Основные формулы по физике - колебания и волны. Механические колебания и волны краткая теория Формулы по физике механические колебания и волны

При изучении этого раздела следует иметь в виду, что колебания различной физической природы описываются с единых математических позиций. Здесь надо четко уяснить такие понятия, как гармоническое колебание, фаза, разность фаз, амплитуда, частота, период колебани.

Надо иметь в виду, что во всякой реальной колебательной системе есть сопротивления среды, т.е. колебания будут затухающими. Для характеристики затухания колебаний вводится коэффициент затухания и логарифмический декремент затухани.

Если колебания совершаются под действием внешней, периодически изменяющейся силы, то такие колебания называют вынужденными. Они будут незатухающими. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом.

Переходя к изучению электромагнитных волн нужно четко представлять, что электромагнитная волна - это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле. Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является электрический диполь. Если диполь совершает гармонические колебания, то он излучает монохроматическую волну.

Таблица формул: колебания и волны

Физические законы, формулы, переменные	Формулы колебания и волны
Уравнение гармонических колебаний: где х - смещение (отклонение) колеблющейся величины от положения равновесия; А - амплитуда; ω - круговая (циклическая) частота; α - начальная фаза; (ωt+α) - фаза.
Связь между периодом и круговой частотой:
Частота:
Связь круговой частоты с частотой:
Периоды собственных колебаний 1) пружинного маятника: где k - жесткость пружины; 2) математического маятника: где l - длина маятника, g - ускорение свободного падения; 3) колебательного контура: где L - индуктивность контура, С - емкость конденсатора.
Частота собственных колебаний:
Сложение колебаний одинаковой частоты и направления: 1) амплитуда результирующего колебания где А 1 и А 2 - амплитуды составляющих колебаний, α 1 и α 2 - начальные фазы составляющих колебаний; 2) начальная фаза результирующего колебания
Уравнение затухающих колебаний: е = 2,71... - основание натуральных логарифмов.
Амплитуда затухающих колебаний: где А 0 - амплитуда в начальный момент времени; β - коэффициент затухания;
Коэффициент затухания: колеблющегося тела где r - коэффициент сопротивления среды, m - масса тела; колебательного контура где R - активное сопротивление, L - индуктивность контура.
Частота затухающих колебаний ω:
Период затухающих колебаний Т:
Логарифмический декремент затухания:
Связь логарифмического декремента χ и коэффициента затухания β:

Гармонические колебания происходят по закону:

x = A cos(ωt + φ 0),

где x – смещение частицы от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, ω – круговая частота, φ 0 – начальная фаза, t – время.

Период колебаний T = .

Скорость колеблющейся частицы:

υ = = – A ω sin (ωt + φ 0),

ускорение a = = – A ω 2 cos (ωt + φ 0).

Кинетическая энергия частицы, совершающей колебательное движение: E k = =
sin 2 (ωt + φ 0).

Потенциальная энергия:

E n =
cos 2 (ωt + φ 0).

Периоды колебаний маятников

– пружинного T =
,

где m – масса груза, k – коэффициент жесткости пружины,

– математического T = ,

где l – длина подвеса, g – ускорение свободного падения,

– физического T =
,

где I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, m – масса маятника, l – расстояние от точки подвеса до центра масс.

Приведенная длина физического маятника находится из условия: l np = ,

обозначения те же, что для физического маятника.

При сложении двух гармонических колебаний одной частоты и одного направления получается гармоническое колебание той же частоты с амплитудой:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos(φ 2 – φ 1)

и начальной фазой: φ = arctg
.

где А 1 , A 2 – амплитуды, φ 1 , φ 2 – начальные фазы складываемых колебаний.

Траектория результирующего движения при сложении взаимноперпендикулярных колебаний одной частоты:

+ – cos (φ 2 – φ 1) = sin 2 (φ 2 – φ 1).

Затухающие колебания происходят по закону:

x = A 0 e - β t cos(ωt + φ 0),

где β – коэффициент затухания, смысл остальных параметров тот же, что для гармонических колебаний, А 0 – начальная амплитуда. В момент времени t амплитуда колебаний:

A = A 0 e - β t .

Логарифмическим декрементом затухания называют:

λ = ln
= βT ,

где Т – период колебания: T = .

Добротностью колебательной системы называют:

Уравнение плоской бегущей волны имеет вид:

y = y 0 cos ω(t ± ),

где у – смещение колеблющейся величины от положения равновесия, у 0 – амплитуда, ω – круговая частота, t – время, х – координата, вдоль которой распространяется волна, υ – скорость распространения волны.

Знак «+» соответствует волне, распространяющейся против оси X , знак «–» соответствует волне, распространяющейся по оси Х .

Длиной волны называют ее пространственный период:

λ = υ T ,

где υ –скорость распространения волны, T –период распространяющихся колебаний.

Уравнение волны можно записать:

y = y 0 cos 2π (+).

Стоячая волна описывается уравнением:

y = (2y 0 cos ) cos ωt.

В скобки заключена амплитуда стоячей волны. Точки с максимальной амплитудой называются пучностями,

x п = n ,

точки с нулевой амплитудой – узлами,

x у = (n + ) .

Примеры решения задач

Задача 20

Амплитуда гармонических колебаний равна 50 мм, период 4 с и начальная фаза . а) Записать уравнение этого колебания; б) найти смещения колеблющейся точки от положения равновесия при t =0 и при t = 1,5 с; в) начертить график этого движения.

Решение

Уравнение колебания записывается в виде x = a cos(t +  0).

По условию известен период колебаний. Через него можно выразить круговую частоту  = . Остальные параметры известны:

а) x = 0,05 cos(t + ).

б) Смещение x при t = 0.

x 1 = 0,05 cos= 0,05 = 0,0355 м.

При t = 1,5 c

x 2 = 0,05 cos( 1,5 + )= 0,05 cos  = – 0,05 м.

в) график функцииx =0,05cos (t + ) выглядит следующим образом:

Определим положение нескольких точек. Известны х 1 (0) и х 2 (1,5), а также период колебаний. Значит, через t = 4 c значение х повторяется, а через t = 2 c меняет знак. Между максимумом и минимумом посередине – 0 .

Задача 21

Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний 2 с, амплитуда 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда ее смещение от положения равновесия равно 25 мм.

Решение

1 способ. Записываем уравнение колебания точки:

x = 0,05 cos  t , т. к.  = =.

Находим скорость в момент времени t :

υ = = – 0,05 cos  t.

Находим момент времени, когда смещение равно 0,025 м:

0,025 = 0,05 cos  t 1 ,

отсюда cos t 1 = , t 1 = . Подставляем это значение в выражение для скорости:

υ = – 0,05  sin = – 0,05  = 0,136 м/c.

2 способ. Полная энергия колебательного движения:

E =
,

где а – амплитуда,  – круговая частота, m – масса частицы.

В каждый момент времени она складывается из потенциальной и кинетической энергии точки

E k = , E п = , но k = m  2 , значит, E п =
.

Запишем закон сохранения энергии:

= +
,

отсюда получаем: a 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 м/c.

Задача 22

Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 2 см, полная энергия Е = 3∙10 -7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 2,25∙10 -5 Н?

Решение

Полная энергия точки, совершающей гармонические колебания, равна: E =
. (13)

Модуль упругой силы выражается через смещение точек от положения равновесия x следующим образом:

F = k x (14)

В формулу (13) входят масса m и круговая частота , а в (14) – коэффициент жесткости k . Но круговая частота связана с m и k :

 2 = ,

отсюда k = m  2 и F = m  2 x . Выразив m  2 из соотношения (13) получим: m  2 = , F = x .

Откуда и получаем выражение для смещения x : x = .

Подстановка числовых значений дает:

x =
= 1,5∙10 -2 м = 1,5 см.

Задача 23

Точка участвует в двух колебаниях с одинаковыми периодами и начальными фазами. Амплитуды колебаний А 1 = 3 см и А 2 = 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если: 1) колебания происходят в одном направлении; 2) колебания взаимно перпендикулярны.

Решение

Если колебания происходят в одном направлении, то амплитуда результирующего колебания определится как:

где А 1 и А 2 – амплитуды складываемых колебаний,  1 и  2 –начальные фазы. По условию начальные фазы одинаковы, значит  2 –  1 = 0, а cos 0 = 1.

Следовательно:

A =
=
= А 1 +А ­ 2 = 7 см.

Если колебания взаимно перпендикулярны, то уравнение результирующего движения будет:

cos( 2 –  1) = sin 2 ( 2 –  1).

Так как по условию  2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, то уравнение запишется в виде:
=0,

или
=0,

или
.

Полученное соотношение между x и у можно изобразить на графике. Из графика видно, что результирующим будет колебание точки на прямой MN . Амплитуда этого колебания определится как: A =
= 5 см.

Задача 24

Период затухающих колебаний Т =4 с, логарифмический декремент затухания  = 1,6 , начальная фаза равна нулю. Смещение точки при t = равно 4,5 см. 1) Написать уравнение этого колебания; 2) Построить график этого движения для двух периодов.

Решение

Уравнение затухающих колебаний с нулевой начальной фазой имеет вид:

x = A 0 e -  t cos2 .

Для подстановки числовых значений не хватает величин начальной амплитуды А 0 и коэффициента затухания .

Коэффициент затухания можно определить из соотношения для логарифмического декремента затухания:

 = Т .

Таким образом  = = = 0,4 с -1 .

Колебательным движением называется всякое движение или изменение состояния, характеризуемое той или иной степенью повторяемости во времени значений физических величин, определяющих это движение или состояние. Колебания свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звезд; с высокой степенью периодичности вращаются планеты Солнечной системы; ветры возбуждают колебания и волны на поверхности воды; внутри любого живого организма непрерывно происходят разнообразные, ритмично повторяющиеся процессы, например, с удивительной надежностью бьется человеческое сердце.

В физике выделяются колебания механические и электромагнитные. С помощью распространяющихся механических колебаний плотности и давления воздуха, воспринимаемых нами как звук, а также очень быстрых колебаний электрических и магнитных полей, воспринимаемых нами как свет, мы получаем большое число прямой информации об окружающем мире. Примерами колебательного движения в механике могут быть колебания маятников, струн, мостов и т.д.

Колебания называются периодическими , если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени. Простейшим типом периодических колебаний являются гармонические колебания. Гармоническими называются колебания, при которых изменение колеблющейся величины со временем происходит по закону синуса (или косинуса):

где x – смещение от положение равновесия;

А – амплитуда колебания – максимальное смещение от положения равновесия;

- циклическая частота;

- начальная фаза колебания;

- фаза колебания; она определяет смещение в любой момент времени, т.е. определяет состояние колебательной системы.

В случае строго гармонических колебаний величины А, ине зависят от времени.

Циклическая частота связана с периодом Т колебаний и частотойсоотношением:

(2)

Периодом Т колебаний называется наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебания.

Частотой колебаний называется число полных колебаний, совершаемых за единицу времени, измеряется в герцах (1 Гц = 1
).

Циклическая частота численно равна числу колебаний, совершаемых за 2 секунд.

Колебания, возникающее в системе, не подверженной действию переменных внешних сил, в результате какого-либо начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия, называются свободными (или собственными).

Если система консервативная, то при колебаниях не происходит рассеяния энергии. В этом случае свободные колебания называются незатухающими .

Скорость колебания точки определим как производную от смещения по времени:

(3)

Ускорение колеблющейся точки равно производной от скорости по времени:

(4)

Уравнение (4) показывает, что ускорение при гармонических колебаниях – переменно, следовательно, колебание обусловлено действием переменной силы.

Второй закон Ньютона позволяет в общем виде записать связь между силой F и ускорением при прямолинейных гармонических колебаниях материальной точки с массой
:

где
, (6)

к – коэффициент упругости.

Таким образом, сила, вызывающая гармонические колебания, пропорциональна смещению и направлена против смещения. В связи с этим можно дать динамическое определение гармонического колебания: гармоническим называется колебание, вызываемое силой, прямо пропорциональной смещению х и направленной против смещения.

Возвращающей силой может быть, например, сила упругости. Силы, имеющие иную природу, чем упругие силы, но также удовлетворяющие условию (5), называются квазиупругими .

В случае прямолинейных колебаний вдоль оси х ускорение равно:

.

Подставив это выражение для ускорения и значение силы
во второй закон Ньютона, получимосновное уравнение прямолинейных гармонических колебиний:

или
(7)

Решением этого уравнения является уравнение (1).

Колебания – изменения какой-либо физической величины, при которых эта величина принимает одни и те же значения. Параметры колебаний:

• 1) Амплитуда – величина наибольшего отклонения от состояния равновесия;
• 2) Период – время одного полного колебания, обратная величина – частота;
• 3) Закон изменения колеблющейся величины со временем;
• 4) Фаза – характеризует состояние колебаний в момент времени t.

F x = -r k – восстанавливающая сила

Гармонические колебания - колебания, при которых величина, вызывающая отклонение системы от устойчивого состояния, изменяется по закону синуса или косинуса. Гармонические колебания являются частным случаем периодических колебаний. Колебания можно представлять графическим, аналитическим (например, x(t) = Asin (?t + ?), где? - начальная фаза колебания) и векторным способом (длина вектора пропорциональна амплитуде, вектор вращается в плоскости чертежа с угловой скоростью? вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа, проходящей через начало вектора, угол отклонения вектора от оси X есть начальная фаза?). Уравнение гармонических колебаний:

Сложение гармонических колебаний , происходящих вдоль одной прямой с одинаковыми или близкими частотами. Рассмотрим два гармонических колебания, происходящих с одной частотой: x1(t) = A1sin(?t + ?1); x2(t) = A2sin(?t + ?2).

Вектор, представляющий собой сумму этих колебаний, вращается с угловой скоростью?. Амплитуда суммарного колебаний – векторная сумма двух амплитуд. Ее квадрат равен A?2 = A12 + A22 + 2A1A2cos(?2 - ?1).

Начальная фаза определяется следующим образом:

Т.е. тангенс? равен отношению проекций амплитуды суммарного колебания на координатные оси.

В случае если частоты колебаний отличаются на величину 2?: ?1 = ?0 + ?; ?2 = ?0 - ?, где? << ?. Положим также?1 = ?2 = 0 и А1 = А2:

X 1 (t)+X 2 (t) = A(Sin(W o +?)t+Sin((W o +?)t) X 1 (t)+X 2 (t) =2ACos?tSinW?.

Величина 2Аcos?t есть амплитуда полученного колебания. Она медленно меняется во времени.

Биения . Результат суммы таких колебаний называется биением. В случае, если А1 ? А2, то амплитуда биения меняется в пределах от А1 + А2 до А1 – А2.

В обоих случаях (при равных и при различных амплитудах) суммарное колебание не является гармоническим, т.к. его амплитуда не постоянна, а медленно меняется во времени.

Сложение перпендикулярных колебаний. Рассмотрим два колебания, направления которых перпендикулярны друг другу (частоты колебаний равны, начальная фаза первого колебания равна нулю):

y= bsin(?t + ?).

Из уравнения первого колебания имеем: . Второе уравнение можно преобразовать следующим образом

sin?t?cos? + cos?t?sin? = y/b

Возведем обе части уравнения в квадрат и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Получим(см ниже): . Полученное уравнение есть уравнение эллипса, оси которого несколько повернуты относительно осей координат. При? = 0 или? = ? эллипс принимает вид прямой y = ?bx/a; при? = ?/2 оси эллипса совпадают с осями координат.

Фигуры Лиссажу . В случае если?1 ? ?2, форма кривой, которую описывает радиус вектор суммарного колебаний гораздо более сложная, она зависит от отношения?1/?2. Если это отношение равно целому числу (?2 кратна?1), при сложении колебаний получаются фигуры, называемые фигурами Лиссажу.

Гармонический осцилятор – колеблющаяся система, потенциальная энергия которой пропорциональна квадрату отклонения от положения равновесия.

Маятник , твёрдое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или оси. В физике под М. обычно понимают М., совершающий колебания под действием силы тяжести; при этом его ось не должна проходить через центр тяжести тела. Простейший М. состоит из небольшого массивного груза C, подвешенного на нити (или лёгком стержне) длиной l. Если считать нить нерастяжимой и пренебречь размерами груза по сравнению с длиной нити, а массой нити по сравнению с массой груза, то груз на нити можно рассматривать как материальную точку, находящуюся на неизменном расстоянии l от точки подвеса O (рис. 1, а). Такой М. называется математическим . Если же, как это обычно имеет место, колеблющееся тело нельзя рассматривать как материальную точку, то М. называется физическим .

Математический маятник . Если М., отклоненный от равновесного положения C0, отпустить без начальной скорости или сообщить точке C скорость, направленную перпендикулярно OC и лежащую в плоскости начального отклонения, то М. будет совершать колебания в одной вертикальной плоскости по дуге окружности (плоский, или круговой математический М.). В этом случае положение М. определяется одной координатой, например углом j, на который М. отклонен от положения равновесия. В общем случае колебания М. не являются гармоническими; их период T зависит от амплитуды. Если же отклонения М. малы, он совершает колебания, близкие к гармоническим, с периодом:

где g - ускорение свободного падения; в этом случае период T не зависит от амплитуды, то есть колебания изохронны.

Если отклонённому М. сообщить начальную скорость, не лежащую в плоскости начального отклонения, то точка C будет описывать на сфере радиуса l кривые, заключённые между 2 параллелями z = z1 и z = z2, а), где значения z1 и z2 зависят от начальных условий (сферический маятник). В частном случае, при z1 = z2, б) точка C будет описывать окружность в горизонтальной плоскости (конический маятник). Из некруговых М. особый интерес представляет циклоидальный маятник, колебания которого изохронны при любой величине амплитуды.

Физический маятник . Физическим М. обычно называется твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси подвеса (рис. 1, б). Движение такого М. вполне аналогично движению кругового математического М. При малых углах отклонения j М. также совершает колебания, близкие к гармоническим, с периодом: ,

где I - момент инерцииМ. относительно оси подвеса, l - расстояние от оси подвеса O до центра тяжести C, M - масса М. Следовательно, период колебаний физического М. совпадает с периодом колебаний такого математического М., который имеет длину l0 = I/Ml. Эта длина называется приведённой длиной данного физического М.

Пружинный маятник - это груз массой m, закрепленный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы Fупр= - k x, где k - коэффициент упругости, в случае пружины наз. жесткостью. Ур движения маятника:, или.

Из приведенных выражений следует, что пружинный маятник совершает гармо­нические колебания по закону х = A cos (w0 t +?j), с циклической частотой

и периодом

Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выпол­няется закон Гука (Fупр= - k x), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с мас­сой тела.

Потенциальная энергия пружинного маятника равна

U = k x2/2 = m w02 x2/2 .

Вынужденные колебания. Резонанс . Вынужденные колебания происходят под действием внешней периодической силы. Частота вынужденных колебаний задается внешним источником и не зависит от параметров самой системы. Уравнение движения груза на пружине может быть получено формальным введением в уравнение некой внешней силы F(t) = F0sin?t: . После преобразований, аналогичных выводу уравнения затухающих колебаний, получаем:

Где f0 = F0/m. Решением этого дифференциального уравнения является функция x(t) = Asin(?t + ?).

Слагаемое? появляется из-за инерционности системы. Запишем f0sin (?t - ?) = f(t) = f0 sin (?t + ?), т.е. сила действует с некоторым опережением. Тогда можно записать:

x(t) = A sin ?t.

Найдем А. Для этого подсчитаем первую и вторую производные последнего уравнения и подставим их в дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Послед приведения подобных получим:

Теперь освежим в своей памяти представления о векторной записи колебаний. Что же мы видим? Вектор f0 представляет собой сумму векторов 2??A и A(?02 - ?2), причем эти вектора (почему-то) перпендикулярны. Запишем теорему Пифагора:

4?2?2A2 + A2(?02 - ?2)2 = f02:

Отсюда выражаем А:

Таким образом амплитуда А является функцией от частоты внешнего воздействия. Однако если колеблющаяся система обладает слабым затуханием? << ?, то при близких значениях? и?0 происходит резкое возрастание амплитуды колебаний. Это явление получило название резонанса.

Если посмотреть на пшеничное поле в ветреную погоду, то мы увидим, что оно «волнуется», что вдоль него что-то перемещается. Не ясно что, ведь стебли остаются на месте. Они лишь наклоняются, выпрямляются, снова наклоняются и т.д. Если взять шнур и закрепить один его конец, а другой привести в колебательное движение, то мы увидим, что вдоль шнура «бежит» волна. Если мы бросим камень в воду, то вокруг места падения камня «пойдёт круги». Эти круги – тоже волны.

Источниками волн являются колебания. Колеблются стебли растений, деформируемые ветром, колеблются частицы воды, колеблется конец шнура. А колебания, возникшие в одном месте, передаются другим частицам. То, что мы называем волной, и есть распространение колебаний от точки к точке, от частицы к частице.

Моделью образования волны в шнуре может служить цепочка шариков, имеющих массу, между которыми действует сила упругости. Вообразим, что между шариками расположены маленькие пружинки.

Пусть шарик 1 отведен вверх и отпущен. Пружинка, связывающая его с шариком 2, при этом растянется, возникнет сила упругости, которая действует не только на шарик 1, но и на шарик 2. Следовательно, начнёт колебаться и шарик 2. Это приведёт к деформации следующей пружинки, так что начнёт совершать колебания и шарик 3 и т.д.
Поскольку у всех шариков одинаковые массы и силу упругости, то все шарики будут колебаться – каждый около своего положения равновесия – с одинаковыми периодами и одинаковыми амплитудами. Однако все шарики обладают инертностью (так как у них есть масса), поэтому колебания шариков начнутся не одновременно, поскольку на изменение их скорости требуется время. Поэтому 2-я точка начнёт колебаться позже, чем 1-я, 3-я позже, чем 2-я, 4-я позже, чем 3-я и т.д.

Если наблюдать за любой точкой шнура, мы увидим, что каждая точка совершает колебания с тем же периодом Т. Хотя все точки шнура колеблются с одинаковой частотой, эти колебания «смещены» относительно друг друга во времени. Именно вследствие этого смещения во времени и возникает волна. Например, колебания точки 2 отстают от колебаний точки 1 на четверть периода . А колебания точки 3 отстают от колебаний точки 2 на один целый период Т. Отсюда следует важный вывод: точки 2 и 3 движутся одинаково.

Расстояние между ближайшими точками волны, которые движутся одинаково, называется длиной волны и обозначается λ .

Итак, механические волны – это механические колебания, распространяющиеся в пространстве с течением времени.

Скорость волны

За время, равное одному периоду Т, каждая точка среды совершила одно колебание и, значит, вернулась в то же самое положение. Следовательно, волна сместилась в пространстве как раз на одну длину волны. Таким образом, если обозначить скорость распространения волны υ , получим, что скорость волны

λ = υ Т

Так как Т = 1/ν , тогда получим, что скорость волны, длина волны и частота волны связаны соотношением

υ = λ ν

Что переносят волны?

В приведённые примерах видно, что вещество не перемещается вдоль направления распространения волны, т.е. волны не переносят вещество .
Однако волны переносят энергию : ведь волна – это колебание, распространяющиеся в пространстве, а любые колебания обладают энергией.

Колебания – это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени. Если колебательный процесс распространяется в пространстве с течением времени, то говорят о распространении волн.

Колебательные движения часто встречаются в природе и технике: колеблются деревья в лесу, струны музыкальных инструментов, поршни двигателя, голосовые связки, сердце и т.д. Колебательные движения происходят в жизни – землетрясения, приливы и отливы, сжимание и расширение нашей Вселенной.

Колебания возникают в системах всегда, если эти системы обладают устойчивыми положениями равновесия. При отклонении от положения равновесия возникает «возвращающая» сила, которая пытается вернуть систему в положение равновесия. Так как телам присуща инертность, то они «проскакивают» положение равновесия и тогда отклонение происходит в противоположном направлении. И тогда процесс начинает периодически повторяться.

В зависимости от физической природы различают механические и электромагнитные колебания . Однако колебания и волны независимо от их природы описываются количественно одними и теми же уравнениями.

Механические колебания – это такие движения тел, при которых через равные интервалы времени координаты движущегося тела, его скорость и ускорение принимают исходные значения.

Основные виды колебаний

1. Свободные
2. Вынужденные
3. Автоколебания

Свободные колебания

Свободные колебания – это колебания, возникающие в системе под действием внутренних сил после того, как систему вывели из положения равновесия. То есть такие колебания происходят только за счёт запаса энергии, сообщённого системе.

Условия возникновения свободных колебаний:
1. Система находится вблизи положения устойчивого равновесия (для возникновения «возвращающей» силы);
2. Трение в системе должно быть достаточно мало (иначе колебания быстро затухнут или вообще не возникнут).

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – это колебания, возникающие под действием внешних периодически изменяющихся сил.

Отличие от свободных колебаний:
1. Частота вынужденных колебаний всегда равна частоте периодической вынуждающей силы.
2. Амплитуда вынужденных колебаний не уменьшается со временем, даже если в системе присутствует трение. Поскольку потери механической энергии восполняются за счёт работы внешних сил.

Автоколебания

Автоколебания – это незатухающие колебания, которые могут существовать в системе без воздействия на неё внешних периодических сил. Такие колебания существуют за счёт поступления энергии от постоянного источника (которым обладает система) и регулируется самой системой.

К автоколебательным системам относятся: часы с маятником, электрический звонок с прерывателем, наше сердце и лёгкие и т.д.

Особенности автоколебаний:
1. Частота автоколебаний равна частоте свободных колебаний колебательной системы и не зависит от источника энергии (отличие от вынужденных колебаний) .
2. Амплитуда автоколебаний не зависит от энергии, сообщённой системе, а устанавливается самой системой (отличие от свободных колебаний) .

Гармонические колебания

Колебания, при которых смещение зависит от времени по закону косинуса или синуса, называют гармоническими.

Уравнение гармонического колебания

х = X max cosωt

Величины характеризующие колебательные движения

Амплитуда

Амплитуда колебаний – максимальное значение величины, которая испытывает колебания по гармоническому закону.

Физический смысл X max – максимальное значение смещения тела от положения равновесия при гармонических колебаниях.

Период и частота

Период гармонического колебания Т – это время одного полного колебания, то есть промежуток времени, через который движение полностью повторяется.

Единица измерения периода [Т ] = 1с

Частота колебаний ν – это число полных колебаний N, совершаемых телом за единицу времени t.

Единица измерения частоты [ν ] = 1 Гц = 1/с

Циклическая частота колебаний

Циклическая частота колебаний ω – это число полных колебаний, совершаемых за 2π секунд.

Единица измерения циклической частоты [ω ] = 1 рад/с

График гармонического колебания

Пример