносильно системе:

Я опять предлагаю решить первое уравнение и результат подставить во второе:

Данное уравнение корней не имеет.

Тогда исходное уравнение также не имеет корней.

Ответ: решений нет.

КОРОТКО О ГЛАВНОМ. 6 МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Логарифмическое уравнение - уравнение, в котором неизвестные переменные находятся внутри логарифмов.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида.

Процесс решения любого логарифмического уравнения сводится к приведению логарифмического уравнения к виду , и переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них: .

ОДЗ для логарифмического уравнения:

Основные методы решения логарифмических уравнений:

1 метод. Использование определения логарифма:

2 метод. Использование свойств логарифма:

3 метод. Введение новой переменной (замена):

замена позволяетсвести логарифмическое уравнение к более простому алгебраическому уравнению относительно t.

4 метод. Переход к новому основанию:

5 метод. Логарифмирование:

берется логарифм от правой и левой частей уравнения.

6 метод. Мини-максный:

Теперь мы хотим услышать тебя...

Мы постарались написать максимально просто и подробно о логарифмических уравнениях.

Теперь твой ход!

Напиши, как ты оцениваешь нашу статью? Понравилась ли она тебе?

Может быть ты уже умеешь решать логарифмические уравнения?

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши об этом в комментариях.

И удачи на экзаменах!

Этим видео я начинаю длинную серию уроков про логарифмические уравнения. Сейчас перед вами сразу три примера, на основе которых мы будем учиться решать самые простые задачи, которые так и называются — простейшие .

log 0,5 (3x − 1) = −3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Напомню, что простейшим логарифмическим уравнением называется следующее:

log a f (x ) = b

При этом важно, чтобы переменная х присутствует только внутри аргумента, т. е. только в функции f (x ). А числа а и b являются именно числами, а ни в коем случае не функциями, содержащими переменную х.

Основные методы решения

Существует множество способов решения таких конструкций. Например, большинство учителей в школе предлагают такой способ: Сразу выразить функцию f (x ) по формуле f (x ) = a b . Т. е. когда вы встречаете простейшую конструкцию, сразу без дополнительных действий и построений можете перейти к решению.

Да, безусловно, решение получится правильным. Однако проблема этой формулы состоит в том, что большинство учеников не понимают , откуда она берется и почему именно букву а мы возводим в букву b .

В результате я часто наблюдаю очень обидные ошибки, когда, например, эти буквы меняются местами. Данную формулу нужно либо понять, либо зубрить, причем второй способ приводит к ошибкам в самые неподходящие и самые ответственные моменты: на экзаменах, контрольных и т. д.

Именно поэтому всем своим ученикам я предлагаю отказаться от стандартной школьной формулы и использовать для решения логарифмических уравнений второй подход, который, как вы уже наверняка догадались из названия, называется канонической формой .

Идея канонической формы проста. Давайте еще раз посмотрим на нашу задачу: слева у нас есть log a , при этом под буквой a имеется в виду именно число, а ни в коем случае не функция, содержащая переменную х. Следовательно, на эту букву распространяются все ограничения, которые накладываются на основание логарифма. а именно:

1 ≠ a > 0

С другой стороны, из того же самого уравнения мы видим, что логарифм должен быть равен числу b , и вот на эту букву никаких ограничений не накладывается, потому что он может принимать любые значения — как положительные, так и отрицательные. Все зависит от того, какие значения принимает функция f (x ).

И вот тут мы вспоминаем наше замечательное правило, что любое число b может быть представлено в виде логарифма по основанию а от а в степени b :

b = log a a b

Как запомнить эту формулу? Да очень просто. Давайте запишем следующую конструкцию:

b = b · 1 = b · log a a

Разумеется, что при этом возникают все ограничения, которые мы записали вначале. А теперь давайте воспользуемся основным свойством логарифма, и внесем множитель b в качестве степени а. Получим:

b = b · 1 = b · log a a = log a a b

В результате исходное уравнение перепишется в следующем виде:

log a f (x ) = log a a b → f (x ) = a b

Вот и все. Новая функция уже не содержит логарифма и решается стандартными алгебраическими приемами.

Конечно, кто-то сейчас возразит: а зачем вообще было придумывать какую-то каноническую формулу, зачем выполнять два дополнительных ненужных шага, если можно было сразу перейти от исходной конструкции к итоговой формуле? Да уже хотя бы затем, что большинство учеников не понимают, откуда берется эта формула и, как следствие, регулярно допускают ошибки при ее применении.

А вот такая последовательность действий, состоящая из трех шагов, позволяет вам решить исходное логарифмическое уравнение, даже если вы не понимаете, откуда берется та самая итоговая формула. Кстати, канонической формулой называется именно эта запись:

log a f (x ) = log a a b

Удобство канонической формы состоит еще и в том, что ее можно применять для решения очень широкого класса логарифмических уравнений, а не только простейших, которые мы рассматриваем сегодня.

Примеры решения

А теперь давайте рассмотрим реальные примеры. Итак, решаем:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Давайте перепишем его следующим образом:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Многие ученики торопятся и пытаются сразу возвести число 0,5 в степень, которая пришла к нам из исходной задачи. И действительно, когда вы уже хорошо натренируетесь в решении подобных задач, вы можете сразу выполнять этот шаг.

Однако если сейчас вы только приступаете к изучению этой темы, лучше никуда не торопиться, чтобы не допускать обидных ошибок. Итак, перед нами каноническая форма. Имеем:

3x − 1 = 0,5 −3

Это уже не логарифмическое уравнение, а линейное относительно переменной х. Чтобы решить его, давайте для начала разберемся с числом 0,5 в степени −3. Заметим, что 0,5 — это 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Все десятичные дроби переводите в обычные, когда вы решаете логарифмическое уравнение.

Переписываем и получаем:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Все, мы получили ответ. Первая задача решена.

Вторая задача

Переходим ко второй задаче:

Как видим, это уравнение уже не является простейшим. Уже хотя бы потому, что слева стоит разность, а не один-единственный логарифм по одному основанию.

Следовательно, нужно каким-то образом избавиться от этой разности. В данном случае все очень просто. Давайте внимательно посмотрим на основания: слева стоит число под корнем:

Общая рекомендация: во всех логарифмических уравнениях старайтесь избавиться от радикалов, т. е. от записей с корнями и переходить к степенным функциям, просто потому что показатели этих степеней легко выносятся за знак логарифма и в конечном счета такая запись существенно упрощает и ускоряет вычисления. Вот давайте так и запишем:

Теперь вспоминаем замечательное свойство логарифма: из аргумента, а также из основания можно выносить степени. В случае с основаниями происходит следующее:

log a k b = 1/k loga b

Другими словами, число, которое стояло в степени основания, выносится вперед и при этом переворачивается, т. е. становится обратным числом. В нашем случае стояла степень основания с показателем 1/2. Следовательно, мы можем вынести ее как 2/1. Получим:

5 · 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Обратите внимание: ни в коем случае нельзя избавляться от логарифмов на этом шаге. Вспомните математику 4—5 класса и порядок действий: сначала выполняется умножение, а лишь затем — сложение и вычитание. В данном случае мы из 10 элементов вычитаем один такой же:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Теперь наше уравнение выглядит как надо. Это простейшая конструкция, и мы решаем его с помощью канонической формы:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Вот и все. Вторая задача решена.

Третий пример

Переходим к третьей задаче:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Напомню следующую формулу:

lg b = log 10 b

Если вас по каким-либо причинам смущает запись lg b , то при выполнении всех вычислений вы можете записать просто log 10 b . С десятичными логарифмами можно работать так же, как и с другими: выносить степени, складывать и представлять любые числа в виде lg 10.

Вот именно этими свойствами мы сейчас и воспользуемся для решения задачи, поскольку она не является простейшей, которую мы записали в самом начале нашего урока.

Для начала заметим, что множитель 2, стоящий перед lg 5, может быть внесен и станет степенью основания 5. Кроме того, свободное слагаемое 3 также представимо в виде логарифма — это очень легко наблюдать из нашей записи.

Судите сами: любое число можно представить в виде log по основанию 10:

3 = log 10 10 3 = lg 10 3

Перепишем исходную задачу с учетом полученных изменений:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 · 25
lg (x − 3) = lg 25 000

Перед нами снова каноническая форма, причем мы получили ее, минуя стадию преобразований, т. е. простейшее логарифмическое уравнение у нас нигде не всплывало.

Именно об этом я и говорил в самом начале урока. Каноническая форма позволяет решать более широкий класс задач, нежели стандартная школьная формула, которую дают большинство школьных учителей.

Ну и все, избавляемся от знака десятичного логарифма, и получаем простую линейную конструкцию:

x + 3 = 25 000
x = 24 997

Все! Задача решена.

Замечание по поводу области определения

Тут бы хотелось привести важное замечание по поводу области определения. Наверняка сейчас найдутся ученики и учителя, которые скажут: «Когда мы решаем выражения с логарифмами, необходимо обязательно помнить, что аргумент f (x ) должен быть больше нуля!» В связи с этим возникает логичный вопрос: почему ни в одной из рассмотренных задач мы не требовали, чтобы это неравенство выполнялось?

Не переживайте. Никаких лишних корней в этих случаях не возникнет. И это еще одна замечательная хитрость, которая позволяет ускорить решение. Просто знайте, что если в задаче переменная х встречается лишь в одном месте (а точнее — в одном-единственном аргументе одного-единственного логарифма), и больше нигде в нашем случае нет переменной х, то записывать область определения не нужно , потому что она будет выполняться автоматически.

Судите сами: в первом уравнении мы получили, что 3х − 1, т. е. аргумент должен быть равен 8. Это автоматически означает, что 3х − 1 будет больше нуля.

С тем же успехом мы можем записать, что во втором случае х должен быть равен 5 2 , т. е. он заведомо больше нуля. А в третьем случае, где х + 3 = 25 000, т. е. опять же заведомо больше нуля. Другими словами, область определения выполняется автоматически, но только при условии, что х встречается лишь в аргументе лишь одного логарифма.

Вот и все, что нужно знать для решения простейших задач. Уже одно это правило вместе с правилами преобразования позволит вам решать очень широкий класс задач.

Но давайте будем честными: для того, чтобы окончательно разобраться с этим приемом, чтобы научиться применять каноническую форму логарифмического уравнения, недостаточно просто посмотреть один видеоурок. Поэтому прямо сейчас скачайте варианты для самостоятельного решения, которые прилагаются к данному видеоуроку и начните решать хотя бы одну из этих двух самостоятельных работ.

Времени у вас уйдет буквально несколько минут. А вот эффект от такого обучения будет намного выше по сравнению с тем, если бы вы просто просмотрели данный видеоурок.

Надеюсь, этот урок поможет разобраться вам с логарифмическими уравнениями. Применяйте каноническую форму, упрощайте выражения с помощью правил работы с логарифмами — и никакие задачи вам будут не страшны. А у меня на сегодня все.

Учет области определения

Теперь поговорим об области определения логарифмической функции, а также о том, как это влияет на решение логарифмических уравнений. Рассмотрим конструкцию вида

log a f (x ) = b

Такое выражение называется простейшим — в нем лишь одна функция, а числа а и b — это именно числа, а ни в коем случае не функция, зависящая от переменной х. Решается оно очень просто. Достаточно лишь использовать формулу:

b = log a a b

Данная формула является одним из ключевых свойств логарифма, и при подстановке в наше исходное выражение мы получим следующее:

log a f (x ) = log a a b

f (x ) = a b

Это уже знакомая формула из школьных учебников. У многих учеников наверняка возникнет вопрос: поскольку в исходном выражении функция f (x ) стоит под знаком log, на нее накладываются следующие ограничения:

f (х) > 0

Это ограничение действует потому, что логарифм от отрицательных чисел не существует. Так, может быть, вследствие этого ограничения следует ввести проверку на ответы? Быть может, их нужно подставлять в исходник?

Нет, в простейших логарифмических уравнениях дополнительная проверка излишня. И вот почему. Взгляните на нашу итоговую формулу:

f (x ) = a b

Дело в том, что число а в любом случае больше 0 — это требование тоже накладывается логарифмом. Число а является основанием. При этом на число b никаких ограничений не накладывается. Но это и неважно, потому что в какую бы степень мы бы не возводили положительное число, на выходе мы все равно получим положительное число. Таким образом, требование f (х) > 0 выполняется автоматически.

Что действительно стоит проверять, так это область определения функции, стоящей под знаком log. Там могут встречаться довольно непростые конструкции, и в процессе решения за ними обязательно нужно следить. Давайте посмотрим.

Первая задача:

Первый шаг: преобразуем дробь справа. Получим:

Избавляемся от знака логарифма и получаем обычное иррациональное уравнение:

Из полученных корней нас устраивает только первый, так как второй корень меньше нуля. Единственным ответом будет число 9. Все, задача решена. Никаких дополнительных проверок того, что выражение под знаком логарифма больше 0, не требуется, потому что оно не просто больше 0, а по условию уравнения оно равно 2. Следовательно, требование «больше нуля», выполняется автоматически.

Переходим ко второй задаче:

Здесь все то же самое. Переписываем конструкцию, заменяя тройку:

Избавляемся от знаков логарифма и получаем иррациональное уравнение:

Возводим обе части в квадрат с учетом ограничений и получаем:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Решаем полученное уравнение через дискриминант:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Но x = −6 нас не устраивает, потому что если мы подставим это число в наше неравенство, то получим:

−6 + 4 = −2 < 0

В нашем же случае требуется, чтобы было больше, чем 0 или в крайнем случае равно. А вот x = −1 нам подходит:

−1 + 4 = 3 > 0

Единственным ответом в нашем случае будет x = −1. Вот и все решение. Давайте вернемся в самое начало наших вычислений.

Основной вывод из этого урока: проверять ограничения для функции в простейших логарифмических уравнениях не требуется. Потому что в процессе решения все ограничения выполняются автоматически.

Однако это ни в коем случае не означает, что о проверке можно вообще забыть. В процессе работы над логарифмическим уравнением вполне может перейти в иррациональное, в котором будут свои ограничения и требования к правой части, в чем мы сегодня и убедились на двух различных примерах.

Смело решайте такие задачи и будьте особо внимательные, если в аргументе стоит корень.

Логарифмические уравнения с разными основаниями

Продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем еще два довольно интересных приема, с помощью которых модно решать более сложные конструкции. Но для начала вспомним, как решаются простейшие задачи:

log a f (x ) = b

В этой записи а и b являются именно числами, а в функции f (x ) должна присутствовать переменная х, и только там, т. е. х должен находиться только в аргументе. Преобразовывать такие логарифмические уравнения мы будем с помощью канонической формы. Для этого заметим, что

b = log a a b

Причем a b — это именно аргумент. Давайте перепишем это выражение следующим образом:

log a f (x ) = log a a b

Мы именно этого и добиваемся, чтобы и слева, и справа стоял логарифм по основанию а. В этом случае мы можем, образно говоря, зачеркнуть знаки log, а с точки зрения математики мы можем сказать, что мы просто приравниваем аргументы:

f (x ) = a b

В результате мы получим новое выражение, которое будет решаться намного проще. Давайте применим это правило к нашим сегодняшним задачам.

Итак, первая конструкция:

Прежде всего, отмечу, что справа стоит дробь, в знаменателе которой находится log. Когда вы видите такое выражение, не лишним будет вспомнить замечательное свойство логарифмов:

Переводя на русский язык, это означает, что любой логарифм может быть представлен в виде частного двух логарифмов с любым основанием с. Разумеется, 0 < с ≠ 1.

Так вот: у этой формулы есть один замечательный частный случай, когда переменная с равна переменной b . В этом случае мы получим конструкцию вида:

Именно такую конструкцию мы наблюдаем от знака справа в нашем уравнении. Давайте заменим эту конструкцию на log a b , получим:

Другими словами, в сравнении с исходным заданием, мы поменяли местами аргумент и основание логарифма. Взамен нам пришлось перевернуть дробь.

Вспоминаем, что любую степень можно выносить из основания по следующему правилу:

Другими словами, коэффициент k , который является степенью основания, выносится как перевернутая дробь. Давайте вынесем ее как перевернутую дробь:

Дробный множитель нельзя оставлять спереди, потому что в этом случае мы не сможем представить данную запись как каноническую форму (ведь в канонической форме перед вторым логарифмом никакой дополнительный множитель не стоит). Следовательно, давайте внесем дробь 1/4 в аргумент в виде степени:

Теперь мы приравниваем аргументы, основания которых одинаковые (а основания у нас действительно одинаковые), и записываем:

x + 5 = 1

x = −4

Вот и все. Мы получили ответ к первому логарифмическому уравнению. Обратите внимание: в исходной задаче переменная х встречается лишь в одном log, причем стоит в его аргументе. Следовательно, проверять область определения не требуется, и наше число х = −4 действительно является ответом.

Теперь переходим ко второму выражению:

lg 56 = lg 2 log 2 7 − 3lg (x + 4)

Здесь помимо обычных логарифмов, нам придется работать с lg f (x ). Как решать такое уравнение? Неподготовленному ученику может показаться, что это какая-то жесть, но на самом деле все решается элементарно.

Внимательно посмотрите на слагаемое lg 2 log 2 7. Что мы можем о нем сказать? Основания и аргументы log и lg совпадают, и это должно наводить на некоторые мысли. Давайте еще раз вспомним, как выносятся степени из-под знака логарифма:

log a b n = nlog a b

Другими словами, то, что являлось степенью при числе b в аргументе, становится множителем перед самим log. Давайте применим эту формулу для выражения lg 2 log 2 7. Пусть вас не пугает lg 2 — это самое обычное выражение. Можно переписать его следующим образом:

Для него справедливы все правила, которые действуют для любого другого логарифма. В частности, множитель, стоящий спереди, можно внести в степень аргумента. Давайте запишем:

Очень часто ученики в упор не видят это действие, потому что нехорошо вносить один log под знак другого. На самом деле ничего криминального в этом нет. Более того, мы получаем формулу, которая легко считается, если помнить важное правило:

Эту формулу можно рассматривать и как определение, и как одно из его свойств. В любом случае, если вы преобразуете логарифмическое уравнение, эту формулу вы должны знать точно так же, как и представление любого числа в виде log.

Возвращаемся к нашей задаче. Переписываем его с учетом того факта, что первое слагаемое справа от знака равенства будет равно просто lg 7. Имеем:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Давайте перенесем lg 7 влево, получим:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Вычитаем выражения слева, потому что они имеют одно и то же основание:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Теперь давайте внимательно посмотрим на уравнение, которое мы получили. Оно практически является канонической формой, однако справа присутствует множитель −3. Давайте внесем его в аргумент правого lg:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения, поэтому мы вычеркиваем знаки lg и приравниваем аргументы:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

Вот и все! Мы решили второе логарифмическое уравнение. При этом никаких дополнительных проверок не требуется, потому что в исходной задаче х присутствовал лишь в одном аргументе.

Перечислю еще раз ключевые моменты этого урока.

Главная формула, которая изучается во всех уроках на этой странице, посвященной решению логарифмических уравнений — это каноническая форма. И пусть вас не пугает то, что в большинстве школьных учебников вас учат решать подобные задачи по-другому. Данный инструмент работает очень эффективно и позволяет решать гораздо более широкий класс задач, нежели простейшие, которые мы изучали в самом начале нашего урока.

Кроме того, для решения логарифмических уравнений полезно будет знать основные свойства. А именно:

Формулу перехода к одному основанию и частный случай, когда мы переворачиваем log (это очень пригодилось нам в первой задаче);
Формулу внесения и вынесения степеней из-под знака логарифма. Здесь многие ученики зависают и в упор не видят, что выносимая и вносимая степень сама может содержать log f (x ). Ничего страшного в этом нет. Мы можем вносить один log по знак другого и при этом существенно упрощать решение задачи, что мы и наблюдаем во втором случае.

В заключении хотел бы добавить, что проверять область определения в каждом из этих случае не требуется, потому что везде переменная х присутствует только в одном знаке log, и при этом находится в его аргументе. Как следствие, все требования области определения выполняются автоматически.

Задачи с переменным основанием

Сегодня мы рассмотрим логарифмические уравнения, которые для многих учеников кажутся нестандартными, а то и вовсе нерешаемыми. Речь идет об выражениях, в основании которых стоят не числа, а переменные и даже функции. Решать такие конструкции мы будем с помощью нашего стандартного приема, а именно через каноническую форму.

Для начала вспомним, как решаются простейшие задачи, в основании которых стоят обычные числа. Итак, простейшей называется конструкция вида

log a f (x ) = b

Для решения таких задач мы можем использовать следующую формулу:

b = log a a b

Переписываем наше исходное выражение и получаем:

log a f (x ) = log a a b

Затем мы приравниваем аргументы, т. е. записываем:

f (x ) = a b

Таким образом мы избавляемся от знака log и решаем уже обычную задачу. При этом полученные при решении корни и будут корнями исходного логарифмического уравнения. Кроме того, запись, когда и слева, и справа стоит по одному и тому же логарифму с одним и тем же основанием, как раз и называется канонической формой. Именно к такой записи мы будем пытаться свести сегодняшние конструкции. Итак, поехали.

Первая задача:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Заменяем 1 на log x − 2 (x − 2) 1 . Та степень, которую мы наблюдаем у аргумента, это, на самом деле то число b , которое стояло справа от знака равенства. Таким образом, перепишем наше выражение. Получим:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Что мы видим? Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения, поэтому мы смело можем приравнять аргументы. Получим:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Но на этом решение не заканчивается, потому что данное уравнение не равносильно исходному. Ведь полученная конструкция состоит из функций, которые определены на всей числовой прямой, а наши исходные логарифмы определены не везде и не всегда.

Поэтому мы должны отдельно записать область определения. Давайте не будем мудрить и для начала запишем все требования:

Во-первых, аргумент каждого из логарифмов должен быть больше 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Во-вторых, основание должно быть не только больше 0, но и отлично от 1:

x − 2 ≠ 1

В итоге получим систему:

Но вы не пугайтесь: при обработке логарифмических уравнений такую систему можно существенно упростить.

Судите сами: с одной стороны, от нас требуется, чтобы квадратичная функция была больше нуля, а с другой стороны — эта квадратичная функция приравнивается к некому линейному выражению, от которого также требуется, чтобы оно было больше нуля.

В таком случае, если мы требуем, чтобы x − 2 > 0, то автоматически будет выполняться и требование 2x 2 − 13x + 18 > 0. Поэтому мы можем смело зачеркнуть неравенство, содержащее квадратичную функцию. Таким образом, количество выражений, которое содержится в нашей системе, уменьшится до трех.

Разумеется, с тем же успехом мы могли бы зачеркнуть и линейное неравенство, т. е. вычеркнуть x − 2 > 0 и потребовать, чтобы 2x 2 − 13x + 18 > 0. Но согласитесь, что решить простейшее линейное неравенство гораздо быстрее и проще, чем квадратичное, пусть даже при условии, что в результате решения всей этой системы мы получим одни и те же корни.

В общем, по возможности старайтесь оптимизировать вычисления. И в случае с логарифмическими уравнениями вычеркивайте самые сложные неравенства.

Давайте перепишем нашу систему:

Вот такая система из трех выражений, с двумя из которых мы, по сути, уже разобрались. Давайте отдельно выпишем квадратное уравнение и решим его:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Перед нами приведенный квадратный трехчлен и, следовательно, мы можем воспользоваться формулами Виета. Получим:

(х − 5)(х − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

А теперь возвращаемся к нашей системе и обнаруживаем, что х = 2 нас не устраивает, потому что от нас требуется, чтобы х был строго больше, чем 2.

А вот х = 5 нас вполне устраивает: число 5 больше, чем 2, и при этом 5 не равно 3. Следовательно, единственным решением данной системы будет являться х = 5.

Все, задача решена, в т. ч. с учетом ОДЗ. Переходим ко второму уравнению. Здесь нас ждут более интересные и содержательные выкладки:

Первый шаг: как и в прошлый раз, приводим все это дело к канонической форме. Для этого число 9 мы можем записать следующим образом:

Основание с корнем можно не трогать, а вот аргумент лучше преобразовать. Давайте перейдем от корня в степень с рациональным показателем. Запишем:

Давайте я не буду переписывать все наше большое логарифмическое уравнение, а просто сразу приравняю аргументы:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Перед нами вновь приведенный квадратный трехчлен, воспользуемся формулами Виета и запишем:

(х + 3)(х + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Итак, мы получили корни, но никто нам не гарантировал, что они подойдут к исходному логарифмическому уравнению. Ведь знаки log накладывают дополнительные ограничения (здесь мы должны были бы записать систему, но из-за громоздкости всей конструкции я решил посчитать область определения отдельно).

В первую очередь, вспоминаем, что аргументы должны быть больше 0, а именно:

Это и есть требования, накладываемые областью определения.

Сразу заметим, что поскольку мы приравниваем первые два выражения системы друг к другу, то любое из них мы можем вычеркнуть. Давайте вычеркнем первую, потому что она выглядит более угрожающе, нежели вторая.

Кроме того, заметим, что решением второго и третьего неравенства будут одни и те множества (куб какого-то числа больше нуля, если само это число больше нуля; аналогично и с корнем третьей степени — эти неравенства полностью аналогичны, поэтому одно из них мы можем вычеркнуть).

А вот с третьим неравенством такое не пройдет. Избавимся от знака радикала, стоящего слева, для чего возведем обе части в куб. Получим:

Итак, мы получаем следующие требования:

− 2 ≠ x > −3

Какой из наших корней:x 1 = −3 или x 2 = −1 отвечает этим требованиям? Очевидно, что только х = −1, потому что х = −3 не удовлетворяет первому неравенству (ибо неравенство у нас строгое). Итого возвращаясь к нашей задаче, мы получаем один корень: х = −1. Вот и все, задача решена.

Еще раз ключевые моменты данной задачи:

Не стесняйтесь применять и решать логарифмические уравнения с помощью канонической формы. Ученики, которые делают такую запись, а не переходят напрямую от исходной задачи к конструкции типа log a f (x ) = b , допускают намного меньше ошибок, чем те, которые куда-то спешат, пропуская промежуточные шаги вычислений;
Как только в логарифме появляется переменное основание, задача перестает быть простейшей. Следовательно, при его решении необходимо учитывать область определения: аргументы должны быть больше нуля, а основания — не только больше 0, но еще они не должны быть равны 1.

Накладывать последние требования на итоговые ответы можно по-разному. Например, можно решать целую систему, содержащую все требования к области определения. С другой стороны, можно сначала решить саму задачу, а затем вспомнить про область определения, отдельно проработать ее в виде системы и наложить на полученные корни.

Какой способ выбирать при решении конкретного логарифмического уравнения, решать только вам. В любом случае ответ получится один и тот же.

Логарифмические уравнения. От простого - к сложному.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Что такое логарифмическое уравнение?

Это уравнение с логарифмами. Вот удивил, да?) Тогда уточню. Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся внутри логарифмов. И только там! Это важно.

Вот вам примеры логарифмических уравнений :

log 3 х = log 3 9

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

log х+1 (х 2 +3х-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Ну, вы поняли... )

Обратите внимание! Самые разнообразные выражения с иксами располагаются исключительно внутри логарифмов. Если, вдруг, в уравнении обнаружится икс где-нибудь снаружи , например:

log 2 х = 3+х,

это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Кстати, попадаются уравнения, где внутри логарифмов только числа . Например:

Что тут сказать? Повезло вам, если попалось такое! Логарифм с числами - это какое-то число. И всё. Достаточно знать свойства логарифмов, чтобы решить такое уравнение. Знания специальных правил, приёмов, приспособленных именно для решения логарифмических уравнений, здесь не требуется.

Итак, что такое логарифмическое уравнение - разобрались.

Как решать логарифмические уравнения?

Решение логарифмических уравнений - штука, вообще-то, не очень простая. Так и раздел у нас - на четвёрку... Требуется приличный запас знаний по всяким смежным темам. Кроме того, существует в этих уравнениях особая фишка. И фишка это настолько важная, что её смело можно назвать главной проблемой в решении логарифмических уравнений. Мы с этой проблемой в следующем уроке детально разберёмся.

А сейчас - не волнуйтесь. Мы пойдём правильным путём, от простого к сложному. На конкретных примерах. Главное, вникайте в простые вещи и не ленитесь ходить по ссылкам, я их не просто так поставил... И всё у вас получится. Обязательно.

Начнём с самых элементарных, простейших уравнений. Для их решения желательно иметь представление о логарифме, но не более того. Просто без понятия логарифма, браться за решение логарифмических уравнений - как-то и неловко даже... Очень смело, я бы сказал).

Простейшие логарифмические уравнения.

Это уравнения вида:

1. log 3 х = log 3 9

2. log 7 (2х-3) = log 7 х

3. log 7 (50х-1) = 2

Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них. В простейших уравнениях этот переход осуществляется в один шаг. Потому и простейшие.)

И решаются такие логарифмические уравнения на удивление просто. Смотрите сами.

Решаем первый пример:

log 3 х = log 3 9

Для решения этого примера почти ничего знать и не надо, да... Чисто интуиция!) Что нам особо не нравится в этом примере? Что-что... Логарифмы не нравятся! Правильно. Вот и избавимся от них. Пристально смотрим на пример, и у нас возникает естественное желание... Прямо-таки непреодолимое! Взять и выкинуть логарифмы вообще. И, что радует, это можно сделать! Математика позволяет. Логарифмы исчезают, получается ответ:

Здорово, правда? Так можно (и нужно) делать всегда. Ликвидация логарифмов подобным образом - один из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция называется потенцирование. Есть, конечно, свои правила на такую ликвидацию, но их мало. Запоминаем:

Ликвидировать логарифмы безо всяких опасений можно, если у них:

а) одинаковые числовые основания

в) логарифмы слева-справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом одиночестве.

Поясню последний пункт. В уравнении, скажем,

log 3 х = 2log 3 (3х-1)

убирать логарифмы нельзя. Двойка справа не позволяет. Коэффициент, понимаешь... В примере

log 3 х+log 3 (х+1) = log 3 (3+х)

тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого логарифма. Их там два.

Короче, убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так:

log а (.....) = log а (.....)

В скобках, где многоточие, могут быть какие угодно выражения. Простые, суперсложные, всякие. Какие угодно. Важно то, что после ликвидации логарифмов у нас остаётся более простое уравнение. Предполагается, конечно, что решать линейные, квадратные, дробные, показательные и прочие уравнения без логарифмов вы уже умеете.)

Теперь легко можно решить второй пример:

log 7 (2х-3) = log 7 х

Собственно, в уме решается. Потенцируем, получаем:

Ну что, очень сложно?) Как видите, логарифмическая часть решения уравнения заключается только в ликвидации логарифмов... А дальше идёт решение оставшегося уравнения уже без них. Пустяшное дело.

Решаем третий пример:

log 7 (50х-1) = 2

Видим, что слева стоит логарифм:

Вспоминаем, что этот логарифм - какое-то число, в которое надо возвести основание (т.е. семь), чтобы получить подлогарифменное выражение, т.е. (50х-1).

Но это число равно двум! По уравнению. Стало быть:

Вот, в сущности, и всё. Логарифм исчез, осталось безобидное уравнение:

Мы решили это логарифмическое уравнение исходя только из смысла логарифма. Что, ликвидировать логарифмы всё-таки проще?) Согласен. Между прочим, если из двойки логарифм сделать, можно этот пример и через ликвидацию решить. Из любого числа можно логарифм сделать. Причём, такой, какой нам надо. Очень полезный приём в решении логарифмических уравнений и (особо!) неравенств.

Не умеете из числа логарифм делать!? Ничего страшного. В разделе 555 этот приём подробно описан. Можете освоить и применять его на полную катушку! Он здорово уменьшает количество ошибок.

Совершенно аналогично (по определению) решается и четвёртое уравнение:

Вот и все дела.

Подведём итоги этого урока. Мы рассмотрели на примерах решение простейших логарифмических уравнений. Это очень важно. И не только потому, что такие уравнения бывают на контрольных-экзаменах. Дело в том, что даже самые злые и замороченные уравнения обязательно сводятся к простейшим!

Собственно, простейшие уравнения - это финишная часть решения любых уравнений. И эту финишную часть надо понимать железно! И ещё. Обязательно дочитайте эту страничку до конца. Есть там сюрприз...)

Решаем теперь самостоятельно. Набиваем руку, так сказать...)

Найти корень (или сумму корней, если их несколько) уравнений:

ln(7х+2) = ln(5х+20)

log 2 (х 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5х-1,5) = 0,25

log 0,2 (3х-1) = -3

ln(е 2 +2х-3) = 2

log 2 (14х) = log 2 7 + 2

Ответы (в беспорядке, разумеется): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Что, не всё получается? Бывает. Не горюйте! В разделе 555 решение всех этих примеров расписано понятно и подробно. Там уж точно разберётесь. Да ещё и полезные практические приёмы освоите.

Всё получилось!? Все примеры "одной левой"?) Поздравляю!

Пришло время открыть вам горькую правду. Успешное решение этих примеров вовсе не гарантирует успех в решении всех остальных логарифмических уравнений. Даже простейших, подобных этим. Увы.

Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения (даже самого элементарного!) состоит из двух равноценных частей. Решение уравнения, и работа с ОДЗ. Одну часть - решение самого уравнения - мы освоили. Не так уж и трудно, верно?

Для этого урока я специально подобрал такие примеры, в которых ОДЗ никак на ответе не сказывается. Но не все такие добрые, как я, правда?...)

Посему надо обязательно освоить и другую часть. ОДЗ. Это и есть главная проблема в решении логарифмических уравнений. И не потому, что трудная - эта часть ещё проще первой. А потому, что про ОДЗ просто забывают. Или не знают. Или и то, и другое). И падают на ровном месте...

В следующем уроке мы расправимся с этой проблемой. Вот тогда можно будет уверенно решать любые несложные логарифмические уравнения и подбираться к вполне солидным заданиям.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Подготовка к итоговому тестированию по математике включает в себя важный раздел - «Логарифмы». Задания из этой темы обязательно содержатся в ЕГЭ. Опыт прошлых лет показывает, что логарифмические уравнения вызвали затруднения у многих школьников. Поэтому понимать, как найти правильный ответ, и оперативно справляться с ними должны учащиеся с различным уровнем подготовки.

Сдайте аттестационное испытание успешно с помощью образовательного портала «Школково»!

При подготовке к единому государственному экзамену выпускникам старших классов требуется достоверный источник, предоставляющий максимально полную и точную информацию для успешного решения тестовых задач. Однако учебник не всегда оказывается под рукой, а поиск необходимых правил и формул в Интернете зачастую требует времени.

Образовательный портал «Школково» позволяет заниматься подготовкой к ЕГЭ в любом месте в любое время. На нашем сайте предлагается наиболее удобный подход к повторению и усвоению большого количества информации по логарифмам, а также по с одним и несколькими неизвестными. Начните с легких уравнений. Если вы справились с ними без труда, переходите к более сложным. Если у вас возникли проблемы с решением определенного неравенства, вы можете добавить его в «Избранное», чтобы вернуться к нему позже.

Найти необходимые формулы для выполнения задачи, повторить частные случаи и способы вычисления корня стандартного логарифмического уравнения вы можете, заглянув в раздел «Теоретическая справка». Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили все необходимые для успешной сдачи материалы в максимально простой и понятной форме.

Чтобы без затруднений справляться с заданиями любой сложности, на нашем портале вы можете ознакомиться с решением некоторых типовых логарифмических уравнений. Для этого перейдите в раздел «Каталоги». У нас представлено большое количество примеров, в том числе с уравнениями профильного уровня ЕГЭ по математике.

Воспользоваться нашим порталом могут учащиеся из школ по всей России. Для начала занятий просто зарегистрируйтесь в системе и приступайте к решению уравнений. Для закрепления результатов советуем возвращаться на сайт «Школково» ежедневно.

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.

Определение в математике

Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) "b" по его основанию "a" считается степень "c", в которую необходимо возвести основание "a", чтобы в итоге получить значение "b". Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное - понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
Десятичный a, где основанием служит число 10.
Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

основание "a" всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь "1" и "0" в любой степени всегда равны своим значениям;
если а > 0, то и а b >0, получается, что и "с" должно быть больше нуля.

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел - это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени - это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема "логарифмы". Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 - оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение "х" находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример - логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.

Называется эта формула "свойством степени логарифма". Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;

но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов - примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями

Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.

Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.

Задания из ЕГЭ

Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы "Натуральные логарифмы".

Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.

Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.

Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.