Градусная мера угла виды углов. Развернутый, тупой, вертикальный и неразвернутый: виды углов геометрии

Когда два луча (AO и OB ) исходят из одной точки, то фигура, сформированная этими лучами (вместе с частью плоскости, ограниченной ими), называется углом .

Лучи, образующие угол называются сторонами . Точка из которой они исходят - вершиной угла.

Стороны угла следует представлять себе бесконечно продолженными от вершины.

Угол обыкновенно обозначается тремя буквами, из которых средняя ставится у вершины , а крайние у каких-нибудь точек сторон. Например, говорят “угол АОВ или угол ВОА ”. Но можно обозначать угол и одной буквой, поставленной у вершины, если при этой вершине других углов нет. Мы иногда будем обозначать угол цифрой, поставленной внутри угла у вершины. Слово “угол” на письме часто заменяется знаком / .

Когда два луча исходят из одной точки , то строго говорят, что они образуют не один угол, а два угла.

Эти два угла равны друг другу лишь в том случае, когда лучи AO и OB составляют одну прямую .

Такой угол называют развернутым углом .

Два угла считаются равными углами , если при наложении они могут совместиться.

Мы принимаем как очевидное, что внутри всякого угла из его вершины можно провести луч (и притом только один), который делит этот угол пополам. Такой луч называется биссектрисой угла .

Два угла (AO B и BOС ) называются смежными , если одна сторона у них общая, а две другие стороны составляют прямую линию .

Черт 1. Черт.2

Когда два смежных угла равны (черт. 2), то общая сторона их OB называется перпендикуляром к прямой AC , на которой лежат другие стороны.

Если же смежные углы неравны (черт. 1), то общая сторона OB называется наклонной к AC .

В том и в другом случае точка O называется основанием (перпендикуляра или наклонной).

Из всякой точки прямой можно, по ту и другую сторону от этой прямой, восставить к ней перпендикуляр и притом только один.

Каждый из равных смежных углов называется прямым . Прямой угол представляет собой постоянную величину равную 90 0 (ее обыкновенно обозначают знаком d , т.е. начальной буквой французского слова «droit» - прямой). Вследствие этого обыкновенные углы сравнивают по величине с прямым углом.

Всякий развернутый углом равен 2 d = 180°.

Всякий угол (АОС ), меньший прямого угла (АОВ ) называется острым .

Всякий угол (AOD ) больший прямого называется тупым.

Каждый угол, в зависимости от его величины, имеет своё название:

Вид угла	Размер в градусах	Пример
Острый	Меньше 90°
Прямой	Равен 90°. На чертеже прямой угол, обычно обозначают символом , проведённым от одной стороны угла до другой.
Тупой	Больше 90°, но меньше 180°
Развёрнутый	Равен 180° Развёрнутый угол равен сумме двух прямых углов, а прямой угол составляет половину развёрнутого угла.
Выпуклый	Больше 180°, но меньше 360°
Полный	Равен 360°

Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая, а две другие стороны составляют прямую линию:

Углы MOP и PON смежные, так как луч OP - общая сторона, а две другие стороны - OM и ON составляют прямую.

Общая сторона смежных углов называется наклонной к прямой , на которой лежат две другие стороны, только в том случае, когда смежные углы не равны между собой. Если смежные углы равны, то их общая сторона будет перпендикуляром .

Сумма смежных углов равна 180°.

Два угла называются вертикальными , если стороны одного угла дополняют до прямых линий стороны другого угла:

Углы 1 и 3, а также углы 2 и 4 - вертикальные.

Вертикальные углы равны.

Докажем, что вертикальные углы равны:

Сумма ∠1 и ∠2 составляет развёрнутый угол. И сумма ∠3 и ∠2 составляет развёрнутый угол. Значит, эти две суммы равны:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

В этом равенстве слева и справа есть по одинаковому слагаемому - ∠2. Равенство не нарушится, если это слагаемое в левой и в правой части опустить. Тогда мы получаем.

Угол между прямыми. Перпендикулярные прямые.

Смежные и вертикальные углы и их свойства. Биссектриса угла.

Угол – это геометрическая фигура образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

Единицы измерения углов: радиан и градус. Градус – это угол равный 1 / 360 полного угла. Один градус делится на 60 минут (обозначение: 1 0 = 60"); одна минута – соответственно на 60 секунд (обозначение: 1" = 60"").

Угол в 90 0 называется прямым; угол, меньший чем 90 0 , называется острым; угол больший чем 90 0 , называется тупым.

Две прямые называются взаимно перпендикулярными, если они образуют при пересечении прямой угол, Если прямые АВ и МK перпендикулярны, то это обозначается: AB MK.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны являются продолжениями одна другой. Таким образом, сумма смежных углов равна 180 0 .

Два угла с общей вершиной, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого, называются вертикальными. Вертикальные углы равны.

Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам.

Свойство биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы угла находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.

Задания с решением.

1. Найти величины смежных углов, если один из них на 20 0 больше другого.

Обозначим один из углов за х , тогда второй будет равен х +20 0 .Так как углы смежные, то их сумма равна180 0 .

Получаем уравнение х +(х +20 0)= 180 0. Тогда 2х =160 0 , х =80 0 .

80 0 +20 0 =100 0

Ответ: 80 0 и 100 0

2. . Даны два смежных угла. одного из этих углов и другого составляют в сумме прямой угол. Найти эти смежные углы.

Обозначим один из углов за х . Так как углы смежные, то их сумма равна180 0 . Тогда второй угол будет равен 180 0 – х .

Составим уравнение: х + (180 0 – х ) =90 0 .

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей 28.

Получим: 16х +7(180 0 – х )= 28·90 0

16х + 7·180 0 – 7х = 28·90 0

9х = -7·180 0 + 28·90 0 Делим обе части уравнения на 9.

х = –7·20 0 + 28·10 0

х = –140 0 + 280 0

х = 140 0 - первый угол, тогда второй равен 180 0 – 140 0 =40 0 .

Ответ: 140 0 и 40 0

3. Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых на 280 0 больше четвертого угла. Найти эти четыре угла.

При пересечении двух прямых образовалось две пары вертикальных углов. Вертикальные углы равны между собой.

Пусть х – величина одного из углов. Тогда смежный с ним угол будет равен 180 0 – х . Имеем четыре угла: х , х , 180 0 – х , 180 0 – х .

Составим уравнение: х + х + (180 0 – х ) = (180 0 – х )+ 280 0 .

Получаем 2х =280 0 , х =140 0 , 180 0 – 140 0 =40 0

Ответ: 140 0 , 40 0 , 140 0 и 40 0

4. Угол между прямыми a и b равен 17 0 , а угол между прямыми a и c равен 33 0

Найти угол между прямыми b и c.

а)

тогда (b,^c)= 17 0 + 33 0 =50 0

б)

тогда (b,^c)= 33 0 - 17 0 =16 0

Ответ: 50 0 или 16 0

5. Отрезки МР и ОК пересекаются в точке Е. Один из углов при вершине Е равен 110º. Найти угол КЕС, где ЕН – биссектриса угла РЕК.

В задаче возможны два варианта:

а)

тогда Ð КЕС= 70 0: 2 =35 0

б)

Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки.

Лучи, образующие угол, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, - вершиной угла.

На моем рисунке лучи ОВ и ОС являются сторонами угла, вершиной точка О, а угол обозначен, как: ВОС.

При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначить и одной буквой – названием его вершины, например: угол О. Слово «угол» заменяется знаком « ».

Например: ВОС = О

Как и все геометрические фигуры, углы сравнивают с помощью наложения. Если один угол наложить на другой и они совпадут, значит, эти углы равны.

Например: МРЛ= АКВ

Из всех углов можно выделить:

1. Острые (величина таких углов больше 0 , но меньше 90).

2. Прямой (величина, которого равна 90).

3. Тупые (величина таких углов больше 90 , но меньше 180).

4. Развёрнутый (величина, которого равна 180).

Для измерения углов применяют транспортир.

Шкала транспортира располагается на полуокружности. Центр этой полуокружности отмечен на транспортире черточкой. Штрихи шкалы транспортира делят полуокружность на 180 долей. Лучи, проведенные из центра полуокружности через эти штрихи, образуют 180 углов, каждый из которых равен доле развернутого угла. Такие углы называют градусами . Градусы обозначают знаком. Каждое деление шкалы транспортира равно 1 . Кроме делений по 1 на транспортире есть еще деления по 5 и по 10 .

Транспортир применяют и для построения углов.

Историческая справка

С древнейших времен люди сталкивались с необходимостью измерять. Понятие градуса и появление первых инструментов для измерения углов связывают с развитием цивилизации в древнем Вавилоне, хотя само слово градус имеет латинское происхождение(градус– от лат. gradus- “шаг, ступень”).

История не сохранила имя ученого, который изобрел транспортир – возможно в древности этот инструмент имел совсем другое название. Современное название происходит от французского слова ”ТRANSPORTER”, что означает “переносить”.

Но древние ученые производили измерения не только транспортиром – ведь этот инструмент был неудобен для измерений на местности и решения задач прикладного характера. А именно прикладные задачи и являлись главным предметом интереса древних геометров. Изобретение первого инструмента, позволяющего измерять углы на местности, связывают с именем древнегреческого ученого Герона Александрийского(I в. до.н.э). Он описал инструмент “диоптр”, позволяющий измерять углы на местности и решать множество прикладных задач.

Таким образом, можно говорить о возникновении геодезии - системы наук об определении формы и размеров Земли и об измерениях на земной поверхности для отображения ее на планах и картах. Геодезия связана с астрономией, геофизикой, космонавтикой, картографией и др., широко используется при проектировании и строительстве сооружений, судоходных каналов, дорог.

В XVII веке был изобретен прибор нивелир, а в следующем веке английским механиком Джессе Рамсденом был изобретен теодолит. Сегодня теодолит – сложный прибор. Многие работы (в том числе и строительство) требуют предварительной консультации геодезистов измерений с помощью теодолита.

Однако усовершенствование инструментов для измерения углов связано не только с проведением строительных работ. С древнейших времен люди путешествовали, познавая окружающий мир. Путешественниками необходимо было уметь ориентироваться в пространстве. На долгие века основным ориентиром путешественников стали звезды. Появился первый инструмент путешественников – астролябия. Астролябия(греч. astrolabion, от astron - "звезда" и labe – “схватывание"; лат. astrolabium) - угломерный прибор, служивший до начала XVIII в. для определения положений светил на небе.

Секстант это наиболее совершенный прибор для измерения угловых координат небесных тел того времени. Его изобретение приписывается Исааку Ньютону. Секстант позволял измерять как широту, так и долготу точки наблюдения, причем с довольно высокой точностью. Заметим, что существуют и другие единицы измерения углов.

Артиллеристам же приходится не только измерять углы, но и быстро в уме переводить полученные угловые величины в линейные и наоборот. Поэтому измерение углов градусами и минутами для артиллеристов неудобно. Артиллеристы придумали совсем иную меру углов. Мера эта - "тысячная", или, как ее называют иначе, "деление угломера". Чтобы получить тысячную, окружность делят на 6000 частей.

В морской навигации в качестве основной единицы измерения принято использовать румб. Морской румб определяется центральным углом, соответствующим дуге, равной 1/32 части окружности. В метеорологии свой румб, который вдвое больше морского.

Давайте начнем с определения того, что такое угол. Во-первых, он является Во-вторых, он образован двумя лучами, которые называются сторонами угла. В-третьих, последние выходят из одной точки, которую называют вершиной угла. Исходя из этих признаков, мы можем составить определение: угол - геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей (сторон), выходящих из одной точки (вершины).

Их классифицируют по градусной величине, по расположению относительно друг друга и относительно окружности. Начнем с видов углов по их величине.

Существует несколько их разновидностей. Рассмотрим подробнее каждый вид.

Основных типов углов всего четыре - прямой, тупой, острый и развернутый угол.

Прямой

Он выглядит так:

Его градусная мера всегда составляет 90 о, иначе говоря, прямой угол - это угол 90 градусов. Только они есть у таких четырехугольников, как квадрат и прямоугольник.

Тупой

Он имеет такой вид:

Градусная мера всегда больше 90 о, но меньше 180 о. Он может встречаться в таких четырехугольниках, как ромб, произвольный параллелограмм, во многоугольниках.

Острый

Он выглядит так:

Градусная мера острого угла всегда меньше 90 о. Он встречается во всех четырехугольниках, кроме квадрата и произвольного параллелограмма.

Развернутый

Развернутый угол имеет такой вид:

В многоугольниках он не встречается, но не менее важен, чем все остальные. Развернутый угол - это геометрическая фигура, градусная мера которой всегда равняется 180º. На нем можно построить проведя из его вершины один или несколько лучей в любых направлениях.

Есть еще несколько второстепенных видов углов. Их не изучают в школах, но знать хотя бы об их существовании необходимо. Второстепенных видов углов всего пять:

1. Нулевой

Он выглядит так:

Само название угла уже говорит о его величине. Его внутренняя область равняется 0 о, а стороны лежат друг на друге так, как показано на рисунке.

2. Косой

Косым может быть и прямой, и тупой, и острый, и развернутый угол. Главное его условие - он не должен равняться 0 о, 90 о, 180 о, 270 о.

3. Выпуклый

Выпуклыми являются нулевой, прямой, тупой, острый и развернутый углы. Как вы уже поняли, градусная мера выпуклого угла - от 0 о до 180 о.

4. Невыпуклый

Невыпуклыми являются углы с градусной мерой от 181 о до 359 о включительно.

5. Полный

Полным является угол с градусной мерой 360 о.

Это все типы углов по их величине. Теперь рассмотрим их виды по расположению на плоскости относительно друг друга.

1. Дополнительные

Это два острых угла, образовывающие один прямой, т.е. их сумма 90 о.

2. Смежные

Смежные углы образуются, если через развернутый, точнее, через его вершину, провести луч в любом направлении. Их сумма равна 180 о.

3. Вертикальные

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Их градусные меры равны.

Теперь перейдем к видам углов, расположенным относительно окружности. Их всего два: центральный и вписанный.

1. Центральный

Центральным является угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере меньшей дуги, стянутой сторонами.

2. Вписанный

Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, и стороны которого ее пересекают. Его градусная мера равна половине дуги, на которую он опирается.

Это все, что касается углов. Теперь вы знаете, что помимо наиболее известных - острого, тупого, прямого и развернутого - в геометрии существует много других их видов.