Cr 4 εφαρμόζοντας τις ιδιότητες του διαλύματος τετραγωνικής ρίζας. Αριθμητική τετραγωνική ρίζα (βαθμός 8)
Τίτλος: Ανεξάρτητη και δοκιμαστική εργασία στην άλγεβρα και γεωμετρία για το βαθμό 8.
Το εγχειρίδιο περιέχει ανεξάρτητες εργασίες ελέγχου σε όλα τα πιο σημαντικά θέματα της πορείας της άλγεβρας και της γεωμετρίας στην τάξη 8.
Τα έργα αποτελούνται από 6 παραλλαγές τριών επιπέδων δυσκολίας. Τα διδακτικά υλικά προορίζονται για την οργάνωση διαφοροποιημένων ανεξάρτητων εργασιών μαθητών.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ
ΑΛΓΕΒΡΑ 4
P-1 Ορθολογική έκφραση. Μείωση των κλασμάτων 4
C-2 Προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων 5
K-1 Ορθολογικά κλάσματα. Προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων 7
C-3 Πολλαπλασιασμός και διαίρεση των κλασμάτων. Αύξηση ενός κλάσματος στη δύναμη του 10
P-4 Μετασχηματισμός ορθολογικής έκφρασης 12
Verse-5 Αντίστροφη αναλογικότητα και το γράφημα 14
К-2 Ορθολογικά κλάσματα 16
C-6 Αριθμητική τετραγωνική ρίζα 18
C-7 Εξίσωση x2 \u003d a. Συνάρτηση y \u003d y [x 20
Square-8 Τετραγωνική ρίζα ενός προϊόντος, κλάσμα, ισχύς 22
K-3 Αριθμητική τετραγωνική ρίζα και οι ιδιότητές της 24
C-9 Εισαγωγή και αφαίρεση πολλαπλασιαστή σε τετραγωνικές ρίζες 27
C-10 Μετατροπή εκφράσεων που περιέχουν τετραγωνικές ρίζες 28
K-4 Εφαρμογή των ιδιοτήτων της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας 30
C-11 Ελλιπείς τετραγωνικές εξισώσεις 32
C-12 Τετραγωνικός τύπος 33
Solving-13 Επίλυση προβλημάτων με χρήση τετραγωνικών εξισώσεων. Το θεώρημα του Vieta 34
Τετραγωνικές εξισώσεις K-5 36
P-14 Κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις 38
Application-15 Εφαρμογή κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων. Επίλυση προβλημάτων 39
Κ-Κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις 40
C-16 Ιδιότητες αριθμητικών ανισοτήτων 43
K-7 Αριθμητικές ανισότητες και ιδιότητές τους 44
Line-17 Γραμμικές ανισότητες με μία μεταβλητή 47
Systems-18 Συστήματα γραμμικών ανισοτήτων 48
K-8 Γραμμικές ανισότητες και συστήματα ανισοτήτων με μία μεταβλητή 50
С-19 Βαθμός με αρνητικό δείκτη 52
Βαθμός K-9 με ακέραιο 54
Annual-10 Ετήσια δοκιμή 56
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (Σύμφωνα με τον Πογκορέλοφ)58
С-1 Ιδιότητες και σημάδια παραλληλόγραμμου. "58
Ορθογώνιο C-2. Ρόμβος. Πλατεία 60
K-1 Παραλληλόγραμμο 62
Θεώρημα ales-3 Thales. Μεσαία γραμμή του τριγώνου 63
C-4 Τραπέζιο. Μέση γραμμή τραπεζοειδούς 66
Κ-2 Τραπέζιο. Μεσαίες γραμμές ενός τριγώνου και τραπεζοειδούς ... 68
C-5 Πυθαγόρειο Θεώρημα 70
The-6 Το αντίθετο θεώρημα με το Πυθαγόρειο θεώρημα. Κάθετη και πλάγια 71
C-7 Τρίγωνη ανισότητα 73
K-3 Πυθαγόρειο θεώρημα 74
C-8 Λύση δεξιού τριγώνου 76
C-9 Ιδιότητες τριγωνομετρικών συναρτήσεων 78
K-4 ορθογώνιο τρίγωνο (δοκιμή γενίκευσης) 80
С-10 Συντεταγμένες του μέσου σημείου του τμήματος. Απόσταση μεταξύ σημείων. Εξίσωση του κύκλου 82
C-11 Εξίσωση ευθείας γραμμής 84
Συντεταγμένες K-5 Καρτεσιανό 86
Movement-12 Κίνηση και ιδιότητες. Κεντρική και αξονική συμμετρία. Γύρος 88
S-13. Παράλληλη μεταφορά 90
Vector-14 Διάνυσμα έννοια. Ισότητα διανυσμάτων 92
С-15 Δράσεις με διανύσματα σε μορφή συντεταγμένων. Γραμμικοί φορείς 94
С-16 Ενέργειες με διανύσματα σε γεωμετρική μορφή 95
C-17 Dot προϊόν 98
Διανύσματα K-6 99
Annual-7 Ετήσια εξέταση 102
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (Σύμφωνα με τον Atanasyan)104
С-1 Ιδιότητες και σημεία παραλληλόγραμμου 104
Ορθογώνιο C-2. Ρόμβος. Πλατεία 106
К-1 Τετράγωνα 108
С-3 Περιοχή ορθογωνίου, τετράγωνο 109
Area-4 Περιοχή παραλληλόγραμμου, ρόμβου, τριγώνου 111
С-5 Περιοχή τραπεζιού 113
C-6 Πυθαγόρειο Θεώρημα 114
Πλατείες K-2. Θεώρημα του Πυθαγόρα 116
C-7 Ορισμός παρόμοιων τριγώνων. Διαγώνιος γωνίας ενός τριγώνου 118
С-8 Σημάδια ομοιότητας των τριγώνων 120
K-3 Ομοιότητα των τριγώνων 122
С-9 Εφαρμογή ομοιότητας στην επίλυση προβλημάτων 124
C-10 Αναλογίες μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός δεξιού τριγώνου 126
Application-4 Εφαρμογή ομοιότητας στην επίλυση προβλημάτων. Αναλογίες μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός δεξιού τριγώνου 128
С-11 Εφαπτομένη στον κύκλο 130
Central-12 Κεντρικές και ενεπίγραφες γωνίες 132
С-13 Θεώρημα για το προϊόν τμημάτων τεμνόμενων χορδών. Τα υπέροχα σημεία του τριγώνου 134
Circles-14 Έγγραφοι και περιορισμένοι κύκλοι 136
Κύκλος K-5 137
C-15 Διάνυσμα προσθήκη και αφαίρεση 139
С-16 Πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με τον αριθμό 141
Middle-17 Μεσαία γραμμή τραπεζοειδούς 142
Διανύσματα K-6. Εφαρμογή διανυσμάτων στην επίλυση προβλημάτων 144
Annual-7 Ετήσια εξέταση 146
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 148
ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ 157
ΠΡΟΛΟΓΟΣ
.
1. Ένα σχετικά μικρό βιβλίο περιέχει ένα πλήρες σύνολο δοκιμών (συμπεριλαμβανομένων των τελικών δοκιμών) για ολόκληρο το μάθημα της άλγεβρας και της γεωμετρίας του 8ου βαθμού, οπότε αρκεί να αγοράσετε ένα σετ βιβλίων ανά τάξη.
Τα δοκιμαστικά χαρτιά έχουν σχεδιαστεί για ένα μάθημα, ανεξάρτητη εργασία - για 20-35 λεπτά, ανάλογα με το θέμα. Για τη διευκόλυνση της χρήσης του βιβλίου, ο τίτλος κάθε ανεξάρτητης και δοκιμαστικής εργασίας αντικατοπτρίζει το αντικείμενο του.
2. Η συλλογή επιτρέπει έναν διαφοροποιημένο έλεγχο της γνώσης, καθώς οι εργασίες κατανέμονται σε τρία επίπεδα πολυπλοκότητας Α, Β και Γ. Το επίπεδο Α πληροί τις υποχρεωτικές απαιτήσεις προγράμματος, Β - το μέσο επίπεδο πολυπλοκότητας, οι εργασίες επιπέδου Γ προορίζονται για μαθητές με αυξημένο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά και επίσης για χρήση σε τάξεις, σχολεία, σχολεία γραμματικής και γυμνάσια με προηγμένη μελέτη μαθηματικών. Για κάθε επίπεδο, υπάρχουν 2 γειτονικές ισοδύναμες επιλογές (όπως είναι συνήθως γραμμένες στον πίνακα), οπότε ένα βιβλίο στο γραφείο είναι αρκετό για το μάθημα.
Κατεβάστε δωρεάν το ηλεκτρονικό βιβλίο σε βολική μορφή, παρακολουθήστε και διαβάστε:
Κατεβάστε το βιβλίο Αυτο-μελέτη και δοκιμές στην άλγεβρα και τη γεωμετρία για το βαθμό 8. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, γρήγορη και δωρεάν λήψη.
- Ανεξάρτητη εργασία ελέγχου και γεωμετρίας για βαθμό 11. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
- Ανεξάρτητη και δοκιμαστική εργασία στην άλγεβρα και τη γεωμετρία για το βαθμό 9. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
- Ανεξάρτητα και ελεγκτικά έργα στην άλγεβρα και τη γεωμετρία, βαθμός 8, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013
Κοίταξα ξανά την πινακίδα ... Και ας πάμε!
Ας ξεκινήσουμε με ένα απλό:
Μισό λεπτό. αυτό, που σημαίνει ότι μπορούμε να γράψουμε έτσι:
Το έπιασα? Εδώ είναι το επόμενο για εσάς:
Οι ρίζες των αριθμών που προκύπτουν δεν εξάγονται ακριβώς; Δεν έχει σημασία - εδώ είναι μερικά παραδείγματα:
Τι γίνεται όμως αν οι παράγοντες δεν είναι δύο, αλλά περισσότεροι; Ιδιο! Ο τύπος ρίζας πολλαπλασιασμού λειτουργεί με οποιονδήποτε αριθμό παραγόντων:
Τώρα εντελώς μόνος μου:
Απαντήσεις:Μπράβο! Συμφωνώ, όλα είναι πολύ εύκολα, το κύριο πράγμα είναι να γνωρίζετε τον πίνακα πολλαπλασιασμού!
Διαίρεση των ριζών
Έχουμε καταλάβει τον πολλαπλασιασμό των ριζών, τώρα θα προχωρήσουμε στην ιδιότητα διαίρεσης.
Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι ο τύπος γενικά μοιάζει με αυτό:
Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα του πηλίκου είναι ίση με το πηλίκο των ριζών.
Λοιπόν, ας το καταλάβουμε με παραδείγματα:
Αυτή είναι όλη η επιστήμη. Ακολουθεί ένα παράδειγμα:
Όλα δεν είναι τόσο ομαλά όσο στο πρώτο παράδειγμα, αλλά, όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο.
Αλλά τι γίνεται αν μια έκφραση σαν αυτή συναντηθεί:
Απλώς πρέπει να εφαρμόσετε τον τύπο στην αντίθετη κατεύθυνση:
Και εδώ είναι ένα παράδειγμα:
Μπορείτε επίσης να συναντήσετε αυτήν την έκφραση:
Όλα είναι τα ίδια, μόνο εδώ πρέπει να θυμάστε πώς να μεταφράζετε κλάσματα (αν δεν θυμάστε, κοιτάξτε το θέμα και επιστρέψτε!). Θυμάμαι? Τώρα αποφασίζουμε!
Είμαι σίγουρος ότι έχετε αντιμετωπίσει τα πάντα, όλα, τώρα ας προσπαθήσουμε να χτίσουμε τις ρίζες μας στην εξουσία.
Εκτόνωση
Τι συμβαίνει εάν η τετραγωνική ρίζα είναι τετράγωνη; Είναι απλό, ας θυμηθούμε την έννοια της τετραγωνικής ρίζας ενός αριθμού - αυτός είναι ένας αριθμός του οποίου η τετραγωνική ρίζα είναι.
Έτσι, αν δημιουργήσουμε έναν αριθμό του οποίου η τετραγωνική ρίζα είναι ίση με το τετράγωνο, τι παίρνουμε;
Λοιπόν, φυσικά,!
Ας δούμε παραδείγματα:
Είναι απλό, έτσι; Και αν η ρίζα είναι σε διαφορετικό βαθμό; Τιποτα ΛΑΘΟΣ!
Ακολουθήστε την ίδια λογική και θυμηθείτε τις ιδιότητες και τις πιθανές ενέργειες με μοίρες.
Διαβάστε τη θεωρία για το θέμα "" και όλα θα σας φανούν πολύ ξεκάθαρα.
Για παράδειγμα, εδώ είναι μια έκφραση:
Σε αυτό το παράδειγμα, ο βαθμός είναι ομαλός, αλλά τι γίνεται αν είναι περίεργο; Και πάλι, εφαρμόστε ιδιότητες ισχύος και συνυπολογίστε τα πάντα:
Με αυτό, όλα φαίνονται ξεκάθαρα, αλλά πώς να εξαγάγετε τη ρίζα ενός αριθμού σε μια δύναμη; Για παράδειγμα, αυτό είναι:
Πολύ απλό, σωστά; Και αν ο βαθμός είναι πάνω από δύο; Ακολουθούμε την ίδια λογική χρησιμοποιώντας ιδιότητες ισχύος:
Λοιπόν, είναι όλα ξεκάθαρα; Στη συνέχεια, λύστε τα παραδείγματα μόνοι σας:
Και εδώ είναι οι απαντήσεις:
Εισαγωγή κάτω από το ριζικό σύμβολο
Τι δεν έχουμε μάθει να κάνουμε με τις ρίζες! Το μόνο που μένει είναι να εξασκήσετε την εισαγωγή του αριθμού κάτω από το ριζικό σημάδι!
Είναι εύκολο!
Ας πούμε ότι έχουμε έναν αριθμό
Τι μπορούμε να κάνουμε με αυτό; Λοιπόν, φυσικά, κρύψτε τα τρία κάτω από τη ρίζα, θυμηθείτε ότι τα τρία είναι η τετραγωνική ρίζα!
Για τι το χρειαζόμαστε αυτό; Ναι, απλώς για να επεκτείνουμε τις δυνατότητές μας κατά την επίλυση παραδειγμάτων:
Πώς σας αρέσει αυτή η ιδιότητα των ριζών; Κάνει τη ζωή πολύ πιο εύκολη; Για μένα, αυτό είναι σωστό! Μόνο πρέπει να θυμόμαστε ότι μπορούμε να εισαγάγουμε μόνο θετικούς αριθμούς κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας.
Λύστε αυτό το παράδειγμα μόνοι σας -
Κατάφερες? Ας δούμε τι πρέπει να λάβετε:
Μπράβο! Καταφέρατε να εισαγάγετε τον αριθμό κάτω από το ριζικό σημάδι! Ας προχωρήσουμε σε ένα εξίσου σημαντικό - ας δούμε πώς να συγκρίνουμε αριθμούς που περιέχουν την τετραγωνική ρίζα!
Σύγκριση των ριζών
Γιατί πρέπει να μάθουμε να συγκρίνουμε αριθμούς που περιέχουν τετραγωνική ρίζα;
Πολύ απλό. Συχνά, σε μεγάλες και μακροσκελείς εκφράσεις που συναντώνται κατά την εξέταση, λαμβάνουμε μια παράλογη απάντηση (θυμάστε τι είναι; Έχουμε ήδη μιλήσει γι 'αυτό σήμερα!)
Πρέπει να τοποθετήσουμε τις ληφθείσες απαντήσεις σε μια γραμμή συντεταγμένων, για παράδειγμα, για να προσδιορίσουμε ποιο διάστημα είναι κατάλληλο για την επίλυση της εξίσωσης. Και εδώ προκύπτει ένα κενό: δεν υπάρχει αριθμομηχανή στις εξετάσεις και χωρίς αυτήν, πώς μπορεί κανείς να φανταστεί ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος και ποιος είναι λιγότερος; Αυτό είναι μόνο!
Για παράδειγμα, ορίστε ποιο είναι μεγαλύτερο: ή?
Δεν μπορείτε να το πείτε αμέσως. Λοιπόν, ας χρησιμοποιήσουμε την αναλυμένη ιδιότητα εισαγωγής ενός αριθμού κάτω από το ριζικό σύμβολο;
Τότε προχωρήστε:
Και, προφανώς, όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός κάτω από το ριζικό σημάδι, τόσο μεγαλύτερη είναι η ίδια η ρίζα!
Εκείνοι. αν τότε,.
Από αυτό συμπεραίνουμε σταθερά ότι. Και κανείς δεν θα μας πείσει διαφορετικά!
Εξαγωγή ριζών από μεγάλους αριθμούς
Πριν από αυτό, παρουσιάσαμε τον παράγοντα κάτω από το ριζικό σημάδι, αλλά πώς να τον βγάλουμε; Απλά πρέπει να το συνεισφέρετε και να εξαγάγετε ό, τι εξάγεται!
Ήταν δυνατόν να ακολουθήσουμε διαφορετική πορεία και να αποσυντεθούμε σε άλλους παράγοντες:
Δεν είναι κακό, ε; Οποιαδήποτε από αυτές τις προσεγγίσεις είναι σωστή, αποφασίστε τι σας ταιριάζει καλύτερα.
Το Factoring είναι πολύ χρήσιμο κατά την επίλυση μη τυπικών εργασιών όπως αυτό:
Δεν φοβόμαστε, αλλά ενεργούμε! Ας χωρίσουμε κάθε παράγοντα κάτω από τη ρίζα σε ξεχωριστούς παράγοντες:
Τώρα δοκιμάστε το μόνοι σας (χωρίς αριθμομηχανή! Δεν θα είναι στην εξέταση):
Είναι αυτό το τέλος? Μην σταματήσετε στα μισά!
Αυτό είναι όλο, όχι τόσο τρομακτικό, σωστά;
Συνέβη; Μπράβο, σωστά!
Τώρα προσπαθήστε να λύσετε αυτό το παράδειγμα:
Και ένα παράδειγμα είναι ένα σκληρό παξιμάδι για να σπάσει, οπότε απλά δεν μπορείτε να καταλάβετε πώς να το προσεγγίσετε. Αλλά, φυσικά, μπορούμε να το αντέξουμε.
Λοιπόν, θα αρχίσουμε το factoring; Σημειώστε αμέσως ότι μπορείτε να διαιρέσετε έναν αριθμό με (θυμηθείτε τα κριτήρια διαχωρισμού):
Τώρα, δοκιμάστε το μόνοι σας (ξανά, χωρίς αριθμομηχανή!):
Λοιπόν, τι συνέβη; Μπράβο, σωστά!
Ας συνοψίσουμε
- Η τετραγωνική ρίζα (αριθμητική τετραγωνική ρίζα) ενός μη αρνητικού αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με.
. - Αν πάρουμε απλώς την τετραγωνική ρίζα του κάτι, έχουμε πάντα ένα μη αρνητικό αποτέλεσμα.
- Αριθμητικές ιδιότητες ρίζας:
- Κατά τη σύγκριση των τετραγωνικών ριζών, πρέπει να θυμόμαστε ότι όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός κάτω από το ριζικό σημάδι, τόσο μεγαλύτερη είναι η ίδια η ρίζα.
Πώς σας αρέσει η τετραγωνική ρίζα; Ολα ΕΝΤΑΞΕΙ?
Προσπαθήσαμε να σας εξηγήσουμε χωρίς νερό όλα όσα πρέπει να γνωρίζετε στην εξέταση τετραγωνικής ρίζας.
Είναι η σειρά σου. Γράψτε μας εάν είναι ένα δύσκολο θέμα για εσάς ή όχι.
Μάθατε κάτι νέο ή όλα ήταν ήδη ξεκάθαρα.
Γράψτε στα σχόλια και καλή τύχη στις εξετάσεις σας!
Σε αυτό το άρθρο, θα καλύψουμε το κύριο ιδιότητες ρίζας... Ας ξεκινήσουμε με τις ιδιότητες της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας, δίνουμε τις διατυπώσεις τους και δίνουμε αποδείξεις. Μετά από αυτό, θα ασχοληθούμε με τις ιδιότητες της nth αριθμητικής ρίζας.
Πλοήγηση σελίδας.
Ιδιότητες τετραγωνικής ρίζας
Σε αυτό το σημείο, θα ασχοληθούμε με το ακόλουθο κύριο ιδιότητες της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας:
Σε καθεμία από τις γραπτές ισοτιμίες, η αριστερή και η δεξιά πλευρά μπορούν να ανταλλάσσονται, για παράδειγμα, η ισότητα μπορεί να ξαναγραφεί ως 
... Σε αυτήν την "αντίστροφη" μορφή, οι ιδιότητες της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας εφαρμόζονται όταν απλοποίηση των εκφράσεων τόσο συχνά όσο στην "άμεση" φόρμα.
Η απόδειξη των δύο πρώτων ιδιοτήτων βασίζεται στον ορισμό της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας και μετά. Και για να τεκμηριωθεί η τελευταία ιδιότητα της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας θα πρέπει να θυμόμαστε.
Ας ξεκινήσουμε λοιπόν απόδειξη της ιδιότητας της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας του προϊόντος δύο μη αρνητικών αριθμών:. Για αυτό, σύμφωνα με τον ορισμό της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας, αρκεί να δείξουμε ότι είναι ένας μη αρνητικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι · b. Ας το κάνουμε. Η τιμή μιας έκφρασης δεν είναι αρνητική ως το προϊόν των μη αρνητικών αριθμών. Η ιδιότητα του βαθμού του προϊόντος των δύο αριθμών σας επιτρέπει να γράψετε την ισότητα 
, και αφού από τον ορισμό της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας και, στη συνέχεια.
Παρομοίως, αποδεικνύεται ότι η αριθμητική τετραγωνική ρίζα του προϊόντος των k μη αρνητικών παραγόντων a 1, 2,…, a k είναι ίση με το προϊόν των αριθμητικών τετραγωνικών ριζών αυτών των παραγόντων. Πράγματι,. Αυτή η ισότητα υπονοεί ότι.
Ας δώσουμε παραδείγματα: και.
Τώρα ας αποδείξουμε ιδιότητα της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας του πηλίκου:. Η πηλίκα ιδιοκτησία σε φυσικό βαθμό μας επιτρέπει να γράψουμε την ισότητα 
, ένα 
, και υπάρχει ένας μη αρνητικός αριθμός. Αυτή είναι η απόδειξη.
Για παράδειγμα, και 
.
Ήρθε η ώρα να χωρίσουμε ιδιότητα της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας του τετραγώνου ενός αριθμού, με τη μορφή ισότητας, γράφεται ως. Για να το αποδείξετε, εξετάστε δύο περιπτώσεις: για a0 και a<0 .
Προφανώς, η ισότητα ισχύει για a0. Είναι επίσης εύκολο να το δούμε αυτό για ένα<0
будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 και (−a) 2 \u003d a 2. Με αυτόν τον τρόπο, 
, όπως απαιτείται για να αποδειχθεί.
Ορίστε μερικά παραδείγματα: 
και 
.
Η ιδιότητα της τετραγωνικής ρίζας που μόλις αποδείχθηκε μας επιτρέπει να τεκμηριώσουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα, όπου το a είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός και το m είναι οποιοδήποτε. Πράγματι, η ιδιότητα της ανύψωσης ισχύος σε ισχύ μας επιτρέπει να αντικαταστήσουμε τη δύναμη 2 m από την έκφραση (a m) 2, τότε 
.
Για παράδειγμα, 
και 
.
Ιδιότητες της n-th ρίζας
Πρώτον, ας απαριθμήσουμε το κύριο ιδιότητες των nth ριζών:
Όλες οι καταγεγραμμένες ισοτιμίες παραμένουν έγκυρες εάν η αριστερή και η δεξιά πλευρά ανταλλάσσονται σε αυτές. Σε αυτήν τη μορφή, χρησιμοποιούνται επίσης συχνά, κυρίως όταν απλοποιούν και μετασχηματίζουν εκφράσεις.
Η απόδειξη όλων των ακουστικών ιδιοτήτων της ρίζας βασίζεται στον ορισμό της αριθμητικής ρίζας του ν-ου βαθμού, στις ιδιότητες του βαθμού και στον ορισμό του συντελεστή του αριθμού. Ας τα αποδείξουμε κατά σειρά προτεραιότητας.
Ας ξεκινήσουμε με απόδειξη ιδιότητες της ένατης ρίζας του προϊόντος ... Για τα μη αρνητικά a και b, η τιμή της έκφρασης είναι επίσης μη αρνητική, όπως το προϊόν των μη αρνητικών αριθμών. Η ιδιότητα του προϊόντος σε φυσικό βαθμό μας επιτρέπει να γράφουμε την ισότητα 
... Με τον ορισμό της αριθμητικής ρίζας του ένατου βαθμού και, ως εκ τούτου, 
... Αυτό αποδεικνύει την ιδιότητα της υπό εξέταση ρίζας.
Αυτή η ιδιότητα αποδεικνύεται παρόμοια για το προϊόν των παραγόντων k: για μη αρνητικούς αριθμούς a 1, 2,…, a, 
και.
Ακολουθούν παραδείγματα χρήσης της ιδιότητας της nth ρίζας του προϊόντος: 
και.
Ας αποδείξουμε ιδιότητα της ρίζας του πηλίκου ... Για a≥0 και b\u003e 0, η συνθήκη ικανοποιείται και 
.
Ας δείξουμε παραδείγματα: 
και 
.
Προχωράω. Ας αποδείξουμε ιδιότητα της nth ρίζας ενός αριθμού στην nth δύναμη... Δηλαδή, θα το αποδείξουμε αυτό 
για κάθε πραγματικό και φυσικό m. Για το a0, έχουμε και, που αποδεικνύει την ισότητα και την ισότητα φανερός. Για ένα<0
имеем и 
(το τελευταίο απόσπασμα ισχύει λόγω της ιδιότητας του πτυχίου με έναν ομοιόμορφο εκθέτη), το οποίο αποδεικνύει την ισότητα, και είναι αλήθεια λόγω του γεγονότος ότι όταν μιλάμε για τη ρίζα ενός περίεργου βαθμού πήραμε 
για οποιονδήποτε μη αρνητικό αριθμό γ.
Ακολουθούν παραδείγματα χρήσης της αναλυμένης ιδιότητας ρίζας: και 
.
Περνάμε στην απόδειξη της ιδιότητας μιας ρίζας από μια ρίζα. Θα ανταλλάξουμε τη δεξιά και την αριστερή πλευρά, δηλαδή θα αποδείξουμε την εγκυρότητα της ισότητας, που θα σημαίνει την εγκυρότητα της αρχικής ισότητας. Για έναν μη αρνητικό αριθμό a, η ρίζα μιας ρίζας της φόρμας είναι ένας μη αρνητικός αριθμός. Να θυμόμαστε την ιδιότητα της αύξησης ενός βαθμού σε μια δύναμη και χρησιμοποιώντας τον ορισμό μιας ρίζας, μπορούμε να γράψουμε μια αλυσίδα ισότητας της φόρμας 
... Αυτό αποδεικνύει την ιδιότητα της ρίζας από την υπό εξέταση ρίζα.
Η ιδιότητα μιας ρίζας από μια ρίζα από μια ρίζα, κ.λπ. αποδεικνύεται παρόμοια. Πραγματικά, 
.
Για παράδειγμα, 
και.
Ας αποδείξουμε τα ακόλουθα. ιδιότητα μείωσης εκθετικού ρίζας ... Για αυτό, βάσει του ορισμού της ρίζας, αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένας μη αρνητικός αριθμός, ο οποίος όταν ανυψώνεται στην ισχύ n · m είναι ίσος με m. Ας το κάνουμε. Είναι σαφές ότι εάν ο αριθμός α είναι μη αρνητικός, τότε η ένατη ρίζα του αριθμού α είναι μη αρνητικός αριθμός. Εν 
, η οποία συμπληρώνει την απόδειξη.
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα χρήσης της ιδιότητας ριζικής ανάλυσης :.
Ας αποδείξουμε την ακόλουθη ιδιότητα - την ιδιότητα μιας ρίζας ενός βαθμού της φόρμας 
... Προφανώς, για a0, ο βαθμός είναι ένας μη αρνητικός αριθμός. Επιπλέον, ο βαθμός n-th είναι ίσος με m, πράγματι ,. Αυτό αποδεικνύει την ιδιότητα του υπό εξέταση πτυχίου.
Για παράδειγμα, 
.
Ας προχωρήσουμε. Ας αποδείξουμε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς a και b για ποια συνθήκη α , δηλαδή, a≥b. Και αυτό έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση α
Για παράδειγμα, δίνουμε τη σωστή ανισότητα 
.
Τέλος, απομένει να αποδειχθεί η τελευταία ιδιότητα της nth ρίζας. Ας αποδείξουμε πρώτα το πρώτο μέρος αυτής της ιδιότητας, δηλαδή, θα το αποδείξουμε για τα m\u003e n και 0 Ομοίως, με αντίφαση, αποδεικνύεται ότι για τα m\u003e n και a\u003e 1, η συνθήκη ικανοποιείται. Ας δώσουμε παραδείγματα εφαρμογής της αποδεδειγμένης ιδιότητας της ρίζας σε συγκεκριμένους αριθμούς. Για παράδειγμα, οι ανισότητες και είναι αληθινές.
, δηλαδή, n ≤a m. Και η προκύπτουσα ανισότητα για m\u003e n και 0
Βιβλιογραφία.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Άλγεβρα: εγχειρίδιο για την τάξη 8 Εκπαιδευτικά ιδρύματα.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Άλγεβρα και η αρχή της ανάλυσης: Εγχειρίδιο για 10 - 11 βαθμούς εκπαιδευτικών ιδρυμάτων.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (ένας οδηγός για αιτούντες τεχνικές σχολές).
\\ (\\ sqrt (a) \u003d b \\) if \\ (b ^ 2 \u003d a \\), όπου \\ (a≥0, b≥0 \\)
Παραδείγματα:
\\ (\\ sqrt (49) \u003d 7 \\) από το \\ (7 ^ 2 \u003d 49 \\)
\\ (\\ sqrt (0,04) \u003d 0,2 \\) από \\ (0,2 ^ 2 \u003d 0,04 \\)
Πώς εξάγετε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού;
Για να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού, πρέπει να αναρωτηθείτε: ποιος αριθμός στο τετράγωνο θα δώσει η έκφραση κάτω από τη ρίζα;
για παράδειγμα... Εξαγωγή της ρίζας: a) \\ (\\ sqrt (2500) \\); β) \\ (\\ sqrt (\\ frac (4) (9)) \\); γ) \\ (\\ sqrt (0,001) \\); δ) \\ (\\ sqrt (1 \\ frac (13) (36)) \\)
α) Ποιος αριθμός θα δώσει το τετράγωνο \\ (2500 \\);
\\ (\\ sqrt (2500) \u003d 50 \\)
β) Ποιος αριθμός τετράγωνο θα \\ (\\ frac (4) (9) \\);
\\ (\\ sqrt (\\ frac (4) (9)) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (2) (3) \\)
γ) Ποιος αριθμός θα δώσει το τετράγωνο \\ (0,0001 \\);
\\ (\\ sqrt (0,0001) \u003d 0,01 \\)
δ) Ποιος αριθμός θα δώσει το τετράγωνο \\ (\\ sqrt (1 \\ frac (13) (36)) \\); Για να απαντήσετε στην ερώτηση, πρέπει να μεταφράσετε σε λάθος.
\\ (\\ sqrt (1 \\ frac (13) (36)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (49) (16)) \u003d \\ frac (7) (6) \\)
Σχόλιο: Παρόλο που \\ (- 50 \\), \\ (- \\ frac (2) (3) \\), \\ (- 0,01 \\), \\ (- \\ frac (7) (6) \\), απαντά επίσης στο ερωτήσεις, αλλά δεν λαμβάνονται υπόψη, καθώς η τετραγωνική ρίζα είναι πάντα θετική.
Η κύρια ιδιότητα της ρίζας
Όπως γνωρίζετε, στα μαθηματικά, κάθε ενέργεια έχει το αντίθετο. Η προσθήκη έχει αφαίρεση και ο πολλαπλασιασμός έχει διαίρεση. Το αντίθετο του τετραγώνου είναι η τετραγωνική ρίζα. Επομένως, αυτές οι ενέργειες ακυρώνουν η μία την άλλη:
\\ ([\\ sqrt (a)) ^ 2 \u003d a \\)
Αυτή είναι η κύρια ιδιότητα της ρίζας, η οποία χρησιμοποιείται συχνότερα (συμπεριλαμβανομένου του OGE)
Παράδειγμα ... (εργασία από το OGE). Βρείτε την τιμή της έκφρασης \\ (\\ frac ((2 \\ sqrt (6)) ^ 2) (36) \\)
Απόφαση : \\ (\\ frac ((2 \\ sqrt (6)) ^ 2) (36) \u003d \\ frac (4 \\ cdot (\\ sqrt (6)) ^ 2) (36) \u003d \\ frac (4 \\ cdot 6) (36 ) \u003d \\ frac (4) (6) \u003d \\ frac (2) (3) \\)
Παράδειγμα ... (εργασία από το OGE). Βρείτε την τιμή της έκφρασης \\ ((\\ sqrt (85) -1) ^ 2 \\)
Απόφαση:
Απάντηση: \\ (86-2 \\ sqrt (85) \\)Φυσικά, όταν εργάζεστε με μια τετραγωνική ρίζα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε και άλλους.
Παράδειγμα
... (εργασία από το OGE). Βρείτε την τιμή της έκφρασης \\ (5 \\ sqrt (11) \\ cdot 2 \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (22) \\)
Απόφαση:
Απάντηση: \(220\)
4 κανόνες που ξεχνιούνται πάντα
Η ρίζα δεν ανακτάται πάντα
Παράδειγμα: \\ (\\ sqrt (2) \\), \\ (\\ sqrt (53) \\), \\ (\\ sqrt (200) \\), \\ (\\ sqrt (0,1) \\) κ.λπ. - δεν είναι πάντα δυνατό να εξαγάγετε τη ρίζα από έναν αριθμό και αυτό είναι φυσιολογικό!
Ρίζα ενός αριθμού, επίσης και ενός αριθμού
Δεν είναι απαραίτητο να αναφέρεται σε \\ (\\ sqrt (2) \\), \\ (\\ sqrt (53) \\), κάπως ειδικά. Αυτοί είναι αριθμοί, αλλά όχι ακέραιοι αριθμοί, ναι, αλλά δεν μετράται όλα στον κόσμο μας σε ακέραιους αριθμούς.
Η ρίζα εξάγεται μόνο από μη αρνητικούς αριθμούς
Επομένως, στα εγχειρίδια δεν θα δείτε τέτοιες καταχωρήσεις \\ (\\ sqrt (-23) \\), \\ (\\ sqrt (-1) \\) κ.λπ.