Cr 4 appliquant les propriétés de la solution de racine carrée. Racine carrée arithmétique (8e année)

Titre: Travail indépendant et test en algèbre et géométrie pour la 8e année.

Le manuel contient des travaux indépendants et de contrôle sur tous les sujets les plus importants du cours d'algèbre et de géométrie en 8e année.

Les œuvres se composent de 6 variantes de trois niveaux de difficulté. Le matériel didactique est destiné à l'organisation de travaux indépendants différenciés des étudiants.

CONTENU
ALGÈBRE 4
P-1 Expression rationnelle. Réduire les fractions 4
C-2 Addition et soustraction de fractions 5
Fractions rationnelles K-1. Addition et soustraction de fractions 7
C-3 Multiplication et division des fractions. Élever une fraction à la puissance 10
Transformation d'expression rationnelle P-4 12
С-5 Proportionnalité inverse et son graphique 14
К-2 Fractions rationnelles 16
C-6 Racine carrée arithmétique de 18
Équation C-7 x2 \u003d a. Fonction y \u003d y [x 20
С-8 Racine carrée d'un produit, fraction, puissance 22
K-3 Racine carrée arithmétique et ses propriétés 24
C-9 Introduction et suppression d'un multiplicateur en racines carrées 27
C-10 Conversion d'expressions contenant des racines carrées 28
K-4 Application des propriétés de la racine carrée arithmétique 30
C-11 Équations quadratiques incomplètes 32
C-12 Formule quadratique 33
С-13 Résolution de problèmes à l'aide d'équations quadratiques. Théorème de Vieta 34
Équations quadratiques K-5 36
P-14 Équations rationnelles fractionnelles 38
С-15 Application d'équations rationnelles fractionnaires. Résolution de problèmes 39
Équations rationnelles fractionnelles K-6 40
C-16 Propriétés des inégalités numériques 43
K-7 Inégalités numériques et leurs propriétés 44
С-17 Inégalités linéaires à une variable 47
С-18 Systèmes d'inégalités linéaires 48
K-8 Inégalités linéaires et systèmes d'inégalités à une variable 50
С-19 Degré avec indicateur négatif 52
Degré K-9 avec entier 54
К-10 Test annuel 56
GÉOMÉTRIE (selon Pogorelov)58
С-1 Propriétés et signes d'un parallélogramme. "58
Rectangle C-2. Rhombe. Carré 60
Parallélogramme K-1 62
С-3 Théorème de Thales. Ligne médiane du triangle 63
Trapèze C-4. Ligne médiane du trapèze 66
Trapèze K-2. Lignes médianes d'un triangle et d'un trapèze ... 68
Théorème de Pythagore C-5 70
С-6 Le théorème opposé au théorème de Pythagore. Perpendiculaire et oblique 71
C-7 Inégalité triangulaire 73
Théorème de Pythagore K-3 74
Solution du triangle droit C-8 76
C-9 Propriétés des fonctions trigonométriques 78
Triangle rectangle K-4 (test de généralisation) 80
С-10 Coordonnées du milieu du segment. Distance entre les points. Équation du cercle 82
C-11 Équation d'une ligne droite 84
Coordonnées cartésiennes K-5 86
С-12 Mouvement et ses propriétés. Symétrie centrale et axiale. Tour 88
S-13. Transfert parallèle 90
Concept de vecteur С-14. Égalité des vecteurs 92
С-15 Actions avec des vecteurs sous forme de coordonnées. Vecteurs colinéaires 94
С-16 Actions avec des vecteurs sous forme géométrique 95
Produit C-17 Dot 98
Vecteurs K-6 99
К-7 Examen annuel 102
GÉOMÉTRIE (selon Atanasyan)104
С-1 Propriétés et signes d'un parallélogramme 104
Rectangle C-2. Rhombe. Carré 106
К-1 Quadrangles 108
С-3 Aire d'un rectangle, carré 109
С-4 Aire de parallélogramme, losange, triangle 111
С-5 Trapèze zone 113
C-6 Théorème de Pythagore 114
Carrés K-2. Théorème de Pythagore 116
C-7 Définition de triangles similaires. Propriété bissectrice de l'angle d'un triangle 118
С-8 Signes de similitude des triangles 120
K-3 Similarité des triangles 122
С-9 Application de la similitude à la résolution de problèmes 124
C-10 Relation entre les côtés et les coins d'un triangle rectangle 126
К-4 Application de la similitude à la résolution de problèmes. Rapports entre les côtés et les angles d'un triangle rectangle 128
С-11 Tangente au cercle 130
С-12 Coins centraux et inscrits 132
С-13 Théorème sur le produit de segments d'accords entrecroisés. Les merveilleux points du triangle 134
С-14 Cercles inscrits et circonscrits 136
Circonférence K-5 137
C-15 Addition et soustraction de vecteurs 139
С-16 Multiplication d'un vecteur par le nombre 141
С-17 Ligne médiane du trapèze 142
Vecteurs K-6. Application de vecteurs à la résolution de problèmes 144
К-7 Examen annuel 146
RÉPONSES 148
LITTÉRATURE 157

AVANT-PROPOS .
1. Un livre relativement petit contient un ensemble complet de tests (y compris les tests finaux) pour tout le cours d'algèbre et de géométrie de 8e année, il suffit donc d'acheter un jeu de livres par classe.
Les papiers de test sont conçus pour une leçon, un travail indépendant - pendant 20 à 35 minutes, selon le sujet. Pour faciliter l'utilisation du livre, le titre de chaque œuvre indépendante et test reflète son sujet.

2. La collection permet un contrôle différencié des connaissances, puisque les tâches sont réparties sur trois niveaux de complexité A, B et C.Le niveau A répond aux exigences obligatoires du programme, B - le niveau moyen de complexité, les tâches de niveau C sont destinées aux étudiants ayant un intérêt accru pour les mathématiques, et également pour une utilisation dans les salles de classe, les écoles, les lycées et les lycées avec une étude avancée des mathématiques. Pour chaque niveau, il y a 2 options équivalentes adjacentes (comme elles sont généralement écrites au tableau), donc un livre sur le bureau suffit pour la leçon.

Téléchargez gratuitement le livre électronique dans un format pratique, regardez et lisez:
Téléchargez le livre Auto-apprentissage et tests d'algèbre et de géométrie pour la 8e année. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, téléchargement rapide et gratuit.

Travail indépendant et de contrôle en géométrie pour la 11e année. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
Travail indépendant et test en algèbre et géométrie pour la 9e année. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
Travaux indépendants et de contrôle sur l'algèbre et la géométrie, grade 8, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013

J'ai de nouveau regardé le panneau ... Et c'est parti!

Commençons par un simple:

Juste une minute. ceci, ce qui signifie que nous pouvons écrire comme ceci:

Je l'ai? Voici le prochain pour vous:

Les racines des nombres résultants ne sont pas exactement extraites? Cela n'a pas d'importance - voici quelques exemples:

Mais que se passe-t-il si les facteurs ne sont pas deux, mais plus? Même! La formule de multiplication des racines fonctionne avec n'importe quel nombre de facteurs:

Désormais complètement autonome:

Réponses:Bien joué! D'accord, tout est très simple, l'essentiel est de connaître la table de multiplication!

Division des racines

Nous avons compris la multiplication des racines, passons maintenant à la propriété de la division.

Permettez-moi de vous rappeler que la formule en général ressemble à ceci:

Cela signifie que la racine du quotient est égale au quotient des racines.

Eh bien, découvrons-le avec des exemples:

C'est toute la science. Voici un exemple:

Tout n'est pas aussi fluide que dans le premier exemple, mais, comme vous pouvez le voir, il n'y a rien de compliqué.

Mais que se passe-t-il si une expression comme celle-ci apparaît:

Il vous suffit d'appliquer la formule dans le sens opposé:

Et voici un exemple:

Vous pouvez également rencontrer cette expression:

Tout est pareil, seulement ici, vous devez vous rappeler comment traduire les fractions (si vous ne vous en souvenez pas, regardez le sujet et revenez!). Rappelles toi? Maintenant nous décidons!

Je suis sûr que vous avez fait face à tout, tout, essayons maintenant de construire des racines dans le pouvoir.

Exponentiation

Que se passe-t-il si la racine carrée est au carré? C'est simple, rappelons-nous la signification de la racine carrée d'un nombre - c'est un nombre dont la racine carrée est.

Donc, si nous élevons un nombre dont la racine carrée est égale au carré, qu'obtient-on?

Oui bien sur, !

Regardons des exemples:

C'est simple, non? Et si la racine est à un degré différent? Rien de mal!

Suivez la même logique et rappelez-vous les propriétés et les actions possibles avec des degrés.

Lisez la théorie sur le sujet "" et tout deviendra très clair pour vous.

Par exemple, voici une expression:

Dans cet exemple, le degré est pair, mais que se passe-t-il s'il est impair? Encore une fois, appliquez les propriétés de puissance et factorisez tout:

Avec cela, tout semble clair, mais comment extraire la racine d'un nombre à une puissance? Par exemple, ceci est:

Assez simple, non? Et si le degré est supérieur à deux? Nous suivons la même logique en utilisant les propriétés des degrés:

Eh bien, est-ce que tout est clair? Puis résolvez les exemples vous-même:

Et voici les réponses:

Introduction sous le signe racine

Qu'avons-nous appris à faire avec les racines! Il ne reste plus qu'à s'entraîner à saisir le nombre sous le signe racine!

C'est facile!

Disons que nous avons un certain nombre

Que pouvons-nous en faire? Eh bien, bien sûr, cachez les trois sous la racine, en vous rappelant que le trois est la racine carrée de!

Pourquoi avons nous besoin de ça? Oui, juste pour étendre nos capacités lors de la résolution d'exemples:

Comment aimez-vous cette propriété des racines? Cela rend-il la vie beaucoup plus facile? Pour moi, c'est vrai! Seulement nous devons nous rappeler que nous ne pouvons introduire des nombres positifs que sous le signe de la racine carrée.

Résolvez cet exemple vous-même -
Avez-vous réussi? Voyons ce que vous devriez obtenir:

Bien joué! Vous avez réussi à insérer le numéro sous le signe racine! Passons à une question tout aussi importante - voyons comment comparer des nombres contenant la racine carrée!

Comparaison des racines

Pourquoi devrions-nous apprendre à comparer des nombres contenant une racine carrée?

Très simple. Souvent, dans les grandes et longues expressions rencontrées à l'examen, on obtient une réponse irrationnelle (vous souvenez-vous de ce que c'est? Nous en avons déjà parlé aujourd'hui!)

Nous devons placer les réponses reçues sur une ligne de coordonnées, par exemple, pour déterminer quel intervalle convient à la résolution de l'équation. Et là, un hic se pose: il n'y a pas de calculatrice à l'examen, et sans elle, comment peut-on imaginer quel nombre est plus grand et lequel est moins? C'est ça!

Par exemple, définissez ce qui est le plus élevé: ou?

Vous ne pouviez pas le dire dès le départ. Eh bien, utilisons la propriété analysée de saisir un nombre sous le signe racine?

Alors vas-y:

Et, évidemment, plus le nombre sous le signe racine est grand, plus la racine elle-même est grande!

Ceux. si donc,.

De cela, nous concluons fermement que. Et personne ne nous convaincra du contraire!

Extraire les racines d'un grand nombre

Avant cela, nous avons introduit le facteur sous le signe racine, mais comment le sortir? Il vous suffit de le factoriser et d'extraire ce qui est extrait!

Il était possible d'emprunter un chemin différent et de se décomposer en d'autres facteurs:

Pas mal, hein? Chacune de ces approches est correcte, décidez de ce qui vous convient le mieux.

L'affacturage est très utile lors de la résolution de tâches non standard comme celle-ci:

Nous n'avons pas peur, mais nous agissons! Divisons chaque facteur sous la racine en facteurs séparés:

Maintenant, essayez-le vous-même (sans calculatrice! Il ne sera pas à l'examen):

Est-ce la fin? Ne vous arrêtez pas à mi-chemin!

C'est tout, pas si effrayant, non?

Arrivé? Bien joué, c'est vrai!

Maintenant, essayez de résoudre cet exemple:

Et un exemple est un problème difficile à résoudre, vous ne pouvez donc pas comprendre comment l'aborder. Mais nous, bien sûr, pouvons le durcir.

Eh bien, allons-nous commencer l'affacturage? Notez tout de suite que vous pouvez diviser un nombre par (rappelez-vous les critères de divisibilité):

Maintenant, essayez-le vous-même (encore une fois, sans calculatrice!):

Eh bien, que s'est-il passé? Bien joué, c'est vrai!

Résumons

La racine carrée (racine carrée arithmétique) d'un nombre non négatif est un nombre non négatif dont le carré est égal à.
.
Si nous prenons simplement la racine carrée de quelque chose, nous obtenons toujours un résultat non négatif.
Propriétés arithmétiques de la racine:
Lors de la comparaison des racines carrées, il faut se rappeler que plus le nombre sous le signe racine est grand, plus la racine elle-même est grande.

Comment aimez-vous la racine carrée? Tout est clair?

Nous avons essayé de vous expliquer sans eau tout ce que vous devez savoir sur l'examen de la racine carrée.

C'est ton tour. Écrivez-nous si c'est un sujet difficile pour vous ou non.

Avez-vous appris quelque chose de nouveau ou tout était déjà clair.

Écrivez dans les commentaires et bonne chance pour vos examens!

Dans cet article, nous couvrirons les principaux propriétés de la racine... Commençons par les propriétés de la racine carrée arithmétique, donnons leurs formulations et donnons des preuves. Après cela, nous traiterons des propriétés de la nième racine arithmétique.

Navigation dans les pages.

Propriétés de la racine carrée

À ce stade, nous traiterons des principales propriétés de la racine carrée arithmétique:

Dans chacune des égalités écrites, les côtés gauche et droit peuvent être échangés, par exemple, l'égalité peut être réécrite comme ... Dans cette forme "inverse", les propriétés de la racine carrée arithmétique sont appliquées lorsque simplifier les expressions aussi souvent que sous la forme "directe".

La preuve des deux premières propriétés est basée sur la définition de la racine carrée arithmétique et sur. Et pour justifier la dernière propriété de la racine carrée arithmétique, il faudra se souvenir.

Alors commençons par preuve de la propriété de la racine carrée arithmétique du produit de deux nombres non négatifs:. Pour cela, selon la définition de la racine carrée arithmétique, il suffit de montrer qu'il s'agit d'un nombre non négatif dont le carré est égal à a · b. Faisons le. La valeur d'une expression est non négative en tant que produit de nombres non négatifs. La propriété du degré du produit de deux nombres vous permet d'écrire l'égalité , et depuis par la définition de la racine carrée arithmétique et, alors.

De même, il est prouvé que la racine carrée arithmétique du produit de k facteurs non négatifs a 1, a 2,…, a k est égale au produit des racines carrées arithmétiques de ces facteurs. En effet,. Cette égalité implique cela.

Donnons des exemples: et.

Maintenant, prouvons propriété de la racine carrée arithmétique du quotient:. La propriété quotient en degré naturel nous permet d'écrire l'égalité , une , et il y a un nombre non négatif. Ceci est la preuve.

Par exemple, et .

Il est temps de démonter propriété de la racine carrée arithmétique du carré d'un nombre, sous forme d'égalité, il s'écrit. Pour le prouver, considérons deux cas: pour a≥0 et pour a<0 .

De toute évidence, l'égalité vaut pour a≥0. Il est également facile de voir que pour un<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 et (−a) 2 \u003d a 2. De cette façon, , comme requis pour prouver.

Voici quelques exemples: et .

La propriété de la racine carrée que nous venons de prouver nous permet de justifier le résultat suivant, où a est n'importe quel nombre réel et m est n'importe quel nombre réel. En effet, la propriété d'élever une puissance à une puissance permet de remplacer la puissance a 2 m par l'expression (a m) 2, alors .

Par exemple, et .

Propriétés de la racine n-ième

Commençons par lister les principaux propriétés des racines n-ième:

Toutes les égalités enregistrées restent valides si les côtés gauche et droit y sont inversés. Sous cette forme, ils sont également souvent utilisés, principalement pour simplifier et transformer des expressions.

La preuve de toutes les propriétés sonores de la racine repose sur la définition de la racine arithmétique du n-ième degré, sur les propriétés du degré et sur la définition du module du nombre. Prouvons-les par ordre de priorité.

Commençons par la preuve propriétés de la nième racine du produit ... Pour a et b non négatifs, la valeur de l'expression est également non négative, comme le produit de nombres non négatifs. La propriété du produit au degré naturel nous permet d'écrire l'égalité ... Par la définition d'une racine arithmétique du nième degré et, par conséquent, ... Cela prouve la propriété de la racine considérée.

Cette propriété est prouvée de manière similaire pour le produit de k facteurs: pour les nombres non négatifs a 1, a 2, ..., a n, et.

Voici des exemples d'utilisation de la propriété de la nième racine du produit: et.

Prouvons propriété de la racine du quotient ... Pour a≥0 et b\u003e 0, la condition est satisfaite, et .

Montrons des exemples: et .

Passer à autre chose. Prouvons propriété de la nième racine d'un nombre à la nième puissance... Autrement dit, nous prouverons que pour tout vrai et naturel m. Pour a≥0 on a et, ce qui prouve l'égalité, et l'égalité évident. Pour un<0 имеем и (le dernier passage est valide en raison de la propriété du degré avec un exposant pair), ce qui prouve l'égalité, et est vrai en raison du fait qu'en parlant de la racine d'un degré impair, nous avons pris pour tout nombre non négatif c.

Voici des exemples d'utilisation de la propriété racine analysée: et .

Nous passons à la preuve de la propriété d'une racine à partir d'une racine. Nous échangerons les côtés droit et gauche, c'est-à-dire que nous prouverons la validité de l'égalité, ce qui signifiera la validité de l'égalité d'origine. Pour un nombre non négatif a, la racine d'une racine de la forme est un nombre non négatif. En nous souvenant de la propriété d'élever un degré à une puissance, et en utilisant la définition d'une racine, nous pouvons écrire une chaîne d'égalités de la forme ... Cela prouve la propriété considérée d'une racine à partir d'une racine.

La propriété d'une racine à partir d'une racine à partir d'une racine, etc. est prouvée de la même manière. Vraiment, .

Par exemple, et.

Prouvons ce qui suit. propriété de réduction d'exposant racine ... Pour cela, en vertu de la définition de la racine, il suffit de montrer qu'il existe un nombre non négatif qui, élevé à la puissance n · m, est égal à a m. Faisons le. Il est clair que si le nombre a est non négatif, alors la nième racine du nombre a est un nombre non négatif. Où , ce qui complète la preuve.

Donnons un exemple d'utilisation de la propriété racine analysée:.

Prouvons la propriété suivante - la propriété d'une racine d'un degré de la forme ... Evidemment, pour a≥0, le degré est un nombre non négatif. De plus, son n-ième degré est égal à a m, en effet ,. Cela prouve la propriété du diplôme considéré.

Par exemple, .

Allons-nous en. Prouvons que pour tout nombre positif a et b pour quelle condition a , c'est-à-dire a≥b. Et cela contredit la condition un

A titre d'exemple, nous donnons l'inégalité correcte .

Enfin, il reste à prouver la dernière propriété de la nième racine. Tout d'abord, nous prouvons la première partie de cette propriété, c'est-à-dire que pour m\u003e n et 0 ... Ensuite, en raison des propriétés du degré avec exposant naturel, l'inégalité , c'est-à-dire a n ≤ a m. Et l'inégalité résultante pour m\u003e n et 0
De même, par contradiction, il est prouvé que pour m\u003e n et a\u003e 1, la condition est satisfaite.

Donnons des exemples de l'application de la propriété prouvée de la racine en nombres concrets. Par exemple, les inégalités et sont vraies.

Bibliographie.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre: manuel pour la 8e année les établissements d'enseignement.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres Algèbre et début de l'analyse: manuel pour 10 à 11 niveaux d'établissements d'enseignement.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathématiques (un guide pour les candidats aux écoles techniques).

\\ (\\ sqrt (a) \u003d b \\) si \\ (b ^ 2 \u003d a \\), où \\ (a≥0, b≥0 \\)

Exemples:

\\ (\\ sqrt (49) \u003d 7 \\) puisque \\ (7 ^ 2 \u003d 49 \\)
\\ (\\ sqrt (0,04) \u003d 0,2 \\) puisque \\ (0,2 ^ 2 \u003d 0,04 \\)

Comment extraire la racine carrée d'un nombre?

Pour extraire la racine carrée d'un nombre, vous devez vous poser la question: quel nombre dans le carré l'expression sous la racine donnera-t-elle?

par exemple... Extrayez la racine: a) \\ (\\ sqrt (2500) \\); b) \\ (\\ sqrt (\\ frac (4) (9)) \\); c) \\ (\\ sqrt (0,001) \\); d) \\ (\\ sqrt (1 \\ frac (13) (36)) \\)

a) Quel nombre au carré donnera \\ (2500 \\)?

\\ (\\ sqrt (2500) \u003d 50 \\)

b) Quel nombre au carré sera \\ (\\ frac (4) (9) \\)?

\\ (\\ sqrt (\\ frac (4) (9)) \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ frac (2) (3) \\)

c) Quel nombre au carré donnera \\ (0,0001 \\)?

\\ (\\ sqrt (0,0001) \u003d 0,01 \\)

d) Quel nombre au carré donnera \\ (\\ sqrt (1 \\ frac (13) (36)) \\)? Pour répondre à la question, vous devez traduire par la mauvaise.

\\ (\\ sqrt (1 \\ frac (13) (36)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (49) (16)) \u003d \\ frac (7) (6) \\)

Commentaire: Bien que \\ (- 50 \\), \\ (- \\ frac (2) (3) \\), \\ (- 0,01 \\), \\ (- \\ frac (7) (6) \\), répondez également à la questions, mais elles ne sont pas prises en compte, car la racine carrée est toujours positive.

La propriété principale de la racine

Comme vous le savez, en mathématiques, toute action a le contraire. L'addition a une soustraction et la multiplication a une division. Le contraire de la quadrature est la racine carrée. Par conséquent, ces actions s'annulent:

\\ ((\\ sqrt (a)) ^ 2 \u003d a \\)

C'est la propriété principale de la racine, qui est le plus souvent utilisée (y compris dans l'OGE)

Exemple ... (tâche de l'OGE). Trouvez la valeur de l'expression \\ (\\ frac ((2 \\ sqrt (6)) ^ 2) (36) \\)

Décision : \\ (\\ frac ((2 \\ sqrt (6)) ^ 2) (36) \u003d \\ frac (4 \\ cdot (\\ sqrt (6)) ^ 2) (36) \u003d \\ frac (4 \\ cdot 6) (36 ) \u003d \\ frac (4) (6) \u003d \\ frac (2) (3) \\)

Exemple ... (tâche de l'OGE). Trouvez la valeur de l'expression \\ ((\\ sqrt (85) -1) ^ 2 \\)
Décision:
Répondre: \\ (86-2 \\ sqrt (85) \\)
Bien sûr, lorsque vous travaillez avec une racine carrée, vous devez également en utiliser d'autres.

Exemple ... (tâche de l'OGE). Trouvez la valeur de l'expression \\ (5 \\ sqrt (11) \\ cdot 2 \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (22) \\)
Décision:
Répondre: \(220\)

4 règles qui sont toujours oubliées
La racine n'est pas toujours récupérée

Exemple: \\ (\\ sqrt (2) \\), \\ (\\ sqrt (53) \\), \\ (\\ sqrt (200) \\), \\ (\\ sqrt (0,1) \\) etc. - il n'est pas toujours possible d'extraire la racine d'un nombre et c'est normal!

Racine d'un nombre, aussi un nombre

Il n'est pas nécessaire de se référer à \\ (\\ sqrt (2) \\), \\ (\\ sqrt (53) \\), d'une manière ou d'une autre en particulier. Ce sont des nombres, mais pas des nombres entiers, oui, mais tout dans notre monde n'est pas mesuré en nombres entiers.

La racine est extraite uniquement des nombres non négatifs

Par conséquent, dans les manuels, vous ne verrez pas de telles entrées \\ (\\ sqrt (-23) \\), \\ (\\ sqrt (-1) \\), etc.